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Segunda prova escrita presencial GABARITO Algebra Linear 1 DEAD UFVJM 2015 2

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri – UFVJM 
Álgebra Linear 1
Prof. Carlos A. Mírez T.
RESOLUÇÃO 2da prova escrita presencial
Questão 01. 
Solução: 
Para ser um subespaço vetorial tem que satisfazer as duas condições dadas na definição: 
Dado um espaço vetorial �, um subconjunto �, não vazio, será subespaço vetorial de � se: 
i) Para quaisquer �	�����	�� ∈ �, ��� + �� ∈ �
ii) Para qualquer escalar �	
	� e ���	
	�, ����	
	�
Assim para resolver a questão 01, basta verificar se as matrizes satisfazem as duas condições 
dadas na definição. 
Vamos então, verificar cada uma. 
i) Sejam ��� = 	 ��� �� 00 �� ��� e �� = 	 ��� �� 00 �� ��� dois vetores ∈ �
��� + �� = 	 ��� �� 00 �� ��� +	��� �� 00 �� ��� = ��� + �� �� + �� 0 + 00 + 0 �� + �� �� + ��� = �� � 00 � �� 
Logo: ��� + �� ∈ � e a primeira condição está satisfeita. 
ii) Sejam �	
	� e ��� = 	 ��� �� 00 �� ��� 		
	�
���� = 	� ��� �� 00 �� ��� = ���� ��� �0�0 ��� ���� = �� � 00 � �� 
Logo: ����			� e a segunda condição está satisfeita. 
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
Questão 02: 
Solução: 
Para escrever um vetor como combinação linear de outros basta substitui-los na equação 
abaixo e resolvê-la. Fazendo isso, temos: 
��������� + ��������� +	�.�.����� = ����(1,2,1) + ��(1,0,2) +	�.(1,1,0) = (2,1,5)(��, 2��, ��) + (��, 0,2��) +	(�., �., 0) = (2,1,5)
Que resulta no sistema: 
0 �� +�� +�. = 22�� +0 �. = 1�� +2�� +0 = 51 
Retirando a matriz aumentada do sistema e escalonando, temos: 
21 1 1 22 0 1 11 2 0 53 
21 1 1 20 −2 −1 −30 1 −1 3 3 4�. (−2) + 4�4�. (−1) + 4.
21 1 1 20 1 −1 30 −2 −1 −33 4.4�
MIREZPC
Rectangle
21 1 1 20 1 −1 30 0 −3 33 4�. (2) + 4.
21 1 1 20 1 −1 30 0 1 −13 4.. (− 13)
Donde: 
∗ �. = −1
∗ �� − �. = 3
�� − (−1) = 3
�� = 2
∗ �� + �� + �. = 2
�� + 2 − 1 = 2
�� = 1
Logo, o vetor dado é a combinação linear dos vetores dados: 
�� = ������� + 2������� − �.�����
Questão 03: 
a) Solução:
�0�
Para verificar se um vetor é LI ou LD seguiremos as etapas dadas na Aula 11. 
Escrevemos a equação ��������� + ���������+	= , substituindo as componentes dos vetores ������� e �������.
Lembrando que como os vetores tem três componentes são vetores de �., assim o vetor nulo
de �. também terá três componentes nulas.
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
����� + ����+	= 0��
��(1,2,−1) 	+ ��(3,2,5)+	= (0,0,0)
Resolvendo a equação, temos: 
(��, 2��, −��) + (3��, 2��, 5��)+	= (0,0,0)
0 �� +3�� = 02�� +2�� = 0−�� +5�� = 01 
Para resolver este sistema, basta escalonar a sua matriz aumentada: 
2 1 3 02 2 0−1 5 03 4�. (−2) + 4�4� + 4�
21 3 00 −4 00 8 03 4�. (−
14) 
21 3 00 1 00 8 03 4�. (−8) + 4.
21 3 00 1 00 0 03 
Donde obtemos: 
∗ �� = 0
∗ �� + 3�� = 0
�� + 0 = 0
�� = 0
E: 
�� = �� = 0
Logo, a sequência de vetores é Linearmente Independente. 
b) Solução:
Como temos três vetores, esses resultam em uma matriz quadrada, onde cada um compõe 
uma linha da matriz. Para verificar se a sequência de vetores é LI ou LD, basta calcular o 
determinante da matriz formada por esses três vetores. Se esse determinante for diferente de 
zero, a sequência de vetores será LI, caso contrário será LD. 
Assim: 
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Máquina de escrever
Exercicio (a) => L.I.
B�C = D4 2 12 6 −51 −2 3 D
4 22 61 −2 = (72 − 10 − 4) − (12 + 40 + 6) = 0 
Logo a sequência de vetores é LD. 
Obs.: Se você quiser, poderá proceder como na letra (a) acima para verificar se a sequência de 
vetores é LI ou LD, entretanto o método do determinante é mais rápido e pode ser usado toda 
vez que os vetores do conjunto formarem uma matriz quadrada. 
c) Solução 1: 
Escrevemos a equação ��������� + ��������� +	�.�.����� = 0�� para ������� = >�(C) , ������� = >�(C) e �.����� = >.(C) 
Assim: 
��>�(C) + ��>�(C) +	�.>.(C) = 0�� ��(C� + C) + ��(C − 2) +	�.(C + 3) = (0,0,0) (��C� + ��C) + (��C − 2��) +	(�.C + 3�.) = (0,0,0) 
Agrupamos os termos semelhantes: 
��C� + ��C + ��C + �.CGHHHHIHHHHJKLMLNOPLQ	R	;P	;STUêWNTO − 2�� + 3�. = (0,0,0) ��C� + (�� + �� + �.)C + (−2�� + 3�.) = (0,0,0) 
Donde obtemos o sistema: 
X�� = 0�� +�� �. = 0−2�� +3�. = 01 
Resolvendo-o, temos: 
21 0 0 01 1 1 00 −2 3 03 
21 0 0 00 1 1 00 −2 3 03 4�. (−1) + 4� 
21 0 0 00 1 1 00 0 5 03 4�. (2) + 4. 
21 0 0 00 1 1 00 0 1 03 4.. Y15Z
 
Donde obtemos: 
∗ �. = 0 
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Máquina de escrever
Exercicio (b) => L.D.
MIREZPC
Rectangle
∗ �� + �. = 0 
�� + 0 = 0 
�� = 0 
∗ �� = 0 
Logo, a seqûencia de vetores é LI. 
Solução 2: 
Podemos ainda proceder como no exercício anterior até encontrarmos o sistema e, a partir 
daí, calcular o determinante da matriz reduzida do sistema, pois esta é uma matriz quadrada. 
Se o determinante for zero será LD e se for diferente de zero será LI. 
Observe: 
Procedemos como no exercício anterior: 
Escrevemos a equação ��������� + ��������� +	�.�.����� = 0�� para ������� = >�(C) , ������� = >�(C) e �.����� = >.(C) 
Assim: 
��>�(C) + ��>�(C) +	�.>.(C) = 0�� ��(C� + C) + ��(C − 2) +	�.(C + 3) = (0,0,0) (��C� + ��C) + (��C − 2��) +	(�.C + 3�.) = (0,0,0) 
Agrupamos os termos semelhantes: 
��C� + ��C + ��C + �.CGHHHHIHHHHJKLMLNOPLQ	R	;P	;STUêWNTO − 2�� + 3�. = (0,0,0) ��C� + (�� + �� + �.)C + (−2�� + 3�.) = (0,0,0) 
Donde obtemos o sistema: 
X�� = 0�� +�� �. = 0−2�� +3�. = 01 
A partir daqui calculamos o determinante da matriz reduzida do sistema: 
B�C = D1 0 01 1 10 −2 3D
1 01 10 −2 = (3 + 0 + 0) − (0 − 2 + 0) = 5 ≠ 0 
Como o determinante é diferente de zero a sequência de vetores é LI. 
d) Solução: 
Escrevemos a equação ��������� + ��������� +	�.�.����� = 0�� para ������� = >�(C) , ������� = >�(C) e �.����� = >.(C) 
Assim: 
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Máquina de escrever
MIREZPC
Máquina de escrever
MIREZPC
Máquina de escrever
Exercicio (c) => L.I.
��>�(C) + ��>�(C) +	�.>.(C) = 0����(3C� + 1) + ��(3C + 1) +	�.(2C� + 1) = (0,0,0)(3��C� + ��) + (3��C + ��) +	(2�.C� + �.) = (0,0,0)
Agrupamos os termos semelhantes: 
3��C� + 2�.C�GHHHIHHHJKLMLNOPLQ	R\	;P	;STUêWNTO + 3��C + (�� + �� + �.) = (0,0,0)(3�� + 2�.)C� + 3�.C + (2�� + 2�.) = (0,0,0)
Donde obtemos o sistema: 
X3�� +2�. = 03�. = 0�� +�� +�. = 01 
Cuja solução será: 
∗ 3�. = 0
�. = 0
∗ 3�� + 2�. = 0
3�� + 0 = 0
�� = 0
∗ �� + �� + �. = 0
0 + �� + 0 = 0
�� = 0
E a sequência de vetores é LI. 
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Rectangle
MIREZPC
Máquina de escrever
exercicio (d) => L.I.
MIREZPC
Rectangle

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