1a Lista de Cálculo II

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1ª Lista de Cálculo II 2011/2 
 
 
 
1. Seja ( ) ( ), ln 1f x y x y= + − . 
a) Calcule ( )1,1f . 
b) Calcule ( ),1f e . 
c) Determine e esboce o domínio de f . 
d) Determine a imagem de f . 
2. Seja ( ) 2 3, xyf x y x e= . 
a) Calcule ( )2,0f . 
b) Determine o domínio de f . 
c) Determine a imagem de f . 
3. Determine e esboce o domínio da função 
( ) 2, 1f x y x y= + − . Qual é a imagem de f ? 
4-10. Determine e faça o esboço do domínio da função. 
4. ( ),f x y x y= + 
5. ( ),f x y xy= 
6. ( ) ( )2 2, ln 9 9f x y x y= − − 
7. ( , ) ln( )f x y y x y x= − + 
8. 
²
( , )
1 ²
y x
f x y
x
−= − 
9. ( , , ) 1 ² ² ²f x y z x y z= − − − 
10. ( , , ) ln(16 4 ² 4 ² ²)f x y z x y z= − − − 
11. Uma placa fina de metal, localizada no plano xy , 
tem temperatura ( , )T x y no ponto ( , )x y . As curvas de 
nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os 
pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. 
Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função 
temperatura for dada por 
( , ) 100 /(1 ² 2 ²)T x y x y= + + 
12. Se ( , )V x y é potencial elétrico de um ponto ( , )x y do 
plano xy , as curvas de nível de V são chamadas curvas 
equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o 
mesmo potencial elétrico. Esboce algumas curvas 
equipotenciais de 2 2( , ) / ² 2V x y c r x y= − − , onde c é 
uma constante positiva. 
 
 13-23. Determine o limite, se existir, ou mostre que o 
limite não existe. 
 13. ( ) ( ) ( ), 6,3lim cos 2x y xy x y→ − 
 14. ( ) ( ) 2 2, 2,1
4lim
3x y
xy
x y→
−
+ 
 15. ( ) ( )
4
4 4, 0,0
lim
3x y
y
x y→ +  
 16. ( ) ( )
2 2
2 2, 0,0
lim
2x y
x sen y
x y→
+
+ 
 17. ( ) ( ) 2 2, 0,0
coslim
3x y
xy y
x y→ + 
 18. ( ) ( )
3
4 4, 0,0
6lim
2x y
x y
x y→ + 
 19. ( ) ( ) 2 2, 0,0limx y
xy
x y→ + 
 
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 20. ( ) ( )
4 4
2 2, 0,0
lim
x y
x y
x y→
−
+ 
 21. ( ) ( )
2
4 2, 0,0
lim
4
y
x y
x ye
x y→ + 
 22. ( ) ( )
2 2
2 2, 0,0
lim
2x y
x sen y
x y→ + 
 23. ( ) ( )
4
2 8, 0,0
lim
x y
xy
x y→ + 
 
 24-27. Determine o maior conjunto no qual a função é 
contínua. 
 24. ( ) 2 1,F x y x y= − 
 25. ( ) 2 2 , 1
x yF x y
x y
−= + + 
 
 26. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 2 se , 0,02, 
 1 se , 0,0
x y x y
x yf x y
x y
⎧ ≠⎪ += ⎨⎪ =⎩
 
 27. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 se , 0,0, 
 0 se , 0,0
xy x y
x xy yf x y
x y
⎧ ≠⎪ + += ⎨⎪ =⎩
 
 
28. Se ( ) 2 2, 4 4f x y x y= − − , determine 
( ) ( )1, 2 e 1, 2x yf f e interprete esses números como 
inclinações. Ilustre ou com um esboço à mão ou 
utilizando o computador. 
 
 29. Se ( ) 2 2, 4 4f x y x y= − − , determine 
( ) ( )1,0 e 1,0x yf f e interprete esses números como 
inclinações. Ilustre ou com um esboço à mão ou 
utilizando o computador. 
 
 30-43. Determine as derivadas parciais de primeira 
ordem da função. 
 
 30. ( ) 4, 3 2f x y x y= − 
 31. ( ) 5 3 2 4, 3 3f x y x x y xy= + + 
 32. 3 yz xe= 
 33. ( ), lnf x y x t= 
 34. ( )102 3z x y= + 
 35. z tg xy= 
 36. ( ), x yf x y
x y
−= + 
 37. cosw senα β= 
 
 38. ( ) ( )2 2, lnf r s r r s= + 
 39. ( ) ( )2, cosx
y
f x y t dt= ∫ 
 40. ( ) 2 3 4, , 5f x y z xz x y z= − 
 41. ( ) ( ), ,f x y z xsen y z= − 
 42. ( )ln 2 3w x y z= + + 
 43. xyzw ze= 
 
44 e 45. Determine as derivadas parciais indicadas. 
 44. ( ) ( ) ( )2 2, ln ; 3, 4xf x y x x y f= + + 
 45. ( ) ( ), , ; 2,1, 1yyf x y z fx y z= −+ + 
 
46-48. Use a derivação implícita para determinar 
e z z
x y
∂ ∂
∂ ∂ . 
 46. 2 2 2 3x y z xyz+ + = 
 
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 47. ( )lnyz x z= + 
 48. ( ) 2 3sen xyz x y z= + + 
 
49-52. Determinar todas as derivadas parciais de segunda 
ordem. 
 49. ( ) 3 5 4, 2f x y x y x y= + 
 50. ( ) ( )2,f x y sen mx ny= + 
 51. 2 2w u v= + 
52. xyv
x y
= − 
 
 
53-55 Determine as derivadas parciais indicadas. 
53. 4 3 2 xxy yyy( , ) 3 ; , f x y xy x y f f= + 
54. ( , ) ² ; ,ct ttt txxf x t x e f f
−= 
55. ,( , , ) cos(4 3 2 ); xyz yzzf x y z x y z f f= + + 
56. Determine se cada uma das seguintes funções é 
solução da equação de Laplace Uxx+Uyy=0. 
(a) ² ²u x y= + 
 (b) 3 3 ²u x xy= + 
(c) ln ² ²u x y= + 
57. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás 
ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é 
PV=mRT, onde R é a constante do gás. Mostre que: 
1P V T
V T P
∂ ∂ ∂ = −∂ ∂ ∂ 
 
58. Para o gás ideal do exercício 82, mostre que: 
P VT mR
T T
∂ ∂ =∂ ∂ 
 
59. O parabolóide 6 ² 2 ²z x x y= − − − intercepta o plano 
1x = em uma parábola. Determine as equações 
paramétricas para a reta tangente a essa parábola no 
ponto (1,2,-4). Use um computador para fazer o gráfico 
do parabolóide, da parábola e da reta tangente em uma 
mesma tela. 
 
60. O elipsóide 4 ² 2 ² ² 16x x z+ + = intercepta o plano 
2y = em uma elipse. Determine as equações 
paramétricas da reta tangente à elipse no ponto (1,2,2). 
61. No estudo de penetração do congelamento achou-se 
que a temperatura T no instante t (medido em dias) a 
uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada 
pela função: 
0 1( , ) sen( t )
xT x t T T e xλ ω λ−= + − 
Onde 2 365ω π= e λ é uma constante positiva. 
(a) Determine T x∂ ∂ . Qual é seu significado físico? 
(b) Determine T t∂ ∂ . Qual seu significado físico? 
(c) Mostre que T satisfaz a equação do calor 
1 xxT kT= para uma certa constante k. 
(d) Se 00, 2, 0Tλ = = e 1 10T = use o computador para 
traçar o gráfico de ( , )T x t . 
 
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(e) Qual é o significado físico do termo xλ− na 
expressão sen( t x)ω λ− ? 
 
62-63 Determine a derivada direcional de f no ponto 
dado e na direção indicada pelo ângulo θ . 
62. ( , ) ,xf x y ye−= (0,4), 2 3θ π= 
63. ( , ) ( ),f x y xsen xy= (2,0), 3θ π= 
64-67 
(a) Determine o gradiente de f . 
(b) Calcule o gradiente no ponto P. 
(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção 
do vetor u. 
64. 2 3( , ) 5 4 ,f x y xy x y= − (1,2)P , 5 12,
13 13
u = 
65. ( , ) lnf x y y x= , (1, 3)P − , 4 3,
5 5
u = − 
66. 2( , , ) yxf x y z xe= , (3,0, 2)P , 2 2 1, ,
3 3 3
u = − 
67. ( , , )f x y z x yz= + , (1,3,1)P , 2 3 6, ,
7 7 7
u = 
68-71 Determine a derivada direcional da função no 
ponto dado na direção do vetor v. 
68. 2 2( , ) ln( )f x y x y= + , (2,1) , 1, 2v = − 
69. 4 2 3( , )g p q p p q= − , (2,1) , v = i + 3j 
70. ( , , ) y z xf x y z xe ye ze= + + , (0,0,0) , 5,1, 2v = − 
71. ( , , )f x y z xyz= , (3,2,6) , 1, 2, 2v = − − 
72-75 Determine a taxa de variação máxima de f no 
ponto dado e a direção em que isso ocorre. 
72. 2( , )f x y y x= , (2,4) 
73. ( , ) ( )f x y sen xy= , (1,0) 
74. ( , , ) ( )f x y z x y z= + , (1,1, 1)− 
75. ( , , ) ( 2 3 )f x y z tg x y z= + + , ( 5,1,1)− 
76. Determine as direções em que a derivada direcional 
de ( , ) xyf x y ye−= no ponto (0,2) tem valor 1. 
77. Determine todos os pontos nos quais a direção de 
maior variação da função 2 2( , ) 2 4f x y x y x y= + − − é i 
+ j. 
78. Nas proximidades de uma boia, a profundidade de 
um lago em um ponto com coordenadas ( , )x y é 
2 3200 0,02 0,001z x y= + − , onde x , y e z são medidos 
em metros. Um pescador que está em um pequeno barco 
parte do ponto (80,60) em direção à boia, que está 
localizada no ponto (0,0) . A água sob o barco está 
ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a 
se mover? Explique. 
79. A temperatura emum ponto ( , , )x y z é dada por 
2 2 23 9( , , ) 200 x y zT x y z e− − −= onde T é medido em ºC e x , 
y e z em metros. 
(a) Determine a taxa e variação da temperatura no ponto 
(2, 1,2)P − em direção ao ponto (3, 3,3)− . 
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura 
em P ? 
(c) Encontre a taxa máxima de crescimento em P . 
 
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80. Suponha que em uma certa região do espaço o 
potencial elétrico V seja dado por 
2( , , ) 5 3V x y z x xy xyz= − + . 
(a) Determine a taxa de variação do potencial em 
(3,4,5)P na direção do vetor v = i + j – k. 
(b) Em que direção V varia mais rapidamente em P ? 
(c) Qual a taxa máxima de variação em P ? 
 
81-84 Determine equações (a) do plano tangente e (b) da 
reta normal a uma superfície dada no ponto especificado. 
81. 2 2 22( 2) ( 1) ( 3) 10x y z− + − + − = , (3,3,5) 
82. 2 2y x z= − , (4,7,3) 
83. 2 2 22 2x y z yz− + + = , (2,1, 1)− 
84. ln( )yz x z= + , (0,0,1) 
85. Se ( , )f x y xy= , encontre o vetor gradiente (3,2)f∇ 
e use-o para encontrar a reta tangente à curva de nível 
( , ) 6f x y = no ponto (3,2) . Esboce a curva de nível, a 
reta tangente e o vetor gradiente. 
86. Se 2 2( , ) 4g x y x y x= + − , encontre o vetor gradiente 
(1,2)g∇ e use-o para encontrar a reta tangente à curva de 
nível ( , ) 1g x y = no ponto (1,2) . Esboce a curva de 
nível, a reta tangente e o vetor gradiente. 
87. Em qual ponto do paraboloide 2 2y x z= + o plano 
tangente é paralelo ao plano 2 3 1x y z+ + = ? 
88-92 Determine os valores máximos e mínimos locais e 
pontos de sela da função. Se você tiver um programa 
para traçar gráficos tridimensionais no computador, trace 
a função com um domínio e um ponto de vista que 
mostrem os seus aspectos importantes. 
 
88. 2 2( , ) 9 2 4 4f x y x y x y= − + − − 
89. 
2 24( , ) y x yf x y e − −= 
90. 1 1( , )f x y xy
x y
= + + 
91. ( , ) cosxf x y e y= 
92. ( , ) cosf x y y x= 
93. Mostre que 2 2( , ) 4 4 2f x y x y xy= + − + tem um 
número infinito de pontos críticos e que 0D = em cada 
um. A seguir, mostre que f tem um mínimo local (e 
absoluto) em cada ponto crítico. 
94-95 Determine os valores máximo e mínimos 
absolutos de f no conjunto D . 
94. ( , ) 1 4 5f x y x y= + − , D é a região triangular 
fechada com vértices (0,0) , (2,0) , e (0,3) 
95. 2 2( , ) 4 6f x y x y x y= + − − 
 ( ){ }, 0 4,0 5D x y x y= ≤ ≤ ≤ ≤ 
96. Para as funções de uma variável, é impossível uma 
função contínua ter dois pontos de máximo local e 
nenhum de mínimo local. Para as funções de duas 
variáveis, esse caso existe. Mostre que a função 
2 2 2 2( , ) ( 1) ( 1)f x y x x y x= − − − − − só tem dois pontos 
críticos, ambos de máximo local. Em seguida, utilize um 
computador para desenhar o gráfico com uma escolha 
cuidadosa de domínio e de ponto de vista que ver como 
isso possível. 
 
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97. Determine a menor distância entre o ponto (2,1, 1)− e 
o plano 1x y z+ − = . 
98. Determine os pontos da superfície 2 9y xz= + que 
estão mais próximos da origem. 
99. Determine três números positivos cuja soma é 100 e 
cujo produto é máximo. 
100. Encontre as dimensões de uma caixa com volume 
de 31000cm que tenha a área de sua superfície mínima. 
101-105 Utilize os multiplicadores de Lagrange para 
determinar os valores máximo e mínimo da função 
sujeita à (s) restrição (ões) dada (s). 
101. 2 2( , ) ; 1f x y x y xy= + = 
102. 3 3( , ) ; 16xyf x y e x y= + = 
103. 2 2 2( , , ) ; 2 3 6f x y z xyz x y z= + + = 
104. 2 2 2 2 2 2( , , ) ; 1f x y z x y z x y z= + + = 
105. 2 2 2 2( , , , ) ; 1f x y z t x y z t x y z t= + + + + + + = 
106. Biólogos marinhos determinaram que, quando um 
tubarão detecta a presença de sangue na água, ele nada 
na direção em que a concentração de sangue aumenta 
mais rapidamente. Com base em certos testes na água do 
mar, sabe-se que a concentração de sangue (em partes 
por milhão) em um ponto ( , )P x y na superfície e de 
aproximadamente 
2 2 4( 2 ) 10( , ) x yC x y e− += 
Onde x e y são medidos em metros em coordenadas 
cartesianas com a fonte do sangue como origem 
(a) Identifique as curvas de nível da função 
concentração e esboce vários membros dessa 
família, junto com a trajetória que o tubarão deve 
percorrer para chegar à fonte. 
(b) Suponha que um tubarão esteja no ponto 
0 0( , )x y quando detecta a presença de sangue na 
água. Determine a equação da trajetória do 
tubarão escrevendo e resolvendo uma equação 
diferencial. 
 
107. Uma longa folha de metal galvanizado de espessura 
w polegadas deve ser dobrada em uma forma simétrica 
com três lados planos para fazer uma calha. A secção 
transversal é mostrada na figura 
 
(a) Determine as dimensões para permitir a máxima 
vazão, ou seja, determine as dimensões que fornecem a 
maior área da secção transversal. 
(b) Você acharia melhor dobrar a folha de metal em uma 
calha com secção transversal semicircular do que em 
uma secção transversal de três lados? 
108. Se a elipse 2 2 2 2 1x a y b+ = circunda a 
circunferência 2 2 2x y y+ = , quais são os valores de a e 
b que minimizam a área da elipse?