Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri – UFVJM Álgebra Linear 1 Prof. Carlos A. Mírez T. RESOLUÇÃO 2da prova escrita presencial Questão 01. Solução: Para ser um subespaço vetorial tem que satisfazer as duas condições dadas na definição: Dado um espaço vetorial �, um subconjunto �, não vazio, será subespaço vetorial de � se: i) Para quaisquer � ����� �� ∈ �, ��� + �� ∈ � ii) Para qualquer escalar � � e ��� �, ���� � Assim para resolver a questão 01, basta verificar se as matrizes satisfazem as duas condições dadas na definição. Vamos então, verificar cada uma. i) Sejam ��� = ��� �� 00 �� ��� e �� = ��� �� 00 �� ��� dois vetores ∈ � ��� + �� = ��� �� 00 �� ��� + ��� �� 00 �� ��� = ��� + �� �� + �� 0 + 00 + 0 �� + �� �� + ��� = �� � 00 � �� Logo: ��� + �� ∈ � e a primeira condição está satisfeita. ii) Sejam � � e ��� = ��� �� 00 �� ��� � ���� = � ��� �� 00 �� ��� = ���� ��� �0�0 ��� ���� = �� � 00 � �� Logo: ���� � e a segunda condição está satisfeita. MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle Questão 02: Solução: Para escrever um vetor como combinação linear de outros basta substitui-los na equação abaixo e resolvê-la. Fazendo isso, temos: ��������� + ��������� + �.�.����� = ����(1,2,1) + ��(1,0,2) + �.(1,1,0) = (2,1,5)(��, 2��, ��) + (��, 0,2��) + (�., �., 0) = (2,1,5) Que resulta no sistema: 0 �� +�� +�. = 22�� +0 �. = 1�� +2�� +0 = 51 Retirando a matriz aumentada do sistema e escalonando, temos: 21 1 1 22 0 1 11 2 0 53 21 1 1 20 −2 −1 −30 1 −1 3 3 4�. (−2) + 4�4�. (−1) + 4. 21 1 1 20 1 −1 30 −2 −1 −33 4.4� MIREZPC Rectangle 21 1 1 20 1 −1 30 0 −3 33 4�. (2) + 4. 21 1 1 20 1 −1 30 0 1 −13 4.. (− 13) Donde: ∗ �. = −1 ∗ �� − �. = 3 �� − (−1) = 3 �� = 2 ∗ �� + �� + �. = 2 �� + 2 − 1 = 2 �� = 1 Logo, o vetor dado é a combinação linear dos vetores dados: �� = ������� + 2������� − �.����� Questão 03: a) Solução: �0� Para verificar se um vetor é LI ou LD seguiremos as etapas dadas na Aula 11. Escrevemos a equação ��������� + ���������+ = , substituindo as componentes dos vetores ������� e �������. Lembrando que como os vetores tem três componentes são vetores de �., assim o vetor nulo de �. também terá três componentes nulas. MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle ����� + ����+ = 0�� ��(1,2,−1) + ��(3,2,5)+ = (0,0,0) Resolvendo a equação, temos: (��, 2��, −��) + (3��, 2��, 5��)+ = (0,0,0) 0 �� +3�� = 02�� +2�� = 0−�� +5�� = 01 Para resolver este sistema, basta escalonar a sua matriz aumentada: 2 1 3 02 2 0−1 5 03 4�. (−2) + 4�4� + 4� 21 3 00 −4 00 8 03 4�. (− 14) 21 3 00 1 00 8 03 4�. (−8) + 4. 21 3 00 1 00 0 03 Donde obtemos: ∗ �� = 0 ∗ �� + 3�� = 0 �� + 0 = 0 �� = 0 E: �� = �� = 0 Logo, a sequência de vetores é Linearmente Independente. b) Solução: Como temos três vetores, esses resultam em uma matriz quadrada, onde cada um compõe uma linha da matriz. Para verificar se a sequência de vetores é LI ou LD, basta calcular o determinante da matriz formada por esses três vetores. Se esse determinante for diferente de zero, a sequência de vetores será LI, caso contrário será LD. Assim: MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Máquina de escrever Exercicio (a) => L.I. B�C = D4 2 12 6 −51 −2 3 D 4 22 61 −2 = (72 − 10 − 4) − (12 + 40 + 6) = 0 Logo a sequência de vetores é LD. Obs.: Se você quiser, poderá proceder como na letra (a) acima para verificar se a sequência de vetores é LI ou LD, entretanto o método do determinante é mais rápido e pode ser usado toda vez que os vetores do conjunto formarem uma matriz quadrada. c) Solução 1: Escrevemos a equação ��������� + ��������� + �.�.����� = 0�� para ������� = >�(C) , ������� = >�(C) e �.����� = >.(C) Assim: ��>�(C) + ��>�(C) + �.>.(C) = 0�� ��(C� + C) + ��(C − 2) + �.(C + 3) = (0,0,0) (��C� + ��C) + (��C − 2��) + (�.C + 3�.) = (0,0,0) Agrupamos os termos semelhantes: ��C� + ��C + ��C + �.CGHHHHIHHHHJKLMLNOPLQ R ;P ;STUêWNTO − 2�� + 3�. = (0,0,0) ��C� + (�� + �� + �.)C + (−2�� + 3�.) = (0,0,0) Donde obtemos o sistema: X�� = 0�� +�� �. = 0−2�� +3�. = 01 Resolvendo-o, temos: 21 0 0 01 1 1 00 −2 3 03 21 0 0 00 1 1 00 −2 3 03 4�. (−1) + 4� 21 0 0 00 1 1 00 0 5 03 4�. (2) + 4. 21 0 0 00 1 1 00 0 1 03 4.. Y15Z Donde obtemos: ∗ �. = 0 MIREZPC Rectangle MIREZPC Máquina de escrever Exercicio (b) => L.D. MIREZPC Rectangle ∗ �� + �. = 0 �� + 0 = 0 �� = 0 ∗ �� = 0 Logo, a seqûencia de vetores é LI. Solução 2: Podemos ainda proceder como no exercício anterior até encontrarmos o sistema e, a partir daí, calcular o determinante da matriz reduzida do sistema, pois esta é uma matriz quadrada. Se o determinante for zero será LD e se for diferente de zero será LI. Observe: Procedemos como no exercício anterior: Escrevemos a equação ��������� + ��������� + �.�.����� = 0�� para ������� = >�(C) , ������� = >�(C) e �.����� = >.(C) Assim: ��>�(C) + ��>�(C) + �.>.(C) = 0�� ��(C� + C) + ��(C − 2) + �.(C + 3) = (0,0,0) (��C� + ��C) + (��C − 2��) + (�.C + 3�.) = (0,0,0) Agrupamos os termos semelhantes: ��C� + ��C + ��C + �.CGHHHHIHHHHJKLMLNOPLQ R ;P ;STUêWNTO − 2�� + 3�. = (0,0,0) ��C� + (�� + �� + �.)C + (−2�� + 3�.) = (0,0,0) Donde obtemos o sistema: X�� = 0�� +�� �. = 0−2�� +3�. = 01 A partir daqui calculamos o determinante da matriz reduzida do sistema: B�C = D1 0 01 1 10 −2 3D 1 01 10 −2 = (3 + 0 + 0) − (0 − 2 + 0) = 5 ≠ 0 Como o determinante é diferente de zero a sequência de vetores é LI. d) Solução: Escrevemos a equação ��������� + ��������� + �.�.����� = 0�� para ������� = >�(C) , ������� = >�(C) e �.����� = >.(C) Assim: MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Máquina de escrever MIREZPC Máquina de escrever MIREZPC Máquina de escrever Exercicio (c) => L.I. ��>�(C) + ��>�(C) + �.>.(C) = 0����(3C� + 1) + ��(3C + 1) + �.(2C� + 1) = (0,0,0)(3��C� + ��) + (3��C + ��) + (2�.C� + �.) = (0,0,0) Agrupamos os termos semelhantes: 3��C� + 2�.C�GHHHIHHHJKLMLNOPLQ R\ ;P ;STUêWNTO + 3��C + (�� + �� + �.) = (0,0,0)(3�� + 2�.)C� + 3�.C + (2�� + 2�.) = (0,0,0) Donde obtemos o sistema: X3�� +2�. = 03�. = 0�� +�� +�. = 01 Cuja solução será: ∗ 3�. = 0 �. = 0 ∗ 3�� + 2�. = 0 3�� + 0 = 0 �� = 0 ∗ �� + �� + �. = 0 0 + �� + 0 = 0 �� = 0 E a sequência de vetores é LI. MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Rectangle MIREZPC Máquina de escrever exercicio (d) => L.I. MIREZPC Rectangle
Compartilhar