Métodos Estatísticos em Atuária

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS 
APLICADOS À ATUÁRIA II
Aula 5 – IC para proporção e Dimensionamento amostral
Profº Lucas Schmidt
Intervalo de confiança para a proporção (π)
4. Intervalo de confiança para a proporção (π) de uma população.
Variável X ~Bernoulli (p)
𝑋 ∈ 0; 1
Sendo p estimador de π , em que 𝑝 =
σ 𝑥
𝑛
, e σ𝑥 é a soma
(quantidade) de elementos com a característica de interesse
(quantidade de produtos defeituosos, soma de intenção de voto,
etc).
A proporção amostral (p) possui distribuição aproximadamente
Normal se n for grande. Wild e Seber fornecem uma tabela que
indica o menor tamanho de amostra necessário para que esta
aproximação seja válida para distintos valores da proporção
estimada.
Se a proporção populacional for rara ou dominante, a distribuição
da proporção amostral será assimétrica. Isto implica que a
aproximação a normal só funciona bem com amostras maiores.
Distribuição amostral da proporção (p)
Por que quanto maior a proporção, menor o tamanho da amostra?
A formula usada para obter o IC da proporção populacional é:
Um atuário está interessado em estimar a proporção de pessoas de Icaraí
interessadas em contratar um plano de seguros para seu animal doméstico
(pet). Para isso, ele selecionou aleatoriamente 100 donos de pets e, desses, 22
afirmaram que têm interesse em contratar o seguro para seu animalzinho.
Estime o intervalo de 99% confiança para a proporção de pessoas interessadas
em contratar o seguro e interprete.
Exemplo
IC π; 99% = 0,22 ± 2,575 ∗ ൗ0,22 ∗ 0,78
100
0,22 ± 0,1067
0,1133 ; 0,3267
11,33% ; 32,67%
Com 99% de confiança,
podemos afirmar que o
intervalo 11,33% ; 32,67%
contém a proporção dos
donos de pet de Icaraí
interessados em contratar o
seguro.
Dimensionamento da amostra
➢A semi-amplitude (também chamado de precisão ou
margem de erro) pode ser dada por valores estipulados
por um especialista da área ou pode ser definida como um
percentual da média:
Dimensionamento da amostra (média)
Se a variância populacional for desconhecida
➢Amostra piloto de menor tamanho para estimar a variância
populacional e usar s no lugar de σ ;
➢Usar informações sobre a população de referência em pesquisas
anteriores ou estudo conhecidos.
Um atuário trabalha numa seguradora residencial e está analisando os furtos a
domicílios. Ele está interessado em estimar um intervalo de confiança para o
valor médio dos bens furtados com uma semi-amplitude máxima de R$200.
Para isso, selecionou aleatoriamente e analisou relatórios de 40 notificações
de furtos e obteve média R$6.500 e desvio-padrão R$2.000.
a) Calcule o intervalo com 90% de confiança para o valor médio dos bens
furtados e verifique se a semi-amplitude do intervalo está de acordo com o
estabelecido.
Exemplo
IC 𝜇; 90% = 6.500 ± 1,645 ∗ 2.000/ 40
6.500 ± 520,1947
520,1947 > 200
Um atuário trabalha numa seguradora residencial e está analisando os furtos a
domicílios. Ele está interessado em estimar um intervalo de confiança para o
valor médio dos bens furtados com uma semi-amplitude máxima de R$200.
Para isso, selecionou aleatoriamente e analisou relatórios de 40 notificações
de furtos e obteve média R$6.500 e desvio-padrão R$2.000.
b) Se a semi-amplitude for maior que o estabelecido, calcule quantos
relatórios a mais devem ser analisados para estimar o IC com a semi-
amplitude máxima estabelecida.
Exemplo – continuação
𝑛 =
1,6452 ∗ 2.0002
2002
= 270,6025 ≅ 271
271 − 40 = 231
Um atuário está interessado em estimar a indenização média paga aos
seus segurados por sinistro ocorrido neste ano. Para tanto, selecionou,
dentre suas filiais, aleatoriamente 15 segurados contemplados e obteve
as seguintes estatísticas: média de R$ 40.000 e desvio-padrão de R$
7.000. Sabendo que o valor da indenização segue distribuição normal,
calcule quantas indenizações pagas a mais ele deve consultar para
estimar um intervalo de 95% confiança para o valor médio pago aos
clientes dessa seguradora com uma semi-amplitude máxima de 1.500.
Exercício proposto
Estimativas:
ҧ𝑥 = 40.000
𝑠 = 7.000
𝑛0 = 15
𝑑 = 1.500
Resolução
𝑛 =
2,1452 ∗ 7.0002
1.5002
𝑛 = 100,2 ≅ 101
101 − 15 = 86
𝛼 = 1 − 0,95 = 0,05
𝜈 = 15 − 1 = 14
𝑡0,05
2
;14
= 2,145
𝑡14
Dimensionamento da amostra (proporção)
E se p também for desconhecido?
Devido à crise econômica nacional, determinado banco deseja conhecer
a atual taxa de inadimplência entre o número de clientes de suas filiais
que solicitaram algum tipo de crédito. Com base na taxa do mês passado,
que foi de 14%, calcule o tamanho da amostra que deverá ser coletada
para estimar, com 95% de confiança, a proporção de clientes
inadimplentes do mês atual, com uma margem de erro de 2,5%.
Exemplo –Questão de prova (2018/1) 
Estimativas:
𝑝 = 0,14
𝑑 = 2,5% = 0,025
𝑧0,05
2
= 1,96
𝑛 =
1,962 ∗ 0,1204
0,0252
𝑛 = 740,0458 ≅ 741
Um atuário está interessado em estimar a proporção dos moradores
de Charitas interessadas em contratar um plano de seguros para seu
animal doméstico (pet). Estime quantos moradores, que possuem
pet, devem ser entrevistados a fim de estimar um intervalo de 99%
confiança para a proporção de interessados em contratar o seguro
assumindo uma margem de erro de 5%.
Exercício proposto
Resolução
𝑛 =
2,5752 ∗ 0,25
0,052
𝑛 = 663,0625 ≅ 664
Estimativas:
Como não temos estimativas de p, assumimos
𝑑 = 5% = 0,05 𝑧0,01
2
= 2,575
Exercícios propostos:
Lista 1: 4, 7, 16, 19.
Lista 1.2: III, IV, V, VI, XI, XV.
Aula 5
	Slide 1: Métodos estatísticos aplicados à atuária II
	Slide 2: Intervalo de confiança para a proporção (Pi)
	Slide 3: Distribuição amostral da proporção (p)
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6: Dimensionamento da amostra
	Slide 7
	Slide 8: Dimensionamento da amostra (média)
	Slide 9: Se a variância populacional for desconhecida
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14: Dimensionamento da amostra (proporção)
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18: Aula 5