2a Lista de Cálculo II

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1. (a) O que é seqüência? 
(b) O que significa dizer que 
lim 8n
n
a


? 
(c) O que significa dizer que 
lim n
n
a

 
? 
2-3. Encontre uma fórmula para o termo geral 
na
da sequência, assumindo que o padrão dos 
primeiros termos continua. 
2. 
 2,7,12,17,...
 
3. 
 82 43 9 271, , , ,... 
 
4-17.Determine se a sequência coneverge ou 
diverge. Se ela convergir, encontre o limite. 
4. 
1 (0,2)nna  
 
5. 2
2
3 5
n
n
a
n n



 
6. 
1
n
na e
 
7. 
2
tan
1 8
n
n
a
n
 
  
 
 
8. 1( 1)
² 1
n
n
n
a
n



 
9. 
 2cos nna 
 
10. 
(2 1)!
(2 1)!
n
n
 
 
 
 
11. 
2 1
n n
n
e e
e
 
 
 
 
12. 
 ² nn e
 
13. 
cos ²
2
n n
n
a 
 
14. 
1sen( )nna n
 
15. 2
1
n
na
n
 
  
 
 
16. 
ln(2 ² 1) ln( ² 1)na n n   
 
17. 
!
2
n n
n
a 
 
18. Se $ 1000 forem investidos a uma taxa de 
juros de 6%, compostos anualmente, depois 
de n anos o investimento valerá 
1000(1,06)nna 
dólares. 
(a) Encontre os cinco primeiros termos 
da sequência 
 na
. 
(b) Esta seuquência converge ou 
diverge? Explique. 
 
19. Suponha que você saiba que 
 na
é uma 
sequência decrescente e que todos os termos 
estão entre os números 5 e 8. Explique por 
que a sequência tem um limite. O que você 
pode dizer sobre o valor limite? 
20-22. Determine se a sequência dada é 
crescente, decrescente ou não monotônica. A 
sequência é limitada? 
20. 
1
2 3
na
n


 
21. 
( 1)nna n 
 
22. 
² 1
n
n
a
n


 
23. Encontre o limite da sequência 
2, 2 2 , 2 2 2 ,...
 
 
 
 
24. (a) Qual a diferença entre sequência e 
série? 
(b) O que é uma série convergente? O 
que é uma série divergente? 
25. Seja 
2
3 1
n
n
a
n


 
(a) Determine se 
 na
é convergente. 
(b) Determine se 
1 nn
a


é 
convergente. 
26-30. Determine se a série é convergente ou 
divergente. Se for convergente, calcule a 
soma. 
26. 
84
3 9
3 2 ...   
 
27. 
16 64
3 4 ...
3 9
   
 
28. 
1
1
6(0,9)n
n




 
29. 1
1
( 3)
4
n
n
n




 
30. 
1
0 3
n
n
n




 
 
31-37 Determine se a série é convergente ou 
divergente. Se for convergente, calcule sua 
soma. 
31. 
1
1
2n n



 
32. 
1 1n
n
n

 

 
 
 
33. 
1
3 2
6
n n
n
n




 
34. 
1
2n
n



 
35. 2
2
1
1
ln
2 1n
n
n


 
 
 

 
36. 
1
 n
n
arctg



 
37. 
 1
1 1
1nn e n n


 
   

 
38-40 Determine se a série é convergente ou 
divergente expressando 
ns
 como uma soma 
telescópica. Se for convergente, encontre sua 
soma. 
38. 
2
2
2
1n n

 

 
39. 
 1
2
3n n n

 

 
40. 
  1 11
1
nn
n
e e




 
41-43 Expresse o número como uma razão de 
inteiros. 
41. 
0,2 0,2222...
 
42. 
3,417 3,417417417...
 
43. 
0,123456
 
44-46 Encontre os valores de 
x
 para os quais 
a série converge. Calcule a soma da série para 
esses valores de 
x
. 
44. 
1 3
n
n
n
x


 
45. 
0
4n n
n
x



 
46. 
0
cos
2
n
n
n
x


 
47. Se a 
n
-ésima soma parcial de uma série 
1
n
n
a



 for 
ns
= 
1
1
n
n


 encontre 
na
e 
1
n
n
a



. 
48. Qual é o valor de c se 
 
 
2
1 2
n
n
c


 
 
49. O que está errado com o seguinte cálculo? 
 
     
     
0 0 0 0 ...
 = 1 1 1 1 1 1 ...
 =1+ 1 1 1 1 1 1 ...
 =1 0 0 0 ... 1
   
     
        
    
 
 
 
(Guido Ubaldo pensou que isso provava a 
existência de Deus, porque “alguma coisa 
tinha sido criada do nada”.) 
50. Suponha que uma série 
na
tenha 
termos positivos e suas somas parciais 
ns
 
satisfaçam a desigualdade 
1000ns 
 para 
todo 
n
. Explique por que 
na
 deve ser 
convergente. 
51-53 Use o teste da Integral para determinar 
se a série é convergente ou divergente. 
51. 
4
1
1
n n



 
52. 
 
3
1
1
2 1n n

 

 
53. 
1
n
n
ne




 
54-60 Determine se a série é convergente ou 
divergente. 
54. 
0,85
1
2
n n



 
55. 
1 1 1 1
1 ...
8 27 64 125
    
 
56. 
1 1 1 1
1 ...
3 5 7 9
    
 
57. 
3
1
5 2
n
n
n




 
58. 
2
1
1
4n n

 

 
59. 
3
1
ln
n
n
n



 
60. 
2
1
lnn n


 
 
61. 
1 5n
n
n

 

 
62. 
1
3 2
6
n n
n
n




 
63. 
1
1 1
( 1)nn e n n


 
 
 

 
64. 
2
2
2
1n n

 

 
 
 
65. 
0,2 0,2222...
 
66. Suponha que 
na
e 
nb
sejam séries 
com termos positivos e que 
nb
seja 
convergente. 
(a) Se 
n na b
 para todo 
n
, o que você pode 
dizer sobre
na
? 
(b) Se 
n na b
 para todo 
n
, o que você 
pode dizer sobre 
na
? 
67. 
2
1
1
1n n n

  

 
68. 
1
1
n
n
n n




 
69. 
1
9
3 10
n
n
n

 

 
70. 
2
1
cos ²
1n
n
n

 

 
71. 
1
1
4nn
n
n




 
72. 
1,2
1
arctg n 
n n



 
73. 
1
2 ( 1)n
n n n


 

 
74. 
1
1
² 1n n

 

 
75. 
1
1 4
1 3
n
n
n





 
76. 
2
1
2
2 1n
n
n n



 

 
77. 
1
5 2
(1 ²)²n
n
n





 
78. 
2 6
1
1 ²
1n
n n
n n


 
 

 
79. 2
1
1
1 n
n
e
n



 
 
 

 
80. 
1
1
!n n



 
81. 
1
1
n
sen
n


 
 
 

 
82-83 Use a soma dos dez primeiros termos 
para aproxima a soma da série. Estime o erro. 
82. 
4
1
1
1n n

 

 
83. 
1
1
1 2nn

 

 
84. O significado da representação decimal 
de um número 0, 
1 2 3, ,d d d
. . . (onde o 
algarismo 
id
 é um dos números 0, 1, 2, . . . , 
9) é que 
0, 
1 2 3 4, , ,d d d d
. . . = 
1
10
d
+ 
2
10
d
+ 
3
10
d
+ 
4
10
d
+ . . . 
85. Se 
na
for uma série convergente com 
termos positivos, é verdade que 
( )nsen a
 
também será convergente? 
86-94 Teste a série quanto a convergência ou 
divergência. 
86. 
4 4 4 4 4
7 8 9 10 11
...    
 
87. 1
1
( 1)n
n n




 
88. 
1
3 1
( 1)
2 1
n
n
n
n






 
89. 
1
( 1)
10
n
n
n
n


 
90. 
1
1
²
( 1)
³ 4
n
n
n
n






 
91 - 
2
( 1)
ln
n
n
n
n



 
92 - 
¾
1
cos
n
n
n


 
93 - 
1
( 1)n
n
sen
n


 
  
 

 
94 - 
1
( 1)
!
n
n
n
n
n



 
95 a 96 - Mostre que a série é convergente. 
Quantos termos da série precisamos somar 
para encontrar a soma parcial com a precisão 
indicada? 
95 - 1
6
1
( 1)n
n n




(|erro| < 0,00005) 
96 -  
0
1
10 !
n
n
n n




(|erro| < 0,000005) 
97 a 98 - Aproxime a soma da série com a 
precisão de quatro casas decimais. 
97 -   1
5
1
1
n
n n





 
98 -   1
1
1 ²
10
n
n
n
n





 
 
 
99 - O que você pode dizer sobre a série 
na
em cada um dos seguintes casos? 
(a) 
1lim 8n
n
n
a
a



 
(b) 
1lim 0,8n
n
n
a
a



 
(c) 
1lim 1n
n
n
a
a



 
100 a 102 – Determine se a série é 
absolutamente convergente, 
condicionalmente convergente ou divergente. 
100 -  
0
10
!
n
n n




 
101 -   1
4
1
1
n
n n





 
102 - 
1
2
3
k
n
k


 
 
 

 
103 - 
 
 
4
1
1,1
1
n
n
n n



 
104 -  
1
3
1
1
n
n
n
e
n




 
105 - 
  2 11
10
1 4
n
n
n n


 

 
106 -  
2
1
1 arctg 
n
n
n
n




 
107 -  
2
1
ln
n
n n




 
108 -  
1
cos / 3
!n
n
n



 
109 - 
1
² 1
2 ² 1
n
n
n
n


 
 
 

 
110 - ²
1
1
1
n
n n


 
 
 

 
111- - 
 
 
 
1 1.3.5... 2 11.3 1.3.5 1.3.5.7
1 ... 1 ...
3! 5! 7! 2 1 !
n n
n
 
      

 
112 - 
1
2.4.6...(2 )
!n
n
n



 
113 – Os termos de uma série são definidos 
recursivamente pelas equações 
1 2a 
 
1
5 1
4 3
n n
n
a a
n




 
Determine se 
na
converge ou diverge. 
114 – Para quais das seguintes séries o Teste 
da Razão não é conclusivo (isto é, ele não dá 
uma resposta definida)? 
(a) 
1
1
³n n



 
(b) 
1 2
n
n
n


 
(c)   1
1
3
n
n n





 
(d) 
1 1 ²n
n
n

 

 
115 - (a) Mostre que 
0
/ !n
n
x n


converge 
para todo x. 
(b) Deduza que 
lim / ! 0nn x n 
 para 
todo x. 
116 a 118 – Encontre o raio de convergência 
e o intervalo de convergência da série. 
116 - 
1
n
n
x
n



 
117 - 1
1
( 1)
³
n n
n
x
n




 
118 - 
1 !
n
n
x
n



 
119 - 
 
1
1 4
n n n
n
n x



 
120 -  
4
1
2
n n
n
x
n




 
121- 
 
2
1
4 ln
n n
n
n
x
n



 
122-  
2
0
2
1
n
n
x
n





 
123-  
1
3 4
nn
n
x
n




 
 
124-  
1
2
n
n
n
x
n




 
125-
 
1
, 0
n
n
n
n
x a b
b


 
 
126-
 
1
! 2 1
n
n
n x



 
 
 
127-  
2
1
4 1
n
n
x
n




 
128-
 1 1 3 5 ... 2 1
n
n
x
n

     

 
129-O fato de 
0
4nn
n
c



ser convergente 
implica que as séries a seguir são 
covergentes? 
(a) 
 
0
2
n
n
n
c



 (b) 
 
0
4
n
n
n
c



 
130-Se k for inteiro positivo, encontre o raio 
de convergência da série 
  
 0
!
!
k
n
n
n
x
kn



 
131-É possível encontrar uma série de 
potências cujo intervalo de convergência seja 
 0,
?Explique. 
132-Uma função definida por 
  2 3 41 2 2 ...f x x x x x     
 isto 
é, seus coeficientes são 
2 1nc 
 e 
2 1 2nc  
 
para todo 
0n 
. Ache o intervalo de 
convergência da série e encontre uma 
fórmula explícita para 
 f x
. 
133-Mostre que, se 
lim n n
n
c c


 com 
0c 
, então o raio de convergência da série 
de potências 
n
nc x
 é 
1R c
. 
134-Se o raio de convergência da sértie de 
potências 
0
n
n
n
c x



 for 10, qual é o raio de 
convergência da série 
1
0
n
n
n
nc x




?Por quê? 
135-138 Encontre uma representação em 
série de potências para a função e determine 
o intervalo de convergência. 
135-
 
1
1
f x
x


 
136-
 
2
3
f x
x


 
137-
  29
x
f x
x


 
138-
 
1
1
x
f x
x



 
139 Expresse a função como a soma de uma 
série de potências usando primeiro frações 
parciais. Encontre o intervalo de 
convergência. 
  2
3
2
f x
x x

 
 
140-(a) Use derivação para encontrar a 
representação em série de potências para 
 
 
 
2
1
1
f x
x


 
Qual é o raio de convergência? 
(b)Use o item (a) para encontrar uma série de 
potências para 
 
 
 
3
1
1
f x
x


 
(c)Use o item (b) para achar uma série de 
potências para 
 
 
 
2
3
1
x
f x
x


 
141-142 Encontre uma representação em 
série de potências para a função e determine 
o raio de convergência. 
141-
   ln 5f x x 
 
142-
 
 
3
2
2
x
f x
x


 
143-144 Calcule a integral indefinida como 
uma série de potências. Qual o raio de 
convergência? 
143-
81
t
dt
t
 
144- 1
3
x tg x
dx
x


 
145-Seja 
 
  2
1
n
n
x
f x
n



 
Encontre os intervalos de convergência para 
' '', ,f f f
. 
146-Se 
   
0
5
n
nn
f x b x


 
 para 
todo 
x
, escreva uma fórmula para 
8b
. 
 
147-Se 
     0 1 !nf n 
 para n = 
0,1,2,…, encontre a série de Maclaurin de 
f
e seu raio de convergência. 
148-150 Encontre a série de Maclaurin de 
 f x
 usando a definição de uma série de 
Maclaurin. [Suponha que 
f
tenha expansão 
em uma série de potências. Não mostre que 
 
 
  0.nR x 
] Também encontre o raio de 
convergência associado. 
148-
   
2
1f x x

 
 
149-
  cosf x x
 
150-
  5xf x e
 
151. Encontre a série de Maclaurin de 
( )f x
usando a definição de uma série de 
Maclaurin. [Suponha que 
f
 tenha expansão 
em uma série de potências. Não mostre que 
( ) 0nR x 
.] Também encontre o raio de 
convergência associado. 
( )f x senhx
 
152-155 Encontre a série de Taylor de 
( )f x
centrada no valor dado de
 a
. 
[Suponha que 
f
 tenha expansão em uma 
série de potências. Não mostre que 
( ) 0nR x 
.] 
152. 
2( ) 1 , 2f x x x a   
 
153. 
( ) , 3xf x e a 
 
154. 
( ) cos , f x x a  
 
155. 
1( ) , 9f x a
x
 
 
 
 
156 -157 Use a série binomial para expandir 
a função como série de potência. Diga o raio 
de convergência. 
156. 
1 x
 
157. 
3
1
(2 )x
 
158-160 Use uma série de Maclaurin para 
obter a série de Maclaurin da função dada.158. 
( )f x sen x
 
159. 
2( ) x xf x e e 
 
160. 
21( ) cos( )
2
f x x x
 
161-162 Encontre a série de Maclaurin de 
f
(por qualquer método) e seu raio de 
convergência. Trace 
f
e seus primeiros 
polinômios de Taylor na mesma tela. O que 
você observa sobre a relação entre esses 
polinômios e 
f
? 
161. 
2( ) cos( )f x x
 
162. 
( ) xf x xe
 
163-164 Use série para calcular o limite. 
163. 1
30
lim
x
x tg x
x



 
164. 
3
50
1
6lim
x
senx x x
x
 
 
165-168 Encontre o polinômio de 
Taylor
3( )T x
 da função 
f
em 
a
. Trace 
f
e 
3T
 na mesma tela. 
165. 
( ) ln , 1f x x a 
 
 
166. 
( ) cos , / 2f x x a  
 
167. 
( ) , 0f x arcsenx a 
 
168. 
2( ) , 0xf x xe a 
 
169-172 
a) Aproxime
f
por um polinômio de 
Taylor com grau 
n
 em 
a
. 
b) Use a Desigualdade de Taylor para 
estimar a precisão de aproximação 
( ) ( )nf x T x
quando 
x
 estiver no 
intervalo dado. 
c) Verifique seu resultado na parte (b) 
traçando 
( )nR x
. 
169. 
( ) , 4, 2, 4 4,2f x x a n x    
 
170. 
2
3( ) , 1, 3, 0,8 1,2f x x a n x    
 
171. 
( ) sec , 0, 2, 0,2 0,2f x x a n x     
 
172. 
2
( ) , 0, 3, 0 0,1xf x e a n x    
 
173. Um carro está se movendo com 
velocidade de 
20 /m s
 e aceleração de 
22 /m s
 em dado instante. Usando um 
polinômio de Taylor de grau 2, estime a 
distancia que o carro percorre no próximo 
segundo. Seria razoável utilizar esse 
polinômio pra estimar a distância percorrida 
durante o próximo minuto?