Estado de tensão triaxial

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FACULDADE SANTO AGOSTINHO – FSA
CURSO: BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: RESISTENCIAS DOS MATERIAIS II
PROFº RAFAEL MARQUES
ESTADO TRIAXIAL DE TENSÃO
DANILO CARNEIRO
Teresina (PI), junho de 2015
FACULDADE SANTO AGOSTINHO – FSA
COORDENAÇÃO DE ENGENHARIA CIVIL
RESISTENCIAS DOS MATERIAIS II
ESTADO TRIAXIAL DE TENSÃO
Teresina Este trabalho tem como objetivo fazer o estudo do Estado triplo de tensão, analisar suas equações mostrando a dedução da mesma. Assim como tem objetivo a conclusão da disciplina. Teve como orientador o Ms. Rafael Marques.
2015
Figura 1.1 - Solido em equilíbrio	7
Figura 1.2 Ação e reação no sólido	7
Figura 2.1- Plano ortogonal	8
Figura 2.2 - Estado triplo de tensão	8
Figura 2.3 - Estado triplo de tensão	9
Figura 2.4 - Equilíbrio das tensões	9
Figura 2.5 - Tensão resultante em um plano	10
Figura 2.6 - tensão normal e de cisalhamento, componentes de p	11
Figura 2.7 - Inclinação do elemento em relação à posição inicial	12
Figura 2.8 - Planos e tensões principais	13
Figura 2.9 - Elipsoide das tensões	14
Figura 2.10 - Planos principais, tensões principais e plano inclinado	16
Figura 2.11 - Circunferência representada pela expressão 21	19
Figura 2.12 - Circulo de Mohr para o plano inclinado em relaçao aos planos 2 e3	19
Figura 2.13 - Círculo de Mohr para o plano inclinado em relação aos planos 1 e 2	20
Figura 2.14 - Círculo de Mohr (união dos três casos anteriores)	20
Figura 2.15 - Plano qualquer em relação aos planos 1, 2 e 3 simultâneo	21
Figura 2.16 - Círculo de Mohr para um plano qualquer	21
Figura 2.17 - Representação usual do Circulo de Mohr	21
Figura 2.18 - Círculo de Mohr para tração simples	22
Figura 2.19 - Círculo de Mohr para estado de cisalhamento puro	22
Tabela 21 - Teorema de Bozano para intervalos	30
Tabela 22 - Resultados dos intervalos [-58 ; -100]	30
Tabela 23 - Resultados dos intervalos [-58 ; 53]	31
Lista de símbolos
θ ângulo
Τ tensor da matriz
α ângulo
β ângulo
γ ângulo
σ sigma (tensão normal)
ρ rho (tensão resultante)
τ tau (tensão de cisalhamento)
τxy tau de xy (tensão de cisalhamento no plano x na direção y)
τxz tau de xz (tensão de cisalhamento no plano x na direção z)
τyx tau de yx (tensão de cisalhamento no plano y na direção x)
τyz tau de yz (tensão de cisalhamento no plano y na direção z)
τzx tau de xy (tensão de cisalhamento no plano z na direção x)
τzy tau de xy (tensão de cisalhamento no plano z na direção y)
σ1, σ2 e σ3 sigma 1, 2 e 3 tensões principais
Introdução
Resistencia dos Materiais é um ramo que estuda os vínculos entre cargas que são externas que são aplicadas em um corpo de material deformável e como as forças internas agem no interior do corpo de acordo com a aplicação das cargas externas.
Para obter as forças que agem sobre vários elementos, bem como internamente, é fundamental utilizar princípios da estática. As características do elemento (tamanho, deflexão, estabilidade, etc) não dependem apenas das cargas internas, mas dependem também do tipo de material usado.
Definição de tensão
O termo tensão é denominada a partir da distribuição de forças internas ou externas por unidade de área. No caso de tensão, entende-se que para alguns casos a força por unidade de área poderá não ser, necessariamente, normal.
Na mecânica tensão é usada para medir a intensidade de forças internas que agem na seção transversal de um corpo com material deformável. Tais forças internas, existem para combater as forças que são aplicadas nesse corpo externamente. As forças externas podem ser força de superfície e força de corpo. Força de superfície são causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície do outro, geralmente em todos os casos essas forças são distribuídas pela área de contato dos corpos. Força de corpo é obtido é quando mesmo sem contato direto um corpo exerce uma força sobre o outro. A unidade SI usada para tensão é o pascal (Pa), que é uma medida de força por unidade de área. Geralmente essas grandezas são medidas em megapascal (MPa) ou em gigapascal (GPa).
Para analisar melhor o conceito de tensão, podemos analisar o seguinte corpo solido em equilíbrio sujeito a diversas ações (externas) como apresentado na Fig. 1.1.
Figura 1.1 - Solido em equilíbrio
Ao fazermos uma analogia de uma parte desse solido, conforme Fig. 1.2, podemos verificar que o equilíbrio foi garantido graças ao princípio de ação e reação (lei de Newton). 
Figura 1.2 Ação e reação no sólido
Estado triaxial de tensão
Um corpo está em estado triplo de tensão ou estado triaxial de tensão, quando o mesmo esta sujeito a tensões nas direções de x, y e z, como mostra a Fig. 2.1
Figura 2.1- Plano ortogonal
Ao analisarmos um corpo solido onde está submetido a tais tensões é possível observar que, os vetores de cada face do objeto serão iguais de valor porem em sentido oposto. Podemos ver que as tensões σx, σy e σz são consideradas as principais tensões de um elemento. Isto pode ser observado na figura a seguir
Figura 2.2 - Estado triplo de tensão
Figura 2.3 - Estado triplo de tensão
A determinação do estado de tensão em um ponto qualquer é dada pelas seis componentes σx, σy, σz, τxy=τyx, τyz=τzy e τzx=τxz, que são obtidas em três planos ortogonais entre si que contenha o ponto. Analogamente as tensões tangencias τ se enquadram no teorema de Cauchy e assim que o número de elementos foi reduzido a seis.
Figura 2.4 - Equilíbrio das tensões
Equações de transformação de tensão para o estado triaxial de tensão
Tensão está diretamente liegado em função do plano e do ponto, dessa maneira, em um plano inclinado com relação a Fig. 2.2 também irão atuar outras tensões como apresentado na Fig. 2.4. 
Entre o plano considerado e os eixos x, y e z são formados ângulos que são θx, θy e θz.
Figura 2.5 - Tensão resultante em um plano
Desta maneira a força resultante formada pelas suas componentes nas direções x, y e z podem ser expressadas da seguinte forma:
(ρdA)x 
(ρdA)y (1)
(ρdA)z 
Com isso estes três componentes ortogonais se resultam em:
ρx 
ρy (2)
ρz 
Essas três componentes originadas das tensões ρ podem ser expressadas pelo produto de duas matrizes.
=
Dessa maneira em qualquer que seja o plano inclinado, a tensão resultante é resultado do produto entre a matriz das tensões no plano ortogonal e a matriz dos cossenos dos ângulos no plano.
Os cossenos dos ângulos no plano são chamados de cossenos diretores, portanto a matriz que armazena tais valores é chamada de matriz dos cossenos diretores. Já a matriz que recebe os valores das tensões do plano é chamada de Tensor (Τ).
Para o Tensor não foi possível desenvolver uma análise geométrica simples, dessa maneira, ele é visto apenas como uma matriz onde seus elementos expressa as tensões encontradas.
Com isso podemos definir o estado geral de tensão para tensor Τ da seguinte maneira
 (3)
No plano inclinado a representação da tensão ρ pode ser feita pelas suas componentes: normal e cisalhamento, σ e τ respectivamente
Figura 2.6 - tensão normal e de cisalhamento, componentes de p
No plano inclinado temos como tensão resultante, , e pode ser realizada uma decomposição numa direção normal e outra tangencial de modo que , com ou 
Levando em consideração que cossenos diretores são as variáveis a expressão acima é de uma superfície central de 2ª ordem. se o elemento estiver inclinado em relação a um plano, a tensão no plano deverá ser a mesma, ver Fig. 2.6.
Figura 2.7 - Inclinação do elemento em relação à posição inicial
Observando a Fig. 2.6 é provável que exista uma posição para tais elementos onde as tensões de cisalhamento (τ) sejam nulos. Essa posição recebe o nome de posição principal, os planos recebem o nome de planos principais e as tensões normais que atuam neles são chamadas de tensões principais.
As tensões principais são representadas por σ1, σ2 e σ3 e os planos por 1, 2 e 3
Figura 2.8 - Planos e tensõesprincipais
Como entre o plano inclinado e o plano principal existe ângulos, podemos chamá-los de θ1, θ2 e θ3 respectivamente, e assim obtemos:
= (4)
Assim o tensor das tensões principais é o tensor do estado de tensão 
 (5)
E assim as componentes principais ficam da seguinte forma:
ρx = 
ρy (6)
ρz 
E lembrando que:
 (7)
Tendo como base as componentes principais e a expressão exposta logo acima obtemos a seguinte expressão:
 (8)
Analisando a expressão acima, vemos que os valores de ρx, ρy e ρz podem ser interpretadas como um conjunto de variáveis que representam coordenadas do vetor da tensão ρ. Geometricamente a representação dessas coordenadas formam uma elipsoide, de tal maneira que σ1, σ2 e σ3 são os semieixos das tensões principais. O elipsoide é chamado de elipsoide das tensões.
Figura 2.9 - Elipsoide das tensões
A partir dessa figura é visto que a maior tensão é o maior valor possível nos planos que passam pelo ponto, e que a menor tensão é menor possível. Assim temos: σ1=σmax e σ3=σmin, portanto não existe tensão maior que σ1 e nem menor que σ3 no elipsoide.
Analisando o estado de tensão da Fig. 2.2 e um plano inclinado como na Fig. 2.5, se for um plano principal, a tensão que resultará será uma tensão normal (σ) e podem ser representadas da seguinte forma:
 (9)
Igualando essa expressão a 0 temos
 (10)
Lembrando que
Temos:
Dessa forma temos:
 (11)
Como foi mostrado na expressão 7, a Matriz Cosseno Diretor não pode ser nula. Para que o produto das matrizes da expressão 11 seja nulo, a matriz das tensões deve ter determinante igual a 0.
 (12)
Como σ é uma tensão principal seu valor depende apenas do estado de tensão no plano, ou seja, não depende do conhecimento da posição no plano em que ela ocorre.
A solução da matriz de tensões da expressão 12 é dada por:
 (13)
Onde:
(14)
De modo que as tensões principais σ1, σ2 e σ3 não dependem das direções dos eixos x, y e z, os coeficientes K1, K2 e K3 também não dependem dessas direções e são chamados de Invariantes de Tensão ou Invariantes do Estado de Tensão. Contudo existem alguns casos particulares:
Se K3 = 0, uma das soluções é nula	 Estado plano ou biaxial de tensão
Se K2 = K3 = 0, duas soluções são nulas Estado uniaxial de tensão.
Círculo de Mohr para estado triaxial de tensão
Se um ponto juntamente com suas tensões principais e um plano inclinado em relação a um ângulo θ visto na Fig. 2.9
Figura 2.10 - Planos principais, tensões principais e plano inclinado
Se esses elementos forem analisados, as tensões: normal e de cisalhamento nesse plano podem ser expressadas por:
 (15)
 (16)
Com base nas identidades trigonométricas temos as seguintes situações:
Assim a expressão 15 pode ser escrita da seguinte forma:
 
 (17)
E a expressão 16 pode ser representada:
 (18)
As expressões 17 e 18 são as componentes da tensão normal e de cisalhamento nos planos paralelo ao eixo principal 2. Dessa forma podemos determinar as tensões nos planos paralelos aos demais eixos 1 e 3.
Tais expressões são equações paramétricas de uma circunferência:
Onde:
	x = σ				tensão normal
	y = τ				tensão de cisalhamento
	(a,b) = 	são coordenadas dentro do circulo
				raio do circulo
	α = 2θ				ângulo entre o plano principal 1 e qualquer outro plano
Se os dois termos das expressões 17 e 18 forem elevados ao quadrado temos:
Normal:
 (19)
Cisalhamento:
 (20)
Somando as expressões 19 e 20 temos:
Sabendo que:
Temos como expressão resultante:
 (21)
A expressão 21 é a equação geral da circunferência.
Figura 2.11 - Circunferência representada pela expressão 21
Os planos inclinados de um ângulo θ são representados por cada ponto da circunferência onde atuam. Caso o plano sofra inclinação em relação aos planos 2 e 3 um novo circulo de Mohr é apresentado na Fig. 2.11
Figura 2.12 - Circulo de Mohr para o plano inclinado em relaçao aos planos 2 e3
Realizando o mesmo estudo para o plano inclinado em relação aos planos 1 e 2 temos o seguinte circulo de Mohr:
Figura 2.13 - Círculo de Mohr para o plano inclinado em relação aos planos 1 e 2
Depois de feito o estudo para três planos inclinado 1 e 3, 1 e 2, 3 e 2; é possível fazer a união desses círculos em um só. Esse circulo é representado como mostra a Fig. 2.13
Figura 2.14 - Círculo de Mohr (união dos três casos anteriores)
Pegando um plano inclinado qualquer em relação aos três planos 1, 2 e 3 juntos como observado na Fig. 2.14 seu ponto fica representado pela área limitada (parte sombreada) da união dos três círculos de Mohr, como mostra a Fig. 2.15.
Figura 2.15 - Plano qualquer em relação aos planos 1, 2 e 3 simultâneo
Figura 2.16 - Círculo de Mohr para um plano qualquer
Mostrado todos esses círculos de Mohr, é preciso se ater à algumas observações:
Geralmente para representar o circulo de Mohr utilizamos apenas o semicírculo superior
Figura 2.17 - Representação usual do Circulo de Mohr
Em qualquer que seja o estado de tensão analisado, pode representar o estado de triplo de tensão em casos particulares. Essa analise pode ser observada nas figuras 2.17 e 2.18 onde são apresentados estado de tração simples e de cisalhamento puro
Figura 2.18 - Círculo de Mohr para tração simples
Figura 2.19 - Círculo de Mohr para estado de cisalhamento puro
Tendo conhecimento de uma das tensões principais, as outras tensões podem ser encontradas realizando a analise equivalente ao estado duplo de tensão.
Exercícios
Dado uma matriz Tensor com base no estado geral de tensão, determinar a magnitude da tensão resultante, atuante sobre o plano 1, 2 e 3. Sabe-se que os ângulos diretores são (40,3º; 112º; -65º).
α = 40,3º	l = cosα = cos(40,3) = 0,762668
β = 112º	m = cosβ = cos(112) = -0,374606
δ = -65º	n = cosδ = cos(-65) = 0,422618
ρx 
ρx 
ρx = 103,38955 MPa
ρy 
ρy 
ρy 
ρz 
ρz 
ρz = 29,768844
Determine σ1, σ2 e τmáx , bem como seus respectivos planos de atuação, no ponto A da seção transversal no engasgamento do duto esquematizado.
No engasgamento: 
N = 50 + 50 = 100 kN ( - ) 
Q = 30 x 4 = 120 kN ( + ) 
M = 120 x 200 = 24.000 kN.cm 
T = 125 x 40 = 5.000 kN.cm 
A = 40 x 20 – 36 x 16 = 224cm2 
@ = 38 x 18 = 684 cm2
ILN = 20x(40)3 /12 – 16x(36)3 /12= = 44.459 cm4 
No ponto A: σ = N/A + (M/ILN)y = = -100 /224 + (24.000/44.459)10= = - 0,446 + 5,398 = = 4,952 kN/cm2 = 49,5 MPa 
τQ = Q Ms / b ILN ; Ms = 20 x 10 x 15 – 16 x 8 x 14 = 1.208 cm3 
τQ = 120 x 1208 / (2 + 2) x 44.459 = 0,8151 kN/cm2 (↓) 
τT = T/2.e.@ = 5.000 / 2 x 2 x 684 = 1,827 kN/cm2 (↑) 
τtotal = 1,012 kN/cm2 = 10,1 MPa (↑) 
Para a orientação de eixos mostrada ao lado teremos:
PV → σx = + 4,95; τxy = - 1,01; PH → σy = 0; τyx = - 1,01. (estado duplo, com σz =τzy = τzx = 0) 
As tensões principais valerão: σ p = ½ (σx + σy) + √ [½ (σx - σy)] 2 + (τxy ) 2 = ½ (4,95 + 0) + [ (½ 4,95)2 + (1,01)2 ] 1/2 = = 2,476 + 2,675 → σ p1 = 5,151 kN/cm2 ; σ p2 = - 0,199 kN/cm2 ; τmáx = 2,675 kN/cm2 
tg α1 = (σ1 - σx)/ τxy = (5,151 – 4,95)/1,01 = 0,199 → α1 = 11,2º 
tg α2 = (σ2 - σx)/ τxy = ( - 0,199 – 4,95)/1,01 = - 5,09 →
 α2 = − 78,8º
Dado um elemento sob um estado geral de tensão, determinar a magnitude das tensões normal e de cisalhamento resultantes, atuantes sobre um plano ABC, definido pelos pontos A=(5x10-15; 0; 0), B=(0; 5x10-15; 0) e C=(0; 0; 5x10-15).
A= (5x10-15; 0; 0)		
B= (0; 5x10-15; 0)		
C= (0; 0; 5x10-15)
 = 
α = β = γ
ρx 
ρx 
ρx = 
ρy 
ρy 
ρy 
ρz 
ρz 
ρz = 
 
 
 
Representar o circulo de Mohr para o elemento de tensão abaixo.
 f(σρ)
 f’(σρ) = 0
σρ’ = 51,18
σρ’’ = -56,52
Chutes de intervalo
[-58 ; -100] (1)
[-58 ; 53] (2)
[53 ; -110] (3)
	σρ
	1
	-58
	-100
	2
	-58
	53
	3
	53
	110
	Sinal
	
	+
	-
	
	+
	-
	
	-
	+
Tabela 21 - Teorema de Bozano para intervalos
	M
	σρ
	F(σp)
	F’(σp)
	σρ+10
	-79
	-18575
	8779
	-76,8842
	1
	-76,8842
	-1016,0639
	7823,3934
	-78,8702
	2
	-78,8702 
	-17439,3418
	8719,6021
	-76,8701
	3
	-76,8701
	-905,7982
	7817,1152
	-76,7542
Tabela 22 - Resultados dos intervalos [-58 ; -100]
	M
	σρ
	F(σp)
	F’(σp)
	σρ+1
	0
	-2,5
	-239449,625
	-8701,25
	-30,0189
	1
	-30,0189
	-20461,9353
	-6456,8993
	-33,1879
	2
	-33,1879
	-855.9056
	-5906,6962
	-33.3328
	3
	-33,3328
	-1,9508
	-5880,0981
	-33,3331
Tabela 23 - Resultados dos intervalos [-58 ; 53]
As tensões σρ’ e σρ’’ foram obtidos através do método de Newton.
K1 = σρ’ + σρ’’ + σρ’’’
Com base no circulo de Mohr apresentado a seguir, determine as tensões máximas (normal e cisalhamento). Representar em um elemento de tensão, o estado de tensão no qual as tensões de cisalhamento são máximas, e o estado onde as tensões normais são máximas.
Conclusão
Ao se estudar o estado triplo de tensão, podemos analisar o que ocorre em um objeto de material deformável, de acordo com um plano e um ponto. E assim verificar as tensões nas direções x, y e z. 
Podemos ver que as tensões em cada direção têm o mesmo valor porem com sentido contrário. Dessa maneira não é necessário analisar todos os pontos. A verificação das tensões podem ser feita de dois modos: utilizando as equações gerais ou principais e o circulo de Mohr.
Referencias
Tudo Engenharia, Estado triplo de tensão/Estado triaxial de tensão – Exercícios resolvidos. Disponível em: < http://www.tudoengcivil.com.br/2015/05/estado-triplo-de-tensoes-estado.html>, acessado em 2 de dezembro de 2015
Analise triaxial de tensão – Aplicação circulo de Mohr. Disponível em: <www.uff.br/resmatcivil/Downloads/.../estado_triaxial_de_tensoes.ppt> , acessado em 2 de dezembro de 2015
Estado triplo de tensão - Prof. José Carlos Morilla. Disponível em: <http://cursos.unisanta.br/mecanica/ciclo6/estado-triplo-tensao.pdf>, acessado em 2 de dezembro de 2015
Nota de aula 5 - Estado Triaxial de Tensões - Resistência dos Materiais II. Disponível em:< http://www.ufjf.br/mac003/files/2015/01/estado_triaxial_tensoes.pdf>, acessado em 2 de dezembro de 2015
Nota de aula 7 - Estado Triaxial de Tensões - Resistência dos Materiais II. Disponível em: <http://www.ufjf.br/flavia_bastos/files/2009/06/resmatII_07.pdf>, acessado em 2 de dezembro de 2015
Teoria das tensões - Prof Dr. Nilson Tadeu Mascia. Disponivel em: <http://www.fec.unicamp.br/~nilson/ApostilaTensao.pdf>, acessado em 2 de dezembro de 2105
HIBBLER, R.C. Resistencia dos Materiais. 7ª edição. São Paulo: Pearson, 2010. 642p
TIMONSHENKO, S.P; GERE, J.E. Mecânica dos Sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora AS, 1983