Matemática Financeira

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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Fundamentos da Matemática Financeira 
Objetivo da Matemática Financeira e Elementos 
da Operação de Juros
Objetivo da Aula
Compreender a importância da matemática financeira, bem como o valor do dinheiro 
e o que influencia os juros ao longo tempo.
Apresentação
Bem-vindo(a) à primeira aula de matemática financeira!
Nesta aula, abordaremos o objetivo da matemática financeira, os conceitos introdutórios 
essenciais e os elementos fundamentais das operações de juros.
Para começar, vamos explorar alguns conceitos básicos. O capital, ou principal, é o ponto 
de partida de qualquer transação financeira – é o dinheiro que investimos ou emprestamos 
por um determinado período de tempo, sujeito a certas condições de retorno. E o juro? 
Bem, o juro é como uma recompensa que recebemos por investir nosso dinheiro ou o custo 
que pagamos por pegar emprestado. Vamos entender a diferença entre juros e a taxa de 
juros, bem como aplicá-los em um tempo determinado.
Também vamos desvendar alguns dos fatores que determinam a existência dos juros, 
como a inflação, o risco e a oportunidade.
Bons estudos!
1. Para que Estudar Matemática Financeira?
Em vários momentos da nossa vida, temos decisões financeiras a tomar, decisões que 
vão desde relações comerciais corriqueiras de compra e venda, até análise e viabilidade 
de um investimento, ou ainda, um empréstimo para algo importante, um financiamento 
para aquisição de um bem, entre outras. Estudar matemática financeira proporciona o 
conhecimento das ferramentas necessárias para entender e comparar diferentes opções, 
a fim de fazer escolhas inteligentes, que permitam alcançar os objetivos financeiros.
Livro Eletrônico
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Você já pensou em como planejar suas finanças pessoais? Você sabe como economizar 
para a aposentadoria, comprar uma casa ou pagar pela educação dos filhos? Criar orçamentos 
realistas e entender como nosso dinheiro pode crescer ao longo do tempo é uma das 
importâncias de conhecer e aplicar a matemática financeira.
Caso você esteja pensando em empreender ou gerenciar negócios no futuro, esta disciplina 
proporcionará os fundamentos para administrar uma empresa do ponto de vista financeiro.
Em resumo, estudar matemática financeira não é apenas sobre números e equações, é sobre 
nos capacitar a tomar decisões inteligentes com nosso dinheiro, seja pessoal ou profissionalmente.
Não havendo alteração no valor da renda de uma pessoa ou na receita de uma 
empresa, o que ocorre com seu poder aquisitivo ao longo do tempo?
Analisar o valor do dinheiro com o passar do tempo é o ponto principal do estudo 
da matemática financeira, entendê-la é se apropriar do funcionamento das relações 
de compra e venda, prestações, juros, dívidas e todas as operações que envolvem 
dinheiro.
2. Conceitos Básicos
A matemática financeira possui algumas nomenclaturas próprias e, para seu entendimento, 
é importante conhecê-las. Veja:
• Capital é o valor monetário a investir, emprestar ou poupar. O capital também pode 
ser denominado principal ou valor presente;
• Montante é o valor monetário obtido ao final de uma operação financeira, referindo-se 
ao capital acrescido dos juros após um determinado período de tempo. O montante 
também pode ser denominado valor futuro;
• Tempo, prazo ou período refere-se ao prazo da operação em uma unidade de tempo, 
ou seja, dias, meses, anos, entre outras;
• Juro é a remuneração do capital. Podemos compreendê-lo como o ganho financeiro 
ao realizar um investimento, ou como custo ao tomar um valor emprestado;
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• Taxa de juros é a razão entre o valor dos juros de um determinado período de tempo 
e o capital investido ou emprestado. Ela é representada pelo coeficiente de remune-
ração e a unidade de tempo.
Não podemos confundir juros e taxa de juros; o primeiro se refere a um valor monetário, 
enquanto o segundo pode ser representado na forma percentual ou decimal (unitária).
Na situação em que uma pessoa aplica R$ 5.000,00 reais e, após um ano, recebe o 
valor total de R$ 5.650,00, temos:
Capital: R$ 5.000,00 que foi o valor investido;
Montante: R$ 5.650,00 que equivale aos R$ 5.000,00 investidos, acrescido de R$ 
650,00;
Juros: R$ 650,00 obtido pela diferença entre o montante e o capital;
Tempo: 1 ano;
Taxa de juros: pela definição, a taxa de juros é obtida pela razão entre os juros e o 
capital. Assim:
Dividindo R$ 650,00 por R$ 5.000,00, obtemos 0,13 que, na forma percentual, 
equivale a 13%. No entanto, a representação da taxa de juros fica completa quando 
vem acompanhada da unidade de tempo, que, na situação apresentada, equivale 
a 1 ano. Assim, a taxa de juros é 13% ao ano.
Na situação apresentada, vimos a representação de uma taxa de juros de 13% ao ano. 
A unidade de medida ao ano pode ser simplificada apenas pela abreviação a.a.
Assim como as representações mais comuns são:
• a.d. – taxa ao dia;
• a.m. – taxa ao mês;
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• a.b. – taxa ao bimestre;
• a.t. – taxa ao trimestre;
• a.s. – taxa ao semestre.
A forma percentual é a forma mais comum da taxa se apresentar, no entanto, para 
realizar os cálculos financeiros, usamos a forma fracionária ou decimal, conhecida por taxa 
unitária. Observe a tabela:
Tabela 1: Representações da taxa
Taxa 
percentual
Forma 
fracionária
Taxa unitária
26% 0,26
5,3% 0,053
12,47% 0,1247
0,5% 0,005
Fonte: Elaboração própria (2024).
Exemplificando:
Tomando como base um capital de R$ 10 000,00, temos:
Tabela 2: Cálculo de juros e montante no período determinado pela taxa
Taxa de juros Juros (taxa unitária ∙ capital) Montante (capital + juros)
0,1% 𝑎. 𝑑. 0,001·10000 =10 reais de juros em um dia R$ 10010,00
1,5 𝑎. 𝑚. 0,015·10000 = 150 reais de juros em um mês R$ 10150,00
2% 𝑎. 𝑏. 0,02·10000 =200 reais de juros em um bimestre R$ 10200,00
2,5% 𝑎. 𝑡. 0,025·10000 = 250 reais de juros em um trimestre R$ 10250,00
4% 𝑎. 𝑠. 0,04·10000 = 400 reais de juros em um semestre R$ 10400,00
12% 𝑎. 𝑎. 0,12·10000 =1200 reais de juros em um ano R$ 11200,00
Fonte: Elaboração própria (2024).
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Na tabela 2, podemos observar o juro e o montante calculado para o período dado pela 
taxa. Ou seja, para a taxa diária, foi calculado o juro e o montante do primeiro mês, para a 
taxa mensal, o juro e o montante do primeiro mês, e assim sucessivamente. Para período 
de tempos maiores, precisaremos saber se os juros serão fixos ou acumulados.
Adotaremos siglas para representar os elementos vistos até o momento:
• Capital será representado por PV, do inglês present value, valor presente;
• Montante será representado por FV, do inglês future value, valor futuro;
• Juros será representado por J;
• Taxa de juros (unitária) será representada por i, do inglês interest rate, traduzido 
como taxa de juros;
• Tempo, prazo ou período será representada por n, do inglês number, ou seja, número 
de períodosgera um crescimento exponencial, impulsionado pelo 
efeito dos juros sobre o valor atualizado. Este último se mostra especialmente vantajoso 
quando se trata de investimentos em prazos mais longos e taxas de juros mais elevadas, 
como evidenciado nas simulações apresentadas. No entanto, em períodos muito curtos ou 
em situações específicas, como em empréstimos de curto prazo, a capitalização simples 
ainda pode ser mais rentável ao operador financeiro. Em última análise, a escolha entre os 
dois regimes depende das circunstâncias individuais do investidor e dos objetivos financeiros 
a serem alcançados. Entender as nuances de cada regime é essencial para tomar decisões 
de investimento informadas e maximizar os retornos financeiros a longo prazo.
Bons estudos e vá além!
Material Complementar
 
HP-12C: cálculos e aplicações financeiras: exercícios interativos.
2009, Alberto Merchede, p. 1-41.
As páginas indicadas do livro mostram o funcionamento básico da calculadora HP 12C 
e também abordam a capitalização simples e composta. É interessante aprofundar que 
o uso desta calculadora permite a realização dos cálculos de forma precisa e rápida!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788522465637. 
Acesso em: 09 set. 2024.
Referências
NETO, A. A. Matemática Financeira – Edição Universitária. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 
2023. E-book. ISBN 9786559774432. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.
com.br/#/books/9786559774432/. Acesso em: 02 jun. 2024.
PUCCINI, A. de L. Matemática financeira. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2022. E-book. 
ISBN 9786587958064. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9786587958064/. Acesso em: 27 maio 2024.
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Capitalização Composta
Juros Compostos
Objetivo da Aula
Conceituar e aplicar juros compostos nas operações financeiras.
Apresentação
Bem-vindo(a)!
Nesta aula, abordaremos o regime de capitalização composta, que se trata de um 
método de acumulação de juros no qual os ganhos são calculados sobre o valor atualizado 
do período anterior, gerando um crescimento exponencial do investimento ao longo do 
tempo. Neste contexto, exploraremos os conceitos fundamentais da capitalização composta, 
suas aplicações práticas e a utilização da calculadora financeira HP12C como ferramenta 
facilitadora nos cálculos relacionados a esse regime de capitalização.
1. Capitalização Composta: Conceitos
Conceitualmente, Zot e Castro (2017) afirmam que os juros compostos são juros 
calculados com base no principal original acrescido dos juros anteriormente calculados.
Puccini (2022), analogamente, diz que, no regime de juros compostos, os juros de cada 
período são sempre calculados sobre o saldo devedor/credor do início dos respectivos 
períodos, que inclui os juros vencidos e não pagos.
Vamos observar na tabela 1 a evolução de uma aplicação, por seis meses, de R$ 10.000,00, 
à taxa de 10% a.m.
Tabela 1: Evolução de uma aplicação em regime de capitalização composta
Mês
Saldo no início de 
cada mês
Juros de cada mês
Saldo no final de 
cada mês
1 R$ 10.000,00 0,10 R$ 10.000,00 = R$ 1.000,00 R$ 11.000,00
2 R$ 11.000,00 0,10 R$ 11.000,00 = R$ 1.100,00 R$ 12.100,00
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Mês
Saldo no início de 
cada mês
Juros de cada mês
Saldo no final de 
cada mês
3 R$ 12.100,00 0,10 R$ 12.100,00 = R$ 1.210,00 R$ 13.310,00
4 R 13.310,00 0,10 R$ 13.310,00 = R$ 1.331,00 R$ 14.641,00
5 R$ 14.641,00 0,10 R$ 14.641,00 = R$ 1.464,10 R$ 16.105,10
6 R$ 16.105,00 0,10 R$ 16.105,10 = R$ 1.610,51 R$ 17.715,61
Total de juros R$ 7.715,61
Fonte: Elaboração própria (2024).
Já a figura 1 mostra a evolução de aplicações pela perspectiva da capitalização composta.
Figura 1: Evolução de uma aplicação em regime de capitalização composta
Fonte: Elaboração própria (2024).
O gráfico nos apresenta um crescimento exponencial, por isso, podemos chamar a 
capitalização composta de capitalização exponencial.
Na tabela 1, calculamos o montante somando o valor do juro ao saldo do início de cada 
mês, mas podemos obter o valor do montante da seguinte forma:
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Mês 1:
Mês 2:
Mês 3:
Mês 4:
Mês 5:
Mês 6:
Comparando aos dados iniciais, temos:
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2. Fórmula e Aplicações na Calculadora Financeira HP12C
Usando a simbologia adotada:
• Montante: FV;
• Capital: PV;
• Taxa unitária: i;
• Tempo: n.
Temos a fórmula que calcula o montante na capitalização composta:
Para calcular os Juros (J) na capitalização composta, fazemos a diferença entre o 
Montante e o Capital:
É importante ressaltar, assim como na capitalização simples, que a taxa e o tempo 
devem estar na mesma unidade, ou seja, para taxa ao dia, tempo em dias; para taxa mensal, 
tempo em meses; e assim sucessivamente.
Precisamos usar a fórmula de juros compostos de maneira adequada, então vamos 
aplicá-la em quatro situações distintas para que seu uso seja realizado da forma correta.
Situação 1:
Calcular o montante e os juros de uma aplicação de R$ 8.000,00, a uma taxa de 0,86% 
a.m., por 3 anos.
Dados da questão:
• PV = R$ 8.000,00;
• i = 0,86% a.m. = 0,0086;
• n = 3 anos = 36 meses;
• FV =?;
• J =?.
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Inicialmente, obtemos a taxa unitária, dividindo a taxa percentual por 100 e deixamos o 
tempo na mesma unidade da taxa. Agora, substituímos os dados na fórmula e calculamos FV:
Temos o montante, agora, subtraímos o capital para obter os juros da operação.
Assim, o montante e os juros são, respectivamente, R$ 10.888,62 e R$ 2.882,62.
Situação 2:
Calcular o capital a ser investido a uma taxa de 12% a.a. para que, daqui a 5 anos, se 
tenha o montante de R$ 50.000,00.
Dados da questão:
• FV = R$ 50.000,00;
• i = 12% a.a. = 0,12;
• n = 5 anos;
• PV =?.
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Inicialmente, obtemos a taxa unitária, dividindo a taxa percentual por 100 e, então, 
substituímos os dados na fórmula e calculamos PV:
Dessa forma, para construirmos o montante pretendido, devemos investir hoje R$ 
28.371,34.
As calculadoras científicas possuemteclas que calculam as potências, podendo 
ser , ou ^. Nas planilhas eletrônicas, como Excel ou Google Planilhas, se usa 
^ para calcular potências.
Situação 3:
Calcular a que taxa mensal deve-se investir R$ 25.000,00 para que, em 2 anos, se tenha 
um montante de R$ 38.000,00.
Dados da questão:
• FV = R$ 38.000,00;
• PV = R$ 25.000,00;
• n = 2 anos = 24 meses;
• i =?.
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Inicialmente, obtemos transformamos o tempo em meses, pois a questão pede taxa 
mensal e, então, substituímos os dados na fórmula e calculamos i:
Assim, a taxa mensal de investimento deve ser de 1,7599%.
Situação 4:
Calcular em quanto tempo, a uma taxa de 10% a.a., dobramos um capital de R$ 12.000,00
Dados da questão:
• PV = R$ 12.000,00;
• FV = R$ 24.000,00 (o dobro do capital);
• i = 10% a.a. = 0,1;
• n =?.
Substituindo na fórmula, temos:
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Para darmos continuidade no cálculo, usaremos o logaritmo natural (ln), mas pode ser usado 
logaritmo em qualquer base. Aplicaremos a propriedade da potência do logaritmo: .
Desse modo, o tempo necessário é 7,2725 anos ou 7 anos, 3 meses e 9 dias.
A calculadora financeira HP12C pode ser uma boa aliada na hora de efetuar cálculos 
no regime de capitalização composta. Observe as teclas a serem pressionadas para cada 
uma das situações anteriores:
Situação 1:
Quadro 1: Teclas a serem pressionadas em uma situação hipotética 1
Limpa os dados 
financeiros
Lança o valor presente 
negativo
A taxa lançada é a 
percentual
Lança o tempo na mesma 
unidade da taxa
Pressiona a tecla 
desejada que retornará o 
valor final
Subtrai 8000 para obter o 
valor dos juros
Fonte: Elaboração própria (2024).
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Situação 2:
Quadro 2: Teclas a serem pressionadas em uma situação hipotética 2
Limpa os dados 
financeiros
Lança o valor futuro 
negativo
A taxa lançada é a 
percentual
Lança o tempo na mesma 
unidade da taxa
Pressiona a tecla 
desejada que retornará o 
valor do capital
Fonte: Elaboração própria (2024).
Situação 3:
Quadro 3: Teclas a serem pressionadas em uma situação hipotética 3
Limpa os dados 
financeiros
Lança o valor futuro 
negativo
Lança o valor presente 
com sinal oposto do valor 
futuro
Lança o tempo na mesma 
unidade da taxa
Pressiona a tecla 
desejada que retornará o 
valor final
Fonte: Elaboração própria (2024).
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Situação 4:
Apenas nesta situação, a HP12C não retorna o tempo exato; ela calcula o número total de 
períodos aplicados. Assim, a resposta que surgirá na tela é 8 anos, pois a sua programação 
é feita da seguinte forma: excedeu a 7 anos, então, é necessário mais um período. Por isso, 
a resposta aparece como 8.
Quadro 4: Teclas a serem pressionadas em uma situação hipotética 4
Limpa os dados 
financeiros
Lança o valor futuro 
negativo
Lança o valor presente 
com sinal oposto do valor 
futuro
Lança o tempo na mesma 
unidade da taxa
Pressiona a tecla 
desejada que retornará o 
valor final
Fonte: Elaboração própria (2024).
Caso não queira o número de períodos, mas, sim, o tempo exato, terá que resolver como 
mostramos, usando a fórmula.
Vale ressaltar que a ordem da inserção dos dados na calculadora não é fixa, os passos 
são: limpeza, dados da questão e, por último, o que se pretende calcular.
Dados monetários sempre com sinais opostos, FV negativo, geram PV positivo e vice-
versa. A programação tem a ideia de entrada e saída de valor.
3. Exercícios Resolvidos
Chegou a hora de praticar! As questões a seguir possuem soluções detalhadas, no 
entanto, é interessante que tente resolvê-las e compare sua solução com a apresentada, 
assim, pode perceber se já compreendeu o conteúdo da aula.
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001. (FUNATEC/2024) Levando em consideração um regime de capitalização composto: se 
uma pessoa aplicar o capital de R$ 1.400.000,00 a uma taxa de 2,5% ao ano, qual será o 
valor dos juros correspondente a 5 anos de aplicação?
a) R$ 194.548,00.
b) R$ 202.458,10.
c) R$ 101.984,89.
d) R$ 183.971,50.
Primeiro, vamos destacar as informações importantes:
• Capital (PV): R$ 1.400.000,00;
• Taxa de juros: 2,5% a.m., logo, i = 0,025;
• Tempo de aplicação: n = 5 meses.
Os juros são:
Dessa forma, a alternativa correta é a letra d.
Letra d.
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002. (CESGRANRIO/2024) Para compor o capital de giro de sua empresa, um empresário 
tomou um empréstimo de R$ 100.000,00, em janeiro de 2024, a uma taxa de juro composto 
de 4% ao mês. Em março de 2024, após exatos 2 meses, efetuou o primeiro pagamento da 
dívida, pagando metade do saldo devedor. Em abril não efetuou qualquer pagamento, mas 
pretende quitar toda a dívida em maio de 2024, após exatos 4 meses.
Considerando-se esse fluxo de capitais, o valor mais próximo, em reais, do saldo devedor 
desse empréstimo, em maio de 2024, é de
a) 57.934,00.
b) 58.193,00.
c) 58.493,00.
d) 58.943,00.
e) 59.806,00.
Primeiro, vamos calcular a dívida em março de 2024, quando fará o primeiro pagamento:
• Capital (PV): R$ 100.000,00;
• Taxa de juros: 4% a.m., logo, i = 0,04;
• Tempo de aplicação: n = 2 meses.
Desse valor será pago a metade, ou seja, R$ 54.080,00. O restante seguirá com juros até maio, 
quando a dívida será liquidada.
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Assim, a alternativa correta é a letra c.
Letra c.
003. (AMAUC/2024) Tássio fez um investimento a juros compostos de 6% ao ano, por um 
período de 2 anos, tendo um rendimento de R$ 3.090,00. Quanto ele investiu?
a) Ele investiu R$ 22.250,00.
b) Ele investiu R$ 25.000,00.
c) Ele investiu R$ 27.600,00.
d) Ele investiu R$ 32.000,00.
e) Ele investiu R$ 35.300,00.
Primeiro, vamos destacar as informações importantes:
• Taxa mensal: 6%, logo, i = 0,06;
• Tempo de aplicação (n): 2 meses;
• Juros (J): R$ 3.090,00;
• FV = PV + 3090,00.
Precisamos calcular o capital (PV)aplicado. A taxa é mensal, mesma unidade que o tempo 
foi apresentado, então, não precisamos realizar conversões. Logo, substituiremos os dados 
na fórmula do Montante, referente a Juros Compostos:
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Chegamos ao capital de R$ 25.000,00. Assim, a alternativa correta é a letra b.
Letra b.
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, exploramos os princípios da capitalização composta, desde seu conceito 
fundamental até a aplicação prática em diversos contextos financeiros.
A compreensão dos princípios da capitalização composta é essencial para qualquer pessoa 
envolvida em investimentos financeiros, empréstimos ou financiamentos. A capacidade de 
calcular montantes, juros e prazos de forma precisa não apenas proporciona uma gestão 
financeira mais eficiente, mas também possibilita tomar decisões mais informadas em 
relação aos investimentos.
Além disso, a familiaridade com o uso da calculadora financeira HP12C pode facilitar 
significativamente os cálculos envolvendo capitalização composta, tornando-os mais rápidos 
e precisos. No entanto, é crucial entender os conceitos por trás das fórmulas e dos cálculos 
realizados pela calculadora, a fim de interpretar corretamente os resultados obtidos.
Por fim, a resolução dos exercícios propostos ao longo do texto oferece uma oportunidade 
valiosa para praticar e consolidar o entendimento dos conceitos abordados, preparando 
o leitor para enfrentar desafios financeiros do mundo real com confiança e competência.
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Materiais Complementares
 
Calculadora do Cidadão
2024, Banco Central do Brasil.
No site do Banco Central do Brasil, tem várias calculadoras. A calculadora indicada serve 
para calcular o valor futuro de um capital; é simples e autoexplicativa. Vale a pena conferir.
Disponível em: https://www3.bcb.gov.br/CALCIDADAO/publico/exibirFormCalculoValorFu-
turoCapital.do?method=exibirFormCalculoValorFuturoCapital. Acesso em: 09 set. 2024.
 
Matemática Financeira – Princípios e aplicações
2015, Gustavo Henrique W. de Azevedo, p. 25 a 30.
É importante fixar o conteúdo desta unidade com aplicações diversas. Nas páginas 
indicadas deste livro, você encontrará vários exercícios para resolver. Aprofunde-se!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502632202. 
Acesso em: 09 set. 2024.
Referências
PUCCINI, A. de L. Matemática financeira. São Paulo: SRV Editora LTDA, 2022. E-book. 
ISBN 9786587958064. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9786587958064/. Acesso em: 06 maio 2024.
ZOT, W. D.; CASTRO, M. L. Matemática financeira. Porto Alegre: Grupo A, 2015. E-book. 
ISBN 9788582603338. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9788582603338/. Acesso em: 06 maio 2024.
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Capitalização Composta
Taxa de Juros Nominais, Efetivas e Equivalentes
Objetivo da Aula
Compreender e aplicar os conceitos de taxas equivalentes, taxas nominais e taxas 
efetivas em capitalização composta, permitindo a conversão e comparação de diferentes 
períodos de tempo.
Apresentação
Bem-vindo(a)!
Nesta aula, abordaremos um conceito fundamental no universo das finanças: a 
equivalência de taxas de juros, taxas de juros nominais e efetivas. Você já se perguntou 
como comparar taxas de juros de diferentes períodos de tempo? Ou como converter uma 
taxa de juros anual em uma taxa mensal equivalente? Estas são questões essenciais para 
quem deseja entender e tomar decisões no mundo financeiro.
Durante esta aula, aprenderemos como calcular e interpretar essas taxas, permitindo-
nos realizar análises mais precisas. Trataremos de conceitos fundamentais, exemplos 
práticos e exercícios.
Vamos começar!
1. Taxas Equivalentes em Capitalização Composta
Para Hazzan (2014), duas taxas são equivalentes a juros compostos quando aplicadas 
em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzindo montantes iguais.
Sabendo disso, para converter uma taxa 1, representada por , em uma taxa equivalente 
2, representada por , considerando que os montantes são iguais, teremos:
Livro Eletrônico
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Como os capitais também são iguais, podemos simplificá-los. Assim, temos:
Vale observar que os tempos são equivalentes, por exemplo, a taxa 1 for 
anual e a taxa 2 for mensal. Então, podemos considerar 
Para simplificar este processo, podemos adotar uma forma geral. Dessa forma:
Considere:
• → taxa anual;
• → taxa semestral;
• → taxa trimestral;
• → taxa bimestral;
• → taxa mensal;
• → taxa diária.
Observe que os tempos que aparecem nos expoentes são equivalentes, 
 ( t e m p o 
comercial).
Exemplo 1: conversão de taxa anual para mensal
Se você tem uma taxa de juros anual de 18% e deseja encontrar a taxa mensal equivalente, 
devemos partir da relação entre as duas, substituir a taxa conhecida e calcular a taxa desejada:
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Exemplo 2: conversão de taxa mensal para anual
Se você tem uma taxa de juros mensal de 2% e deseja encontrar a taxa anual equivalente, 
devemos partir da relação entre as duas, substituir a taxa conhecida e calcular a taxa desejada:
2. Taxa de Juros Nominal
Segundo Sobrinho (2018), a taxa nominal é a taxa de juros calculada com base no valor 
nominal do empréstimo ou da aplicação, ou seja, com base no valor explicitado no contrato 
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e/ou no título; se conhecida, é a taxa que incide sobre o valor nominal do empréstimo ou 
da aplicação.
A taxa de juros nominal é aquela na qual a unidade de tempo difere daquela aplicada 
nos períodos de capitalização. Ela é aplicada diretamente em operações com juros simples 
e apresentada em períodos semestrais, anuais, mensais, trimestrais ou diários, como nos 
exemplos a seguir:
• 36% ao ano (a.a.) capitalizados trimestralmente;
• 12% ao trimestre (a.t.)capitalizados mensalmente.
Este período, apresentado como forma de capitalização, caso seja aplicado a proporção, 
pode ser usado em juros compostos. Ou seja, 36% a.a., capitalizada trimestralmente, pode 
ser expressa, de forma proporcional, como:
Esta última taxa, de 9% a.t., pode ser usada para juros compostos, com o tempo dado 
em trimestre.
Da mesma forma que 12% a.t., capitalizada mensalmente, pode ser expressa 
proporcionalmente por:
Esta última taxa, de 4% a.m., pode ser usada para juros compostos, com o tempo 
dado em meses.
Ao obtermos as taxas proporcionais, no período da capitalização, obtemos a taxa efetiva 
da operação.
3. Taxa de Juros Efetiva
A taxa efetiva é, ao contrário da taxa nominal, uma taxa de juros que considera o período 
de capitalização. Ela oferece uma representação mais precisa dos ganhos ou custos ao 
longo do tempo.
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Em essência, a taxa efetiva é aquela na qual os juros são adicionados à taxa apenas 
uma vez em cada período de capitalização, onde esse período geralmente corresponde à 
unidade de tempo especificada na taxa. Por exemplo, uma taxa efetiva de 4% ao mês com 
capitalização mensal significa que os juros são adicionados uma vez por mês.
Por meio do cálculo da taxa efetiva a partir da taxa nominal, utilizando métodos como 
a taxa proporcional, podemos avaliar de maneira mais precisa como os juros afetam o 
crescimento ou decréscimo de um investimento ou dívida ao longo do tempo.
Por exemplo, se um contrato diz que a taxa nominal é de 36% a.a. com capitalização 
mensal, temos que, proporcionalmente, a taxa efetiva mensal é de 3%, obtida ao dividir 
36% a.a. por 12 meses.
Com a finalidade de compreendermos ainda mais este impacto, podemos calcular a 
taxa de juros efetiva anual. Para isso, usamos a taxa equivalente da seguinte forma:
Dessa forma, quando se fala que a taxa de juros nominal é de 36% a.a. capitalizada 
mensalmente, na verdade, está se referindo a uma taxa efetiva de 42,576%. Ou seja, se 
foi tomado um empréstimo de R$ 1.000,00, após um ano, a cobrança será de R$ 1.425,76.
4. Exercícios Resolvidos
Chegou a hora de praticar! As questões a seguir possuem soluções detalhadas, no 
entanto, é interessante que tente resolvê-las e compare sua solução com a apresentada, 
assim, pode perceber se já compreendeu o conteúdo da aula.
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001. (FGV/2024) Considere a taxa de juros nominal de 10% ao semestre capitalizada 
anualmente.
A partir dessa informação, conclui-se que a taxa de juros que deve ser utilizada no regime de 
capitalização composta (medida na unidade de tempo adequada) será igual a
a) 5%.
b) 10%.
c) 20%.
d) 25%.
e) 50%.
Como a questão traz a taxa nominal semestral, capitalizada anualmente, para obtermos a 
taxa a ser usada nos juros compostos, realizamos a proporção, obtendo a taxa efetiva anual. 
Desse modo, a taxa buscada é de 20% a.a., obtida pelo produto da taxa semestral por 2.
Logo, a alternativa correta é a letra c.
Letra c.
002. (IDHTEC/2023) Considere uma taxa efetiva trimestral i referente a uma aplicação. 
Para se determinar a taxa equivalente mensal, usamos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
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Na relação:
Usaremos a taxa efetiva trimestral e buscaremos a taxa equivalente mensal .
Assim, com os dados que nos interessam, temos:
Simplificando os expoentes por 4 e usando os dados da questão, temos:
Obtendo a alternativa e como resposta correta.
Letra e.
003. (COSEAC/2023) Uma caderneta de poupança paga juros compostos anuais de 6% com 
rentabilidade mensal à base de 0,5%. A rentabilidade efetiva dessa aplicação financeira é de
a) 6,17% a.a.
b) 6,55% a.a.
c) 7,23% a.a.
d) 8,15% a.a.
Se a rentabilidade mensal dos juros compostos é de 0,5%, para calcularmos a rentabilidade 
efetiva anual, obteremos a taxa equivalente anual. Dessa forma:
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Logo, a alternativa correta é a letra a.
Letra a.
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, exploramos conceitos fundamentais, que nos permitem comparar e converter 
taxas de juros de diferentes períodos de tempo. Vimos a diferença de taxa nominal e taxa 
efetiva: a primeira não incorpora as capitalizações, ou seja, é uma taxa aparente, a segunda 
representa melhor a realidade.
Ao compreender a equivalência de taxas, ganhamos uma ferramenta poderosa para 
realizar análises financeiras mais precisas e tomar decisões fundamentadas.
Lembre-se sempre da importância da prática e do aprofundamento dos conhecimentos. 
Continue explorando e aprendendo, vá além!
Material Complementar
 
Matemática financeira: instrumentos financeiros para tomada de decisão em 
administração, economia e contabilidade
2013, Aderbal N. Müller e Luís R. Antonik, p. 49-70.
Este livro, no capítulo indicado, traz um grande aprofundamento a respeito das dife-
rentes taxas de juros. Vale a pena a leitura detalhada!
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Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502157088/. 
Acesso em: 09 set. 2024.
Referências
HAZZAN, J. N. P. S. Matemática financeira. 7. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2014. 
E-book. ISBN 9788502618176. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9788502618176/. Acesso em: 31 maio 2024.
SOBRINHO, J. D. V. Matemática financeira. 8. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. 
E-book. ISBN 9788597015461. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9788597015461/. Acesso em: 02 jun. 2024.
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distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502157088/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502618176/
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Capitalização Composta
Desconto Composto
Objetivo da Aula
Compreender e aplicar os conceitos de desconto composto, incluindo descontos comercial 
e racional, para calcular o valor atual de um título e o respectivo desconto.
Apresentação
Bem-vindo(a) à nossa aula sobre descontos compostos! Hoje, vamos explorar uma 
faceta importante das finançasque, embora não seja tão comum quanto outros tipos de 
descontos, desempenha um papel fundamental em determinados contextos financeiros. 
O desconto composto é uma ferramenta valiosa para calcular o valor atual de um título 
que desejamos antecipar, considerando a taxa de desconto ao longo de vários períodos.
Antes de mergulharmos nos detalhes do desconto composto, revisaremos algumas 
notações comuns na área de descontos, incluindo o significado de cada variável, como o 
desconto é calculado e as diferentes modalidades de desconto.
1. Descontos Compostos
O desconto composto, apesar de não ser amplamente utilizado em todas as práticas 
comerciais, possui sua importância em certos contextos financeiros. Ele serve principalmente 
para calcular o valor atual de um título que desejamos realizar uma antecipação, considerando 
a taxa de desconto ao longo de vários períodos.
Segundo Schmidt (2020), o desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor 
nominal de um título e o seu valor atualizado, apurado pelos períodos antes do vencimento. 
Ou seja, é a diferença entre o valor nominal (do título no vencimento) e o valor atual. O 
desconto é igual ao valor futuro do título menos o valor líquido recebido. Quando se fala 
em desconto, o valor final do título ficará menor do que o inicial, pois o desconto reduz um 
montante do valor original do título.
Inicialmente, precisamos relembrar algumas notações comuns na área de descontos, como:
Livro Eletrônico
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• D: representa o desconto realizado sobre o título;
• A: indica o Valor Atual de um título;
• N: refere-se ao Valor Nominal de um título;
• i: representa a taxa de desconto;
• n: indica o número de períodos para o desconto.
O desconto é dado pela diferença entre o valor nominal (N) de um título (futuro) e o 
valor atual (A) deste mesmo título, expresso pela fórmula:
Assim como os descontos simples, o desconto composto se subdivide em comercial 
e racional.
2. Desconto Comercial Composto (por fora)
O desconto comercial composto é aplicado sobre o valor nominal do título; não é utilizado 
no Brasil. Para calcularmos o valor atual comercial, usamos:
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Vejamos um exemplo:
Um título no valor de R$ 13 000,00 foi quitado hoje, 6 meses antes do seu vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de desconto comercial composto aplicada foi de 15% ao 
semestre, capitalizada mensalmente, calcule o valor atual do título hoje e o valor 
do desconto concedido.
Coletando os dados da questão, temos:
• O valor do título a ser descontado: ;
• O tempo de antecipação: .
A taxa de juros é de 15% a.s.. Como é capitalizada mensalmente, teremos:
Agora, substituiremos os dados na fórmula do valor atual comercial:
Dessa forma, o valor atual, pago com desconto, foi de R$ 11.167,88. Para obtermos 
o valor do desconto, basta deduzir esse valor do valor nominal. Assim:
Logo, o valor do desconto comercial composto é R$ 1.832,12.
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3. Desconto Racional Composto (por Dentro)
Camargos (2017) afirma que o desconto racional composto se caracteriza pela incidência 
sucessiva da taxa de desconto sobre o valor atual ou presente do título, o qual é deduzido, 
em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores. Ou seja, trata-se de uma 
operação de desconto na qual é utilizado o regime de capitalização composto.
O desconto racional composto é aplicado sobre o valor atual do título. Geralmente, em 
desconto de títulos, usamos o desconto bancário (comercial simples). No entanto, quando 
queremos obter o desconto com base na mesma modalidade de capitalização composta, 
usamos o desconto racional composto. Para calcular o valor atual racional composto, usamos:
Vamos resolver uma questão agora, com os mesmos dados da questão anterior, porém, 
considerando o desconto racional composto.
Um título no valor de R$ 13.000,00 foi quitado hoje, 6 meses antes do seu vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de desconto racional composto aplicada foi de 15% ao 
semestre, capitalizada mensalmente, calcule o valor atual do título hoje e o valor 
do desconto concedido.
Os dados da questão se repetem:
Assim, temos:
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Dessa forma, o valor atual, pago com desconto, foi de R$ 11.209,86. Para obtermos 
o valor do desconto, basta deduzir esse valor do valor nominal.
Logo, o valor do desconto comercial composto é R$ 1.790,14.
Agora que estudamos as bases teóricas, vamos praticar mais alguns exercícios para 
consolidar nosso conhecimento sobre descontos.
4. Exercícios Resolvidos
Chegou a hora de praticar! As questões a seguir possuem soluções detalhadas, no 
entanto, é interessante que tente resolvê-las e compare sua solução com a apresentada, 
assim, pode perceber se já compreendeu o conteúdo da aula.
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001. (CESPE/CEBRASPE/2021) Paulo e Mateus tinham, cada um deles, uma dívida com o 
mesmo valor nominal igual a R$ 1.800,00, a vencer em determinado prazo. Ambos resol-
veram antecipar o pagamento total da dívida em 2 meses anteriores ao seu vencimento. 
Na negociação do pagamento, Paulo conseguiu obter um desconto racional composto, e 
Mateus, um desconto comercial composto, ambos a uma taxa de 20% ao mês.
Nessa situação hipotética, os valores pagos por Paulo e por Mateus, respectivamente, para 
liquidar a dívida foram iguais a
a) R$ 1.080 e R$ 1.728.
b) R$ 1.152 e R$ 1.080.
c) R$ 1.250 e R$ 1.152.
d) R$ 1.440 e R$ 1.250.
e) R$ 1.728 e R$ 1.440.
Coletando os dados da questão, temos:
• O valor do título a ser descontado: ;
• O tempo de antecipação: ;
• A taxa de juros: .
Agora, substituiremos os dados na fórmula do valor atual racional composto e, em seguida, 
comercial composto:
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Em desconto racional composto, obtivemos o valor atual do título a ser pago por Paulo, de 
R$ 1.250,00. Em desconto comercial composto, obtivemos o valor atual do título a ser pago 
por Mateus, de R$ 1.152,00, fazendo com que a alternativa correta seja a letra c.
Letra c.
002. (FCC/2016) Um título de valor nominal igual a R$ 18.522,00 vencerá daqui a 3 trimes-
tres. Sabe-se que ele será resgatado antes do vencimento, segundo o critério do desconto 
racional composto, a uma taxa de juros de 5% ao trimestre.
Supondo-se que a primeira opção será resgatar o título 2 trimestres antes do vencimento e 
a segunda opção será resgatar o título 1 trimestreantes do vencimento, o valor de resgate 
do título referente à segunda opção supera o valor de resgate do título referente à primeira 
opção, em R$, em aproximadamente:
Dados: 1,052 = 1,102500 e 1,053 = 1,157625
a) 926,10.
b) 882,00.
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c) 900,00.
d) 800,00.
e) 840,00.
Coletando os dados da questão, temos:
• O valor do título a ser descontado: ;
• O tempo de antecipação: ;
• A taxa de juros: .
Agora, substituiremos os dados na fórmula do valor atual racional composto, primeiro com 
, depois com .
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Assim, a diferença entre as duas opções é dada por:
A solução mais aproximada encontra-se na alternativa e: R$ 840,00.
Letra e.
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, exploramos os diferentes tipos de desconto composto: comercial e racional, 
e aprendemos como calcular o valor atual de um título utilizando essas abordagens. Vimos 
que o desconto comercial composto é aplicado sobre o valor nominal do título, enquanto 
o desconto racional composto incide sobre o valor atual.
Além disso, resolvemos exercícios práticos para aplicar o conhecimento adquirido e 
reforçar a compreensão dos conceitos discutidos na aula. Não hesite em praticar mais 
exercícios para aprimorar suas habilidades na aplicação de descontos compostos em 
diferentes situações financeiras. Vá além!
Material Complementar
 
Gran – Banco de Questões de Desconto Composto
2024, Gran.
Neste link, você encontrará muitos exercícios e situações práticas importantes para sua 
formação. Não deixe de acessar, aprofundar e praticar!
Disponível em: https://questoes.grancursosonline.com.br/questoes-de-concursos/
matematica-financeira-descontos-compostos. Acesso em: 09 set. 2024.
Referências
CAMARGOS, M. A. de. Matemática financeira – Aplicada a produtos financeiros e à análise 
de investimentos. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2017. E-book. ISBN 9788502207615. Dis-
ponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502207615/. Aces-
so em: 02 jun. 2024.
SCHMIDT, A. C. et al. Matemática financeira. Porto Alegre, RS: SAGAH, 2020. 1 recurso 
online. ISBN 9786581492113. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/
books/9786581492113. Acesso em: 02 jun. 2024.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para GABRIEL - 02117471226, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou
distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502207615/
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Capitalização Composta
Equivalência Composta de Capitais
Objetivo da Aula
Desenvolver a capacidade de comparar e determinar a equivalência de valores monetários 
em diferentes momentos no tempo, utilizando o conceito de equivalência de capitais em 
juros compostos, através da aplicação de fórmulas de capitalização e descapitalização, 
com foco na data focal.
Apresentação
Bem-vindo(a) à aula sobre Equivalência de Capitais nos juros compostos. Este conceito 
é um dos pilares da matemática financeira, fundamental para comparar valores monetários 
em diferentes momentos do tempo, considerando uma taxa de juros específica. A ideia 
central é determinar se diferentes valores em momentos distintos são, de fato, equivalentes 
quando ajustados por uma taxa de juros.
Vamos explorar a ideia de data focal, a qual é o ponto no tempo em que comparamos 
os valores dos capitais. Esta data pode estar no passado, presente ou futuro. Dizemos 
que dois ou mais capitais com datas de vencimento diferentes são equivalentes quando, 
ajustados para a data focal à mesma taxa de juros e sob as mesmas condições, produzem 
valores iguais. Trabalharemos com fórmulas de capitalização e descapitalização, utilizando 
juros compostos para entender melhor este conceito.
Calcularemos os valores presentes e futuros para diferentes capitais, e também explorar 
a equivalência de conjuntos de capitais. Nesta aula, haverá exemplos práticos e exercícios 
para reforçar o aprendizado.
1. Equivalência de Capitais
O conceito de capitais equivalentes é um elemento essencial na matemática financeira. 
Ele possibilita a comparação entre dois valores monetários em diferentes pontos no 
tempo, considerando uma taxa de juros específica para avaliar se esses valores são, de 
fato, equivalentes.
Livro Eletrônico
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Bruni (2016) afirma que, similarmente ao conceito apresentado para o regime de 
capitalização simples, dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento 
determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma 
taxa de juros compostos e em idênticas condições, produzirem valores iguais.
Considerando a data focal como aquela em que comparamos os valores dos capitais, 
podendo ser uma data no passado, presente ou futuro, dizemos que dois ou mais capitais, 
com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, descontados para a 
data focal, à mesma taxa de juros e sob as mesmas condições, produzem valores iguais.
Em juros compostos, para capitalizar o valor, usamos:
Para descapitalizar, usamos a mesma relação, isolando PV:
Por exemplo, um título de R$ 55.125,00, que irá vencer daqui a 2 meses, é equivalente 
a outro título de R$ 57.881,25, que irá vencer daqui a 3 meses, a uma taxa de 5% a.m. de 
juros compostos.
Podemos justificar a afirmação acima de várias formas, o importante é estabelecer 
uma mesma data focal.
Dessa forma, calcularemos o valor presente dos dois títulos.
Título 1
• FV = 55125,00;
• n = 2 meses;
• i = 5% a.m. = 0,05.
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Título 2
• FV = 57881,25;
• n = 3 meses;
• i = 5% a.m. = 0,05.
Como os dois valores presentes são iguais a R$ 5.000,00, temos que os dois títulos 
correspondem a capitais equivalentes.
Esta mesma situação poderia ser resolvida capitalizando o título 1 mais um mês. Dessa 
forma, ambos estariam a 3 meses da data atual. Para isso, podemos fazer:
Neste caso, o título 1 se iguala ao título 2 na data focal de 3 meses. Logo, são equivalentes.
2. Equivalência de Conjunto de Capitais
Assim como analisamos dois capitais equivalentes, podemos analisar dois conjuntos 
de capitais equivalentes.
Para entendermos melhor, observe os conjuntos de capitais 1 e 2 a seguir:
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Tabela 1: Conjunto de capitais 1
Conjunto de capitais 1
Capitais Mês de vencimento
A R$ 3.000,00 1 mês
B R$ 3.300,00 2 meses
C R$ 3.630,00 3 meses
Fonte: Elaboração própria (2024).
Tabela 2: Conjunto de capitais 2
Conjunto de capitais 2
Capitais Mês de vencimento
A R$ 3.100,00 1 mês
B R$ 3.520,00 2 meses
C R$ 3.267,00 3 meses
Fonte: Elaboração própria (2024).
Vamos calcular o valor presente de cada conjunto de capitais, considerando a taxa de 
10% a.m.. Para isso, calcularemos a soma dos valores atuais:
Conjunto de capitais 1:
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Conjunto de capitais 2:
Como na mesma data focal, no caso, a data atual, os dois conjuntos de capitais têm o 
mesmo valor, podemos dizer que são equivalentes.
3. Exercícios Resolvidos
Outra vez, chegou a hora de praticar! As questões a seguir possuem soluções detalhadas, 
no entanto, é interessante que tente resolvê-las e compare sua solução com a apresentada, 
assim, pode perceber se já compreendeu o conteúdo da aula.
Para resolver, vale ressaltar o que Müller (2013) sugere: nos cálculos realizados com taxas 
efetivas, os capitais podem se equivaler em qualquer instante de tempo, entretanto, para 
a padronização de raciocínio e a facilidade de conceituação, orientamos que a equivalência 
sempre seja calculada no instante “0”.
001. (CESGRANRIO/2023) Um equipamento no valor de R$ 3.680.000,00 será financiado em 
4 parcelas, à taxa de juro de 10% ao ano, no regime de juros compostos. A primeira parcela, 
no valor de R$ 1.000.000,00, será paga no ato da compra; as segunda e terceira parcelas 
serão iguais entre si, pagas 1 e 2 anos após a compra, respectivamente. A última parcela, 
no valor de R$ 1.331.000,00, será paga 3 anos após a compra.
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Considerando-se os fluxos de pagamentos apresentados e a equivalência financeira no re-
gime de juros compostos, o valor, em reais, de cada uma das parcelas intermediárias (2ª e 3ª 
parcelas), será de, aproximadamente,
a) 900.000,00.
b) 950.000,00.
c) 970.000,00.
d) 980.000,00.
e) 990.000,00.
Dados da questão:
Tabela 3: Dados da questão 1
Valor do equipamento: R$ 3.680.000,00
Taxa de juros do financiamento: 10% ao ano
n. da parcela Valor da parcela Vencimento
1ª parcela À vista
2ª parcela 1 ano após a compra
3ª parcela 2 anos após a compra
4ª parcela 3 anos após a compra
Fonte: Elaboração própria (2024).
O valor do equipamento, considerando a equivalência financeira, equivale à soma dos valores 
presentes de cada parcela. Dessa forma:
Para resolvermos, iremos calcular o PV de cada parcela, descapitalizando-as, no período 
correspondente. Assim:
• 1ª parcela: como é à vista, já está na data focal atual:
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• 2ª parcela: chamamos de , pois queremos calcular este valor, será descapitalizada 
em 1 ano:
• 3ª parcela: chamamos de também, pois queremos calcular este valor, igual à 2ª 
parcela, será descapitalizada em 2 anos:
• 4ª parcela: será descapitalizada em 3 anos:
Agora, substituiremos estes dados em:
Desse modo, temos:
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Logo, o valor aproximado de cada parcela encontra-se na alternativa c: R$ 970.000,00.
Letra c.
002. FGV/2015) Um indivíduo precisa pagar três parcelas para quitar a compra de um terreno. 
São cobrados juros compostos de 30% ao semestre. As parcelas são de R$ 120.000,00; R$ 
180.000,00 e R$ 338.000,00 e vencem em seis meses, um ano e dois anos, respectivamente.
Esses três pagamentos podem ser substituídos por um único pagamento, daqui a um ano, 
no valor, em reais, de:
a) 458.461,54.
b) 518.461,54.
c) 536.000,00.
d) 596.000,00.
e) 638.000,00.
Dados da questão:
Taxa de juros: 30% a.s. = 0,3.
Tabela 4: Dados da questão 2
n. da parcela
Valor da 
parcela
Vencimento
1ª parcela 6 meses
2ª parcela 1 ano
3ª parcela 2 anos
Fonte: Elaboração própria (2024).
A data focal a ser considerada será daqui a um ano. Dessa forma, a primeira parcela deverá 
ser capitalizada em 1 semestre, a segunda parcela já está na data focal e a 3ª parcela deverá 
ser descapitalizada 2 semestres. A soma destes três valores será referente ao pagamento 
único solicitado na questão. Seguem os cálculos:
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• 1ª parcela:
• 2ª parcela:
• 3ª parcela:
Assim, o pagamento único será:
Logo, a alternativa correta é a letra c.
Letra c.
Considerações Finais da Aula
Esta foi a última aula desta unidade! Encerramos nossa aula sobre Equivalência de 
Capitais com uma compreensão sólida de como diferentes valores monetários podem 
ser comparados ao longo do tempo, considerando uma taxa de juros. Vimos que a data 
focal é crucial para essas comparações e que, utilizando as fórmulas adequadas, podemos 
determinar se valores futuros ou presentes são equivalentes.
Exploramos tanto exemplos simples quanto a análise de conjuntos de capitais, reforçando 
a ideia de que a equivalência financeira nos permite tomar decisões informadas em contextos 
de investimentos e financiamentos. Também resolvemos exercícios práticos para aplicar 
os conceitos e garantir que a teoria seja bem compreendida.
A prática desses cálculos é essencial para dominar a matemática financeira, e espero 
que os exemplos e exercícios resolvidos tenham ajudado a clarificar o processo. Continuem 
praticando e revisando os conceitos, pois a equivalência de capitais é uma ferramenta 
poderosa em diversas situações financeiras. Sigo encorajando você a explorar além do que 
foi apresentado nesta aula. Até a próxima unidade!
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Material Complementar
 
Matemática financeira e engenharia econômica.
2017, Luiz Roberto Vannucci. Capítulo 1.
O Capítulo 1 deste livro traz um aprofundamento teórico e outras aplicações no que 
se refere à equivalência de capitais. Vale a pena ler e praticar os exercícios propostos!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788521209867. 
Acesso em: 09 set. 2024.
Referências
BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática financeira com HP12C e Excel. Série Finanças na Práti-
ca. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2016. E-book. ISBN 9786559775545. Disponível em: ht-
tps://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786559775545/.Acesso em: 11 jun. 
2024.
MÜLLER, A. N.; ANTONIK, L. R. Matemática financeira: Instrumentos financeiros para to-
mada de decisão em administração, economia e contabilidade. 1. ed. Rio de Janeiro: Gru-
po GEN, 2013. E-book. ISBN 9788502157088. Disponível em: https://integrada.minhabi-
blioteca.com.br/#/books/9788502157088/. Acesso em: 11 jun. 2024.
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Série de Pagamentos ou Rendas
Conceitos Básicos e Classificação das Rendas
Objetivo da Aula
Introduzir conceitos fundamentais de matemática financeira, como o diagrama de fluxo 
de caixa e as séries de pagamentos, bem como aprender a classificá-los.
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Nesta aula, exploraremos conceitos fundamentais, que são a base para a compreensão 
das finanças pessoais e empresariais. Vamos abordar tópicos essenciais, como o diagrama 
de fluxo de caixa, as anuidades e as suas classificações, as séries não uniformes e as séries 
periódicas uniformes, além dos diferentes tipos de séries periódicas uniformes. Esses 
conceitos são cruciais para a análise e gestão de recursos financeiros ao longo do tempo. 
Prepare-se para aprender e desenvolver habilidades que serão valiosas em diversos contextos 
financeiros.
Bons estudos!
1. Diagrama de Fluxo de Caixa
O diagrama de fluxo de caixa é uma representação gráfica que mostra as entradas e 
saídas de dinheiro ao longo do tempo; ele ajuda a visualizar como o dinheiro flui em um 
período específico. Essa forma de representação ajuda a entender o que ocorre com o 
dinheiro ao longo do tempo.
Observe o exemplo:
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1.1. Componentes do Diagrama de Fluxo de Caixa
• Linha horizontal (eixo do tempo): representa o período de tempo que está sendo 
analisado (dias, semanas, meses, trimestres e anos). No exemplo, o eixo do tempo 
está em meses.
• Graduação: são marcações ao longo da linha horizontal que indicam intervalos de 
tempo (por exemplo, dias, semanas e meses). É importante que, em intervalos de 
tempos iguais, a distância entre as marcações tenha o mesmo tamanho.
• Setas para cima (entradas de caixa): representam as entradas de dinheiro.
• Setas para baixo (saídas de caixa): representam as saídas de dinheiro.
• Altura de cada uma das setas: indica a magnitude da entrada de caixa. Quanto mais 
alta a seta, maior a entrada/saída de dinheiro.
• Posição da seta na linha do tempo: está posicionada em um ponto específico da linha 
horizontal que corresponde ao momento em que a entrada ou saída de caixa ocorre.
2. Anuidades: O Que São e Como se Classificam?
O termo “anuidade” reflete uma tendência internacional, conforme Zot e Castro (2015), 
levando em conta que, nos primeiros sistemas de quitação de dívidas com múltiplos 
pagamentos, as parcelas eram feitas anualmente. Essas parcelas, atualmente, podem ser 
mensais, trimestrais, entre outros intervalos. Na literatura, as anuidades também são 
conhecidas como “séries periódicas uniformes” ou “rendas certas”.
Podemos classificar as séries de pagamentos, anuidades ou rendas quanto ao prazo, à 
periodicidade e ao valor da parcela, a saber:
• Quanto ao prazo, as séries podem ser temporárias ou perpétuas:
− Temporárias: têm duração definida.
EXEMPLO
Um financiamento de carro em cinco anos, em que as parcelas são pagas mensalmente 
durante esse período.
− Perpétuas: não têm um término fixo.
EXEMPLO
Uma doação anual para uma organização não governamental, em que o doador se compromete 
a doar uma quantia fixa anualmente enquanto viver.
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• Quanto à periodicidade, as séries se classificam como periódicas e não periódicas:
− Periódicas: os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais, ou seja, todo 
ano, todo mês, todo trimestre, entre outros.
EXEMPLO
Pagamento mensal de aluguel, em que o locatário paga um valor fixo todo mês.
− Não periódicas: os pagamentos não seguem um padrão de frequência.
EXEMPLO
Bônus corporativo, em que os funcionários recebem pagamentos adicionais em intervalos 
irregulares, dependendo do desempenho da empresa.
• Quanto ao valor das parcelas:
− Fixas ou constantes: os valores das parcelas permanecem os mesmos.
EXEMPLO
Um empréstimo pessoal com parcelas fixas, em que o mutuário paga o mesmo valor todos 
os meses até a quitação do empréstimo.
− Variáveis: os valores das parcelas mudam ao longo do tempo.
EXEMPLO
Contas de serviços públicos, como eletricidade, em que o valor pago pode variar mensalmente 
com base no consumo.
Segundo Schmidt et al. (2020), para compreendermos a temática, temos que considerar 
alguns elementos envolvidos, como:
• Present value (PV) – valor presente: é o capital inicial sobre o qual os juros, os pra-
zos e as amortizações serão aplicados.
• Future value (FV) – valor futuro: é o montante final resultante da soma dos juros 
acumulados com o capital inicial.
• Número de períodos (n): indica o prazo que deve ser considerado nas transações. 
Pode ser dado em dias, meses, trimestres ou anos, desde que esteja de acordo com 
a taxa de juros.
• Taxa de juros do período (i): indica a taxa de juros usada no trabalho com o capital, 
ou seja, na remuneração do dinheiro. Deve estar de acordo, na mesma ordem de valor, 
com o indicador de tempo.
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• Payment (PMT) – valor da parcela: é o valor de uma parcela que pode ser adicio-
nada ou subtraída do montante a cada período. Desse modo, são pagamentos de 
mesmo valor, ou seja, registrados pelo fluxo de caixa (pessoal ou empresarial) de 
forma recorrente.
3. Séries Não Uniformes e Séries Periódicas Uniformes
Em finanças, as séries de pagamento são classificadas em duas categorias principais: 
séries não uniformes e séries periódicas uniformes. Essas categorias descrevem a natureza 
dos fluxos de caixa ao longo do tempo. Vamos explorar as diferenças entre elas e fornecer 
exemplos para ilustrar cada tipo.
As séries não uniformes são aquelas em que os valores dos pagamentos variam ao 
longo do tempo, não possuem periodicidade ou ambas as ações. Esses pagamentos 
não seguem um padrão fixo e podem mudar de acordo com vários fatores, como 
desempenho financeiro, variações de consumo ou outros critérios específicos.
• Exemplos de séries não uniformes:
− Contas de serviços públicos: as contas de eletricidade, água e gás geralmente 
variam de mês para mês, dependendodo consumo.
− Bônus corporativos: os bônus pagos aos funcionários podem variar de ano para 
ano, com base no desempenho individual ou da empresa.
− Rendas de investimentos variáveis: os investimentos em ações ou fundos de 
investimento podem gerar dividendos ou rendimentos que variam periodicamente, 
sem um valor fixo.
As séries periódicas uniformes são aquelas em que os valores dos pagamentos são 
constantes e ocorrem em intervalos regulares. Esse tipo de série é comum em muitas 
transações financeiras, nas quais a previsibilidade e a constância dos pagamentos 
são importantes.
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• Exemplos de séries periódicas uniformes:
− Empréstimos pessoais: o mutuário, geralmente, paga uma parcela fixa mensal-
mente até o final do período do empréstimo.
− Financiamento de veículos: os pagamentos mensais constantes são feitos pelo 
comprador de um carro ao longo de um período específico.
− Anuidades de seguro: os pagamentos fixos são feitos por um segurado em in-
tervalos regulares (mensalmente, trimestralmente etc.) para manter uma apólice 
de seguro ativa.
4. Tipos de Séries Periódicas Uniformes
As séries periódicas uniformes, também conhecidas como “anuidades”, podem ser 
classificadas com base no momento em que os pagamentos são efetuados. As três principais 
categorias são: postecipada, antecipada e diferida. Cada uma dessas categorias tem 
características específicas que influenciam o cálculo e o valor total dos pagamentos.
4.1. Série Postecipada ou Imediata
Na série postecipada, os pagamentos são feitos ao final de cada período. Esse é o tipo 
mais comum de anuidade.
Observe, a seguir, o diagrama de fluxo de caixa dos pagamentos feitos nessa modalidade.
Nele, temos o primeiro pagamento ocorrendo no momento 1, pois ele ocorre ao final de 
cada período, então será 1 período após a assinatura do contrato ou a aquisição de um bem.
EXEMPLO
Imagine que a compra de um bem à vista custa R$ 3.500,00 e está sendo oferecida em 
6 parcelas de R$ 650,00. Nessas condições, pressupõe-se que o cliente possa adquirir o 
produto pagando no ato da compra R$ 3.500,00 ou financiando esse valor integralmente 
em 6 pagamentos mensais iguais de R$ 650,00, com o primeiro pagamento sendo efetuado 
um mês após a compra.
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Os pagamentos ocorrerão 30, 60, 90, 120, 150 e 180 dias após a aquisição do bem, como 
mostra o fluxo de caixa a seguir:
4.2. Série Antecipada
Na série antecipada, os pagamentos são feitos no início de cada período.
Observe, a seguir, o diagrama de fluxo de caixa dos pagamentos feitos nessa modalidade.
Nele, temos o primeiro pagamento ocorrendo no momento 0, pois ele ocorre no início 
de cada período, então será no ato da assinatura do contrato ou da aquisição de um bem.
EXEMPLO
Imagine que a compra de um bem à vista custa R$ 3.500,00 e está sendo oferecida em 1 
+ 5 parcelas de R$ 650,00. Nessas condições, pressupõe-se que o cliente possa adquirir o 
produto pagando no ato da compra R$ 3.500,00 ou financiando esse valor integralmente 
em 6 pagamentos mensais iguais de R$ 650,00, com o primeiro pagamento sendo no ato da 
compra e os demais para 30, 60, 90, 120 e 150 dias após a compra.
O diagrama de fluxo de caixa a seguir demonstra esse exemplo:
4.3. Série Diferida
A série diferida é utilizada em situações em que os pagamentos não começam 
imediatamente, mas sim após um período inicial de adiamento. Chamamos esse prazo de 
“carência” e representamos esse período por “m + 1”, em que m é o número de períodos 
em que não há pagamentos.
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Observe, a seguir, o diagrama de fluxo de caixa dos pagamentos feitos nessa modalidade.
Nele, temos o primeiro pagamento ocorrendo no momento m + 1 da assinatura do 
contrato ou da aquisição de um bem.
EXEMPLO
Imagine que a compra de um bem à vista custa R$ 3.500,00 e está sendo oferecida em 6 
parcelas de R$ 650,00, com uma carência de 3 meses. Nessas condições, pressupõe-se que 
o cliente possa adquirir o produto pagando no ato da compra R$ 3.500,00 ou financiando 
esse valor integralmente em 6 pagamentos mensais iguais de R$ 650,00, com o primeiro 
pagamento sendo efetuado no terceiro mês após a compra.
Os pagamentos ocorrerão 90, 120, 150, 180, 210 e 240 dias após a aquisição do bem, 
como mostra o fluxo de caixa a seguir:
Considerações Finais da Aula
Concluímos nossa aula, na qual exploramos diversos tópicos fundamentais. Assim, 
aprendemos sobre a importância do diagrama de fluxo de caixa na visualização das entradas 
e saídas de dinheiro ao longo do tempo. Discutimos as anuidades, suas classificações e 
como elas são aplicadas em diferentes contextos financeiros. Também diferenciamos séries 
não uniformes de séries periódicas uniformes e detalhamos os tipos de séries periódicas 
uniformes, como postecipada, antecipada e diferida. Esses conceitos são fundamentais 
para entender e administrar as finanças de maneira eficaz. Continue estudando e aplicando 
esses conhecimentos em situações práticas para aprimorar sua compreensão e suas 
habilidades financeiras. 
Até a próxima aula! Bons estudos e vá além!
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distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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Professor(a): Cibele Cristina Gomes Barboza
Material Complementar
O que é Valor Presente e Valor Futuro? Finançopédia - Mundo Financeiro
2017, Mundo Financeiro.
O canal Mundo Financeiro traz uma série de vídeos interessantes, os quais explicam 
de forma simples vários conteúdos. O vídeo indicado explora um dos conceitos-chave 
desta aula: fluxo de caixa. Assista ao vídeo para compreender melhor!
Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=v8iZlA2l3Bc. Acesso em: 23 set. 2024.
Referências
SCHMIDT, A. C. et al. Matemática financeira. Porto Alegre: Grupo A, 2020. E-book. 
ISBN 9786581492113. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9786581492113/. Acesso em: 10 jun. 2024.
ZOT, W. D.; CASTRO, M. L. Matemática financeira. Porto Alegre: Grupo A, 2015. E-book. 
ISBN 9788582603338. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9788582603338/. Acesso em: 06 jun. 2024.
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Série de Pagamentos ou Rendas
Renda Postecipada
Objetivo da Aula
Compreender o conceito de renda postecipada, aprender a calcular ovalor futuro (FV), 
o valor presente (PV) e/ou o valor da parcela (PMT) de uma série de pagamentos.
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Nesta aula, vamos abordar o conceito de renda postecipada, também conhecida como 
“série de pagamentos postecipada” ou “imediata”. Esse tipo de renda é caracterizado pelo 
momento do primeiro pagamento, que ocorre no período seguinte à aquisição do bem 
ou à assinatura do contrato. Assim, abordaremos como calcular o valor da parcela em 
financiamentos e investimentos, bem como a maneira de construir um montante no futuro.
Vamos lá!
1. Renda Postecipada
A caracterização da renda ou série de pagamentos postecipada ou imediata se dá pelo 
momento do primeiro pagamento, o qual ocorrerá sempre no momento 1, ou seja, para 
pagamentos mensais, a primeira parcela terá vencimento após 1 mês da aquisição do bem 
ou da assinatura de um contrato.
Conforme Gimenes (2006), quando ocorre uma sucessão de pagamentos iguais 
(PMT), efetuados em intervalos regulares e constantes, o primeiro pagamento é realizado 
concomitantemente ao primeiro período posterior à data da operação financeira que lhes 
deu origem.
Para exemplificar a renda postecipada, podemos citar:
EXEMPLO
Ao adquirir um eletrodoméstico, uma pessoa solicita financiamento integral do preço de 
venda à vista em 12 pagamentos mensais iguais, com primeiro pagamento para 30 dias após 
a compra, ou uma pessoa solicita um crédito consignado, e os débitos ocorrerão em sua folha 
de pagamento, mensalmente, a partir do mês seguinte à contratação, entre outras situações.
Livro Eletrônico
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De forma geral, quando falamos de renda postecipada, referimo-nos às séries de 
pagamentos em que não há pagamento de parcela no ato da aquisição do bem. No 
entanto, devemos lembrar que as séries periódicas uniformes possuem parcelas fixas 
em intervalos de tempos iguais; assim sendo, nos casos em que há uma entrada a 
qual difere dos valores das parcelas, podemos desconsiderar a entrada, deduzindo-a 
do valor presente do bem, e, com o saldo, considerar a série como postecipada.
EXEMPLO
Uma pessoa possui R$ 120.000,00 guardado e deseja adquirir um terreno de R$ 250.000,00. 
Ela paga a entrada de R$ 120.000,00 e financia o restante em 30 parcelas mensais de R$ 
5.000,00. Nesse caso, para considerarmos a série postecipada, deduzimos a entrada do valor 
do terreno e consideramos o valor financiado como sendo a diferença de R$ 130.000,00.
2. Relação entre PMT e FV
Imagine-se na seguinte situação: você deseja adquirir um bem daqui a 5 anos, mas 
ainda não possui o valor total. Assim, decide realizar depósitos mensais constantes em 
um fundo de investimento, com taxa prefixada. Como saber quanto terá após 60 meses 
de depósitos ou, ainda, se você já sabe o valor que precisará depois dos cinco anos, como 
descobrir o valor que deverá depositar mensalmente?
Para responder a esses questionamentos, precisamos conhecer o conceito de fator de 
acúmulo de capital (FAC) e de fator de formação de capital (FFC).
O FAC é o fator que, ao multiplicar pelo valor da parcela PMT, dará a nós o valor do 
montante após uma quantidade (n) de depósitos. Assim:
O FFC é o inverso do FAC; assim, para descobrir o valor da parcela (PMT), a partir do 
montante (FV) conhecido, efetuamos o quociente entre FV e FAC ou o produto do FV pelo 
FFC. Logo:
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Vamos, antes, entender como chegaríamos ao FAC com uma questão de exemplo.
001. (SOBRINHO/2018) Calcular o valor do montante, no final do 5º mês, de uma série de 
5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $ 100,00 cada uma, a uma taxa de 
4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, 
a 30 dias da data tomada como base (“momento zero”), e que a última, no final do 5º mês, 
é coincidente com o momento em que é pedido o montante.
O fluxo de caixa acima representa o problema, que possui os seguintes elementos:
• Valor da parcela: PMT = 100,00
• Número de parcelas: n = 5
• Taxa de juros: i = 4% a.m
Para calcularmos o montante (FV) dessa série, precisaremos capitalizar cada parcela 
até o momento 5. A somatória desses valores dará o montante construído após os 
cinco meses. Assim:
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Usando a fórmula de juros compostos, teremos:
• A parcela 1, do momento 1, deverá ser capitalizada 4 meses para chegar ao momento 5:
• A parcela 2, do momento 2, deverá ser capitalizada 3 meses para chegar ao momento 5:
• Analogamente, temos a capitalização da parcela 3 por 2 meses e da parcela 4 por 1 
mês:
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• A parcela 5 já está no momento 5, então não será capitalizada:
Dessa forma, o montante construído após o pagamento das 5 parcelas será dado por:
O FAC dessa operação é 5,4163, pois, ao multiplicarmos o valor da parcela de R$ 
100,00 por esse fator, obtemos o montante de R$ 541,63.
É claro que, quando temos uma quantidade pequena de parcelas, usar o raciocínio de 
resolução anterior é factível e importante para a compreensão da construção do montante; 
no entanto, é extremamente trabalhoso quando a quantidade de parcelas é maior. Para 
calcular o FAC de maneira rápida, podemos usar a relação:
Usando os dados do problema anterior, taxa i de 4% a.m. e número de parcelas n de 
5, teríamos:
Como o FFC é o inverso do FAC, temos:
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A partir disso, obtemos duas novas relações, a saber:
A primeira calcula o valor futuro, sabendo o valor das parcelas; já a segunda nos dá o 
valor da parcela quando conhecemos o valor futuro.
Se você quiser ter um milhão de reais, daqui a 20 anos, depositando um valor mensal 
na caderneta de poupança, que tem uma taxa de juros média de 0,5% a.m., o valor a ser 
depositado mensalmente pode ser calculado da seguinte forma:
A parcela mensal deverá ser de R$ 2.164,31.
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3. Relação entre PV e PMT
Imagine que irá comprar um carro, financiando 100%, em 60 meses. Você sabe o valor 
à vista e a taxa de juros? Como estimar o valor da parcela? Ao contrário do que muitos 
pensam, você não pode calcular os juros sobre o valor total a ser financiado. Isso se dá 
porque o valor dos juros incididos sobre a primeira parcela é diferente do valor dos juros 
da última parcela, mesmo sendo as parcelas fixas.
Uma segunda situação é: como calcular o valor à vista de um bem a partirda operação.
3. Fatores que Determinam a Existência de Juros
Assaf Neto (2023) diz que as taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
a) o risco envolvido na operação (empréstimo ou aplicação), representado genericamente pela 
incerteza com relação ao futuro;
b) a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação. A inflação é um fenômeno que 
corrói o capital, determinando um volume cada vez menor de compra com o mesmo montante;
c) o capital emprestado/aplicado. Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do 
capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo. Este ganho 
é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimentos e 
definido por custo de oportunidade (Neto, 2023).
Os juros, essenciais no mundo das finanças, são determinados por uma interação 
complexa de fatores econômicos. Quanto mais alta a inflação, mais altos os juros, pois se 
faz necessária a compensação pelo desgaste do valor do dinheiro ao longo do tempo.
O risco também influencia as taxas de juros. Investimentos mais arriscados demandam 
retornos mais altos para compensar os investidores pelo risco adicional, o que se reflete 
em taxas de juros mais altas.
A política monetária implementada pelos bancos centrais também desempenha um 
papel crucial. Através de ferramentas como a taxa básica de juros e operações de mercado 
aberto, os bancos centrais podem influenciar diretamente as taxas de juros de curto prazo, 
afetando a disponibilidade de crédito na economia.
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Além disso, as expectativas dos investidores sobre a economia e a política monetária 
também afetam as taxas de juros presentes. Expectativas de crescimento econômico ou 
inflação futura podem levar a aumentos nas taxas de juros, enquanto expectativas de 
desaceleração econômica podem levar a cortes nas taxas de juros.
Esses fatores, interligados, determinam as taxas de juros em uma economia e têm um 
impacto significativo nas decisões de investimento e financiamento.
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, tratamos a matemática financeira como uma ferramenta vital para 
compreender e gerenciar as complexidades do mundo financeiro. Ao explorar conceitos 
básicos como capital, juros e taxa de juros, bem como fatores que determinam a existência 
de juros, esta disciplina oferece uma base sólida para tomar decisões inteligentes em diversas 
situações financeiras. Desde planejar finanças pessoais até administrar uma empresa, o 
conhecimento em matemática financeira capacita indivíduos a fazer escolhas informadas 
que se alinham com seus objetivos financeiros.
A compreensão dos mecanismos por trás das taxas de juros, influenciadas por fatores 
econômicos e políticas monetárias, torna-se crucial para navegar efetivamente em um 
ambiente financeiro dinâmico. Em suma, estudar matemática financeira não é apenas 
sobre números; é sobre capacitar-se para tomar decisões conscientes e estratégicas que 
impulsionam o sucesso financeiro pessoal e profissional.
Bons estudos e vá além!
Material Complementar
 
Matemática Financeira com HP 12 C
2024, Fundação Bradesco. Curso on-line gratuito, com certificação de 20h.
A Fundação Bradesco oferece vários cursos gratuitos, e o curso indicado vai te dar os 
caminhos de uso da calculadora HP12C na Matemática Financeira. O material é de fácil 
acesso e você ainda pode se certificar. Bons Estudos!
Disponível em: https://www.ev.org.br/cursos/matematica-financeira-com-o-uso-da-
-hp-12c. Acesso em: 09 set. 2024.
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distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://www.ev.org.br/cursos/matematica-financeira-com-o-uso-da-hp-12c
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Referências
NETO, A. A. Matemática Financeira – Edição Universitária. São Paulo: Grupo GEN, 2023. 
E-book. ISBN 9786559774432. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9786559774432/. Acesso em: 06 maio 2024.
ZOT, W. D.; CASTRO, M. L. Matemática financeira. Porto Alegre: Grupo A, 2015. E-book. 
ISBN 9788582603338. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9788582603338/. Acesso em: 06 maio 2024.
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Fundamentos da Matemática Financeira 
Capitalização Simples: Conceitos e Elementos
Objetivo da Aula
Conceituar e aplicar juros simples nas operações financeiras.
Apresentação
Bem-vindo(a) à nossa aula de capitalização simples!
Nesta aula, abordaremos o conceito e os elementos da capitalização simples. Nesse 
regime, os juros são calculados exclusivamente com base no valor inicial investido ou 
emprestado, conhecido como o capital principal.
Durante esta aula, deduziremos as fórmulas de juros e montante utilizados de 
capitalização simples e, ao final, você estará pronto para resolver exercícios e enfrentar 
desafios relacionados a esse tema.
Vamos lá!
1. Capitalização Simples: Conceitos
Chamamos de regime de capitalização simples a maneira de acumular juros, calculando-
os sobre o valor inicial investido ou emprestado, ou seja, sobre o capital. Vamos observar 
na tabela a seguir a evolução de uma aplicação, por seis meses, de R$ 10.000,00, a taxa 
de 5% a.m.
Tabela 1: Evolução de uma aplicação em regime de capitalização simples
Mês Saldo no início de cada mês Juros de cada mês Saldo no final de cada mês
1 R$ 10000,00 0,5 · R$ 10000,00 = R$ 500,00 R$ 10500,00
2 R$ 10500,00 0,5 · R$ 10000,00 = R$ 500,00 R$ 11000,00
3 R$ 11000,00 0,5 · R$ 10000,00 = R$ 500,00 R$ 11500,00
4 R$ 11500,00 0,5 · R$ 10000,00 = R$ 500,00 R$ 12000,00
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Mês Saldo no início de cada mês Juros de cada mês Saldo no final de cada mês
5 R$ 12000,00 0,5 · R$ 10000,00 = R$ 500,00 R$ 12500,00
6 R$ 12500,00 0,5 · R$ 10000,00 = R$ 500,00 R$ 13000,00
Total de juros R$ 3000,00
Fonte: Elaboração própria (2024).
Pela tabela 1, dado o fato de os juros incidirem sempre sobre o capital, observamos 
que são fixos, para o exemplo, a cada mês, o valor do montante aumenta em R$ 500,00. 
Dizemos, por esta característica, que o crescimento do montante na capitalização simples 
é linear. Graficamente, será representado por uma reta.
Figura 1: Evolução de uma aplicação em regime de capitalização simples
Fonte: Elaboração própria (2024).
2. Elementos da Operação de Juros e sua Fórmula
Vimos que ao aplicar juros simples à importância de R$ 10.000,00, durante 6 meses, a 
uma taxa de 5% a.m., obtemos juros total de R$ 3.000,00.
Detalhadamente, temos:
Juros mensal - 0,5 · R$ 10000,00 = R$ 500,00
Juros total = R$ 500,00 · R$ 3000,00
De forma análoga, para calcular os Juros (J) de um capital (PV), aplicados a uma taxa 
unitária (i), durante um tempo (t), podemos usar a seguinte relação:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
O conteúdodo valor das 
parcelas anunciadas? Para isso, precisaremos entender dois novos fatores: o fator de valor 
atual (FVA) e o fator de recuperação de crédito (FRC). O produto do primeiro pelo valor da 
parcela gera o valor presente e uma série de pagamentos, enquanto o produto do segundo 
pelo valor presente gera o valor da parcela. Assim:
FVA e FRC são fatores inversos.
002. (SOBRINHO/2018) Qual o valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou 
amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 100,00 cada uma?
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O fluxo de caixa acima representa o problema que possui os seguintes elementos:
Valor da parcela: PMT = 100,00
Número de parcelas: n = 5
Taxa de juros: i = 4% a.m
Para calcularmos o capital (PV) dessa série, precisaremos descapitalizar cada parcela 
até o momento 0. A somatória desses valores dará o capital amortizado após o 
pagamento das cinco parcelas. Assim:
Usando a fórmula de juros compostos, teremos:
• A parcela 1, do momento 1, deverá ser descapitalizada 1 mês para chegar ao mo-
mento 0:
• A parcela 2, do momento 2 deverá ser descapitalizada 2 meses para chegar ao mo-
mento 0:
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• Analogamente, temos a descapitalização da parcela 3 por 3 meses, 4 por 4 meses e 
5 por 5 meses:
Dessa forma, o capital amortizado após o pagamento das 5 parcelas será dado por:
O FVA dessa operação é 4,4515, pois, ao multiplicarmos o valor da parcela de R$ 
100,00 por esse fator, obtemos o capital 445,18.
Novamente, quando temos uma quantidade pequena de parcelas, usar o raciocínio de 
resolução anterior é factível e importante para a compreensão da obtenção do capital. No 
entanto, é dispendiosa quando a quantidade de parcelas é maior. Para calcular o FVA de 
maneira rápida, podemos usar a relação:
Usando os dados do problema anterior, com taxa de 4% a.m. e número de parcelas de 
5, teríamos:
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Como o FRC é o inverso do FVA, temos:
A partir disso, obtemos duas novas relações, a saber:
A primeira calcula o valor presente, sabendo o valor das parcelas; já a segunda nos dá 
o valor da parcela quando conhecemos o valor presente.
003. Uma pessoa quer financiar um carro em 48 meses, e a taxa de financiamento está em 
1,2% a.m. Sabendo que o valor financiado será R$ 50.000,00, qual será o valor da parcela?
Dados da questão:
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A parcela a ser paga nesse financiamento será de R$ 1.376,38.
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, exploramos a renda postecipada e as suas aplicações práticas, como a 
aquisição de bens financiados e o crédito consignado. Também discutimos a relação entre 
o pagamento mensal (PMT) e o valor futuro (FV), introduzindo os conceitos de fator de 
acúmulo de capital (FAC) e fator de formação de capital (FFC). Através de exemplos práticos, 
calculamos o valor do montante e o valor das parcelas futuras. Além disso, analisamos a 
relação entre o valor presente (PV) e o pagamento mensal (PMT), utilizando os fatores 
de valor atual (FVA) e de recuperação de crédito (FRC). Compreender essas relações é 
fundamental para planejar e gerenciar financiamentos e investimentos de maneira eficaz.
Aprofunde o tema, vá além!
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Material Complementar
 
Matemática financeira aplicada: Método Algébrico, HP-12C e Microsoft Excel®
2015, Anísio Costa C. Branco.
No capítulo 6 desse livro, você irá encontrar como resolver exercícios de série de paga-
mentos usando a calculadora financeira HP12C e Microsoft Excel®. Vale a pena apro-
fundar com os exemplos e exercícios nele propostos.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522122721. 
Acesso em: 23 set. 2024.
Referências
GIMENES, C. M. Matemática financeira com HP 12c e Excel: uma abordagem descomplica-
da. São Paulo: Pearson, 2006.
SOBRINHO, J. D. V. Matemática Financeira. 8. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. 
E-book. ISBN 9788597015461. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9788597015461/. Acesso em: 14 jun. 2024.
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Série de Pagamentos ou Rendas
Renda Antecipada
Objetivo da Aula
Compreender as características e diferenças entre a renda antecipada e a renda 
postecipada, explorando seus impactos nos cálculos financeiros.
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Nesta aula, trataremos da renda ou série de pagamentos antecipada. Nesse tipo de 
série, a entrada realizada na data focal 0 deve ter o mesmo valor das demais parcelas do 
financiamento. Veremos em detalhes o conceito de renda antecipada, comparando-a com 
a renda postecipada. Exploraremos, ainda, como os momentos dos pagamentos afetam 
os cálculos financeiros, como o valor presente e o valor futuro das parcelas. Também 
abordaremos exemplos práticos para ilustrar a aplicação desses conceitos em situações reais, 
como o parcelamento de faturas de cartão de crédito e a aquisição de bens financiados.
Bons estudos!
1. Renda Antecipada
A caracterização da renda ou série de pagamentos antecipada se dá pelo momento do 
primeiro pagamento, o qual ocorrerá sempre no momento 0, ou seja, para pagamentos 
mensais, a primeira parcela terá vencimento no ato da aquisição do bem ou da assinatura de 
um contrato. Para Branco (2015), esse tipo de sistema de pagamento é, também, chamado 
de “sistema de pagamento com entrada” (1 + n).
Nesse contexto, é importante observar que, no sistema (1+ n), a entrada realizada na data 
focal 0 deve, obrigatoriamente, ter o mesmo valor das demais parcelas do financiamento.
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EXEMPLO
Para exemplificar a renda antecipada, podemos pensar em uma pessoa que teve um imprevisto 
e não tem o valor total para quitar a fatura do cartão de crédito no dia do vencimento; diante 
disso, ela decide parcelar essa fatura.
Nesse caso, é comum que haja uma entrada para essa data, e as demaisparcelas vencem 
nos meses subsequentes. Se a entrada for no mesmo valor das demais parcelas, temos um 
caso de renda antecipada.
2. Relação entre a Renda Postecipada e Antecipada – PMT e FV
A principal diferença entre essas duas rendas, postecipada e antecipada, está no 
momento dos pagamentos. Enquanto a renda postecipada adia o primeiro pagamento, a 
renda antecipada exige o pagamento imediato. Isso afeta os cálculos financeiros associados 
a cada tipo de série, incluindo o valor presente e o valor futuro dos pagamentos.
Adaptando o problema de Sobrinho (2018), se pensarmos em 5 pagamentos antecipados 
(1 + 4) de R$ 100,00, aplicados a uma taxa de 4% a.m., para calcularmos o valor futuro da 
operação, cada parcela será capitalizada um período a mais em relação à renda postecipada.
Observe que:
Usando a fórmula de juros compostos, teremos:
• A parcela 1, do momento 0, deverá ser capitalizada 5 meses para chegar ao momento 5:
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• A parcela 2, do momento 1, deverá ser capitalizada 4 meses para chegar ao momento 5:
• Analogamente, temos a capitalização da parcela 3 por 3 meses, da parcela 4 por 2 
meses e da parcela 5 por 1 mês:
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Dessa forma, o montante construído após o pagamento das 5 parcelas será dado por:
O fator de acúmulo de capital (FAC) dessa operação é 5,4163, calculado assim:
Quando multiplicarmos o FAC pelo valor da parcela de R$ 100,00, obtemos o montante 
de R$ 541,63 da renda postecipada; se multiplicarmos agora este valor por 1,04, ou seja, 
1 + i, obtemos o valor futuro da renda antecipada da seguinte forma:
A partir disso, obtemos duas novas relações, a saber:
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A primeira calcula o valor futuro, sabendo o valor das parcelas, enquanto a segunda nos 
dá o valor da parcela quando conhecemos o valor futuro.
Se você quiser ter um milhão de reais, daqui a 20 anos, depositando um valor mensal 
na caderneta de poupança, que tem uma taxa de juros média de 0,5% a.m., o valor a ser 
depositado mensalmente, começando por hoje, pode ser calculado da seguinte forma:
A parcela mensal em renda postecipada possui o valor de R$ 2.164,31; em renda 
antecipada, começando hoje, ficou em R$ 2.153,54. Parece pouca diferença, mas pense 
que serão 240 pagamentos. Além disso, estamos considerando uma das taxas mais baixas 
do mercado para investimento de longo prazo.
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3. Relação entre a Renda Postecipada e Antecipada – PMT e PV
Se precisarmos do valor a vista de um bem, financiado à taxa de 4% ao mês, amortizado 
em (1 + 4) prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 100,00, devemos descapitalizar 
cada parcela, assim:
O fluxo de caixa acima representa o problema, que possui os seguintes elementos:
• Valor da parcela: PMT = 100
• Número de parcelas: n = 5
• Taxa de juros: i = 4% a.m
O capital (PV) dessa série é a somatória da descapitalização de cada uma das cinco 
parcelas, ou seja:
Usando a fórmula de juros compostos, teremos:
• A parcela 1 está no momento 0, ou seja, 
• A parcela 2, do momento 1, deverá ser descapitalizada 1 mês para chegar ao mo-
mento 0:
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• A parcela 3, do momento 2, deverá ser descapitalizada 2 meses para chegar ao mo-
mento 0:
• Analogamente, temos a capitalização da parcela 4 por 3 meses e da parcela 5 por 4 
meses:
Dessa forma, o capital amortizado, após o pagamento das 5 parcelas, será dado por:
O FVA dessa operação é 4,4515.
Usando os dados do problema anterior, taxa i de 4% a.m. e número de parcelas n de 
5, teríamos:
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Ao multiplicarmos o valor da parcela de R$ 100,00 por esse fator, obtemos o capital 
R$ 445,18 da renda postecipada. Para obtermos o valor presente da renda antecipada, 
multiplicamos o resultado por (1 + i), ou seja, nesse caso, por 1,04.
Novamente, quando temos uma quantidade pequena de parcelas, devemos usar o 
raciocínio de resolução anterior. Porém, quando a quantidade de parcelas é maior, obtemos 
duas novas relações, a saber:
A primeira calcula o valor presente, sabendo o valor das parcelas, enquanto a segunda 
nos dá o valor da parcela quando conhecemos o valor presente.
001. Ao adquirir uma máquina de preço de venda à vista igual a R$ 250.000,00, uma empre-
sa obteve financiamento integral dessa quantia em (1 + 23) pagamentos mensais iguais. 
Sendo a taxa efetiva de juros de 1,5% ao mês, calcule o pagamento mensal a ser efetuado 
pela empresa.
Dados da questão:
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A parcela a ser paga por esse financiamento será de R$ 12.296,58.
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, vimos que a principal diferença entre a renda antecipada e a renda postecipada 
está no momento dos pagamentos, o que impacta diretamente os cálculos financeiros, como 
o valor presente e o valor futuro das parcelas. Na renda antecipada, os pagamentos ocorrem 
no início do período, exigindo uma capitalização maior em relação à renda postecipada. 
Esse entendimento é crucial para diversas aplicações financeiras, desde o planejamento de 
investimentos até a obtenção de financiamentos. Portanto, ao compreender as fórmulas 
e a lógica por trás das rendas antecipadas e postecipadas, é possível tomar decisões 
financeiras mais informadas e estratégicas, otimizando os resultados conforme os objetivos 
e as condições de cada situação específica.
Continue a explorar e aprofundar. Vá além!
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Material Complementar
 
Matemática financeira: Instrumentos financeiros para tomada de decisão em 
administração, economiae contabilidade - 1ª Edição.
2013, Aderbal N. Müller e Luís R. Antonik.
Nas páginas de 92 a 97 desse livro, há várias questões de renda antecipada resolvidas. 
Sugiro que você tente resolver os exercícios com o que aprendeu nesta aula e compare 
as soluções.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502157088. 
Acesso em: 23 set. 2024.
Referências
BRANCO, A. C. C. Matemática financeira aplicada: Método Algébrico, HP-12C e Microsoft 
Excel®. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2015. E-book. ISBN 9788522122721. Dispo-
nível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522122721/. Acesso 
em: 18 jun. 2024.
SOBRINHO, J. D. V. Matemática Financeira. 8. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. 
E-book. ISBN 9788597015461. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9788597015461/. Acesso em: 14 jun. 2024.
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Série de Pagamentos ou Rendas
Renda Diferida
Objetivo da Aula
Compreender o conceito de renda diferida, bem como calcular os valores das prestações 
(PMT) e do valor presente (PV) em séries de pagamentos com carência.
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Nesta aula, exploraremos o conceito de renda diferida, um tipo específico de série de 
pagamentos, em que há um período de carência antes do início dos pagamentos. Esse conceito 
é frequentemente utilizado em promoções comerciais e financiamentos que oferecem um 
prazo de carência inicial. Dessa forma, veremos como calcular os valores das prestações 
(PMT), quando conhecemos o valor presente (PV), e, inversamente, como determinar o 
PV, quando conhecemos o valor das prestações. Além disso, abordaremos o cálculo do 
valor futuro (FV) nessas séries de pagamentos diferidos. Para facilitar o entendimento, 
apresentaremos exemplos práticos, que ilustram esses cálculos, permitindo uma aplicação 
direta dos conceitos discutidos.
Bons estudos!
1. Renda Diferida
Camargos (2017) define renda diferida pelas séries de pagamentos uniformes que 
apresentam prazo de carência ou diferimento, a partir do qual começam a ser feitos os 
pagamentos. Nesse tipo de série, necessariamente, o primeiro termo ocorre após o primeiro 
período. Exemplo: promoções no comércio, como “compre hoje e só́ comece a pagar em...”, 
e financiamentos com prazos de carência no início dos pagamentos.
O diagrama de fluxo de caixa a seguir mostra os pagamentos feitos nessa modalidade.
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Nele, temos o primeiro pagamento ocorrendo no momento m + 1 da assinatura do 
contrato ou da aquisição de um bem.
2. Cálculo de PMT, Conhecendo PV
Apesar de haver fórmula que calcule o PMT, conhecendo o PV de uma série de pagamentos 
diferida, é de extrema importância que se entenda o conceito de cálculo nesse tipo de série.
Para isso, observe o exemplo a seguir.
001. (HAZZAN/2014/ADAPTADA) Um terreno é vendido à vista por R$ 350.000,00 ou a prazo 
em seis prestações mensais iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. Se a 
taxa de juros do financiamento for de 2% a.m., qual o valor de cada prestação?
Primeiro vamos mostrar o fluxo de caixa dessa situação:
Sabemos que, em renda postecipada, o primeiro pagamento ocorre um período 
após a aquisição de um bem ou assinatura de um contrato. Nesse exemplo, a data 
focal de PV, para que pudéssemos tratar como renda postecipada, deveria ser no 
momento 2, um mês antes do 1º pagamento. Pensando assim, iremos seguir dois 
passos para calcular o valor da parcela na renda diferida:
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• Primeiro: iremos capitalizar o valor à vista, para 1 período antes do início dos paga-
mentos, usando juros compostos. No exemplo, capitalizaremos R$ 350.000,00 por 
2 meses.
• Segundo: adotaremos o valor capitalizado como PV de uma série postecipada. Em 
seguida, calcularemos a parcela pela fórmula:
Observe:
Agora, tomaremos o valor anterior como PV da série postecipada e obteremos o 
valor da parcela, considerando n = 6 parcelas mensais. Assim:
Uma outra forma de resolver essa questão é usando a seguinte fórmula:
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Resolvendo, novamente, teríamos:
Assim, o valor da parcela desse financiamento será de R$ 65.008,39.
3. Cálculo de PV, Conhecendo PMT
Vamos ver a questão a seguir proposta por Branco (2015).
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002. (BRANCO/2015) A mercadoria se encontra em promoção e é comercializada em 5 pres-
tações iguais de R$ 150,00; a loja está oferecendo, ainda, uma carência de 5 meses para o 
primeiro pagamento. Determine o valor à vista dessa mercadoria, sabendo que a taxa de 
juros praticada pela loja é de 3% ao mês.
Antes de resolvê-la, vamos desenhar o fluxo de caixa da situação:
Teremos aqui, também, duas formas para resolver.
Resolveremos, inicialmente, seguindo dois passos:
• Primeiro, calculamos o PV das parcelas, usando a fórmula de renda postecipada. Esse 
valor calculado terá como data focal um período antes do início dos pagamentos, ou 
seja, para o exemplo no momento 4.
• Em seguida, descapitalizamos o valor calculado até o momento 0, usando juros 
compostos.
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Dados:
Esse valor encontrado tem data focal 4, um período antes do início das parcelas. 
Assim, vamos descapitalizá-lo até o momento 0. Logo:
O valor à vista da mercadoria é R$ 610,35. Podemos obter esse valor por outra relação:
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Para a questão, temos:
Portanto, o valor seria de R$ 610,35.
4. Cálculo de FV, Conhecendo PMT e Vice-Versa
O cálculo do FV, na série de pagamentos diferida, é idêntico ao cálculo da série postecipada, 
visto que o FV tem data focal na última parcela, conforme o fluxo de caixa:
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Sendo necessário, o que não é comum, as relações válidas aqui são:
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, vimos que o conceito de renda diferida é essencial para entender as diversas 
opções de financiamento e promoções comerciais que apresentam prazos de carência 
antes do início dos pagamentos. Nesse tipo de série, é fundamental compreender o cálculo 
dos pagamentos mensais (PMT) e o valor presente (PV), pois eles permitem uma análise 
mais precisa das condições financeiras envolvidas. Utilizando fórmulas específicas para o 
cálculo de PMT e PV, podemos determinar com precisão os valores envolvidos em diferentes 
situações de financiamento.
Vá além!
Material Complementar
Matemática financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações ao mercado 
financeiro, introdução à engenharia econômica, 300 exercícios resolvidos e pro-
postos com respostas
2012, Lilia L. Veras.
No capítulo 6 desse livro, você encontrará muitos exercícios e situações práticas impor-
tantes para sua formação. Não deixe de ler, aprofundar e praticar! A linguagem é aces-
sível e apresenta a forma de resolução com várias calculadoras financeiras.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522478545/. 
Acesso em: 23 set. 2024.
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Referências
BRANCO, A. C. C. Matemática financeira aplicada: Método Algébrico, HP-12C e Microsoft 
Excel®. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2015. E-book. ISBN 9788522122721. Dispo-
nível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522122721/. Acesso 
em: 18 jun. 2024.
CAMARGOS, M. A. de. Matemática financeira: Aplicada a produtos financeiros e à análise de 
investimentos. São Paulo: SRV Editora LTDA, 2017. E-book. ISBN 9788502207615. Dispo-
nível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502207615/. Acesso 
em: 20 jun. 2024.
HAZZAN, J. N. P. S. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: SRV Editora LTDA, 2014. 
E-book. ISBN 9788502618176. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9788502618176/. Acesso em: 20 jun. 2024.
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Série de Pagamentos ou Rendas
Séries de Pagamentos: Número de Parcelas e Taxa
Objetivo da Aula
Calcular o número de parcelas e taxas de juros em séries de pagamentos uniformes e 
aplicar esses cálculos em exemplos práticos, incluindo o uso de calculadoras financeiras.
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Nesta aula, vamos explorar como calcular o número de parcelas em séries de pagamentos 
uniformes, especialmente em situações em que conhecemos o valor à vista, a taxa de 
juros e o valor das prestações. Entenderemos, também, como determinar a quantidade 
de parcelas necessárias para amortizar uma dívida e resolveremos exercícios práticos para 
aplicar esses conceitos. Além disso, aprenderemos a usar calculadoras financeiras para 
facilitar esses cálculos, especialmente em casos de cálculo de taxas de juros para renda 
postecipada, antecipada e diferida.
Bons estudos!
1. Cálculo do Número de Parcelas
Nas séries uniformes, muitas vezes, deparamo-nos com situações em que sabemos, 
por exemplo, o valor à vista de um bem, a taxa de juros da operação e o valor que estamos 
dispostos a pagar a cada período. No entanto, com essas condições, não sabemos a quantidade 
de parcelas necessária para amortizar a dívida que será adquirida.
Vamos resolver alguns exercícios, com essa proposta de saber como calculamos o número 
de parcelas de uma operação.
Sempre que uma questão não informa o vencimento da primeira parcela, consideramos 
renda postecipada.
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001. (BRANCO/2015) Um produto é comercializado à vista por R$ 1.750,00. Outra saída seria 
financiar esse produto a uma taxa de 3% ao mês, gerando uma prestação de R$ 175,81; 
considerando-se que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade 
de prestações desse financiamento.
Dados:
• PV = 1.7500,00
• i = 3% a.m. = 0,03
• PMT = 175,81
• n = ?
Partimos da fórmula do PV de renda postecipada:
Ao isolarmos n, nessa fórmula, obtemos uma nova relação:
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Logo, são 12 prestações mensais.
002. Uma pessoa quer comprar um carro cujo preço à vista é de R$ 65.000,00, mas só dispõe 
de R$ 35.000,00 para dar como entrada e poderá pagar prestações mensais de no máximo, 
R$ 2.000,00. Em quantas parcelas, no mínimo, poderá comprar o carro se a taxa de juros 
para adquiri-lo a prazo é de 1,5%a.m e de quanto serão as prestações se forem iguais?
Inicialmente, deduzimos a entrada do valor do veículo para chegarmos ao valor que 
será financiado.
Calcularemos, agora, o número de parcelas que serão necessárias:
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Apesar de esse valor estar mais próximo de 19, se o arredondarmos para baixo, a 
parcela ficará acima dos R$ 2.000,00 colocados como limite máximo.
Agora, vamos obter o valor da parcela de renda postecipada; para isso, não 
consideraremos mais PMT como R$ 2.000,00.
As 20 parcelas serão de R$ 1.924,41.
O cálculo do tempo é bastante dispendioso. Uma sugestão é usar a calculadora financeira 
HP12C para fazê-lo. Caso não a tenha, basta pesquisar “emulador Da HP12C” em sua 
ferramenta de busca, assim poderá usar em seu celular ou computador.
Para resolver a questão 2 na HP12C você deve seguir os seguintes passos:
Procedimentos Teclas a serem pressionadas
Limpe os dados financeiros F FIN
Entre com o valor financiado 30000 PV
Entre com o valor máximo da parcela
(lance esse dado negativo, pois representa 
saída do fluxo de caixa)
2000 CHS PMT
Entre com a taxa percentual de juros 2,5 i
Calcule o número de parcelas n
Após executar esses passos, você chegará ao valor das 20 parcelas.
Para calcular o valor das parcelas na sequência, lance novamente os dados:
Procedimentos Teclas a serem pressionadas
Limpe os dados financeiros F FIN
Entre com o valor financiado 30000 PV
Entre com o número de parcelas 20 n
Entre com a taxa percentual de juros 2,5 i
Calcule o valor da parcela PMT
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O valor monetário aparecerá negativo, representando saída de caixa, mas a parcela 
resulta no mesmo valor de R$ 1.924,41.
Vale ressaltar que, no caso de a questão se tratar de renda antecipada, é importante 
que na tela apareça a sigla BEG. Para inseri-la, pressione g seguido de 7; para retirá-
la, pressione g seguido de 8.
2. Cálculo da Taxa de Juros nas Rendas Antecipadas e Postecipadas
Não é possível calcular as taxas de juros nas séries de pagamentos, algebricamente, com 
a matemática que vimos até aqui. Assim, quando precisar dessa informação, a sugestão é 
usar a calculadora financeira.
003. (SOBRINHO/2018) Uma TV, no valor de $ 5.000,00, é financiada por uma loja, para 
pagamento em 13 parcelas iguais de $ 532,83, sendo a primeira paga no ato da compra. 
Calcule a taxa de juros cobrada pela loja.
Usando a calculadora, temos:
Procedimentos Teclas a serem pressionadas
Limpe os dados financeiros F FIN
Entre com o valor financiado 5000 PV
Entre com o número de parcelas 13 n
Entre com o valor da parcela negativo 532,83 CHS PMT
Calcule o valor da taxa de juros i 
Resposta: 6% ao mês.
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004. (SOBRINHO/2018/ADAPTADA) A que taxa devo aplicar mensalmente a quantia de $ 
2.500,00 para que eu tenha $ 44.098,21 no final de 15 meses, sabendo-se que as aplicações 
são feitas no início de cada mês?
Como as aplicações são feitas no início de cada mês, trata-se de renda antecipada.
Usando a calculadora, temos:
Procedimentos Teclas a serem pressionadas
Configure para renda antecipada g 7
Limpe os dados financeiros F FIN
Entre com o valor negativo da parcela 2500 CHS PMT
Entre com o número de parcelas 15 n
Entre com o valor futuro a ser construído 44098,21 FV
Calcule o valor da taxa de juros i
Ao final, pressione g 8 para retirar a antecipação.
Resposta: 2% ao mês.
A ordem de lançamentos pode ser diferente, mas seguindo o padrão de valor e tecla 
de lançamento. A última tecla a ser pressionada deve ser o que se pretende calcular.
3. Cálculo da Taxa de Juros para Renda Diferida
Para renda diferida, usaremos outras funções da calculadora. Assim, calcularemos a 
taxa por fluxo de caixa.
Segundo Branco (2015), para realizarmos os cálculos, na HP 12C, de problemas de série 
uniforme de pagamento diferida, é necessário conhecer algumas funções para trabalhar 
com fluxos de caixa.
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Funções de fluxo de caixa na HP-12C:
• CFo – fluxo de caixa no momento 0 (zero);
• CFj – fluxo de caixa dos períodos seguintes;
• Nj – quantidade de períodos a serem repetidos;
• IRR – internal rate return (taxa interna de retorno).
005. O preço de venda à vista de uma máquina é igual a R$ 200.000,00. Ao adquiri-la, uma 
pessoa obteve financiamento integral dessa quantia e se comprometeu a liquidar a dívida 
em 18 pagamentos mensais iguais de R$ 15.000,00. Sabendo-se que está envolvido na 
operação o período de diferimento (carência) de 6 meses, calcule a taxa efetiva mensal de 
juros cobrada no financiamento da máquina.
Usando o fluxo de caixa da calculadora, adotamos os seguintes passos:
Procedimentos Teclas a serem pressionadas
Limpe os dados financeiros F FIN
Inicie lançando negativo o valor à vista da máquina no CFo 200000 CHS g CF0
Lance 0 durante o período de carência -1 0 g CFj
Como serão 5 meses sem pagamentos, lance a repetição do valor 5 g Nj
Lance as parcelas do financiamento 15000,00 g CFj
Como serão 18 parcelas mensais, lance a repetição do valor 18 g Nj
Solicite a taxa f IRR
A taxa obtida nesse financiamento foi de, aproximadamente, 2,13%.
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Considerações Finais da Aula
Ao final desta aula, espero que você tenha adquirido a habilidade de calcular o número de 
parcelas em financiamentos, considerando diferentes taxas de juros e valores de prestações. 
Além disso, aprendemos a utilizar a calculadora financeira para simplificar esses cálculos e 
obter resultados precisos. Com a prática dos exercícios, você estará bem-preparado para 
enfrentar situações reais, que envolvem séries de pagamentos uniformes.
Encorajo você a explorar além do que foi apresentado nesta aula. Até a próxima!
Material Complementar
Matemática Financeira com HP12C e Excel. (Série Finanças na Prática).
2016, Adriano L. Bruni e Rubens Famá.
O capítulo 8 desse livro traz um aprofundamento teórico e outras aplicações. Quanto 
mais resolvemos, mais compreendemos, então vale a pena ler e praticar!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786559775545. 
Acesso em: 23 set. 2024.
Referências
BRANCO, A. C. C. Matemática financeira aplicada: Método Algébrico, HP-12C e Microsoft 
Excel®. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2015. E-book. ISBN 9788522122721. Dispo-
nível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522122721/. Acesso 
em: 18 jun. 2024.
SOBRINHO, J. D. V. Matemática Financeira. 8. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2018. 
E-book. ISBN 9788597015461. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9788597015461/. Acesso em: 18 jun. 2024.
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Sistemas de Amortização
Conceito e Tipos de Sistemas
Objetivo da Aula
Apresentar os principais sistemas de amortização de dívidas, explorar suas características 
e aplicações práticas e discutir a elaboração de demonstrativos da dívida para assegurar 
transparência e controle financeiro.
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Vamos começar abordando os conceitos fundamentais de sistemas de amortização. Existem 
várias maneiras de amortizar uma dívida, sendo que as condições específicas de cada operação 
devem ser claramente definidas no contrato entre o credor e o devedor. Quando uma dívida 
é amortizada por meio de parcelas, é crucial que ambas as partes monitorem o estado da 
dívida ao longo do tempo. Isso inclui verificar o total pago até o momento e o saldo devedor 
restante. Para facilitar esse acompanhamento, são elaborados demonstrativos detalhados 
de cada pagamento do empréstimo. Ao longo desta aula, vamos explorar quatro sistemas 
principais de amortização: Price, SAC, americano e misto. Cada um desses sistemas possui 
características distintas, adaptadas a diferentes situações financeiras e necessidades dos 
devedores. Também discutiremos a elaboração de demonstrativos da dívida e a importância 
desses documentos para o acompanhamento e controle das obrigações financeiras.
Bons estudos!
1. ConceitosIntrodutórios
Neto (2022) afirma que os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente 
para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos 
periódicos do principal e encargos financeiros. Existem diversas maneiras de se amortizar 
uma dívida, devendo as condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato 
firmado entre o credor (mutuante) e o devedor (mutuário).
Quando a amortização é feita por meio de parcelamento, tanto o devedor quanto 
o credor têm interesse em monitorar o estado da dívida ao longo do tempo. Isso inclui 
verificar o total pago até o momento e o saldo devedor. Para essa finalidade, são elaborados 
demonstrativos que acompanham cada pagamento do empréstimo.
Livro Eletrônico
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Os demonstrativos da dívida são documentos essenciais que detalham a evolução dos 
pagamentos e o saldo devedor. Eles devem conter os seguintes elementos:
• Valor de cada pagamento: deve ser especificado quanto está sendo pago em cada 
parcela, permitindo um acompanhamento preciso das obrigações financeiras.
• Saldo devedor: é o valor ainda não quitado da dívida após cada pagamento. É crucial 
para o devedor saber quanto ainda deve e para o credor acompanhar o recebimento 
dos pagamentos.
• Subdivisão do pagamento em juros e amortização do principal: refere-se a cada 
parcela paga que, geralmente, inclui uma parte que corresponde aos juros e outra 
que corresponde à amortização do principal emprestado.
• Período de pagamento: indica o período ao qual se refere o pagamento, seja men-
sal, trimestral ou conforme definido no contrato. Esse detalhe é importante para 
acompanhar o cronograma de pagamento acordado.
Esses demonstrativos são fundamentais para manter a transparência e a clareza entre as 
partes envolvidas no empréstimo. Eles permitem um controle rigoroso do estado da dívida, 
assegurando que ambas as partes estejam cientes das condições atuais do empréstimo e 
das obrigações remanescentes.
2. Tabela do Demonstrativo do Estado da Dívida
A tabela a seguir traz os elementos de que precisamos para elaborar o demonstrativo 
do estado da dívida.
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (SDn)
0
1
2
...
O pagamento (PMT) é composto de duas partes: a soma da amortização com os juros 
do período.
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Os juros (J) são calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
O saldo devedor, a partir de SD1, é calculado subtraindo do saldo devedor anterior a 
amortização do período.
A amortização é o valor que, a cada período, é abatido da dívida.
3. Diferentes Tipos de Sistemas de Amortização
Existem diferentes tipos de sistemas de amortização; cada sistema tem suas 
particularidades e é adequado para diferentes situações financeiras e perfis de devedores. 
A escolha do sistema depende das condições do empréstimo, da capacidade de pagamento 
do devedor e das estratégias financeiras envolvidas.
Aprofundaremos os seguintes sistemas:
• Sistema Price:
Também conhecido como “sistema francês”, o sistema Price é caracterizado por parcelas 
de pagamento fixas ao longo de todo o período do empréstimo. No início, a maior parte do 
pagamento é destinada aos juros, com uma pequena fração sendo destinada à amortização 
do principal. Com o passar do tempo, a proporção se inverte: a parcela dos juros diminui, 
e a amortização do principal aumenta. Esse sistema é amplamente utilizado pelo sistema 
financeiro da habitação no Brasil, mas também podemos fazer o demonstrativo de dívidas 
como CDC, crédito consignado e demais tipos de séries periódicas uniformes.
• Sistema de amortização constante (SAC):
No sistema de amortização constante (SAC), a amortização do principal é constante em 
cada parcela. Isso significa que, a cada pagamento, uma parte fixa do principal é amortizada. 
Como os juros são calculados sobre o saldo devedor, as parcelas iniciais são mais altas e 
vão diminuindo ao longo do tempo. Esse sistema é preferido quando se deseja reduzir a 
dívida mais rapidamente.
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• Sistema americano:
O sistema americano é caracterizado por pagamentos de juros periódicos ao longo do 
prazo do empréstimo, com o pagamento do principal sendo feito em uma única parcela ao 
final do período. Esse sistema é comum em empréstimos internacionais e em situações 
em que se espera que o devedor disponha de uma grande quantia de dinheiro no final do 
período do empréstimo.
• Sistema misto:
O sistema misto combina características de diferentes sistemas de amortização. Ele é 
obtido a partir da média aritmética das parcelas, dos juros e da amortização dos sistemas 
de amortização constante (SAC) e do sistema de parcelas fixas (Price). Esse sistema misto 
é mais flexível e pode ser ajustado conforme as necessidades do devedor e as condições 
do contrato de empréstimo.
• Comparação resumida:
− Sistema Price: parcelas fixas, amortização crescente e juros decrescentes.
− Sistema SAC: amortização fixa, parcelas decrescentes e juros decrescentes.
− Sistema americano: pagamento único do principal no final e juros periódicos.
− Sistema misto: combinação de elementos de diferentes sistemas e ajustável 
conforme necessidade.
Os demonstrativos das dívidas podem ser feitos para qualquer fluxo de caixa, seja ele 
uniforme ou não, inclusive para operações com juros simples e compostos. Segundo Tosi 
(2015), a dívida será́ paga no vencimento, por meio de uma única prestação, contendo o 
valor do principal mais os juros do período. Os juros serão calculados segundo o regime de 
capitalização contratado (simples ou composto).
Se o contrato prevê juros simples, tem-se:
E, se o contrato prevê juros compostos, tem-se:
EXEMPLO
Um empréstimo de R$ 100.000,00 deve ser pago após oito meses, com juros de 10% a. m.
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Vamos fazer o demonstrativo do estado da dívida do exemplo apresentado.
a. Supondo que o empréstimo foi feito no regime de juros simples.
Se quiséssemos apenas calcular o valor final da operação, poderíamos usar a 
seguinte fórmula:
Para fazer o demonstrativo, temos que levar em conta que o valor dos juros, em 
capitalização simples, é fixo. Para calculá-lo, basta multiplicar PV pela taxa. Assim: 
Para preencher o demonstrativo, seguimos os seguintes passos:
• A quantidade de linhas da tabela inicia em 0 e encerra no último período.
O saldo devedor inicial é o valor do empréstimo: SD0 = 100.000,00. Os demais saldos, 
até a data que antecede o pagamento, são calculados por:
SD
n = SDn –1 – An. Por exemplo, SD1 = SD – A1 .
Assim:
• não há pagamentos até o último período;
• os juros se repetem pelos oito meses;
• a amortização é a diferença entre a parcela e os juros: .
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (SDn)
0 R$ 100.000,00
1 R$ 0,00 R$ 10.000,00 – R$ 10.000,00 R$ 110.000,00
2 R$ 0,00 R$ 10.000,00 – R$ 10.000,00 R$ 120.000,00
3 R$ 0,00 R$ 10.000,00 – R$ 10.000,00 R$ 130.000,00
4 R$ 0,00 R$ 10.000,00 – R$ 10.000,00R$ 140.000,00
5 R$ 0,00 R$ 10.000,00 – R$ 10.000,00 R$ 150.000,00
6 R$ 0,00 R$ 10.000,00 – R$ 10.000,00 R$ 160.000,00
7 R$ 0,00 R$ 10.000,00 – R$ 10.000,00 R$ 170.000,00
8 R$ 180.000,00 R$ 10.000,00 R$ 170.000,00 R$ 0,00
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b. Supondo que o empréstimo foi feito no regime de juros compostos.
Se quiséssemos apenas calcular o valor final da operação, poderíamos usar a 
seguinte fórmula:
Para fazer o demonstrativo, temos que levar em conta que o valor dos juros, em 
capitalização composta, é sempre calculado sobre o saldo devedor anterior. Para calculá-
lo, basta multiplicar SDn–1 pela taxa, logo: 
A amortização é a diferença entre a parcela e os juros: .
O saldo devedor inicial é o valor do empréstimo: SD0 = 100.000,00. Os demais saldos, 
até a data que antecede o pagamento, são calculados por:
Não há pagamentos até o último período; assim, seguimos com os cálculos, em sequência, 
dos juros, da amortização e do saldo devedor. Então, para n = 2, temos:
De forma análoga, calculamos para n = 3, 4, 5, 6 e 7. Para n = 8, temos que calcular o valor 
da prestação. Para isso, podemos pegar o valor calculado pela fórmula de juros compostos 
ou realizar da seguinte forma:
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Assim, a dívida foi paga, conforme o demonstrativo a seguir:
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (An) Saldo devedor (SDn)
0 R$ 100.000,00
1 R$ 0,00 R$ 10.000,00 – R$ 10.000,00 R$ 110.000,00
2 R$ 0,00 R$ 11.000,00 – R$ 11.000,00 R$ 121.000,00
3 R$ 0,00 R$ 12.100,00 – R$ 12.100,00 R$ 133.100,00
4 R$ 0,00 R$ 13.310,00 – R$ 13.310,00 R$ 146.410,00
5 R$ 0,00 R$ 14.641,00 – R$ 14.641,00 R$ 161.051,00
6 R$ 0,00 R$ 16.105,10 – R$ 10.000,00 R$ 177.156,10
7 R$ 0,00 R$ 17.715,61 – R$ 17.715,61 R$ 194.871,71
8 R$ 214.358,88 R$ 19.487,17 R$ 194.871,71 R$ 0,00
Considerações Finais da Aula
Concluímos nossa aula explorando quatro sistemas principais de amortização: Price, SAC, 
americano e misto. Cada sistema possui características distintas, adaptadas a diferentes 
situações financeiras e necessidades dos devedores. A escolha do sistema mais adequado 
depende das condições específicas do empréstimo, da capacidade de pagamento do devedor 
e das estratégias financeiras envolvidas. Além de compreender esses sistemas, discutimos 
a importância de elaborar demonstrativos da dívida. Esses demonstrativos garantem 
transparência e clareza, permitindo que tanto o devedor quanto o credor acompanhem a 
evolução dos pagamentos e o saldo devedor. Com um entendimento claro desses conceitos e a 
aplicação correta dos sistemas de amortização, é possível gerenciar dívidas e financiamentos 
de maneira mais eficiente e eficaz. 
Bons estudos e vá além!
Material Complementar
 
Matemática Financeira com HP12C e Excel
2016, Adriano L. Bruni e Rubens Famá.
O capítulo 11 desse livro aborda os sistemas de amortização. Isso é apresentado na 
página 9, em que se dá acesso c arquivos em Excel e outros para que possa acompanhar 
as atividades do livro. Vale a pena aprofundar!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786559775545. 
Acesso em: 24 set. 2024.
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Referências
NETO, A. A. Matemática Financeira e suas Aplicações. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2022. 
E-book. ISBN 9786559773244. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9786559773244/. Acesso em: 9 jul. 2024.
TOSI, A. J. Matemática Financeira com Ênfase em Produtos Bancários. 4. ed. Rio de Janei-
ro: Grupo GEN, 2015. E-book. ISBN 9788522498932. Disponível em: https://integrada.
minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522498932/. Acesso em: 9 jul. 2024.
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Sistemas de Amortização
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Objetivo da Aula
Compreender o funcionamento do sistema de amortização constante (SAC), realizar 
cálculos de amortização, juros e parcelas e analisar as vantagens e desvantagens desse 
sistema em comparação com outros métodos de financiamento.
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Vamos estudar o sistema de amortização constante (SAC), um método amplamente 
utilizado para o pagamento de financiamentos, especialmente em contextos imobiliários. No 
SAC, as amortizações do principal são constantes ao longo de todo o prazo do financiamento, 
enquanto os juros são calculados sobre o saldo devedor, resultando em parcelas que diminuem 
com o tempo. Durante a aula, exploraremos como esse sistema funciona e como calcular 
as amortizações, os juros e as parcelas, bem como analisaremos exemplos práticos para 
consolidar o entendimento. Além disso, discutiremos as vantagens e desvantagens do SAC 
em comparação com outros sistemas de amortização, proporcionando uma visão completa 
e prática desse método de financiamento.
Vamos lá!
1. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Neto (2022) diz que o sistema de amortização constante (SAC), como o próprio nome 
indica, tem como característica básica as amortizações do principal serem sempre iguais 
(ou constantes) em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido 
mediante a divisão do capital emprestado pelo número de prestações. Os juros, por incidirem 
sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização, 
assumem valores decrescentes nos períodos.
Livro Eletrônico
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O valor das parcelas é mais alto no início do financiamento e vai diminuindo conforme 
as prestações são pagas. Em função disso, quando se faz um financiamento imobiliário, 
por exemplo, o valor financiado, conforme a renda do mutuário, pode ser menor que em 
outros sistemas. No entanto, o fato de as parcelas ficarem mais baratas com o tempo é 
muito vantajoso para quem espera que suas receitas aumentem ao longo dos anos ou para 
quem prefere começar pagando mais e aliviar o orçamento com o tempo.
Como a amortização é constante, fica fácil prever o saldo devedor ao longo do tempo. 
Com a redução progressiva dos juros, o custo total do financiamento tende a ser menor 
em comparação com outros sistemas de amortização.
2. Demonstrativo do Estado da Dívida
Para fazer o demonstrativo do estado da dívida no SAC, seguimos os seguintes passos:
• Primeiro, temos que saber o valor total do financiamento, também conhecido como 
“saldo devedor inicial”. É esse valor ou essa dívida que será amortizada ao longo do 
tempo.
• Segundo,calculamos a amortização constante. A amortização é a parte fixa da par-
cela que vai reduzir o saldo devedor. No SAC, a amortização é calculada dividindo o 
valor total do financiamento (PV) pelo número de parcelas (n).
• Terceiro, calculamos os juros da primeira parcela. Os juros são calculados sobre o saldo 
devedor do período anterior. Assim, para a primeira parcela, os juros (J1) são obtidos 
multiplicando o saldo devedor inicial (SD0 = PV) pela taxa de juros do período (i).
Para o período 1, temos:
De forma geral:
• Quarto, somamos a amortização (A) aos juros (Jn) para encontrar o valor da parcela.
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De forma geral:
• Quinto, subtraímos a amortização do saldo devedor inicial para encontrar o saldo 
devedor após o pagamento da primeira parcela.
Para o período 1, temos:
De forma geral:
• Sexto, repetimos o processo para as parcelas subsequentes, até que no demonstra-
tivo a dívida seja quitada no último período.
Para o período 2, temos:
Para o período 3, temos:
E assim sucessivamente.
Entendendo essa sequência, podemos elaborar um demonstrativo completo do estado 
da dívida, mostrando, período a período, o valor da parcela, os juros pagos, a amortização 
e o saldo devedor. Isso oferece uma visão clara e transparente de como a dívida está sendo 
quitada ao longo do tempo, facilitando o planejamento financeiro.
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Figura 1: Ciclo do estado da dívida
Fonte: Elaboração própria (2024).
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn)
Amortização (A)
A = PV
n
Saldo devedor (SDn)
0 PV = SD0
1 PMT1 = J1 + A J1 = SD0 . i A SD1 = SD0 – A
2 PMT2 = J2 + A J2 = SD1 . i A SD2 = SD1 – A
3 PMT3 = J3 + A J3 = SD2 . i A SD3 = SD2 – A
4 PMT4 = J4 + A J4 = SD3 . i A SD4 = SD3 – A
5 PMT5 = J5 + A J5 = SD4 . i A SD5 = SD4 – A
... ... ... ... ...
3. Exemplos Resolvidos
Agora resolveremos duas questões.
001. (TOSI/2015) Um empréstimo de $ 100.000,00 deverá ser pago por meio de 10 parcelas 
mensais e sucessivas, vencendo a primeira 30 dias após a contratação, segundo o Sistema 
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de Amortização Constante (SAC). Sabendo que a taxa de juros cobrada em tal operação 
foi de 10% ao mês, construa uma tabela demonstrando mensalmente o estado da dívida.
Dados:
• PV = RS 100.000,00
• n = 10 parcelas mensais
• i = 10% a.m
Começamos pela amortização:
A tabela seguirá a ordem de preenchimento por linha:
Para o período 1, temos:
Para o período 2, temos:
Para o período 3, temos:
E assim sucessivamente.
Segue o demonstrativo completo:
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n Pagamento (PMTn) Juros (Jn)
Amortização (A)
A = PV
n
Saldo devedor 
(SDn)
0 R$ 100.000,00
1 R$ 20.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 90.000,00
2 R$ 19.000,00 R$ 9.000,00 R$ 10.000,00 R$ 80.000,00
3 R$ 18.000,00 R$ 8.000,00 R$ 10.000,00 R$ 70.000,00
4 R$ 17.000,00 R$ 7.000,00 R$ 10.000,00 R$ 60.000,00
5 R$ 16.000,00 R$ 6.000,00 R$ 10.000,00 R$ 50.000,00
6 R$ 15.000,00 R$ 5.000,00 R$ 10.000,00 R$ 40.000,00
7 R$ 14.000,00 R$ 4.000,00 R$ 10.000,00 R$ 30.000,00
8 R$ 13.000,00 R$ 3.000,00 R$ 10.000,00 R$ 20.000,00
9 R$ 12.000,00 R$ 2.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
10 R$ 11.000,00 R$ 1.000,00 R$ 10.000,00 R$ 0,00
Observamos no demonstrativo que, no sistema SAC, o valor diminuído das parcelas a cada 
período é fixo; nesse caso, a cada mês há uma redução de R$ 1.000,00 na parcela. Uma ou-
tra característica é que, ao chegar ao pagamento da metade das parcelas, a dívida cai pela 
metade – basta observar o saldo devedor após o pagamento da parcela 5.
O saldo devedor do SAC, após um número n de parcelas pagas, pode ser dado por:
Em que:
• SDn → saldo devedor após n pagamentos
• PV → capital financiado
• n → número de parcelas pagas
• nt → número total de parcelas
O SAC é um bom sistema para financiamentos de longo prazo; como as parcelas são 
decrescentes, a chance de o mutuário permanecer adimplente é maior que em outros sistemas.
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002. Um empréstimo no valor de $ 420.000,00 foi concedido a uma empresa nas seguintes 
condições: taxa de juros de 2% a.m., sendo amortizado em 12 parcelas mensais. Pede-se 
elaborar a planilha financeira para amortizações pelos sistemas SAC, admitindo que haja 
carência de 3 meses, sendo nesse período os juros incorporados ao capital.
Quando a questão apresenta carência, é importante que se faça o demonstrativo 
da carência antes, pois o valor a ser amortizado pode mudar. Nessa questão, isso 
irá ocorrer, visto que o texto fala que os juros serão incorporados ao capital.
Assim, até o período 2, os juros serão incorporados ao capital. Logo:
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N Pagamento (PMTn) Juros (Jn)
Amortização (A)
A = PV
n
Saldo devedor 
(SDn)
0 R$ 420.000,00
1 R$ 0,00 R$ 8.400,00 – R$ 8.400,00 R$ 428.400,00
2 R$ 0,00 R$ 8.568,00 – R$ 8.568,00 R$ 436.968,00
A partir do período 3, resolvemos pelo SAC e passamos a considerar o valor a ser financiado 
como sendo o saldo devedor anterior ao primeiro pagamento, ou seja, SD2 = PV
Dados:
• SD2 = PV = 436.968,00
• nt = 12 parcelas mensais
O demonstrativo do SAC compreenderá os períodos de n = 3 a n = 14.
i = 2% a.m
Começamos pela amortização:
A sequência de cálculos para preenchimento da tabela é:
Para o período 3, temos:
Para o período 4, temos:
Para o período 5, temos:
E assim sucessivamente.
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A seguir, o demonstrativo completo:
N Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (A) Saldo devedor (SDn)
0 R$ 420.000,00
1 R$ 0,00 R$ 8.400,00 – R$ 8.400,00 R$ 428.400,00
2 R$ 0,00 R$ 8.568,00 – R$ 8.568,00 R$ 436.968,00
3 R$ 45.153,36 R$ 8.739,36 R$ 36.414,00 R$ 400.554,00
4 R$ 44.425,08 R$ 8.011,08 R$ 36.414,00 R$ 364.140,00
5 R$ 43.696,80 R$ 7.282,80 R$ 36.414,00 R$ 327.726,00
6 R$ 42.968,52 R$ 6.554,52 R$ 36.414,00 R$ 292.312,00
7 R$ 42.240,24 R$ 5.826,24 R$ 36.414,00R$ 254.898,00
8 R$ 41.511,96 R$ 5.097,96 R$ 36.414,00 R$ 218.484,00
9 R$ 40.783,68 R$ 4.369,68 R$ 36.414,00 R$ 182.070,00
10 R$ 40.055,40 R$ 3.641,40 R$ 36.414,00 R$ 145.656,00
11 R$ 39.327,12 R$ 2.913,12 R$ 36.414,00 R$ 109.242,00
12 R$ 38.598,84 R$ 2.184,84 R$ 36.414,00 R$ 72.828,00
13 R$ 37.870,56 R$ 1.456,56 R$ 36.414,00 R$ 36.414,00
14 R$ 37.142,28 R$ 728,28 R$ 36.414,00 R$ 0,00
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, abordamos o sistema de amortização constante (SAC), que é uma opção 
robusta e transparente para financiamentos de longo prazo. A sua previsibilidade e a estrutura 
de parcelas decrescentes podem oferecer vantagens significativas, especialmente para 
aqueles que planejam um aumento de renda futura ou que preferem um alívio financeiro 
progressivo. Tratamos dos conceitos básicos do SAC, como calcular amortizações, juros 
e parcelas, e analisamos exemplos práticos. Ainda, discutimos as vantagens das parcelas 
decrescentes e a previsibilidade do saldo devedor ao longo do tempo. Com esse conhecimento, 
você está mais preparado para avaliar e utilizar o SAC em diversos contextos financeiros.
Procure refazer as planilhas e consolide o aprendizado com o material complementar. 
Aprofunde o tema, vá além!
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Material Complementar
 
Matemática financeira
2014, José Nicolau Pompeo S. Hazzan.
Nas páginas de 242 a 247, você encontrará exemplos resolvidos e exercícios propostos 
para que você aprofunde seus estudos. Visite!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502618176. 
Acesso em: 24 set. 2024.
Referências
NETO, A. A. Matemática Financeira e suas Aplicações. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2022. 
E-book. ISBN 9786559773244. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9786559773244/. Acesso em: 9 jul. 2024.
TOSI, A. J. Matemática Financeira com Ênfase em Produtos Bancários. 4. ed. Rio de Janei-
ro: Grupo GEN, 2015. E-book. ISBN 9788522498932. Disponível em: https://integrada.
minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522498932/. Acesso em: 9 jul. 2024.
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Sistemas de Amortização
Sistema de Amortização Price
Objetivo da Aula
Compreender o funcionamento do sistema de amortização Price, realizar cálculos de 
amortização, juros e parcelas e analisar as vantagens e desvantagens desse sistema em 
comparação com outros métodos de financiamento.
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Vamos estudar o sistema de amortização Price, também conhecido como “tabela Price”. 
Trata-se de um método comum de amortização de empréstimos, utilizado principalmente em 
financiamentos imobiliários, crédito pessoal e financiamento de veículos. Assim, nesta aula, 
vamos introduzir o conceito do sistema de amortização Price, destacando suas características 
e vantagens em comparação com outros métodos. Também iremos demonstrar o cálculo 
das parcelas fixas, utilizando a fórmula específica do sistema, e explicar como a amortização 
e os juros variam ao longo do tempo. Por fim, iremos aplicar o conhecimento adquirido 
em exemplos práticos, incluindo a elaboração de tabelas de amortização detalhadas para 
solidificar a compreensão.
Vamos lá!
1. Sistema de Amortização Price
Segundo Branco (2015), o sistema francês de amortização é assim chamado por ter 
sido inventado na França, por volta do século XVIII, pelo matemático inglês Richard Price – 
daí, portanto, a origem da denominação “sistema Price”, também comumente chamado de 
“tabela Price”. Na verdade, a tabela Price é um caso particular, derivado do sistema francês 
de amortização.
A tabela Price é um sistema bastante comum de amortização de empréstimos, 
especialmente usado em financiamento imobiliário, crédito pessoal, financiamento de 
veículo, entre outros. Destaca-se por oferecer parcelas fixas ao longo de todo o período 
de pagamento do empréstimo. O fato de as parcelas serem fixas é uma grande vantagem, 
pois facilita o planejamento financeiro.
Livro Eletrônico
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No início do financiamento, a maior parte da parcela paga é composta de juros, com 
uma pequena parte destinada à amortização do principal. À medida que os pagamentos 
ocorrem, o saldo devedor vai diminuindo e, consequentemente, os juros sobre esse saldo 
também diminuem. Com o passar do tempo, a proporção de juros na parcela vai diminuindo, 
e a parte destinada à amortização do principal vai aumentando.
Para calcular essas parcelas fixas, utilizamos a fórmula de séries periódicas uniformes, 
levando em consideração o valor total do empréstimo, a taxa de juros e o número de parcelas.
Uma crítica comum à tabela Price é que, devido à alta incidência de juros no início do 
financiamento, o saldo devedor se reduz mais lentamente nos primeiros períodos. Isso pode 
resultar em um custo total maior do financiamento em comparação com outros métodos 
– como o sistema de amortização constante (SAC), que prioriza a amortização do principal 
desde o início. No entanto, a previsibilidade das parcelas fixas é um atrativo significativo 
para muitas pessoas, pois oferece uma clareza financeira ao longo do tempo.
2. Demonstrativo do Estado da Dívida
Para fazer o demonstrativo do estado da dívida na tabela Price, seguimos os 
seguintes passos:
• Primeiro, temos que saber o valor total do financiamento, também conhecido como 
“saldo devedor inicial” É esse valor ou essa dívida que será amortizada ao longo do 
tempo. Com os dados da taxa e do tempo, calcula-se o valor das parcelas fixas, usan-
do a seguinte relação:
• Segundo, calculamos os juros da primeira parcela. Os juros são calculados sobre o saldo 
devedor do período anterior. Assim, para a primeira parcela, os juros (J1) são obtidos 
multiplicando o saldo devedor inicial (SD
0 = PV) pela taxa de juros do período (i).
Para o período 1, temos:
De forma geral:
• Terceiro, calculamos a amortização do período (n), fazendo a diferença entre o valor 
da parcela e os juros do mesmo período.
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Para o período 1, temos:
De forma geral:
• Quarto, subtraímos a amortização do saldo devedor inicial para encontrar o saldo 
devedor após o pagamento da primeira parcela.
Para o período 1, temos:
De forma geral:
• Quinto, repetimos o processo para as parcelas subsequentes, até que no demons-
trativo a dívida seja quitada no último período.
Para o período 2, temos:
Para o período 3, temos:
E assim sucessivamente.
Entendendo, também, essa sequência, podemos elaborar um demonstrativo completo 
do estado da dívida da tabela Price, mostrando, período a período, o valor da parcela, os 
juros pagos, a amortização e o saldo devedor. Isso oferece uma visãoclara e transparente de 
como a dívida está sendo quitada ao longo do tempo, facilitando o planejamento financeiro.
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Figura 1: Estado da dívida da tabela Price
Fonte: Elaboração própria (2024).
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (A) Saldo devedor (SDn)
0 PV = SD0
1 PMT J1 = SD0 . i A1 = PMT – J1 SD1 = SD0 – A1
2 PMT J2 = SD1 . i A2 = PMT – J2 SD2 = SD1 – A2
3 PMT J3 = SD2 . i A3 = PMT – J3 SD3 = SD2 – A3
4 PMT J4 = SD3 . i A4 = PMT – J4 SD4 = SD3 – A4
5 PMT J5 = SD4 . i A5 = PMT – J5 SD5 = SD4 – A5
... ... ... ... ...
3. Exemplos Resolvidos
Resolveremos agora duas questões:
001. (TOSI/2015) Um empréstimo no valor de $ 100.000,00 deve ser liquidado por meio do 
pagamento de 10 prestações iguais e mensais, vencendo a primeira 30 dias após a data da 
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contratação, por meio do Sistema Francês de Amortização. Sabendo que a taxa de juros 
cobrada foi de 10% ao mês, pedimos:
a) o valor das prestações a serem pagas;
b) construir uma tabela demonstrando o estado mensal da dívida, contemplando o valor dos 
juros pagos, amortização do principal e saldo devedor imediatamente após o pagamento de 
cada prestação.
Dados:
• PV = R$ 100.000,00
• n = 10 parcelas mensais
• i = 10% a.m
Para responder ao item a), calcularemos o valor da prestação:
Para responder ao item b) e construir a tabela a seguir, seguiremos a sequência:
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Para o período 2, temos:
Para o período 3, temos:
E assim sucessivamente.
Segue o demonstrativo completo:
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn)
Amortização (A)
A = PV
n
Saldo devedor 
(SDn)
0 R$ 100.000,00
1 R$ 16.274,54 R$ 10.000,00 R$ 6.274,54 R$ 93.725,46
2 R$ 16.274,54 R$ 9.372,55 R$ 6.901,99 R$ 86.823,47
3 R$ 16.274,54 R$ 8.682,35 R$ 7.592,19 R$ 79.231,27
4 R$ 16.274,54 R$ 7.923,13 R$ 8.351,41 R$ 70.879,86
5 R$ 16.274,54 R$ 7.087,99 R$ 9.186,55 R$ 61.693,31
6 R$ 16.274,54 R$ 6.169,33 R$ 10.105,21 R$ 51.588,10
7 R$ 16.274,54 R$ 5.158,81 R$ 11.115,73 R$ 40.472,37
8 R$ 16.274,54 R$ 4.047,24 R$ 12.227,30 R$ 28.245,07
9 R$ 16.274,54 R$ 2.824,51 R$ 13.450,03 R$ 14.795,04
10 R$ 16.274,54 R$ 1.479,50 R$ 14.795,04 R$ 0,00
Observamos, no demonstrativo do sistema Price, que, dado que a parcela é fixa, os juros 
decrescem à medida que a dívida é amortizada, enquanto a amortização da dívida aumen-
ta. Diferentemente do sistema SAC, ao pagar metade das parcelas, no período 5, a dívida é 
maior que a metade do valor emprestado.
Essa tabela é muito interessante para financiamentos de curto prazo ou sobre os quais não 
há correção monetária ao longo do tempo, visto que há previsibilidade das parcelas. No en-
tanto, quando se pensa em uma quitação antecipada, deve-se levar em consideração o fato 
de amortizar pouco nas primeiras parcelas.
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002. Um empréstimo no valor de R$ 300.000,00 foi concedido a uma empresa nas seguintes 
condições: taxa de juros de 4% a.m., sendo amortizado em 12 parcelas mensais. Pede-se 
elaborar a planilha financeira para amortizações pelos sistemas Price, admitindo que haja 
carência de 2 meses, sendo nesse período os juros incorporados ao capital.
Quando a questão apresenta carência, é importante que se faça o demonstrativo da carência 
antes, pois o valor a ser amortizado pode mudar. Nessa questão, isso irá ocorrer, uma vez que 
o texto fala que os juros serão incorporados ao capital.
Assim, até o período 1, os juros serão incorporados ao capital. Logo:
N Pagamento (PMTn) Juros (Jn)
Amortização (A)
A = PV
n
Saldo devedor 
(SDn)
0 R$ 300,000,00
1 R$ 0,00 R$ 12,000,00 – R$ 12,000,00 R$ 312,000,00
A partir do período 2, resolvemos pelo Price e passamos a considerar o valor a ser financiado 
pelo saldo devedor anterior ao primeiro pagamento, ou seja, SD1 = PV.
Dados:
• SD2 = PV = R$ 312.000,00
• nt = 12 parcelas mensais
O demonstrativo do SAC compreenderá os períodos de n = 2 a n = 13.
i = 4% a.m
Começamos pela parcela:
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A tabela seguirá a ordem de preenchimento por linha:
Para o período 2, temos:
Para o período 3, temos:
Para o período 4, temos:
E assim sucessivamente.
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A seguir, o demonstrativo completo:
N Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (A) Saldo devedor (SDn)
0 R$ 300.000,00
1 R$ 0,00 R$ 12.000,00 - R$ 12.000,00 R$ 312.000,00
2 R$ 33.244,28 R$ 12.480,00 R$ 20.764,28 R$ 291.235,72
3 R$ 33.244,28 R$ 11.649,43 R$ 21.594,85 R$ 269.640,87
4 R$ 33.244,28 R$ 10.785,63 R$ 22.458,64 R$ 247.182,23
5 R$ 33.244,28 R$ 9.887,29 R$ 23.356,99 R$ 223.825,24
6 R$ 33.244,28 R$ 8.953,01 R$ 24.291,27 R$ 199.533,97
7 R$ 33.244,28 R$ 7.981,36 R$ 25.262,92 R$ 174.271,05
8 R$ 33.244,28 R$ 6.970,84 R$ 26.273,44 R$ 147.997,62
9 R$ 33.244,28 R$ 5.919,90 R$ 27.324,37 R$ 120.673,25
10 R$ 33.244,28 R$ 4.826,93 R$ 28.417,35 R$ 92.255,90
11 R$ 33.244,28 R$ 3.690,24 R$ 29.554,04 R$ 62.701,86
12 R$ 33.244,28 R$ 2.508,07 R$ 30.736,20 R$ 31.965,65
13 R$ 33.244,28 R$ 1.278,63 R$ 31.965,65 R$ 0,00
Considerações Finais da Aula
Encerramos nossa aula sobre o sistema de amortização Price, destacando a importância 
de entender os diferentes métodos de amortização para uma gestão financeira eficiente. A 
tabela Price, com suas parcelas fixas, oferece previsibilidade e facilidade de planejamento, 
sendo amplamente utilizada em diversos tipos de financiamento. Compreendemos como 
os juros e a amortização do principal variam ao longo do tempo e aplicamos a fórmula de 
séries periódicas uniformes para calcular as parcelas fixas. Embora o sistema Price apresente 
a vantagem de parcelas constantes, é crucial estar ciente das críticas – especialmente, da 
lenta amortização do saldo devedor no início do período. Isso pode resultar em um custo 
total maior comparado a outros métodos, como o sistema de amortização constante (SAC).
Através dos exemplos resolvidos, vimos como elaborar tabelas de amortização que 
detalham o estado da dívida a cada período, fornecendo uma visão clara dos juros pagos, 
da amortização do principal e do saldo devedor restante. Essa prática é fundamental 
para quem busca uma visão transparente e detalhada dodeste livro eletrônico é licenciado para GABRIEL - 02117471226, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou
distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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É importante ressaltar que, para uma taxa e tempo, devem estar na mesma 
unidade, ou seja, para taxa ao dia, tempo em dias; para taxa mensal, tempo em meses; 
e assim sucessivamente.
O Montante obtido no exemplo foi de R$ 13 000,00, ou seja, o capital acrescido de juros.
Montante = R$ 10000,00 + R$ 3000,00 = R$ 13000,00
Simbolicamente:
𝐅𝐕 = 𝐏𝐕 + 𝐉 
Se substituirmos 𝐉 por 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏 na relação anterior, e colocarmos PV em evidência, temos:
𝐅𝐕 = 𝐏𝐕 + 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
𝐅𝐕 = 𝐏𝐕 ( 1 + 𝒊 · 𝒏)
As relações 𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏 e 𝐅𝐕 = 𝐏𝐕 ( 1 + 𝑖 · 𝒏) são as fórmulas utilizadas quando queremos 
calcular operações em capitalização simples.
No mercado financeiro, os juros simples têm aplicação, geralmente em operações de 
curto prazo, no cálculo de juros de boletos em atraso, ou quando o período é inferior a uma 
unidade de tempo.
3. Exercícios Resolvidos
Chegou a hora de praticar! As questões a seguir possuem soluções detalhadas, no 
entanto, é interessante que tente resolvê-las e compare sua solução com a apresentada. 
Assim, pode perceber se já compreendeu o conteúdo da aula.
001. (LEGALLE/2023) Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado sob regime de juros simples, 
durante seis bimestres, a uma taxa anual de 8%. Determine o valor dos juros produzidos 
na aplicação.
a) R$ 96,00.
b) R$ 512,00.
c) R$ 960,00.
d) R$ 1.200,00.
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Primeiro, vamos destacar as informações importantes:
• Capital (PV): R$ 12000,00;
• Taxa de juros anual: 8% a.a., logo, i = 0,08;
• Tempo de aplicação: 6 bimestres = 12 meses, logo, n = 1 ano.
Precisamos calcular J, no entanto, a taxa e o tempo não estavam na mesma unidade, então, 
note que transformamos a unidade de tempo até se adequar a unidade da taxa.
Substituiremos os dados na fórmula de juros simples:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
Assim:
𝐉 = 12000,00 · 0,08 · 1
𝐉 = 960,00
Os juros produzidos na aplicação são de R$ 960,00, logo, a alternativa correta é a letra c.
Letra c.
002. (AVANÇA-SP/2023) A qual taxa um capital de R$ 19.700,00 deverá ser aplicado no re-
gime de juros simples, durante seis meses, a fim de render R$ 2.364,00 de juro:
a) 0,5% a.m.
b) 1% a.m.
c) 1,5% a.m.
d) 1,75% a.m.
e) 2% a.m.
Primeiro, vamos destacar as informações importantes:
• Capital (PV): R$ 19700,00;
• Tempo de aplicação (n): 6 meses;
• Juros (J): R$ 2364,00.
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Precisamos calcular a taxa percentual de juros. As alternativas apresentam taxa mensal, 
mesma unidade que o tempo foi apresentado, então, não precisamos realizar conversões, 
então, substituiremos os dados na fórmula de juros simples:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
Assim:
2 364,00 = 19700,00 · 𝒊 · 6
2364,00 = 118 200,00 · 𝒊 
𝒊 = 0,02
Chegamos a taxa unitária 0,02, que em porcentagem equivale a 2% a.m. Assim, a alternativa 
correta é a letra e.
Letra e.
003. (FUNDATEC/2024) Determine o valor de um capital que foi aplicado sob regime de 
juros simples, a uma taxa mensal de 1%, durante 6 meses, e gerou juros de R$ 300,00.
a) R$ 3.000,00.
b) R$ 4.000,00.
c) R$ 5.000,00.
d) R$ 6.000,00.
e) R$ 7.000,00.
Primeiro, vamos destacar as informações importantes:
• Taxa mensal: 1%, logo, i = 0,01;
• Tempo de aplicação (n): 6 meses;
• Juros (J): R$ 300,00.
Precisamos calcular o capital (PV) aplicado. A taxa é mensal, mesma unidade que o tempo 
foi apresentado, então, não precisamos realizar conversões, logo, substituiremos os dados 
na fórmula de juros simples:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
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Assim:
300,00 = 𝐏𝐕 · 0,01 · 6
300,00 = 0,06 · 𝐏𝐕 
𝐏𝐕 = 5000,00
Chegamos ao capital de R$ 5000,00. Assim, a alternativa correta é a letra c.
Letra c.
004. (FUNDATEC/2024) Determine o valor de um capital, aplicado sob regime de juros sim-
ples, durante 4 bimestres, a uma taxa trimestral de 6% e que produziu juros de R$ 1.920,00 
de rendimentos.
a) R$ 10.000,00.
b) R$ 11.000,00.
c) R$ 12.000,00.
d) R$ 13.000,00.
e) R$ 14.000,00.
Primeiro, vamos destacar as informações importantes:
• Taxa trimestral: 6%, logo, i = 0,06;
• Tempo de aplicação: 4 bimestres = 8 meses. Para obtermos o tempo em trimestre, 
dividiremos o tempo em meses por 3. Assim:
• Juros (J): R$ 1920,00.
Precisamos calcular o capital (PV) aplicado, então, substituiremos os dados na fórmula de 
juros simples:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
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Assim:
Chegamos ao capital de R$ 12 000,00. Assim, a alternativa correta é a letra c.
Letra c.
005. (FUVEST/2023) Um produto pode ser adquirido em uma loja de eletrodomésticos que 
oferece duas alternativas para a compra:
• Pagamento à vista no valor de R$ 5.700,00;
• Compra a prazo, sendo uma entrada no valor de R$ 1.500,00 e o pagamento de uma 
parcela adicional no valor de R$ 4.452,00 após 2 meses da data da compra.
Se a empresa utiliza o regime de capitalização simples para definir o valor da parcela adicional, 
a taxa de juros simples, em percentual ao mês, que é cobrada na venda a prazo é
a) 0,53%
b) 1,06%
c) 2,96%
d) 3,00%
e) 6,00%
Esta questão é um pouco diferente e traz um conceito bem importante:
“Sobre valor que é dado de entrada, não há incidência de juros.”
A entrada é considerada parte paga à vista, ou seja, devemos definir o valor a ser financiado 
(Capital), deduzindo a entrada de R$ 1.500,00 do valor à vista R$ 5.700,00.
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Assim, temos:
• Capital (PV): R$ 5700,00 – R$ 1500,00 = R$ 4200,00;
• Tempo: 2 meses;
• Montante (FV): R$ 4452,00.
Precisamos calcular a taxa mensal, como o tempo já está em meses, substituiremos os dados 
na fórmula do Montante, baseando-se nos dados apresentados:
𝐅𝐕 = 𝐏𝐕 ( 1 + 𝒊 · 𝒏)
Assim:
Chegamos à taxa unitária 0,03, que em porcentagem equivale a 3% a.m. Assim, a alternativa 
correta é a letra d.
Letra d.
Outra solução para a questão 5 é calcular o Juro primeiro, por J = FV – PV (diferença 
entre o montante e capital), após, usar a fórmula do juro simples, seguindo os passos 
da questão 2. É uma forma mais rápida e até mais simples de chegar à solução. 
Tente adotar esta proposta; você deve chegar à mesma solução.
O conteúdo deste livro eletrônico éprogresso do pagamento de 
um empréstimo. Compreender o sistema Price e saber aplicá-lo em situações práticas é 
uma habilidade valiosa tanto para profissionais financeiros quanto para indivíduos que 
desejam tomar decisões informadas sobre seus financiamentos. Espero que esta aula tenha 
proporcionado um entendimento sólido e útil sobre o assunto.
Continue a explorar e aprofundar. Vá além!
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Material Complementar
 
Matemática financeira: Instrumentos financeiros para tomada de decisão em 
administração, economia e contabilidade
2013, Aderbal N. Müller e Luís R. Antonik.
Nas páginas de 135 a 153 desse livro, o autor trata da tabela Price, traz exemplos e, 
também, discute um pouco sobre a legislação a respeito de juros sobre juros. Vale a 
pena a leitura!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502157088. 
Acesso em: 24 set. 2024.
Referências
BRANCO, A. C. C. Matemática financeira aplicada: Método Algébrico, HP-12C e Microsoft 
Excel®. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2015. E-book. ISBN 9788522122721. Dispo-
nível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522122721/. Acesso 
em: 18 jun. 2024.
TOSI, A. J. Matemática Financeira com Ênfase em Produtos Bancários. Rio de Janeiro: Gru-
po GEN, 2015. 4ª edição. E-book. ISBN 9788522498932. Disponível em: https://integra-
da.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522498932/. Acesso em: 10 jul. 2024.
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Sistemas de Amortização
Sistema Misto e Sistema Americano
Objetivo da Aula
Compreender os fundamentos do sistema de amortização misto (SAM) e do sistema 
americano de amortização (SAA) e como eles se diferenciam de outros sistemas de 
amortização, bem como construir tabelas de amortização no SAM e no SAA com base em 
exemplos práticos.
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Nesta aula, iremos explorar dois métodos distintos de amortização de dívidas: o sistema 
de amortização misto (SAM) e o sistema americano de amortização (SAA). O SAM combina 
características do sistema de amortização constante (SAC) e do sistema Price, oferecendo 
uma alternativa balanceada entre prestações fixas e decrescentes. Já o sistema americano 
de amortização (SAA) estipula a devolução do capital emprestado em uma única parcela ao 
final do período, com juros pagos periodicamente. Em seguida, analisaremos a formulação 
matemática de cada sistema e construiremos tabelas práticas com exemplos concretos, 
além de discutir as implicações financeiras de cada método.
Bons estudos!
1. Sistema de Amortização Misto (SAM)
Segundo Samanez (2010), o sistema de amortização misto (SAM) se baseia no SAC e no 
sistema Price, já que a prestação é igual à média aritmética calculada entre as prestações 
desses dois sistemas nas mesmas condições de juros e prazos.
Criado pelo antigo Banco Nacional de Habitação (BNH), nos anos de 1970, a prestação 
no sistema misto é calculada assim:
Livro Eletrônico
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Professor(a): Cibele Cristina Gomes Barboza
Esse sistema não possui parcelas fixas como o Price; as parcelas são decrescentes. No 
entanto, nesse sistema, a parcela inicial não fica tão alta comparando com o SAC, e, por 
consequência, o comprometimento inicial da renda do mutuário é menor.
Para ilustrar, vamos construir uma tabela no SAM de R$ 100.000,00 emprestados, a 
uma taxa de 10% a.m., com 10 parcelas mensais. Precisamos calcular a média aritmética 
das parcelas do Price e do SAC.
Para o Price, calculamos as prestações que são fixas da seguinte forma:
Para o SAC, precisamos da tabela para saber o valor de cada parcela:
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (A) Saldo devedor (SDn)
0 R$ 100.000,00
1 R$ 20.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 90.000,00
2 R$ 19.000,00 R$ 9.000,00 R$ 10.000,00 R$ 80.000,00
3 R$ 18.000,00 R$ 8.000,00 R$ 10.000,00 R$ 70.000,00
4 R$ 17.000,00 R$ 7.000,00 R$ 10.000,00 R$ 60.000,00
5 R$ 16.000,00 R$ 6.000,00 R$ 10.000,00 R$ 50.000,00
6 R$ 15.000,00 R$ 5.000,00 R$ 10.000,00 R$ 40.000,00
7 R$ 14.000,00 R$ 4.000,00 R$ 10.000,00 R$ 30.000,00
8 R$ 13.000,00 R$ 3.000,00 R$ 10.000,00 R$ 20.000,00
9 R$ 12.000,00 R$ 2.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
10 R$ 11.000,00 R$ 1.000,00 R$ 10.000,00 R$ 0,00
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Para construir a tabela do SAM, primeiro obteremos as parcelas e depois seguiremos 
para os cálculos do demonstrativo, com os seguintes passos:
Para o período 1, temos:
Para o período 2, temos:
Para o período 3, temos:
E assim sucessivamente.
Veja o demonstrativo a seguir:
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (A) Saldo devedor (SDn)
0 R$ 100.000,00 
1 R$ 18.137,27 R$ 10.000,00 R$ 8.137,27 R$ 91.862,73 
2 R$ 17.637,27 R$ 9.186,27 R$ 8.451,00 R$ 83.411,73 
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3 R$ 17.137,27 R$ 8.341,17 R$ 8.796,10 R$ 74.615,63 
4 R$ 16.637,27 R$ 7.461,56 R$ 9.175,71 R$ 65.439,93 
5 R$ 16.137,27 R$ 6.543,99 R$ 9.593,28 R$ 55.846,65 
6 R$ 15.637,27 R$ 5.584,67 R$ 10.052,60 R$ 45.794,05 
7 R$ 15.137,27 R$ 4.579,41 R$ 10.557,86 R$ 35.236,19 
8 R$ 14.637,27 R$ 3.523,62 R$ 11.113,65 R$ 24.122,53 
9 R$ 14.137,27 R$ 2.412,25 R$ 11.725,02 R$ 12.397,52 
10 R$ 13.637,27 R$ 1.239,75 R$ 12.397,52 R$ 0,00 
Uma outra forma de construir a tabela do SAM é fazendo a média aritmética dos juros, 
da amortização e do saldo devedor, mas, nesse caso, seriam necessárias as duas tabelas 
completas – do Price e SAC.
O gráfico a seguir mostra a diferença nas parcelas dos três sistemas Price, SAC e SAM: 
no primeiro, o gráfico é constante; no segundo e terceiro, os gráficos são decrescentes. 
No entanto, o decrescimento do SAM é mais leve, pois começa e termina com uma parcela 
intermediária entre Price e SAC.
Figura 1: Comparação entre o valor das parcelas
Fonte: Elaboração própria (2024).
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Em financiamentos imobiliários ou de longo prazo, é de extrema importância escolher 
bem o sistema de amortização. Uma parcela maior no início compromete mais a 
renda do mutuário, podendo resultar em um financiamento menor, devido à sua 
capacidade de pagamento. No entanto, essas parcelas decrescentes proporcionam 
um “alívio” financeiro ao longo do tempo.Já as parcelas fixas comprometem menos 
a renda inicial, permitindo um valor financiado maior.
É importante considerar que, em financiamentos imobiliários, haverá correção 
monetária anual ou até mesmo mensal. Isso significa que, embora as parcelas 
decrescentes continuem a diminuir, o ritmo dessa redução será mais lento. Por outro 
lado, as parcelas que eram fixas tendem a aumentar com o tempo, perdendo um 
pouco da previsibilidade inicial. Portanto, entender as implicações de cada sistema 
de amortização é crucial para tomar uma decisão financeira informada e sustentável.
2. Sistema Americano
O último sistema de amortização que iremos abordar é o sistema americano. Para Neto 
(2022), o sistema de amortização americano (SAA) estipula que a devolução do capital 
emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. Não se 
preveem, de acordo com essa característica básica do SAA, as amortizações intermediárias 
durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente.
Chamando de “PV” o valor emprestado e de “i” a taxa de juros, os juros pagos em cada 
período são iguais e calculados como:
J = PV . i
Ao término do prazo, no último pagamento, o devedor paga, além dos juros, o capital 
emprestado PV.
001. Considere um empréstimo de R$ 100.000,00 à taxa de 10% ao mês, pelo prazo de 
quatro meses. Construa o demonstrativo do estado da dívida no sistema americano de 
amortização.
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Começando calculando os juros por período:
Esses juros são válidos para todos os períodos.
Para os períodos de 1 a 3, a parcela equivale aos juros; nesses períodos, a amortização é nula, 
e o saldo devedor não se altera.
PMT = J
No último período, os juros se mantêm, mas o saldo devedor deve ser amortizado. Logo:
A seguir, o demonstrativo do estado da dívida:
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (A) Saldo devedor (SDn)
0 R$ 100.000,00 
1 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 0,00 R$ 100.000,00
2 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 0,00 R$ 100.000,00
3 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 0,00 R$ 100.000,00
4 R$ 110.000,00 R$ 10.000,00 R$ 100.000,00 R$ 0,00
Quando se financiam imóveis na planta, muitos mutuários optam por pagar os juros 
do financiamento durante a construção, conhecidos como “juros de obra”. Isso é feito 
para garantir que o valor a ser financiado não se altere. Caso o mutuário não pague 
esses juros durante a obra, pode ser necessário quitá-los ao receber as chaves do 
imóvel. Se isso não for feito, o financiamento pode não ser aprovado, pois a renda 
do mutuário pode não ter aumentado proporcionalmente aos custos adicionais.
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3. Exercício Resolvido
002. Construa um demonstrativo do estado da dívida de um financiamento de R$ 240.000,00, 
que deverá ser liquidado com 12 parcelas mensais, pelo sistema misto de amortização, 
com uma carência de 4 meses, em que são pagos apenas os juros a uma taxa de 2% a.m.
Primeiro, iremos construir o demonstrativo até o tempo 3, em que serão pagos os juros; a 
partir do tempo 4, iniciam-se os pagamentos pelo sistema misto. Assim:
Esses juros são válidos para todos os períodos.
Para os períodos de 1 a 3, a parcela equivale aos juros; nesses períodos, a amortização é nula, 
e o saldo devedor não se altera.
PMT = J
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (A) Saldo devedor (SDn)
0 R$ 240.000,00 
1 R$ 4.800,00 R$ 4.800,00 R$ 0,00 R$ 240.000,00
2 R$ 4.800,00 R$ 4.800,00 R$ 0,00 R$ 240.000,00
3 R$ 4.800,00 R$ 4.800,00 R$ 0,00 R$ 240.000,00
Agora, obteremos o valor da parcela do sistema Price:
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Para o SAC, precisamos da tabela para saber o valor de cada parcela:
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (A) Saldo devedor (SDn)
3 R$ 240.000,00 
4 R$ 24.800,00 R$ 4.800,00 R$ 20.000,00 R$ 220.000,00 
5 R$ 24.400,00 R$ 4.400,00 R$ 20.000,00 R$ 200.000,00 
6 R$ 24.000,00 R$ 4.000,00 R$ 20.000,00 R$ 180.000,00 
7 R$ 23.600,00 R$ 3.600,00 R$ 20.000,00 R$ 160.000,00 
8 R$ 23.200,00 R$ 3.200,00 R$ 20.000,00 R$ 140.000,00 
9 R$ 22.800,00 R$ 2.800,00 R$ 20.000,00 R$ 120.000,00 
10 R$ 22.400,00 R$ 2.400,00 R$ 20.000,00 R$ 100.000,00 
11 R$ 22.000,00 R$ 2.000,00 R$ 20.000,00 R$ 80.000,00 
12 R$ 21.600,00 R$ 1.600,00 R$ 20.000,00 R$ 60.000,00 
13 R$ 21.200,00 R$ 1.200,00 R$ 20.000,00 R$ 40.000,00 
14 R$ 20.800,00 R$ 800,00 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 
15 R$ 20.400,00 R$ 400,00 R$ 20.000,00 R$ - 
Para construir a tabela do SAM, primeiro obteremos as parcelas e depois seguiremos para os 
cálculos do demonstrativo, com os seguintes passos:
Para o período 4, temos:
Para o período 5, temos:
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distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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Para o período 6, temos:
E assim sucessivamente.
A seguir, o demonstrativo:
n Pagamento (PMTn) Juros (Jn) Amortização (A) Saldo devedor (SDn)
0 R$ 240.000,00 
1 R$ 4.800,00 R$ 4.800,00 R$ 0,00 R$ 240.000,00
2 R$ 4.800,00 R$ 4.800,00 R$ 0,00 R$ 240.000,00
3 R$ 4.800,00 R$ 4.800,00 R$ 0,00 R$ 240.000,00
4 R$ 23.747,15 R$ 4.800,00 R$ 18.947,15 R$ 221.052,85 
5 R$ 23.547,15 R$ 4.421,06 R$ 19.126,09 R$ 201.926,75 
6 R$ 23.347,15 R$ 4.038,54 R$ 19.308,62 R$ 182.618,14 
7 R$ 23.147,15 R$ 3.652,36 R$ 19.494,79 R$ 163.123,35 
8 R$ 22.947,15 R$ 3.262,47 R$ 19.684,68 R$ 143.438,66 
9 R$ 22.747,15 R$ 2.868,77 R$ 19.878,38 R$ 123.560,29 
10 R$ 22.547,15 R$ 2.471,21 R$ 20.075,95 R$ 103.484,34 
11 R$ 22.347,15 R$ 2.069,69 R$ 20.277,46 R$ 83.206,87 
12 R$ 22.147,15 R$ 1.664,14 R$ 20.483,01 R$ 62.723,86 
13 R$ 21.947,15 R$ 1.254,48 R$ 20.692,67 R$ 42.031,19 
14 R$ 21.747,15 R$ 840,62 R$ 20.906,53 R$ 21.124,66 
15 R$ 21.547,15 R$ 422,49 R$ 21.124,66 R$ 0,00
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, exploramos os sistemas de amortização misto (SAM) e americano (SAA). O 
SAM combina elementos do SAC e do sistema Price, resultando em prestações que começam 
mais acessíveis e aumentam gradualmente. Por outro lado, o SAA prevê o pagamento do 
principal ao final do período, com juros pagos periodicamente, o que pode ser vantajoso 
em situações específicas. Além disso, analisamos as formulações matemáticas de ambos 
os sistemas e construímos tabelas de amortização práticas. Compreender essas opções é 
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crucial para fazer escolhas financeiras informadas, especialmente em financiamentos de 
longo prazo, como os imobiliários. A escolha adequada do sistema de amortização impacta 
diretamente o planejamento financeiro e a capacidade de pagamento ao longo do tempo.
Vá além!
MaterialComplementar
 
Matemática financeira aplicada: Método Algébrico, HP-12C e Microsoft Excel®
2015, Anísio Costa C. Branco.
No capítulo 7 desse livro, você poderá observar todos os sistemas que aprendemos 
nesta aula. Além disso, traz exercícios propostos e mostra como resolvê-los usando a 
planilha eletrônica. Valem a pena a leitura e o aprofundamento!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522122721. 
Acesso em: 24 set. 2024.
Referências
NETO, A. A. Matemática Financeira e suas Aplicações. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2022. 
E-book. ISBN 9786559773244. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.
br/#/books/9786559773244/. Acesso em: 9 jul. 2024.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786559773244/
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Sistemas de Amortização
Depreciação, Inflação e Deflação
Objetivo da Aula
Compreender e aplicar os diferentes métodos de depreciação.
Entender os conceitos de inflação e deflação e calcular a inflação em diferentes períodos.
Diferenciar entre taxa aparente e taxa real de juros, e calcular a taxa real ajustada 
pela inflação
Apresentação
Bem-vindo(a) a esta aula de matemática financeira!
Nesta aula, iremos explorar conceitos que são essenciais para a gestão financeira no 
âmbito tanto empresarial quanto pessoal. Primeiramente, discutiremos a depreciação, 
que representa a perda de valor dos ativos de uma empresa, ao longo do tempo, devido ao 
desgaste, ao envelhecimento e aos avanços tecnológicos. Veremos, ainda, os diferentes 
métodos de cálculo de depreciação, incluindo o método linear, o exponencial e o de Cole. 
Através de exemplos práticos, aprenderemos a calcular a depreciação de ativos, entendendo 
a diferença entre depreciação real e teórica.
Em seguida, abordaremos os conceitos de inflação e deflação. A inflação é o aumento 
generalizado dos preços de bens e serviços ao longo do tempo, enquanto a deflação é a 
redução dos preços. Discutiremos, também, diversos índices de preços brasileiros, como 
IPCA, IGP-DI, INPC, INCC e IPC, e aprenderemos a calcular a inflação de um período específico. 
Além disso, examinaremos a taxa real de juros, que é ajustada pela inflação para refletir o 
ganho real de um investimento, e aprenderemos a diferenciar a taxa aparente da taxa real 
de juros e a calcular essa última, considerando a taxa de inflação. Por fim, veremos como 
a inflação pode impactar os resultados financeiros e a importância de se considerar a taxa 
real de juros nas decisões de investimento.
Bons estudos!
Livro Eletrônico
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1. Depreciação
Os ativos de uma empresa perdem valor ao longo do tempo devido ao desgaste, ao 
envelhecimento e aos avanços tecnológicos. A depreciação representa a diferença entre o 
custo de aquisição de um bem e seu valor residual após determinado período de utilização.
A depreciação pode ser real ou teórica. A real é a diferença entre o valor de um bem novo 
e seu preço de revenda após algum tempo de uso. Por outro lado, a teórica é calculada com 
base no tempo de uso do bem e em critérios predefinidos de desvalorização.
Ainda, existem métodos de depreciação, entre eles: linear, exponencial e método de 
Cole. Geralmente, as empresas utilizam o método de depreciação linear para registros 
contábeis, embora possam usar outros métodos para calcular os custos de produção, uma 
vez que a depreciação representa um custo empresarial (Kuhnen, 2001).
O método de depreciação linear é o mais simples e comum, consistindo na divisão 
da diferença entre o total a depreciar (PV) e o residual (R) pelo número de anos de vida 
útil do bem.
Para mostrar o plano de depreciação, basta a cada ano deduzir a depreciação (D) do 
valor a depreciar.
001. Calcule a depreciação de um bem adquirido por R$ 300.000,00, com vida útil de 6 anos 
e valor residual de R$ 30.000,00.
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• Plano de depreciação pelo método linear:
Ano Valor de depreciação Valor residual
0 - R$ 300.000,00
1 R$ 45.000,00 R$ 300.000,00 - R$ 45.000,00 = R$ 255.000,00
2 R$ 45.000,00 R$ 255.000,00 - R$ 45.000,00 = R$ 210.000,00
3 R$ 45.000,00 R$ 210.000,00 - R$ 45.000,00 = R$ 165.000,00
4 R$ 45.000,00 R$ 165.000,00 - R$ 45.000,00 = R$ 120.000,00
5 R$ 45.000,00 R$ 120.000,00 - R$ 45.000,00 = R$ 75.000,00
6 R$ 45.000,00 R$ 75.000,00 - R$ 45.000,00 = R$ 30.000,00
O método de depreciação exponencial aplica uma taxa fixa de depreciação sobre o 
valor do bem no final de cada período.
Calcula-se a taxa usando a fórmula:
Em seguida, aplica-se taxa sobre o valor residual do período anterior, e, então, obtém-
se o novo valor residual.
002. Determine a taxa constante e elabore o plano de depreciação de um bem adquirido 
por R$ 500.000,00, com vida útil de 4 anos e valor residual de R$ 120.000,00.
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• Plano de depreciação exponencial:
Ano Taxa fixa Valor de depreciação Valor residual
0 - - R$ 500.000,00
1 30,00729% 0,300729 . R$500.000.00 = 
R$ 150.036,45
R$ 500.000,00 - R$ 150.036,45 = 
R$ 349.963,55
2 30,00729% 0,300729 . R$349.963,55 = 
R$ 105.014,58
R$ 349.963,55 - R$ 105.014,58 = 
R$ 244.948,97
3 30,00729% 0,300729 . R$ 244.948,97 = 
R$ 73.502,55
R$ 244.948,97 - R$ 73.502,55 = 
R$ 171.446,42
4 30,00729% 0,300729 . R$ 171.446,42 = 
R$ 51.446,42
R$ 171.446,42 - R$ 51.446,42 = 
R$ 120.000,00
O método de depreciação de Cole estabelece uma fração a ser depreciada anualmente. 
O numerador da fração é a quantidade de depreciação ainda necessária, incluindo a do ano 
corrente, e o denominador é a soma dos anos da vida útil.
A fração é aplicada a cada período sobre a diferença do valor total a depreciar e o residual.
003. Elabore o plano de depreciação de um equipamento adquirido por R$ 600.000,00, com 
valor residual de R$ 120.000,00 após 5 anos, utilizando o método de Cole.
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Ano Fração Valor de depreciação Valor residual
0 - - R$ 600.000,00
1 = R$ 160.000,00 R$ 440.000,00
2 = R$ 128.000,00 R$ 312.000,00
3 = R$ 96.000,00 R$ 216.000,00
4 = R$ 64.000,00 R$ 152.000,00
5 = R$ 32.000,00 R$ 120.000,00
2. Inflação e Deflação
Segundo Vannucci (2017), todo produto ou bem econômico é expresso em unidade 
monetária, ou seja, possui um preço. A inflação é o aumento generalizado desses preços. 
Diversos fatores que operam conjuntamente na economia contribuem para a variação do 
preço de um bem ou produto. Um processo inflacionário surge da alta generalizada dos 
preços ao longo do tempo. Vale notar que a variação dos preços nos diversossetores não 
evolui na mesma proporção. Assim, cada setor da economia possui sua inflação própria, 
obtendo-se os mais variados tipos de índices em razão de determinadas metodologias. Assim 
como o aumento dos preços, também poderá ocorrer uma baixa em um dado intervalo de 
tempo. É o que se denomina de “deflação”.
Alguns índices de preços brasileiros:
• Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA): calculado pelo IBGE.
• Índice Geral de Preços – Disponibilidade Interna (IGP-DI): calculado pela FGV.
• Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC): calculado pelo IBGE.
• Índice Nacional de Custo de Construção (INCC): calculado pela FGV.
• Índice de Preços ao Consumidor (IPC): calculado pela FIPE-USP.
Para calcular a inflação de um período, use a relação:
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Caso queira saber a inflação por período de um determinado produto, podemos usar 
uma relação semelhante:
004. O IPCA acumulado em 2024 até março foi de 1,42%, e até junho do mesmo ano 2,48%. 
Calcule a inflação do período de março a junho desse mesmo ano.
Assim, a inflação de março a junho de 2024 foi de 1,045%.
Por outro lado, se desejarmos calcular a inflação acumulada em um período, usamos:
Por exemplo, o IPCA de janeiro a dezembro de 2023 está na tabela a seguir:
Mês Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez.
IPCA 0,53 0,84 0,71 0,61 0,23 -0,08 0,12 0,23 0,26 0,24 0,28 0,56
Para obter a inflação acumulada de 2023, calculamos da seguinte maneira:
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Assim, a inflação acumulada pelo IPCA de 2023 foi de 4,62%.
3. Taxa Real de Juros
Em períodos de alta inflação, é essencial analisar os efeitos das taxas de inflação nos 
resultados das aplicações financeiras, pois a rápida perda do poder aquisitivo da moeda 
pode fazer com que esses investimentos gerem resultados ilusórios. A taxa aparente é a 
que prevalece nas operações financeiras correntes, sendo a taxa total paga ou recebida. Em 
contextos inflacionários, é importante distinguir, dentro da taxa aparente, a parte relativa 
à correção monetária da parte correspondente aos juros reais. A taxa real é calculada 
descontando os efeitos inflacionários.
• Fórmula da taxa real de juros:
Seja:
A expressão de correção da taxa é dada por:
005. Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros compostos de 15% a.a. No mesmo 
período, a taxa de inflação foi de 4,62% a.a. Qual a taxa real de juros?
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• i = 15% a.a = 0,15
• x = 4,62% a.a = 0,0462
• r = taxa real de juros
O ganho real sobre o capital será de 9,92% a.a.
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, aprofundamos nossos conhecimentos em três áreas cruciais da gestão 
financeira: depreciação, inflação e taxa real de juros. Compreender esses conceitos é 
fundamental para uma análise financeira precisa e para a tomada de decisões informadas. 
Primeiramente, ao explorar a depreciação, vimos como os ativos de uma empresa perdem 
valor ao longo do tempo devido ao desgaste, ao envelhecimento e aos avanços tecnológicos. 
Em seguida, abordamos a inflação e a deflação, aprendendo como o aumento ou a redução 
generalizada dos preços afeta a economia. Finalmente, discutimos a taxa real de juros, que 
é essencial para avaliar os verdadeiros ganhos de investimentos ajustados pela inflação. 
Também compreendemos a importância de considerar a taxa real de juros em nossas 
decisões de investimento, para garantir que estamos obtendo retornos reais positivos, 
especialmente em ambientes de alta inflação.
Esperamos que esta aula tenha esclarecido e aprofundado seu entendimento sobre 
esses tópicos essenciais. A depreciação, a inflação e a taxa real de juros são pilares da análise 
financeira que impactam diretamente a saúde financeira de uma empresa e as finanças 
pessoais. Aplicar esses conhecimentos permitirá uma gestão financeira mais robusta e 
estratégica.
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Agradecemos pela participação ativa e pelo empenho em aprender. Continue explorando e 
aplicando esses conceitos em suas práticas financeiras diárias. O conhecimento adquirido hoje 
é uma ferramenta poderosa para alcançar uma gestão financeira eficiente e bem-sucedida.
Material Complementar
 
Indicadores - IBGE
2024, IBGE.
No link indicado, você pode encontrar a descrição dos indicadores inflacionários e, 
também, acompanhar os índices históricos e atuais.
Disponível em: https://www.ibge.gov.br/indicadores.html. Acesso em: 24 set. 2024.
Referências
KUHNEN, O. L. Matemática Financeira aplicada e Análise de Investimentos. 3. ed. São Pau-
lo: Atlas, 2001.
ROBERTO, V. L. Matemática financeira e engenharia econômica. São Paulo: Editora Blucher, 
2017. E-book. ISBN 9788521209867. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.
com.br/#/books/9788521209867/. Acesso em: 18 jul. 2024.
VANNUCCI, A. M. Matemática financeira e engenharia econômica: princípios e aplicações. 
2. ed. São Paulo: Blucher, 2017.
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https://www.ibge.gov.br/indicadores.html
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521209867/
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	UA 1 - Fundamentos da Matemática Financeira
	1
	Objetivo da Matemática Financeira e Elementos da Operação de Juros
	Capitalização Simples: Conceitos e Elementos
	Juros Simples, Exato e Comercial
	Desconto Simples
	Equivalência de Capitais em Capitalização Simples
	2
	3
	Objetivo da Matemática Financeira e Elementos da Operação de Juros
	Capitalização Simples: Conceitos e Elementos
	Juros Simples, Exato e Comercial
	Desconto Simples
	Equivalência de Capitais em Capitalização Simples
	4
	Objetivo da Matemática Financeira e Elementos da Operação de Juros
	Capitalização Simples: Conceitos e Elementos
	Juros Simples, Exato e Comercial
	Desconto Simples
	Equivalência de Capitais em Capitalização Simples
	5
	Objetivo da Matemática Financeira e Elementos da Operação de Juros
	Capitalização Simples: Conceitos e Elementos
	Juros Simples, Exato e Comercial
	Desconto Simples
	Equivalência de Capitais em Capitalização Simples
	UA 2 - Capitalização Composta
	1
	Conceitos e Elementos da Capitalização Composta
	Juros Compostos
	Taxa de Juros Nominais, Efetivas e Equivalentes
	Desconto Composto
	Equivalência Composta de Capitais
	2
	3
	Conceitos e Elementos da Capitalização Composta
	Juros Compostos
	Taxa de Juros Nominais, Efetivas e Equivalentes
	Desconto Composto
	Equivalência Composta de Capitais
	4
	Conceitos e Elementos da Capitalização Composta
	Juros Compostos
	Taxa de Juros Nominais, Efetivas e Equivalentes
	DescontoComposto
	Equivalência Composta de Capitais
	5
	Conceitos e Elementos da Capitalização Composta
	Juros Compostos
	Taxa de Juros Nominais, Efetivas e Equivalentes
	Desconto Composto
	Equivalência Composta de Capitais
	UA 3 - Série de Pagamentos ou Rendas
	1
	Conceito Básicos e Classificação das Rendas
	2
	3
	Conceito Básicos e Classificação das Rendas
	Renda Postecidada
	Renda Antecipada
	Renda Diferida
	Séries de Pagamentos: Número de Parcelas e Taxa
	4
	Conceito Básicos e Classificação das Rendas
	Renda Postecidada
	Renda Antecipada
	Renda Diferida
	Séries de Pagamentos: Número de Parcelas e Taxa
	5
	Conceito Básicos e Classificação das Rendas
	Renda Postecidada
	Renda Antecipada
	Renda Diferida
	Séries de Pagamentos: Número de Parcelas e Taxa
	UA 4 - Sistema de Amortização
	1
	Conceito e Tipos de Sistemas
	2
	Conceito Básicos e Classificação das Rendas
	Sistema de Amortização Constante (SAC)
	Sistema de Amortização Price
	Sistema Misto e Sistema Americano
	Depreciação, Inflação e Deflação
	3
	Conceito Básicos e Classificação das Rendas
	Sistema de Amortização Constante (SAC)
	Sistema de Amortização Price
	Sistema Misto e Sistema Americano
	Depreciação, Inflação e Deflação
	4
	Conceito Básicos e Classificação das Rendas
	Sistema de Amortização Constante (SAC)
	Sistema de Amortização Price
	Sistema Misto e Sistema Americano
	Depreciação, Inflação e Deflação
	5
	Conceito Básicos e Classificação das Rendas
	Sistema de Amortização Constante (SAC)
	Sistema de Amortização Price
	Sistema Misto e Sistema Americano
	Depreciação, Inflação e Deflaçãolicenciado para GABRIEL - 02117471226, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou
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Considerações Finais da Aula
Nesta aula, exploramos os princípios da capitalização simples, desde seu conceito 
fundamental até a aplicação prática em diversos contextos financeiros.
Agora, com o conhecimento adquirido, você está preparado para resolver exercícios e enfrentar 
desafios relacionados a essa modalidade de cálculo de juros. Lembre-se de praticar e consolidar 
seu entendimento para dominar esse importante aspecto da matemática financeira.
Aprofunde o tema, vá além!
Material Complementar
 
Matemática Financeira – Princípios e aplicações.
2015, Gustavo Henrique W de Azevedo, p. 11-15.
Neste livro, você irá encontrar exercícios resolvidos e propostos para praticar, referentes 
à nossa unidade de aprendizagem. Quanto mais praticar, melhor será seu entendimento!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502632202/. 
Acesso em: 09 set. 2024.
Referências
PUCCINI, A. de L. Matemática financeira. São Paulo: SRV Editora LTDA, 2022. E-book. 
ISBN 9786587958064. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9786587958064/. Acesso em: 06 mai. 2024.
ZOT, W. D.; CASTRO, M. L. Matemática financeira. Porto Alegre: Grupo A, 2015. E-book. 
ISBN 9788582603338. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9788582603338/. Acesso em: 06 mai. 2024.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para GABRIEL - 02117471226, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou
distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Fundamentos da Matemática Financeira 
Juros Simples, Exato e Comercial
Objetivo da Aula
Diferenciar os juros exatos, de comercial e bancário, bem como calculá-los da forma correta.
Apresentação
Bem-vindo(a) à nossa aula!
Abordaremos cálculos de juros simples com o uso da calculadora HP 12C. A HP 12C é uma 
ferramenta essencial para profissionais das áreas financeiras, contábeis e de investimentos, 
reconhecida por sua eficiência e praticidade. Embora seja mais conhecida por trabalhar com 
juros compostos, vamos explorar como utilizá-la para calcular juros simples, uma habilidade 
útil em diversas situações financeiras.
Vamos aprender a realizar cálculos de juros simples, entender a diferença entre juros comerciais, 
exatos e bancários, e resolver alguns exercícios práticos para consolidar nosso aprendizado.
Vamos lá!
1. Juros Simples com Uso da HP 12C
A HP 12C é uma calculadora financeira amplamente utilizada em diversos setores, 
como finanças, contabilidade, imóveis e investimentos. Ela funciona principalmente com o 
regime de juros compostos, o que a torna ideal para calcular financiamentos, empréstimos, 
investimentos e outras transações financeiras que envolvem esse tipo de cálculo.
A operação da HP 12C é baseada em uma lógica de entrada de dados e execução 
de comandos por meio de suas teclas específicas. Ela possui uma interface de usuário 
intuitiva, mas pode levar um tempo para se familiarizar completamente com todas as 
suas funções e comandos.
Embora a HP 12C seja projetada principalmente para cálculos de juros compostos, ainda 
é possível utilizar recursos básicos para realizar cálculos simples de juros simples, como o 
cálculo de montantes, juros e taxas de juros em operações financeiras simples.
Livro Eletrônico
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Professor(a): Cibele Cristina Gomes Barboza
A função [f] [INT] calcula os juros simples, no entanto, a taxa inserida deve ser a percentual 
anual e o tempo deve estar em dias.
Para calcular o juro simples e o montante produzido por R$ 35.000,00 à taxa de 36% 
a.a. em um ano e três meses.
Na calculadora, o tempo deve ser colocado em dias e a taxa ao ano.
Considerando o valor entre colchetes [ ], como as funções da calculadora, para chegar 
à solução, seguimos os seguintes passos:
1) Limpa a memória: [f] [REG];
2) Lança o capital negativo: 35000[CHS] [PV];
3) Lança o tempo, em dias: 450[n];
4) Lança a taxa percentual ao ano: 36[i];
5) Pede o valor dos juros simples: [f][int] → 15750,00;
6) Obtém o valor do montante: [ + ] → 50750,00.
Você pode fazer o download da calculadora em seu smartphone, ou usar um emulador 
no computador, basta pesquisar como: EMULADOR DA HP 12C.
É importante destacar novamente que, em qualquer operação de matemática financeira, 
taxa e prazo devem estar referenciados na mesma base. Nesse caso, porém, a taxa é anual 
e o prazo é dado em dias.
2. Juros Simples Comercial ou Ordinário
Nas transações de curto prazo, onde predominam as operações com taxas de juros 
simples e compostos, é comum que o prazo seja estabelecido em dias. Nessas situações, o 
número de dias pode ser calculado pelo ano comercial, que considera o mês com 30 dias e o 
ano com 360 dias. Por este critério, é feito o cálculo do chamado juro comercial ou ordinário.
Exemplificando, supondo que R$ 40.000,00 foram investidos, a taxa de juros de 15% 
a.a., entre os meses de fevereiro a maio de um ano bissexto, vamos determinar os juros 
comerciais desta operação.
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Resolução:
Dados:
• Capital (PV): R$ 40000,00;
• Taxa de juros: 15% a.a., logo, i = 0,15;
• Tempo: 4 meses de 30 dias = 120 dias;
Como a taxa está ao ano, obteremos o tempo em ano:
Substituiremos os dados na fórmula de juros simples:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
Assim:
Os juros comerciais produzidos na aplicação são de R$ 2000,00.
Nas operações financeiras em geral, os juros comerciais são os mais difundidos. Assim, 
se o tipo de juros não for explícito, calcularemos com base no tempo comercial.
3. Juros Exatos
Juros simples exatos (ano civil) são aqueles cujo cálculo leva em conta o ano civil, ou 
seja, o número exato de dias do ano, sendo 365 dias e 366 dias para o ano bissexto, e os 
meses de acordo com o calendário, com 28 (ou 29) dias para fevereiro, 30 dias para abril, 
junho, setembro e novembro, e 31 dias para janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e 
dezembro. Essa abordagem considera o número exato de dias de cada mês ao calcular os juros.
Exemplificando, supondo que R$ 40.000,00 foram investidos, a taxa de juros de 15% 
a.a., entre os meses de fevereiro a maio de um ano bissexto, vamos determinar os juros 
exatos desta operação.
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Resolução:
Dados:
• Capital (PV): R$ 40000,00;
• Taxa de juros: 15% a.a., logo, i = 0,15;
• Tempo: fevereiro – 29 dias, março – 31 dias, abril – 30 dias e maio: 31 dias, totalizando 
121 dias.
Como a taxa está ao ano, obteremos o tempo em ano, com base no ano civil:
Substituiremos os dados na fórmula de juros simples:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
Assim:
Os juros exatos produzidos na aplicaçãosão de R$ 1.983,61.
4. Juros Bancários
Juros simples bancários são aqueles cujo cálculo leva em conta o ano comercial, ou seja, 
360 dias, mas considera o número exato de dias de cada mês ao calcular os juros.
Exemplificando, supondo que R$ 40 000,00 foram investidos, a taxa de juros de 15% 
a.a., entre os meses de fevereiro a maio de um ano bissexto, vamos determinar os juros 
bancários desta operação.
Resolução:
Dados:
• Capital (PV): R$ 40000,00;
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• Taxa de juros: 15% a.a., logo, i = 0,15;
• Tempo: fevereiro – 29 dias, março – 31 dias, abril – 30 dias e maio: 31 dias, totalizando 
121 dias.
Como a taxa está ao ano, obteremos o tempo em ano, com base no ano comercial:
Substituiremos os dados na fórmula de juros simples:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
Assim:
Os juros bancários produzidos na aplicação são de R$ 2.016,67.
5. Exercícios Resolvidos
001. (AJURI/2018) Em operações de curto prazo, é conveniente utilizar a taxa diária equiva-
lente. O cálculo pode ser feito segundo duas convenções: juro exato e juro comercial. Para 
os cálculos de juro comercial, considera-se o ano e o mês, respectivamente, com:
a) 365 dias e o mês com 30 dias.
b) 360 dias e o mês com 30 dias.
c) 360 dias e o mês com seu número real de dias.
d) o ano e cada mês vigentes com seu número real de dias.
e) o ano vigente com o seu número real de dias e o mês com 30 dias.
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No juro comercial ou ordinário, considera-se cada mês contendo 30 dias e o ano com 360 
dias. Assim, a alternativa correta é a letra b.
Letra b.
002. (FUNCAB/2014) Os juros exatos e os juros comerciais da aplicação de um capital de R$ 
10.000,00 (dez mil reais), no regime de juros simples, aplicados por um período de 60 (sessenta) 
dias a uma taxa de juros de 36% ao ano, considerando um ano não bissexto, são, respectivamente:
a) R$ 500,00 e R$ 560,82.
b) R$ 560,82 e R$ 500,00.
c) R$ 591,78 e R$ 600,00.
d) R$ 600,00 e R$ 591,78.
• Capital: R$ 10000,00 Taxa de juros: 36% a.a.;
• Tempo exato: 60/365 Tempo comercial: 60/360.
Juros exatos:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
Juros comerciais:
𝐉 = 𝐏𝐕 · 𝒊 · 𝒏
Letra c.
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Considerações Finais da Aula
Nesta aula, exploramos os conceitos de juros simples e sua aplicação prática utilizando 
a calculadora financeira HP 12C, lembre-se de que, para isso, o tempo deve estar em dias, 
e a taxa ao ano.
Aprendemos a diferenciar entre juros comerciais, exatos e bancários, compreendendo 
como cada um é calculado e em que contextos são aplicados.
Nos juros simples, comerciais ou ordinários, cada mês é tratado como tendo 30 dias 
e o ano é considerado como tendo 360 dias, independentemente do calendário civil. Em 
contraste, os juros simples exatos seguem o calendário civil, onde cada mês tem seus dias 
correspondentes e o ano tem 365 ou 366 dias em anos bissextos. Os bancos adotam uma 
abordagem combinada, chamada de juros pela regra dos banqueiros, onde, para calcular 
a diferença entre duas datas, utilizam-se os dias do calendário civil, mas para calcular o 
total de dias em um ano ou mês, utilizam-se os conceitos de juros comerciais, comum em 
transações financeiras de curto prazo.
Não hesite em praticar os exercícios propostos e explorar mais recursos da calculadora 
HP 12C para aprimorar suas habilidades em matemática financeira.
Vá além!
Material Complementar
 
Matemática – Juros Simples
2024, Khan Academy.
Visite o site e crie uma conta, em seguida, busque a trilha no link indicado; é intuitivo, 
autoexplicativo. Você assiste às aulas, faz as tarefas e vai pontuando como em um jogo. 
Você irá aprender tudo passo a passo. É muito divertido!
Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/em-mat-algebra/x34e9dd8107ca5e-
da:estudo-das-taxas/x34e9dd8107ca5eda:juros-simples/v/intro-to-simple-interest-
-comparing-quantities-class-7-india-math-khan-academy. Acesso em: 09 set. 2024.
Referências
AZEVEDO, G. H. W de. Matemática Financeira – Princípios e aplicações. São Paulo: SRV Edi-
tora LTDA, 2015. E-book. ISBN 9788502632202. Disponível em: https://integrada.minha-
biblioteca.com.br/#/books/9788502632202/. Acesso em: 05 maio 2024.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para GABRIEL - 02117471226, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou
distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
https://pt.khanacademy.org/math/em-mat-algebra/x34e9dd8107ca5eda:estudo-das-taxas/x34e9dd8107ca5eda:juros-simples/v/intro-to-simple-interest-comparing-quantities-class-7-india-math-khan-academy
https://pt.khanacademy.org/math/em-mat-algebra/x34e9dd8107ca5eda:estudo-das-taxas/x34e9dd8107ca5eda:juros-simples/v/intro-to-simple-interest-comparing-quantities-class-7-india-math-khan-academy
https://pt.khanacademy.org/math/em-mat-algebra/x34e9dd8107ca5eda:estudo-das-taxas/x34e9dd8107ca5eda:juros-simples/v/intro-to-simple-interest-comparing-quantities-class-7-india-math-khan-academy
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502632202/
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HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo, SP: Saraiva, 2014. 1 
recurso online. ISBN 9788502618176. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.
com.br/books/9788502618176. Acesso em: 06 mai. 2024.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para GABRIEL - 02117471226, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou
distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Fundamentos da Matemática Financeira 
Desconto Simples
Objetivo da Aula
Compreender e aplicar os conceitos de desconto comercial e racional simples para calcular 
o valor atual de títulos de crédito, considerando, quando necessário, taxas administrativas.
Apresentação
Olá! Ao lidar com operações de desconto, o principal objetivo é determinar o valor atual 
de um título de crédito, conhecendo seu valor futuro ou valor nominal, também denominado 
valor de face ou valor de resgate.
O desconto é a diferença entre o valor de resgate do título e seu valor atual na data da 
operação. Este processo envolve o uso de fórmulas e notações específicas, onde o desconto 
é calculado com base em uma taxa e um período de tempo predeterminados. Existem duas 
modalidades de desconto: o desconto racional, também conhecido como por dentro, e o 
desconto comercial, conhecido como por fora.
Ao incluirmos as possíveis taxas administrativas ao desconto comercial simples, obtemos 
o desconto bancário, que abordaremos ao final da aula.
Vamos lá, bons estudos!
1. Descontos
Quando se trata da operação de desconto, o objetivo geralmente é determinar o valor 
atual de um título de crédito, quando se conheceo seu valor futuro, também chamado de 
valor nominal, valor de face ou valor de resgate.
As notações utilizadas são:
• N – valor nominal de um título;
• A – valor atual de um título, valor com desconto.
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O desconto, nesse contexto, é a diferença entre o valor de resgate do título e o seu valor 
atual na data da operação, expresso pela fórmula:
𝐃 = 𝐍 − 𝐀
D representa o desconto monetário, N é o valor futuro (o valor que o título assume na 
data do vencimento) e A é o valor creditado ou pago ao seu titular.
Assim, como ocorre com os juros, o cálculo do desconto está ligado a uma taxa e a um 
período de tempo específico, ambos na mesma unidade.
O desconto é dividido em:
a) Desconto racional (por dentro);
b) Desconto comercial ou bancário (por fora).
2. Descontos Racional Simples
Desconto racional simples é aquele aplicado no valor atual do título n períodos antes 
do vencimento, ou seja, é o mesmo que juro simples.
Observe a fórmula que calcula o montante no juros simples:
𝐅𝐕 = 𝐏𝐕 · (1 + 𝒊)𝒏
Usando a notação de desconto, temos:
𝐍 = 𝐀 · (1 + 𝒊 · 𝒏)
Isolando A:
O valor do desconto, por sua vez, pode ser calculado por:
𝐃 = 𝐍 − 𝐀
𝐃 = 𝐀 · (1 + 𝒊 · 𝒏) − 𝐀
𝐃 = 𝐀 + 𝐀 · 𝒊 · 𝒏 − 𝐀
𝐃 = 𝐀 · 𝒊 · 𝒏
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Exemplo:
Um título de R$ 94.500,00 vai ser descontado à taxa de 2% ao mês quando faltar 75 
dias para o vencimento do título. Determine:
• o valor atual racional;
• o valor do desconto racional.
Resolução:
Dados:
Com base nestas informações, temos:
Como o valor do desconto, é obtido por:
𝐃 = 𝐍 − 𝐀
𝐃 = 94500 −90000 = 4500,00
O valor atual racional do título é R$ 90 000,00 e o desconto pela antecipação é R$ 4.500,00.
3. Descontos Comercial Simples
Desconto comercial simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o 
valor do título ou valor futuro. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela 
taxa de desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja:
𝐃 = 𝐍 · 𝒊 · 𝒏
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Onde “i” representa a taxa de desconto e “n” o prazo de antecipação do título. E para 
se obter o valor presente, também chamado de valor descontado ou atual, basta subtrair 
o valor do desconto do valor futuro do título, como segue:
𝐀 = 𝐍 − 𝐃 
𝐀 = 𝐍 − 𝐍 · 𝒊 · 𝒏
𝐀 = 𝐍 (1 − 𝒊 · 𝒏)
Exemplo:
Um título de R$ 94.500,00 vai ser descontado à taxa de 2% ao mês quando faltar 75 
dias para o vencimento do título. Determine:
• o valor do desconto comercial;
• o valor atual comercial.
Solução:
Dados:
Com base nestas informações, temos:
𝐃 = 𝐍 · 𝒊 · 𝒏
𝐃 = 94500 · 0,02 · 2 ,5
𝐃 = 472 5,00
O valor atual comercial é:
𝐀 = 𝐍 − 𝐃 
𝐀 = 94500 − 472 5
𝐀 = 89775,00
O valor atual comercial do título é R$ 90.000,00 e o desconto pela antecipação é 
R$ 4.725,00.
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4. Exercícios Resolvidos
Chegou a hora de praticar! As questões a seguir possuem soluções detalhadas, no 
entanto, é interessante que tente resolvê-las e compare sua solução com a apresentada. 
Assim, pode perceber se já compreendeu o conteúdo da aula.
001. (SELECOM/2024) Um título com valor de resgate de R$ 36.000,00 foi negociado 90 
dias antes de seu vencimento. Se o valor atual desse título na data do desconto é de R$ 
34.380,00, a taxa de desconto comercial simples ao mês foi de:
a) 0,45%
b) 0,95%
c) 1,04%
d) 1,50%
Dados:
Com base nestas informações, temos:
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Assim, a alternativa correta é a letra d.
Letra d.
002. (FGV/2024) Uma duplicata sofre desconto comercial simples 50 dias antes do seu 
vencimento. A taxa utilizada no desconto foi de 2,4% ao mês.
Considerando-se o mês comercial, se o valor resgatado é R$ 11.520,00, então, o valor de face 
dessa duplicata corresponde a um valor entre
a) R$ 11.900,00 e R$ 12.150,00.
b) R$ 12.150,00 e R$ 12.400,00.
c) R$ 12.400,00 e R$ 12.650,00.
d) R$ 12.650,00 e R$ 12.900,00.
e) R$ 12.900,00 e R$ 13.150,00.
Dados:
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O valor de face da duplicata é R$ 12.000,00, fazendo que a alternativa a seja a correta.
Letra a.
5. Descontos Bancário Simples
O desconto bancário simples é uma variação do desconto comercial simples, seguindo 
a mesma lógica financeira. A diferença principal é a inclusão de custos administrativos, 
representados por (ta) nas fórmulas, em termos percentuais. Para refletir essa taxa 
administrativa, que varia de instituição para instituição, adapta-se a fórmula do desconto 
comercial simples.
A taxa administrativa (t
a) é aplicada diretamente sobre o valor nominal (valor futuro) 
da obrigação, sem considerar o prazo. Além disso, os bancos são obrigados a cobrar o IOF 
(Imposto sobre Operações Financeiras), que é repassado diretamente ao Banco Central do 
Brasil (Bacen).
Quando o IOF é mencionado no exercício, ele pode ser somado à taxa de desconto, já que 
ambos têm a mesma base de cálculo: o valor nominal (N) do título e o prazo da operação. 
É importante que as duas taxas estejam na mesma unidade de tempo. Assim, a fórmula 
ajustada para o desconto bancário simples é:
𝑑 = 𝑁 · 𝑖 · 𝑛 + 𝑁 · 𝑡 𝑎
Ou:
𝑑 = 𝑁 · (𝑖 · 𝑛 + 𝑡 𝑎)
O cálculo do valor Atual será dado por:
𝐴 = 𝑁 − 𝑑 
Ou:
𝐴 = 𝑁 · [ 1 − (𝑖 · 𝑛 + 𝑡 𝑎)]
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Exemplo:
Um título de crédito no valor de R$ 100.000,00 foi descontado em uma instituição 
financeira que cobra uma taxa administrativa de 0,5%. Sabendo que o título foi descontado 
45 dias antes do vencimento e que a taxa de desconto bancário simples é de 2,8% ao mês, 
determine o valor do desconto bancário e quanto o dono do título recebeu.
Dados:
Com base nestas informações, temos:
O desconto foi de R$ 4.700,00 e o valor recebido pelo cliente R$ 95.300,00.
A despesa administrativa pode ser cobrada em valor monetário em vez de percentual. 
Neste caso, calcula-se o desconto comercial sem considerar a despesa administrativa 
e, em seguida, soma-se ao desconto encontrado o valor da despesa para obter o 
desconto total.
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Considerações Finais da Aula
Nesta aula, abordamos os fundamentos do desconto simples, apresentando suas 
diferenças em relação ao desconto racional e comercial. Aprendemos a aplicar as fórmulas 
específicas para calcular o valor atual e o desconto de um título, considerando também as 
taxas administrativas. Os exemplos e exercícios tem por objetivo reforçar a compreensão 
dos conceitos e a aplicação das fórmulas.
Dominar esses cálculos é essencial para avaliar corretamente o valor atual dos títulos 
de crédito, especialmente em contextos financeiros e comerciais. Continue praticando com 
diversos exemplos para fortalecer sua habilidade de lidar com diferentes situações e taxas 
aplicadas em operações de desconto.
Aprofunde-se, vá além!
Material Complementar
 
Matemática financeira: uso de calculadoras financeiras, aplicações ao mercado 
financeiro, introdução à engenharia econômica, 300 exercícios resolvidos e pro-
postos com respostas
2012, Lilia L. Veras. Capítulo 4.
Este livro possui uma linguagem acessível e apresenta muitos exercícios, como diz o 
próprio título, resolvidos e propostos. Sugiro o capítulo 4, mas caso queira aprofundar 
pode explorar o livro todo, vale a pena!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522478545/. 
Acesso em: 09 set. 2024.
Referências
DALZOT, W. D. Matemática financeira fundamentos e aplicações. Porto Alegre: Bookman, 
2015. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788582603338. 
Acesso em: 31 abr. 2024.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2018. Disponível em: https://
integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788597015461. Acesso em: 31 abr. 2024.
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para GABRIEL - 02117471226, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título, a sua reprodução, cópia, divulgação ou
distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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PROFESSOR(A): CIBELE CRISTINA GOMES BARBOZA
Fundamentos da Matemática Financeira 
Equivalência de Capitais em Capitalização 
Simples
Objetivo da Aula
Determinar a equivalência entre diferentes capitais ou conjuntos de capitais a uma taxa 
de juros estabelecida no regime de capitalização simples.
Apresentação
Bem-vindo(a) à aula sobre equivalência de capitais.
Nesta aula, exploraremos como comparar e igualar valores financeiros ocorridos em 
diferentes momentos do tempo, utilizando o conceito de equivalência de capitais.
Dizemos que dois ou mais capitais com datas de vencimento diferentes são equivalentes 
quando, ajustados para a data focal à mesma taxa de juros e sob as mesmas condições, 
produzem valores iguais. A data focal serve como um ponto de referência comum para 
esses cálculos. Ao longo desta aula, aprenderemos a aplicar esses conceitos tanto em 
juros simples quanto em descontos simples, facilitando a compreensão e a resolução de 
problemas financeiros práticos.
Vamos lá, bons estudos!
1. Equivalência de Capitais
Segundo Zot e Castro (2015), dois ou mais fluxos de caixa (capitais) são ditos equivalentes 
a uma determinada taxa de juros se seus valores presentes (valores atuais), em uma 
determinada data focal, forem iguais.
A data focal é a data utilizada como base para comparar valores que originalmente 
estão em diferentes datas. Ela serve como um ponto de referência, podendo ser situada 
em qualquer momento do tempo. A data focal também é conhecida como data de avaliação 
ou data de referência.
Livro Eletrônico
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Professor(a): Cibele Cristina Gomes Barboza
Para ficar claro, imagine que precise comparar dois títulos, um que tenha vencimento 
para daqui a 2 meses e outro que tenha vencimento para daqui a 6 meses, conforme a figura:
Figura 1: Comparação de títulos para capitais
Fonte: Elaboração própria (2024).
Para que os capitais destes títulos possam ser comparados, você deve trazer os dois 
para a data atual (momento zero), descapitalizando os dois valores a uma mesma taxa; 
outra possibilidade é capitalizar o título que venceria em 2 meses até a data focal 6 meses. 
O importante é que o tempo influencia no valor do dinheiro. Assim, só é possível compará-
los em uma mesma data pré-estabelecida.
Para facilitar os cálculos, geralmente escolhemos como data focal o momento zero, que 
frequentemente corresponde à data a partir da qual realizamos nossos cálculos.
2. Equivalência de Capitais em Juros Simples
Para Assaf Neto (2022), conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de uma 
certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados 
iguais numa data comum.
Em juros simples para capitalizar o valor, usamos:
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 · ( 1 + 𝑖 · 𝑛)
Para descapitalizar, usamos a mesma relação, isolando PV:
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Podemos dizer, por exemplo, que um título de R$ 55.000,00 que irá vencer daqui a 2 
meses é equivalente a outro título de R$ 60.000,00 que irá vencer daqui a 4 meses, a uma 
taxa de 5% a.m. de juros simples.
Podemos justificar a afirmação acima de várias formas, o importante é estabelecer 
uma mesma data focal.
Por exemplo, podemos calcular o valor presente dos dois títulos. Assim:
Título 1:
Título 2:
Como os dois valores presentes são iguais, podemos considerar que os dois títulos 
correspondem a capitais equivalentes.
Esta mesma situação poderia ser resolvida descapitalizando o título 1 dois meses, como 
foi feito no primeiro caso, e em seguida capitalizando o valor presente 4 meses. Para isso, 
podemos fazer:
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Título 1:
Conforme feito anteriormente:
Agora, levamos o PV para data focal: 4 meses.
Neste caso, o título 1 se iguala ao título 2 na data focal de 4 meses, logo, são equivalentes.
3. Equivalência de um Conjunto de Capitais a Juros Simples
Assim como analisamos dois capitais equivalentes, podemos analisar dois conjuntos 
de capitais equivalentes.
Para entender melhor, observe os conjuntos de capitais 1 e 2 a seguir:
Tabela 1: Conjunto de capitais 1
Conjunto de capitais 1
Capitais Mês de vencimento
A R$ 3 300,00 1 mês
B R$ 3 600,00 2 meses
C R$ 3 900,00 3 meses
Fonte: Elaboração própria (2024).
Tabela 2: Conjunto de capitais 2
Conjunto de capitais 2
Capitais Mês de vencimento
A R$ 4 400,00 1 mês
B R$ 2640 00 2 meses
C R$ 3 640,00 3 meses
Fonte: Elaboração própria (2024).
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Vamos calcular o valor presente de cada conjunto de capitais, considerando a taxa de 
10%a.m., para isso, calcularemos a soma dos valores atuais. Assim:
Conjunto de capitais 1:
Conjunto de capitais 1:
Como na mesma data focal, no caso, a data atual, os dois conjuntos de capitais têm o 
mesmo valor, R$ 9.000,00, podemos dizer que são equivalentes.
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4. Equivalência de Capitais em Descontos Simples
Em termos financeiros, é frequente a necessidade de antecipar ou prorrogar títulos. 
Esta necessidade surge quando queremos substituir um título por outro, um título por 
vários títulos ou vários títulos por um título.
Nesta situação, a equivalência de capitais com valores diferentes e em datas distintas, 
calculados à mesma taxa, pode ocorrer usando desconto comercial.
Definir uma data focal também é fundamental neste contexto. Outro aspecto essencial 
é a definição de capitais equivalentes, ou seja, dois ou mais valores nominais com datas 
de vencimento diferentes são considerados equivalentes quando, descontados para uma 
mesma data focal, à mesma taxa de desconto e sob as mesmas condições, produzem 
valores atuais iguais.
Para o nosso estudo, limitaremos a equivalência de capitais diferidos considerando o 
desconto comercial simples. A fórmula básica é a do valor atual do desconto comercial:
𝐴 = 𝑁 · ( 1 + 𝑖 · 𝑛)
Exemplo:
Uma empresa deve um título no valor de R$ 90.000,00, com vencimento previsto para 60 
dias. Prevendo não poder liquidá-lo no prazo estabelecido, solicita ao credor a substituição 
por um único título com vencimento para 105 dias. Estabelecida a taxa do desconto simples 
comercial de 2,5% ao mês, calcule o valor nominal do novo título.
Solução:
Dados iniciais:
Para resolver, primeiro obtemos o valor atual do título com vencimento previsto 
em 60 dias. Assim:
𝐴 = 𝑁 · ( 1 + 𝑖 · 𝑛)
𝐴 = 90000,00 · ( 1 + 0,025 · 2)
𝐴 = 90000,00 · 0,95 
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𝐴 = 85 5 00,00
Agora, calculamos o valor nominal do novo título, que terá vencimento para 105 
dias. Assim, consideramos:
Dessa forma, o novo título, alterando o vencimento de 60 para 105 dias, passa a 
ter como valor nominal R$ 93.698,63.
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, abordamos a equivalência de capitais, um conceito fundamental para a 
análise e comparação de valores financeiros em diferentes períodos de tempo.
Aprendemos a utilizar a data focal como referência para nossos cálculos, garantindo que 
possamos comparar valores de maneira precisa e consistente. Aplicamos fórmulas para calcular 
valores presentes e futuros em juros simples e exploramos a equivalência de conjuntos de capitais.
Além disso, vimos como utilizar o desconto comercial simples para ajustar valores 
nominais em casos de antecipação ou prorrogação de títulos. Com esses conhecimentos, 
estamos, agora, melhor preparados para tomar decisões financeiras informadas e precisas 
em diversos contextos profissionais.
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Vá além!
Material Complementar
 
Matemática financeira para concursos
2017, Abelardo de L. Puccini. Capítulo 2.
No capítulo 2 deste livro, você encontrará muitos exercícios e situações práticas impor-
tantes para sua formação, não deixe de ler, aprofundar e praticar!
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547215163/. 
Acesso em: 09 set. 2024.
Referências
NETO, A. A. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Grupo GEN, 2022. E-book. 
ISBN 9786559773244. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9786559773244/. Acesso em: 18 jun. 2024.
ZOT, W. D.; CASTRO, M. L. Matemática financeira. Grupo A, 2015. E-book. ISBN 
9788582603338. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/
books/9788582603338/. Acesso em: 18 jun. 2024.
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Capitalização Composta
Conceitos e Elementos da Capitalização 
Composta
Objetivo da Aula
Analisar as características distintas dos regimes de capitalização simples e composta, 
destacando suas aplicações.
Apresentação
Nesta aula, abordaremos que, no universo das operações financeiras, a escolha entre 
os regimes de capitalização simples e composta desempenha um papel crucial. Enquanto 
a capitalização simples baseia-se na aplicação de juros sobre o valor inicial investido, a 
capitalização composta considera os juros sobre o montante acumulado em cada período. 
Embora a diferença possa parecer sutil à primeira vista, ela tem implicações significativas no 
crescimento do investimento ao longo do tempo. Neste texto, exploraremos as características 
distintas desses dois regimes por meio de tabelas comparativas e análises detalhadas, 
destacando as vantagens e desvantagens de cada um.
Bons estudos!
1. Regime de Capitalização Simples x Capitalização Composta
O regime de capitalização composta é o mais utilizado nas operações financeiras, muitos 
dizem que se trata de “juros sobre juros”, conceito este um pouco equivocado do ponto de 
vista formal. É melhor pensarmos que se trata de juros sobre o valor acumulado, ou seja, a 
cada período de capitalização, os juros são calculados sobre o montante do período anterior.
Segundo Neto (2023), o regime de juros compostos considera que os juros formados 
em cada período são acrescidos ao capital, formando o montante (capital mais juros) do 
período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte, formando 
um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre 
os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.
Livro Eletrônico
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Para ficar mais claro, observe as tabelas comparativas abaixo. Na tabela 1, teremos a 
evolução mensal do valor de R$ 10.000,00 aplicado por quatro meses, a uma taxa de 8% 
a.m., no regime de capitalização simples, enquanto tabela 2, teremos as mesmas condições 
de valor aplicado, taxa de juros e tempo, porém, no regime de capitalização composta.
Tabela 1: Capitalização simples
R$ 10.000,00, aplicado a 8% a.m., durante 4 meses
Período Juros simples mensal Montante
0 R$ 10.000,00
1 Juros = 10.000,00 ⋅ 0,08 = 800,00 R$ 10.800,00
2 Juros = 10.000,00 ⋅ 0,08 = 800,00 R$ 11.600,00
3 Juros = 10.000,00 ⋅ 0,08 = 800,00 R$ 12.400,00
4 Juros = 10.000,00 ⋅ 0,08 = 800,00 R$ 13.200,00
Fonte: Elaboração própria (2024).
A seguir, o mesmo exemplo pela perspectiva da capitalização composta:
Tabela 2: Capitalização composta
R$ 10.000,00, aplicado a 8% a.m., durante4 meses
Período Juros simples mensal Montante
0 R$ 10.000,00
1 Juros = 10.000,00 ⋅ 0,08 = 800,00 R$ 10.800,00
2 Juros = 10.800,00 ⋅ 0,08 = 864,00 R$ 11.664,00
3 Juros = 11.664,00 ⋅ 0,08 = 933,12 R$ 12.597,12
4 Juros = 12.597,12⋅ 0,08 = 1007,77 R$ 13.604,89
Fonte: Elaboração própria (2024).
Podemos perceber que os juros, na capitalização simples, incidem sobre o valor inicial 
investido, proporcionando ao montante um crescimento linear, enquanto na capitalização 
composta, os juros incidem sobre o montante do período anterior; o crescimento gerado 
é exponencial.
Os juros compostos promovem um crescimento mais rápido do valor aplicado, investido 
e até tomado emprestado, e quanto maior for a taxa, maior será a diferença entre os juros 
simples e compostos.
A figura 1 ilustra a situação apresentada nas tabelas:
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Figura 1: Capitalização simples e composta
Fonte: Elaboração própria (2024).
Conforme Puccini (2022), considerando a mesma taxa de juros, o crescimento do 
dinheiro a juros compostos é maior do que o crescimento a juros simples a partir do final 
do primeiro período.
2. Conceitos Básicos
As mesmas nomenclaturas usadas na capitalização simples são as apresentadas aqui:
• Capital: representado por PV;
• Montante: representado por FV;
• Tempo, prazo ou período: representado por n;
• Juro: representado por J;
• Taxa de juros: na forma unitária, ou seja, taxa percentual dividida por cem, represen-
tada por i.
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Lembrando que não podemos confundir juros e taxa de juros. O primeiro se refere a 
um valor monetário, enquanto o segundo pode ser representado na forma percentual ou 
decimal (unitária).
3. Tabelas Comparativas de Capitalização Simples e Composta
As tabelas a seguir mostram a aplicação de R$ 20.000,00, às taxas de 0,5%, 5% e 15%, ao 
longo de um ano. Os meses que aparecem como 0,33; 0,5 e 0,67 equivalem, respectivamente, 
a 10 dias, 15 dias e 20 dias de aplicação. Na última coluna, temos a diferença entre o 
montante composto e o montante simples.
Observe-as com atenção:
Tabela 3: Aplicação de R$ 20.000,00, a uma taxa de 0,5% a.m., por 1 ano
Valor aplicado R$ 20.000,00
Taxa de juros 0,50% a.m.
Mês Montante simples Montante composto Diferença
0 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 R$ 0,00
0,33 R$ 20.033,33 R$ 20.033,28 -R$ 0,06
0,50 R$ 20.050,00 R$ 20.049,94 -R$ 0,06
0,67 R$ 20.066,67 R$ 20.066,61 -R$ 0,06
1 R$ 20.100,00 R$ 20.100,00 R$ 0,00
2 R$ 20.200,00 R$ 20.200,50 R$ 0,50
3 R$ 20.300,00 R$ 20.301,50 R$ 1,50
4 R$ 20.400,00 R$ 20.403,01 R$ 3,01
5 R$ 20.500,00 R$ 20.505,03 R$ 5,03
6 R$ 20.600,00 R$ 20.607,55 R$ 7,55
7 R$ 20.700,00 R$ 20.710,59 R$ 10,59
8 R$ 20.800,00 R$ 20.814,14 R$ 14,14
9 R$ 20.900,00 R$ 20.918,21 R$ 18,21
10 R$ 21.000,00 R$ 21.022,80 R$ 22,80
11 R$ 21.100,00 R$ 21.127,92 R$ 27,92
12 R$ 21.200,00 R$ 21.233,56 R$ 33,56
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A taxa de 0,5% é uma taxa que se aproxima da taxa de rendimento da caderneta de 
poupança por se tratar de uma taxa pequena, e o período analisado, 1 ano, também é 
relativamente pequeno. Não vemos grandes distorções entre os montantes simples e 
compostos.
Tabela 4: Aplicação de R$ 20.000,00, a uma taxa de 5% a.m., por 1 ano
Valor aplicado R$ 20.000,00
Taxa de juros 5,0% a.m.
Mês Montante simples Montante composto Diferença
0 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 R$ 0,00
0,33 R$ 20.333,33 R$ 20.327,93 -R$ 5,41
0,50 R$ 20.500,00 R$ 20.493,90 -R$ 6,10
0,67 R$ 20.666,67 R$ 20.661,23 -R$ 5,44
1 R$ 21.000,00 R$ 21.000,00 R$ 0,00
2 R$ 22.000,00 R$ 22.050,00 R$ 50,00
3 R$ 23.000,00 R$ 23.152,50 R$ 152,50
4 R$ 24.000,00 R$ 24.310,13 R$ 310,13
5 R$ 25.000,00 R$ 25.525,63 R$ 525,63
6 R$ 26.000,00 R$ 26.801,91 R$ 801,91
7 R$ 27.000,00 R$ 28.142,01 R$ 1.142,01
8 R$ 28.000,00 R$ 29.549,11 R$ 1.549,11
9 R$ 29.000,00 R$ 31.026,56 R$ 2.026,59
10 R$ 30.000,00 R$ 32.577,89 R$ 2.577,89
11 R$ 31.000,00 R$ 34.206,79 R$ 3.206,79
12 R$ 32.000,00 R$ 35.917,13 R$ 3.917,13
Fonte: Elaboração própria (2024).
Ao aumentarmos a taxa para 5% a.m., taxa de alguns tipos de empréstimos, já percebemos 
o crescimento mais intenso do montante composto. Ao longo de um ano, a diferença entre 
ele e o montante simples é bem maior que no caso anterior.
Agora, observe a tabela 5 com uma taxa três vezes maior que a última, de 15% a.m., 
taxa média aproximada de juros do cartão de crédito.
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Tabela 5: Aplicação de R$ 20.000,00, a uma taxa de 15% a.m., por 1 ano
Valor aplicado R$ 20.000,00
Taxa de juros 15,0% a.m.
Mês Montante simples Montante composto Diferença
0 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 R$ 0,00
0,33 R$ 21.000,00 R$ 20.953,79 -R$ 46,21
0,50 R$ 21.500,00 R$ 21.447,61 -R$ 52,39
0,67 R$ 22.000,00 R$ 21.953,07 -R$ 46,93
1 R$ 23.000,00 R$ 23.000,00 R$ 0,00
2 R$ 26.000,00 R$ 26.450,00 R$ 450,00
3 R$ 29.000,00 R$ 30.417,50 R$ 1.417,50
4 R$ 32.000,00 R$ 34.980,13 R$ 2.980,12
5 R$ 35.000,00 R$ 40.227,14 R$ 5.227,14
6 R$ 38.000,00 R$ 46.261,22 R$ 8.261,22
7 R$ 41.000,00 R$ 53.200,40 R$ 12.200,40
8 R$ 44.000,00 R$ 61.180,46 R$ 17.180,46
9 R$ 47.000,00 R$ 70.357,53 R$ 23.357,53
10 R$ 50.000,00 R$ 80.911,15 R$ 30.911,15
11 R$ 53.000,00 R$ 93.047,83 R$ 40.047,83
12 R$ 56.000,00 R$ 107.005,00 R$ 51.005,00
Fonte: Elaboração própria (2024).
Nesta última situação, o capital de R$ 20.000,00, após 1 ano na capitalização simples, já 
gera um montante de R$ 56.000,00, e em capitalização composta, o montante passa a ser 
superior a 107 mil reais. A diferença entre eles é muito grande, excedendo R$ 51.000,00.
Podemos afirmar que a aplicação a juros compostos é maior que a aplicação de 
juros simples?
Esta pergunta é muito interessante, pois quando observamos os períodos de 
capitalização inferiores a 1, no caso das tabelas: 0,25; 0,5 e 0,67 mês, podemos 
verificar que a capitalização simples proporciona um montante ligeiramente mais 
alto. Devido a isso, alguns empréstimos, no curto prazo, ou boletos que se pagam 
em atraso, operam a juros simples.
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Professor(a): Cibele Cristina Gomes Barboza
Considerações Finais da Aula
Nesta aula, trouxemos as ideias iniciais de capitalização composta, comparando-a com a 
capitalização simples. As tabelas apresentadas oferecem uma visão clara das diferenças entre 
os regimes de capitalização simples e composta em diferentes cenários de investimento. 
Enquanto a capitalização simples produz um crescimento linear nos montantes ao longo 
do tempo, a capitalização composta