3-limites65016

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Cálculo I - 1 
 
3. Limites e Continuidade 
 
1 Conceitos 
 
No cálculo de limites, estamos interessados em saber como uma função se 
comporta quando a variável independente se aproxima de um determinado 
valor. 
 
Em outras palavras, queremos saber quais são os valores , da imagem da 
função dada pela equação ( ), quando a variável independente se 
aproxima de um determinado valor independente da função estar ou não 
definida em , ou seja, ( ) pode ou não existir. Assim, dizemos que 
queremos determinar o valor do limite de ( ) quando tende a ( ) e 
escreve-se: 
 
 
 
 ( ) 
 
Podemos analisar o comportamento da função quando a variável 
independente se aproxima do valor desejado , atribuindo valores sempre 
menores do que (aproximação pela esquerda de ) ou atribuindo valores 
sempre maiores do que (aproximação pela direita de ). Dizemos nestas 
análises que queremos determinar os limites laterais da função ( ) quando 
 tende a pela esquerda ou pela direita, respectivamente, e escreve-se: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
Se tanto pela direita quanto pela esquerda, os valores da imagem da função 
 ( ) tenderem a um mesmo número , isto é ( ) , dizemos que 
o limite da função, quando existe e é igual a e usamos a notação: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Observe que para o cálculo do limite da função quando não há 
necessidade de saber o valor da função em 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Teorema 
O limite da função ( ) quando se aproxima de um determinado 
valor a existe e é igual a se, e somente se, os limites laterais 
existirem e forem iguais, isto é, 
 
 
 ( ) se, e somente se, 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
consequentemente 
 
 
Cálculo I - 2 
 
Exemplo 1: 
 
Seja a função ( ) queremos determinar ( ) 
 
Tabela de aproximações: 
As tabelas de aproximações são utilizadas para determinar o valor da 
imagem de uma função quando a variável independente se aproxima de um 
determinado valor. 
 
Limite Lateral à esquerda 
Podemos nos aproximar de 1 atribuindo a valores próximos de 1, porém 
menores do que 1, ou seja, uma aproximação pela esquerda. 
 
x 0,5 0,7 0,9 0,99 0,999 
 ( ) 1,5 1,7 1,9 1,99 1,999 
 
Parece que a função se aproxima do número real 2 quando . Ou seja, 
o limite de ( ) quando tende a 1 pela esquerda parece ser 2. 
 
Limite Lateral à direita 
Podemos nos aproximar de 1 atribuindo a valores próximos de 1, porém 
maiores do que 1, ou seja, uma aproximação pela direita. 
 
x 3 2,5 1,1 1,01 1,001 
 ( ) 4 3,5 2,1 2,01 2,001 
 
Parece que a função se aproxima do número real 2 quando . Ou seja, 
o limite de ( ) quando tende a 1 pela esquerda parece ser 2. 
Utilizo a palavra “parece”, pois apenas alguns pontos foram analisados. 
 
Quando , tanto pela direita quanto pela esquerda, a imagem da função 
tende a um mesmo valor real igual a 2, isto é, ( ) . Nestas condições 
podemos dizer que o limite de ( ) quando tende a 1 é igual a 2. 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Observe que a função ( ) está definida em e que ( ) . 
Assim, o limite da função quando é igual ao valor da imagem da 
função em . Nestas condições podemos afirmar que a função é 
contínua em . 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) 
Continuidade da função em um ponto 
Se uma função ( ) é contínua em , então 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Cálculo I - 3 
 
Exemplo 2: 
 
Calcule ( ), sendo 
 ( ) 
 
 
 
 
Tabela de aproximações: 
 
Limite Lateral à esquerda 
 1 1,5 1,9 1,99 1,999 
 ( ) 5 6,5 7,7 7,97 7,997 
 
Parece que quanto mais nos aproximamos de 2 pela esquerda, mais 
próximo de 8 está a função. Ou seja, o limite de ( ) quando tende a 2 
pela esquerda parece ser 8. 
 
 
Limite Lateral à direita 
x 3 2,5 2,1 2,01 2,001 
 f(x) 11 9,5 8,3 8,03 8,003 
 
Parece que quanto mais nos aproximamos de 2 pela direita, mais próximo 
de 8 está a função. Ou seja, o limite de ( ) quando tende a 2 pela direita 
parece ser 8. 
 
Tanto pela direita quanto pela esquerda obtivemos o mesmo valor real 
para a imagem da função ( ), portanto, podemos dizer que o limite de 
 ( ) quando tende a 2 é igual a 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 lim
 2 
 ( ) = 8 
lim
 2+
 ( ) = 8 
Cálculo I - 4 
 
Vamos agora determinar o domínio da função ( ). Para que ( ) seja 
um número real, devemos ter , então: 
 ( ) 
Isto significa que a função não é definida em , ou seja, ( ) . 
 
Neste caso, o limite da função quando existe e é igual a 8, embora a 
função não esteja definida em . Assim, 
 
 
 ( ) ( ) 
Na representação gráfica desta função, indicamos o ponto ( ) por um 
ponto “aberto” isto causa um “buraco” no gráfico da função para ressaltar 
que ( ) não existe. Como ( ), a função não é contínua em 
 
Quando o limite de uma função existe quando e ( ) não existe, 
dizemos que a função possui uma descontinuidade removível em 
porque, se quisermos, podemos estabelecer um valor para ( ) de tal forma 
que a função se torne contínua em . 
 
No exemplo, a função seria contínua em se ( ) fosse igual ao valor 
 encontrado para o limite da função quando . Assim, a função 
seria contínua em se ela fosse redefinida como: 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) 
Descontinuidade removível 
Se uma função ( ) possui descontinuidade removível em , então 
 
 
OBS: A descontinuidade da função em poderá ser removida se a 
função for redefinida com a exigência: 
 
 
Cálculo I - 5 
 
Exemplo 3 
 
Calcule ( ), sendo 
 
 
 ( ) { 
 
 
 
 
 
Tabela de aproximações: 
Limite Lateral à esquerda 
Queremos que se aproxime de 2 por valores menores do que 2. De acordo 
com a definição da função , se a função é dada por ( ) . 
 
 1 1,5 1,9 1,99 1,999 
 ( ) 1 2,25 3,61 3,9601 3,996 
 
Parece que quanto mais nos aproximamos de 2 pela esquerda, mais 
próximo de 4 está o valor da função. Ou seja, o limite de ( ) quando 
 tende a 2 pela esquerda parece ser 4. 
 
Limite Lateral à esquerda 
Queremos que se aproxime de 2 por valores maiores do que 2. De acordo 
com a definição da função , se a função é dada por ( ) . 
 
 3 2,5 2,1 2,01 2,001 
 ( ) 7 6,5 6,1 6,01 6,001 
 
Parece que quanto mais nos aproximamos de 2 pela direita, mais próximo 
de 6 está o valor da função. Ou seja, o limite de ( ) quando tende a 2 
peladireita parece ser 6. 
 
Observe que obtivemos valores diferentes para a função quando nos 
aproximamos de 2 pela esquerda e pela direita. Ou seja, a imagem da 
função não tende a um único valor. O fato dos limites laterais serem 
diferentes significa que não existe o limite de quando tende a 2. 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Pela definição da função, ( ) , então o ponto pertence ao 
domínio da função, ou seja, está definida em e ( ) Mas o fato 
da função estar definida em não interfere na existência do limite. 
 
Observe que o gráfico da função apresenta um “salto” mostrando 
claramente a descontinuidade em . O fato do limite não existir faz com 
que esta descontinuidade não possa ser removida. Dizemos que a função 
possui uma descontinuidade essencial em . 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Cálculo I - 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
| ( ) | ( ) ( ) 
| | ( ) 
Definição de Limite: 
Seja uma função definida num intervalo aberto qualquer que 
contenha a, exceto possivelmente em a. O limite de ( ) quando 
tende a a é e denota-se 
Se dado um valor , existir em correspondência pela função um 
valor tal que sempre que | | se tenha | ( ) | . 
Noção Intuitiva de Limite: 
Se ( ) então podemos tornar os valores de ( ) 
tão próximo de quanto quisermos, bastando tomar valores de 
suficientemente próximos de , com 
 
Unicidade do Limite: 
A existência do limite da função quando não está relacionada 
com a existência da imagem da função ( ). 
 Se o limite de uma função num determinado ponto existe, então ele é 
único. 
Se 
 
 ( ) e 
 
 ( ) então 
 
 
 
 
 ( ) 
Descontinuidade essencial 
Se uma função ( ) possui descontinuidade essencial em , então 
 
 
Independente de ( ) existir ou não. 
 
Cálculo I - 7 
 
2- Técnicas para o cálculo dos Limites 
 
Propriedades: 
Se ( ) e ( ) existem, e é um número real qualquer, então: 
 ) 
 
 
 ) 
 
 
 ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ) 
 
 [ ( ) ( )] 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ) 
 
 [ ( ) ( )] 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ) 
 
 [ ( ) ( )] 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 ( ) 
 ) 
 
[ ( )] [ 
 
 ( )] ( ) 
 ) 
 
| ( )| | 
 
 ( )| 
 
Exemplos: 
Calcule os limites indicados e analise a continuidade da função 
 ) 
 
( ) ( ) 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 )
 
 ( ) ( ) 
 
Valor da função em . 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) 
Portanto a função é contínua em 
 
 
 
 
Cálculo I - 8 
 
 ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Como ( ) está definida em , podemos aplicar a Propriedade 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor da função em . 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
Portanto a função é contínua em 
 
 
 ) 
 
 ( ) ( ) {
 
 
 
 
 
 
Como a função é definida por equações diferente à direita e à esquerda de 
 , vamos calcular os limites laterais: 
 
Limite lateral à esquerda 
Para a função assume o valor ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Limite lateral à direita 
Para a função assume o valor ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( 
 
 )
 
 
 
 
 
Como os limites laterais são iguais a 8, podemos dizer que o limite existe e 
é igual a 8. 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Cálculo I - 9 
 
Valor da função em . 
Para a função assume o valor: ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Comparando os valores do limite da função quando e o valor da 
função em , temos: 
 
 
 ( ) ( ) 
Portanto a função é descontínua em , descontinuidade removível. 
Podemos dizer que o valor do limite seria o valor que a função deveria 
ter em para se tornar contínua. 
 
 
 ) 
 
 ( ) ( ) {
 
 
 
 
Como a função é definida por equações diferente à direita e à esquerda de 
 , vamos calcular os limites laterais: 
 
Limite lateral à esquerda 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
Limite lateral à direita 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Como os limites laterais são diferentes conclui-se que o limite da função 
quando não existe. 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Valor da função em . 
Para a função assume o valor: ( ) 
 ( ) 
Embora a função esteja definida em , pois ( ) , o limite da função 
quando não existe, portanto a função possui uma descontinuidade 
essencial (não removível) em 
 
 
 
Cálculo I - 10 
 
3- Indeterminação Matemática 
 
Muitas vezes, ao tentarmos utilizar as propriedades do cálculo dos limites, 
obtemos uma indeterminação matemática. 
 
Chamamos de indeterminação matemática as operações cujo resultado 
pode ser qualquer número real ou infinito. São indeterminações 
matemáticas as operações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcule o limite indicado: 
 
 
(
 
 
) 
( 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao tentarmos usar as propriedades de cálculo dos limites, obtemos uma 
indeterminação matemática do tipo 
 
Devemos observar que para ser uma função real devemos ter . 
Assim, não pertence ao domínio de , ou seja, a função não está 
definida em . Isto significa que é descontínua em , pois ( ) . 
Mas este fato não impede que o limite exista. 
 
Como calcular este limite, se não é possível utilizar a propriedade dos 
quocientes e o cálculo de ( ) 
 
 
 nos leva a uma indeterminação 
matemática? 
 
 
 
 
Indeterminação Matemática do Tipo 
 
 
 
Sempre que encontrarmos uma indeterminação do tipo 
 
 
 devemos 
simplificar a expressão da função envolvida utilizando fatoração e ou 
racionalização. Uma vez removida a indeterminação podemos utilizar as 
propriedades dos limites. 
 
Cálculo I -11 
 
Fatorando e simplificando a função ( ) do exemplo anterior temos: 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que quando calculamos o limite desta função sabemos que o 
denominador é um número próximo de zero, mas não igual a zero. Assim é 
possível fazer as simplificações. No caso do cálculo do valor de ( ) a 
simplificação não pode ser feita, pois se o denominador da função se 
anula, portanto, ( ) 
 
No exemplo temos: 
 
 ( ) e ( ) . A função é descontínua em , 
descontinuidade removível, pois o limite existe e é igual a 2. Assim, 
podemos dizer que se ( ) fosse igual a 2 a função seria contínua em . 
 
 
Exemplos: 
 
Calcule os limites indicados: 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
( )
 ( ) 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
 ( )
 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
( )( )
 
 
( )
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I - 12 
 
 ) 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
(√ )(√ )
( )(√ )
 
 
 
( )
( )( )(√ )
 
 
 
 
 
( )(√ )
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
( )( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
 ( )( )
 
 
( )( )( )
 ( )( )
 
 
 
( )( )
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
( )( )
 
 
( )
( )
 
 
 
 
 
 ) 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
( √ )( √ )
( )( )( √ )
 
 
 
 ( )
( )( )( √ )
 
 
( )
 ( )( )( √ )
 
 
 
 
 ( )( √ )
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I - 13 
 
4- Limites Laterais Infinitos 
Vamos analisar a função ( ) 
 
 
 e sua continuidade em . 
Sabemos que não pertence ao domínio de , assim ( ) 
 
 
 , logo a 
função é descontínua em Sabemos também que este fato não impede 
que o limite da função quando tende a zero exista. 
 
Utilizando as tabelas de aproximações, vamos calcular 
 
 
 
 
 
Tabela de aproximações: 
Limite lateral à esquerda 
 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 
 ( ) -10 -100 -1000 -10000 -100000 
 
Observamos que à medida que nos aproximamos de 0 pela esquerda a 
função decresce indefinidamente. 
 
 
 
Limite lateral à direita 
 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 
 ( ) 10 100 1000 10000 100000 
 
Observamos que à medida que nos aproximamos de 0 pela direita a função 
cresce indefinidamente. 
 
 
 
OBS: e não são números reais, apenas indicam um número muito 
pequeno e um número muito grande, respectivamente. 
 
Para determinar se existe o limite da função quando devemos 
comparar os limites laterais à esquerda e à direita. 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
Observe que a função jamais toca a reta vertical , pois ( ). Esta 
reta é chamada assíntota vertical. 
 ( ) Limite lateral infinito 
 ( ) Limite lateral infinito 
 
 
 ( ) ( ) 
Como o limite não existe em termos 
reais a função possui uma 
descontinuidade essencial em . 
Cálculo I - 14 
 
 
 
 
 
 
 
Limites laterais infinitos Gráfico 
1) O limite de ( ) quando tende a 
pela direita cresce indefinidamente 
 
 
 ( ) 
 
 
2) O limite de ( ) quando tende a 
pela esquerda cresce indefinidamente 
 
 
 ( ) 
 
 
3) O limite de ( ) quando tende a 
pela direita decresce indefinidamente 
 
 
 ( ) 
 
 
4) O limite de ( ) quando tende a 
pela esquerda decresce 
indefinidamente 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Assíntota Vertical 
 
Seja uma função descontínua em , ou seja, ( ) 
Chama-se assíntota vertical a reta se pelo menos um dos 
limites laterais é infinito. Ou seja, pelo menos uma das situações é 
satisfeita: 
 
 
Assíntota 
 
Dizemos que uma reta é assíntota de uma curva quando um ponto ao 
mover-se ao longo da curva se aproxima desta reta. Ou seja, a 
distância de um ponto da curva a essa reta tende para zero quando o 
ponto se afasta ao infinito sobre a curva. 
a 
a 
a 
a 
Cálculo I - 15 
 
 
 
 
5- Técnicas para o Cálculo dos Limites Laterais Infinitos 
 
Vimos que se uma função ( ) é descontínua em e ( ) 
 
 
 
então ao nos aproximarmos de pela direita e/ou pela esquerda a função 
cresce e/ou descresce indefinidamente ( ) e que a reta é chamada 
de assíntota vertical. 
 
Assim, ao tentarmos substituir por na expressão de ( ) obteremos 
limites do tipo. 
 
 
 
 
 
Embora não exista limite finito (número real) para a função, a função 
poderá ter um comportamento único de crescer ou decrescer 
indefinidamente quando , ou seja, poderá ter limite infinito. 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Limites do tipo 
 
 
 com 
Quando nos depararmos com um limite do tipo ( ) 
 
 
 
sabemos que a função cresce ou decresce indefinidamente quando se 
aproxima de , ou pela direita ou pela esquerda. Devemos então fazer 
a análise dos sinais dos limites laterais infinitos, compará-los e 
verificar se há limite infinito. 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Dizer que ( ) (não existe nem finito nem infinito) significa que 
Dizer que ( ) (cresce indefinidamente) significa que 
Dizer que ( ) (decresce indefinidamente) significa que 
 
Cálculo I - 16 
 
Exemplos: 
 
Calcule os limites indicados e determine as equações das assíntotas 
verticais caso existam. 
 ) 
 
 
( ) 
 
Desejamoscalcular o limite da função ( ) 
 
( ) 
 quando ,ou seja 
Se tentarmos uma substituição direta teremos: 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
Sabemos que é impossível dividir um número real por zero, mas como 
estamos calculando o limite da função o valor atribuído para está próximo 
de 2, mas não é 2. Portanto o denominador está próximo de zero, mas não 
é zero. O resultado da divisão de um número real por um número próximo 
de zero será um número muito grande (+ ) ou um número muito pequeno 
( ). Precisamos então fazer a análise de sinal dos limites laterais. 
 
Limite lateral à esquerda 
Imagine um número muito próximo de 2, porém menor do que 2, por 
exemplo 1,99. Substituindo este valor na função observamos que 
denominador também será positivo. Como o numerador é um número 
positivo, a divisão de dois números positivos terá sinal positivo. Então: 
 
 
 
( ) 
 
 ( ) 
 ( )
 
Limite lateral à direita 
Imagine um número muito próximo de 2, porém maior do que 2, por 
exemplo 2,01. Substituindo este valor na função observamos que o 
denominador será positivo. Como o numerador é um número positivo, a 
divisão de dois números positivos terá sinal positivo. Então: 
 
 
 
( ) 
 
 ( ) 
 ( )
 
Tanto pela direita quanto pela esquerda, a função cresce indefinidamente 
quando Dizemos então que existe limite infinito quando . 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
Devemos lembrar que se ( ) e que se pelo menos um dos limites 
laterais for infinito, a reta é assíntota vertical. 
 
Cálculo I - 17 
 
 
 ) 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
( ) 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
( ) 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
O limite decresce indefinidamente. é assíntota vertical 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assíntota vertical: 
 
 
 ) 
 
 
 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
| |
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
| |
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Assíntota vertical: 
 
 ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
Não tem assíntota vertical, pois o limite é 
finito. 
 
 
 
 
Cálculo I - 18 
 
 ) 
√ 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
√ 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Assíntota vertical: 
 
6 – Limites no Infinito 
Estamos interessados em saber o comportamento de uma função quando a 
variável independente cresce ou decresce indefinidamente, ou seja, 
quando ou , respectivamente. 
 
Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 
 
quando a função 
cresce indefinidamente. 
 
 
 
 ( ) 
 
quando a função 
decresce indefinidamente 
 
 
 
 ( ) 
 
quando a função 
decresce indefinidamente. 
 
 
 
 ( ) 
 
quando a função 
decresce indefinidamente 
 
 
 
 ( ) 
 
quando a função 
cresce indefinidamente. 
 
 
 ( ) 
quando a função se 
aproxima de um valor real 
 
 
 
 ( ) 
A reta é chamada de 
assíntota horizontal 
 
 
 
 
 
 ( ) ⁄ 
 
 ( ) 
Assíntota Horizontal 
Uma função dada pela equação ( ) tem assíntotas horizontais 
 e/ou quando 
OBS: Uma função pode apresentar assíntotas horizontais diferentes 
( ) ou apresentar somente uma das assíntotas horizontais. 
Cálculo I - 19 
 
7- Técnicas para o Cálculo dos Limites no Infinito 
 
Multiplicação por um número real positivo ( ) 
( ) ( ) 
 
Multiplicação por um número real negativo ( ) 
( ) ( ) 
 
Multiplicação entre infinitos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Soma ou subtração com um número real ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Soma entre infinitos 
( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Potência , onde é um número natural diferente de zero ( ) 
( ) ( ) {
 
 
 
 
Divisão de um número real por infinito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Indeterminações matemáticas 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
Indeterminações matemáticas dos tipos 
 
 
 
 
Sempre que encontrarmos estas indeterminações em funções 
polinomiais, devemos colocar em evidência o maior grau do polinômio 
tanto do numerador quanto do denominador, fazer as simplificações e 
calcular o limite. 
Cálculo I - 20 
 
 
 
 
Exemplos: 
Calcular os limites indicados e determine a equação da assíntota horizontal 
(A.H.) caso exista. 
 ) 
 
( ) 
 
 
 
 ( 
 
 )
 
 ( 
 
 )
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 ) 
 
( ) 
 
 
 
 ( 
 
 )
 
 ( 
 
 ) 
 ( ) ( ) 
 
 
 ) 
 
( ) ( ) ( ) 
 
 
( ) 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 ( ) ( 
 
 
) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( 
 
 
)
 
 
( )
( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Indeterminações matemáticas dos tipos ( ) 
 
Sempre que encontrarmos esta indeterminação, devemos transformá-
la uma indeterminação do tipo 
 
 
 ou do tipo 
 
 
 e aplicar as técnicas 
correspondentes. 
 
Cálculo I - 21 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 ( 
 
 )
 
 
 ( 
 
 
)
( 
 
 )
 
 
( ) ( )
( )
 
 
 ) 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 ( )√ ( 
 
 
)
 
 
 
 ( )
√ 
 √( 
 
 
)
 
 
 
 
 ( )
 √( )
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 ( 
 
 
)
 
 
 
 ( 
 
 
)
( 
 
 
)
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 ( 
 
 
)
 
 
( 
 
 
)
( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 ( 
 
 
 
 
 
)
 
( )
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 )
 (
 
 
 
 
 
 )
 
 
(
 
 
 )
 (
 
 
 
 
 
 )
 
 
 
 ( )
 
 
Cálculo I - 22 
 
 
8- Técnicas para Determinar as Assíntotas Horizontais e Verticais 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções indicadas e 
esboce o gráfico da função próximo de suas assíntotas: 
 ) ( ) 
 
 
 
 
Assíntotas Horizontais 
 
Para saber se a função tem assíntotas horizontais, é preciso analisar o 
comportamento da função quando a variável independente assume valores 
muito grandes ou muito pequenos (limites no infinito). 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 ( 
 
 
)
 
 
 
( 
 
 
)
 ( 
 
 
)
 
 
( ) ( )
 
 
 
 
A reta é assíntota horizontal quando 
 
 
 
 ( ) ⁄ 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Existência das Assíntotas Horizontais e Verticais 
 
Uma função dada pela equação ( ) tem assíntotas horizontais 
 e/ou quando 
Técnica: Calcular os limites no infinito. 
 
Uma função dada pela equação ( ) tem assíntota vertical de 
equação , quando 
Técnica: procurar os pontos de descontinuidade da função e calcular 
os limites laterais. 
 
Cálculo I - 23 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 ( 
 
 
)
 
 
( 
 
 
)
 ( 
 
 
)
 
 
( ) ( )
 
 
 
 
A reta é assíntota horizontal quando 
 
Assíntotas Verticais 
 
Sabemos que para uma reta de equação ( ) ser uma assíntota 
vertical da curva da função , pelo menos um dos limites laterais da função 
quando deve ser infinito, consequentemente, ( ), ou seja, a função 
não está definida em . 
 
Vamos inicialmente encontrar os valores de que não pertencem ao 
domínio da função. 
A função ( ) 
 
 
 não terá imagem real se: 
 
 ( ) 
 
 
 √ 
 
 
 
A função pode ter assíntota quando e/ou quando mas para a 
reta ser assíntota vertical também devemos ter uma das condições: 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Primeira candidata à assíntota vertical: 
 
Analisando os limites laterais da função quando 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 ( ) 
Basta um limite lateral ser infinito para afirmar que a reta é 
assíntota vertical. 
 
Com o objetivo de esboçar o gráfico da função, vamos calcular o limite 
lateral à direita e verificar a existência do limite da função quando . 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
Como os limites laterais são diferentes, dizemos que não possui limite 
finito nem infinito quando . 
Cálculo I - 24 
 
 
Segunda candidata à assíntota vertical: 
 
Analisando os limites laterais da função quando 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) ( )
 
 
 
Basta apenas um limite lateral ser infinito para afirma que a reta 
 é assíntota vertical. 
 
 
 
 
 ) ( ) 
 
√ 
 
 
Assíntotas Horizontais 
 
A função terá assíntota horizontal quando os limites no infinito forem 
números finitos. 
 
Cálculo do limite infinito quando 
 
 
 
√ 
 
 
√ ( 
 
 
)
 
 
 
 
√ 
 
 √( 
 
 
)
 
 
 
 
 
| | √( 
 
 
)
 
 
 
 
| | 
 
 
 
 √( 
 
 
)
 
 
 
 
| | 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
( ) ( ) 
 
A reta é assíntota horizontal quando 
 
 
 
Cálculo I - 25 
 
Cálculo do limite infinito quando 
 
 
 
√ 
 
 
√ ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
√ 
 
 √( 
 
 
)
 
 
 
 
| | 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assíntotas Verticais 
 
Para ter assíntota vertical de equação a função não pode estar definida 
em , ou seja, ( ) Devemos então verificar o domínio da função 
para identificar as possíveis “candidatas” à assíntota vertical. 
 
Candidatas à assíntota vertical 
 
A função ( ) 
 
√ 
 não terá imagem real se: 
 
 
 
 
Observe que a inequação nunca será satisfeita, portanto a função 
terá imagem real, qualquer que seja . 
 
 ( ) 
 
A função é definida em todo o seu domínio, portanto não existe 
 | ( ) , consequentemente, não existe assíntota vertical. 
 
 
 
Cálculo I - 26 
 
9- Continuidade de Funções 
 
Uma função é continua em um ponto de seu domínio, , se: 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Dizer que 
 
 ( ) , significa que 
 
 ( ) 
 
 ( ) . 
Dizer que ( ) significa que está definida em e seu valor é . 
 
Tipos de descontinuidades 
 
a) Descontinuidade removível em 
Quando existir 
 
 ( ) , e não existir ( ), a função 
apresenta uma descontinuidade removível, pois seria o valor que 
 ( ) deveria ter para que a função fosse continua em . 
 
b) Descontinuidade essencial em (não removível) 
Quando o limite da função quando não existe ( 
 
 ( ) ) ou 
não é um número real ( 
 
 ( ) ) a função apresenta uma 
descontinuidade não removível, independente da funçãoestar ou não 
definida em . O gráfico da função apresentará um “salto” ou uma 
assíntota vertical. 
 
Dizer que uma função é contínua em um intervalo significa que ela é 
contínua em todos os números deste intervalo. 
 
Exemplos de funções contínuas em todos os pontos de seu domínio. 
i) Polinômios 
ii) Seno e co-seno 
iii) Exponencial 
iv) Logarítmica. 
v) Racional 
 
Cálculo I - 27 
 
Exemplos 
I) Verifique a continuidade das funções abaixo nos pontos indicados. 
Classifique o tipo de descontinuidade caso exista. 
 
 ) ( ) { 
 
 
 em x=0 
Análise da continuidade em 
a) Cálculo do limite da função quando . 
Quando pela esquerda tem-se ( ) . Quando pela direita 
 ( ) . Então: 
 
 
( ) ( ) 
 
 
( ) 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
b) Cálculo do valor da função em 
Quando tem-se ( ) . Então: 
 ( ) 
Conclusão: 
Como não existe ( ) a função possui uma descontinuidade 
essencial em , apesar de estar definida em , pois ( ) 
 
 ) ( ) {
 
 
 
 em x=0 e em x=2 
 
Análise da continuidade em 
a) Cálculo do limite da função quando . 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Cálculo I - 28 
 
b) Cálculo do valor da função em 
 ( ) ( ) 
Conclusão: 
 
 
 ( ) ( ) 
Função continua em . 
 
Análise da continuidade em 
a) Cálculo do limite da função quando 
 
 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
b) Cálculo do valor da função em 
 ( ) ( ) 
Conclusão: 
Como não existe ( ) a função possui uma descontinuidade 
essencial em , apesar de estar definida em . 
 
 ) ( ) {
 
 
 em x=1 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Quando a função assume o valor ( ) , então 
 ( ) 
 
Conclusão: 
Como não existe o limite da função quando a função apresenta 
uma descontinuidade essencial em , apesar de ( ) existir. 
 
 
Cálculo I - 29 
 
II) Determine se possível o valor de de modo que as funções 
sejam contínuas nos pontos indicados 
 
 ) ( ) { 
 
 
 em t=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
Para a função ser contínua em devemos ter 
 ( ) 
 
 ( ) 
Mas ( ) e ( ) , então 
 
 
 ) ( ) {
 
 
 
 em 
 
 
 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Para a função ser contínua em devemos ter 
 ( ) 
 
 ( ) 
Mas ( ) e ( ) então 
 
 
 
 
 
Cálculo I - 30 
 
10 – Limites Fundamentais 
 
 
Limite Fundamental Trigonométrico 
 
O limite fundamental trigonométrico trata de um limite cuja indeterminação 
é do tipo 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
Calcule os limites indicados 
 
 ) 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 ) 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 
 
( ( ))
( ( )
 
 
 ( )
 ( ( ))
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
( ( ))
 ( 
 
 ( )
 
)
 
 
 
(
 
 ( )
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 ( ) 
 
 
 ( )
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 
 
 
 ( 
 
 ( )
 
 
 
 
 ( )
) 
 
 
( ) 
 
 ) 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
Cálculo I - 31 
 
Limite Fundamental Exponencial 
 
 
O limite fundamental exponencial trata de um limite cuja indeterminação é 
do tipo 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 é assíntota horizontal 
 
 
 
 
O número e é um número irracional e vale aproximadamente, 
e=2,7182818. 
Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função 
exponencial ( ) é considerada uma das funções mais importantes da 
matemática. 
 
Exemplos: 
 
Calcule os limites indicados 
 
 ) 
 
( 
 
 
)
 
 [ 
 
( 
 
 
)]
 
 
 
 ) 
 
( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
)
 
 [ 
 
( 
 
 
)
 
]
 
 
 
 ) 
 
(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
[
 ( 
 
 )
 ( 
 
 )
]
 
 
[ 
 
( 
 
 )
 
]
 
[ 
 
( 
 
 )
 
]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ 
 
( 
 
 )
 
]
 
[ 
 
( 
 
 )
 
]
 
 
 
 
 
-1 
1 
Cálculo I - 32 
 
 ) 
 
( 
 
 
)
 
 
 
 
[ ( 
 
 
)]
 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
( 
 
 
)
 
 
 
 
 
Consequências do Limite Fundamental Exponencial 
 
 ) 
 
( )
 
 
 
Prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo: 
 
 
( )
 
 
 
( 
 
 
)
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 ( ) 
 
Prova: 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 ( )
 
 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 ( )
 ( )
 
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 ( ) 
 
 ( 
( ))( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( )
 ( 
 
( )
 
 )
 
 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 
 ( ) 
Cálculo I - 33 
 
Exemplos: 
 
Calcule os limites indicados 
 
 ) 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
( ) [ 
 
( )
 
 ]
 
 
 
 
 ) 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
(
( )( )
( )
)
 
 
 [ 
 
( )
 
 ]
 
 
 
 
 ) 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 
 
 
( )
 
 [ 
 
( )
 
 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
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