GAAL Transformacoes Lineares introdução

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Transformação LinearTransformação Linear
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Aulas/apostila.htmAulas/apostila.htm
Transformação LinearTransformação Linear
• Funções lineares descrevem o tipo mais 
simples de dependência entre variáveis.
• Exemplo 1 • Exemplo 1 
Se de um quilograma de soja são extraídos 0,2 
litros de óleo, de uma produção de x kg de soja, 
seriam extraídos 0,2 x litros de óleo. 
Q(s) = 0,2 s 
Q = quantidade em litros de óleo de soja e s = quantidade em kg de soja.
Transformação LinearTransformação Linear
Podemos alisar neste exemplo simples duas características 
importantes:
• Para calcular a produção de óleo fornecida por (s1 + s2) kg 
de soja, podemos tanto multiplicar (s1 + s2) pelo fator de de soja, podemos tanto multiplicar (s1 + s2) pelo fator de 
rendimento 0,2, como calcular as produções de óleo de 
cada uma das quantidades s1 e s2 e somá-las.
• Se a quantidade de soja for multiplicada por um fator k, a 
produção de óleo será multiplicada por este mesmo fator.
Transformação LinearTransformação Linear
• Estas duas propriedades servirão para caracterizar o que 
denominaremos “transformação linear”.
• Exemplo 2
Transformação LinearTransformação Linear
• A quantidade total de óleo produzida por x kg de soja, y kg 
de milho, z kg de algodão e w kg de amendoim é dada por 
Q = 0,2 x + 0,06 y + 0,13 z + 0,32 w.
• A quantidade de óleo pode ser dada pela multiplicação da • A quantidade de óleo pode ser dada pela multiplicação da 
“matriz rendimento” pelo vetor quantidade.
Transformação LinearTransformação Linear
Transformação LinearTransformação Linear
Definição: Sejam dois espaços 
vetoriais reais. Uma função T (ou aplicação) 
é denominada Transformação Linear de 
se:
eU V
emU V se:emU V
a) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,T u u T u T u u u+ = + ∀ ∈U
b) ( ) ( )1 1 1, ,T u T u uα α α= ∀ ∈ ∀ ∈R U
Obs: Se então a transformação 
linear é chamada de Operador Linear.
=U V
ExemploExemplo
definida por T(x) = 3 x:T →R R
T(u+v) = T(x1 + x2) 
= 3 (x1 + x2) 
= 3x1 + 3x2 
= T(u) + T(v)
ExemploExemplo
T(α u) = T(α x1) 
= 3 (α x1) 
= 3 α x1
= α (3 x1) 
= α T(u)
Mais ExemplosMais Exemplos ...
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Contra Contra –– Exemplo (1)Exemplo (1)
definida por T(x) = 3 x + 1:T →R R
T(u+v) = T(x1 + x2) = 3 (x1 + x2) + 1 = T(u+v) = T(x1 + x2) = 3 (x1 + x2) + 1 = 
3x1 + 3x2 + 1 ≠
T(u) + T(v) = T(x1)+T(x2) = 3x1 +1 + 3x2 +1 
= 3 x1 + 3 x2 + 2
Contra Contra –– Exemplo (2)Exemplo (2)
Algumas PropriedadesAlgumas Propriedades
Sejam dois espaços vetoriais reais e 
uma transformação linear entre eles. 
Então:Então:
P1) ( )0 0T =
P2) ( ) ( ) ,T u T u u− = − ∀ ∈U
P3) ( ) ( ) ( ) , ,T u v T u T v u v− = − ∀ ∈U
PropriedadesPropriedades
P4) ( )
1 1
n n
i i i i
i i
T u T uα α
= =
 
= 
 
∑ ∑
PropriedadesPropriedades
P5) Sejam e espaços vetoriais reais
e uma base de .
Dados vetores arbitrários de ,
existe uma transformação linear tal que:
VU
U{ }1 2, ,..., nB u u u=
1 2, ,..., nv v v V
existe uma transformação linear tal que:
e
:T →U V
( )1 1 ,T u v= ( )2 2T u v= ( ),..., n nT u v=
NúcleoNúcleo
Definição: Dados dois espaços vetoriais
reais e uma transformação linear entre
eles, denomina-se Núcleo da
Transformação o subconjunto do domínioTransformação o subconjunto do domínio
da função dado por:
{ }ker( ) ( ) ( ) 0T N T u T u= = ∈ =U
ImagemImagem
Definição: Dados dois espaços vetoriais
reais e uma transformação linear entre
eles, denomina-se Imagem da
Transformação o subconjunto do contra-Transformação o subconjunto do contra-
domínio da função dado por:
{ }Im( ) onde ( )T v u T u v= ∈ ∃ ∈ =V U
Exemplo 1Exemplo 1
Exemplo 2Exemplo 2