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GELSON IEZZI SAMUEL HAZZAN FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 4 ELEMENTAR SEQUÊNCIAS MATRIZES DETERMINANTES SISTEMAS 42 exercícios resolvidos 306 exercícios propostos com resposta 310 testes de vestibular com resposta edição ATUAL EDITORACapa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu, 1235 S. Paulo APRESENTAÇÃO Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 S. Paulo Artes Atual Editora Ltda. "Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, Fotolitos ao nível da escola de grau. Desenvolvendo programas em geral adotados para H.O.P. Fotolitos Ltda. curso colegial, "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames Rua Delmira Ferreira, 325 S. Paulo vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha Impressão e acabamento das ciências". Gráfica Editora Hamburg Ltda. No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos" Rua Apeninos, 294 procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. 278-1620 278-2648 279-9776 Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições São Paulo SP Brasil e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. CIP-Brasil. Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação Camara Brasileira do Livro, SP crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A Fundamentos de matematics elementar (por) Gel- seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios F977 Iezzi Peulo, Atual v.1-2, Ed., 1977- resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação 4-6 Co-autores: Carlos Dolce sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar e Samuel Hazzan; a autoria dos volumes indi- viduais varia entre 08 4 autores. a resposta para cada problema proposto e assim, ter seu reforço positivo ou partir Conteudo: Conjuntos, Logaritmos.-v.4. matrizes determi- à procura do erro cometido. nantes, sistemas.-v.5. probabi- Complexos, equações. A última parte de cada volume é constituída por testes de vestibulares até 1. (29 grau) I. Dolce, Osvaldo, 1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria 1938- II. Iezzi, Gelson, 1939- III. Hazzan, Samuel, 1946- IV. Murakami, Carlos, 1943- estudada. 77-1333 COD-510 Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Indice para catalogo sistematico: Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear 1. Matematics 510 nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e suas obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre anseio dos autores Todos direitos reservados a e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores uma apre- ATUAL EDITORA LTDA ciação sobre este trabalho, notadamente OS comentários críticos, quais agra- Rua José Antônio Coelho, 785 decemos. Telefones: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 São Paulo SP Brasil Os autoresÍNDICE CAPÍTULO I SEQÜÊNCIAS I. Noções iniciais 1-D II. Igualdade 2-D III. Lei de formação 2-D CAPÍTULO II - PROGRESSÃO ARITMÉTICA I. Definição 5-D II. Classificação 5-D III. Notações especiais 6-D IV. Fórmula do termo geral 9-D V. Interpolação aritmética 11-D VI. Soma 12-D CAPÍTULO III PROGRESSÃO GEOMÉTRICA I. Definição 18-D II. Classificação 18-D III. Notações especiais 20-D IV. Fórmula do termo geral 22-D V. Interpolação geométrica 23-D VI. Produto 24-D VII. Soma dos termos de P.G. finita 25-D VIII. Limite de uma seqüência 27-D IX. Soma dos termos de P.G. infinita 29-DCAPÍTULO IV - MATRIZES I. Noção de matriz 35-D II. Matrizes especiais 36-D III. Igualdade 38-D IV. Adição 39-D V. Produto de número por matriz 43-D VI. Produto de matrizes 45-D VII. Matriz transposta 55-D VIII. Matrizes inversíveis 58-D CAPÍTULO V DETERMINANTES I. Introdução 67-D II. Definição de determinantes (n ≤ 3) 67-D III. Menor complementar e complementar algébrico 70-D IV. Definição de determinante (caso geral) 72-D V. Teorema fundamental (de Laplace) 75-D Propriedades dos determinantes 77-D VII. Abaixamento de ordem de um determinante-Regra de Chió 94-D VIII. Matriz de Vandermonde (ou das potências) 99-D Apêndice I Demonstração do teorema de Laplace 105-D Apêndice II Cálculo da matriz inversa através de determinantes 108-D CAPÍTULO VI - SISTEMAS LINEARES I. Introdução 115-D II. Teorema de Cramer, 122-D III. Sistemas escalonados 126-D IV. Sistemas equivalentes Escalonamento de um sistema 131-D V. Sistema linear homogêneo. 147-D VI. Característica de uma matriz 151-D RESPOSTAS DE EXERCÍCIOS 161-D TESTES 175-D Pierre-Simon de Laplace RESPOSTAS DOS TESTES 227-D (1749 1827)Napoleão demite ministro do interior CAPÍTULO I Pierre-Simon de Laplace francês, de descendência humilde, estudou na SEQÜÊNCIAS Academia Militar por influência de amigos. Sem grandes convicções políticas, pouco participou de atividades revolu- cionárias embora tenha sido nomeado por Napoleão para o cargo de Ministro do Interior do qual foi despojado logo mais pois, como dizia próprio Napoleão, "ele transportava espírito do infinitamente pequeno à direção dos negócios de I. NOÇÕES INICIAIS sua pasta". Mesmo assim, acabada a Revolução Francesa, recebeu o título de marquês e em suas obras procurava sempre incluir elogios fervorosos ao grupo 1. Definição que estivesse no poder, procurando assim fazer as pazes com cada regime que aparecesse. Chama-se seqüência finita ou n-upla 1 a₁ toda aplicação f do conjunto 2 a₂ Laplace foi professor na Escola Normal e na Escola Politécnica, participando também do de Pesos e Medidas. = {1, 2, 3, n} em 3 a₃ N* IR Seus principais resultados foram em Teoria das Probabilidades, publicando Assim, em toda seqüência finita, a uma obra admirável que é a "Teoria Analítica das Probabilidades" em 1812, onde cada número natural i (1 ≤ ≤ n) está a; mostra ter conhecimentos avançados de Análise. associado um número real n an Em "Ensaio filosófico das probabilidades" escreveu que "no fundo a Teoria f = (2, (3, (n, das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números". Em "Teoria Analítica" encontramos entre outros resultados, cálculo de 2. Definição 1 π através dos problemas das agulhas de Buffon, esquecido há muitos anos, e um 2 a₂ Chama-se seqüência infinita toda estudo da probabilidade inversa iniciado por Bayes. 3 a₃ aplicação f de N* em IR. N* Em "Exposição do Sistema do Mundo", de 1796, e em "Mecânica Celeste", Em toda seqüência infinita, a cada de 1799, apresentou sua hipótese de que o sistema solar se originou de um gás i E N* está associado um incandescente girando em torno de um eixo que, ao esfriar, se contraiu causando rotação cada vez mais rápida até que da camada externa se desprenderam sucessivos f = (2, (3, (i, anéis que formaram planetas. centro restante da massa de gás, em rotação, constituiu o sol. Esta publicação marcou o auge da teoria de Newton, explicando Vamos, daqui em diante, indicar uma seqüência f anotando apenas a ima- todas as perturbações do sistema solar, sua estabilidade e seu movimento que é secular, não lhe parecendo mais necessário admitir a intervenção divina em certas gem de f: ocasiões. f = = (a₁, Para Laplace a natureza era a essência e a Matemática apenas uma coleção onde aparecem entre parênteses ordenadamente, da esquerda para a direita, as ima- de instrumentos, que ele sabia manejar com muita habilidade sempre mantendo gens dos naturais 1, 2, 3, um sentimento de honestidade intelectual com as Ciências. 1-DExemplos Quando queremos indicar uma seqüência f qualquer, escrevemos f = Escrever a seqüência finita f cujos termos obedecem a seguinte fórmula de recorrência: a₁ 2 e 3, {2, 3, 4, 5, 6}. e lemos "seqüência f dos termos onde conjunto de índices é Temos: 3. Exemplos = (1, 2, 3, 4, 6, 12) é a seqüência (finita) dos divisores inteiros positivos n = 5 = + 3 = = 11 + 3 = 14 de 12 dispostos em ordem crescente. n = 6 as + 3 14 + 3 = 17 (2, 4, 6, 8, 2i, é a seqüência (infinita) dos múltiplos inteiros então f = (2, 5, 8, 11, 14, 17). positivos de 2. (2, 3, 5, 7, 11, ) é a seqüência (infinita) dos números primos positivos. Escrever OS cinco termos iniciais da seqüência infinita g dada pela seguinte fórmula de recorrência: = 1 e 3 n N e n ≥ 2. Observando o exemplo, notamos que estão indicadas entre parênteses as imagens de 1, 2, 3, i, na aplicação f: N* IR dada por f(i) = = 2i. Temos: II. IGUALDADE n = 4 b₄ 3 b₃ 3 9 = 27 n = 5 b₅ 3 = 3 27 81 4. Sabemos que duas aplicações f e g são iguais quando têm domínios iguais e f(x) = g(x) para todo X do Assim, duas seqüências infinitas f e então g = (1, 3, 9, 27, ). símbolos: g são iguais quando f(i) g(i), isto é, = b; para todo i N*. Em 6. Expressando cada termo em função de sua posição É dada uma fórmula que expressa em função de n. f = g N* Exemplos III. LEI DE FORMAÇÃO Escrever a seqüência finita f cujos termos obedecem à lei an = {1, 2, 3, Interessam à Matemática as seqüências em que os termos se sucedem obe- Temos: decendo a certa regra, isto é, aquelas que têm uma lei de formação. Esta pode ser apresentada de três maneiras: 2, a₂ = 4, e 16 então f (2, 4, 8, 16). Escrever os cinco termos iniciais da seqüência infinita g em que os termos verificam a relação 3n + 1, 5. Por fórmula de recorrência Temos: = São dadas duas regras: uma para identificar primeiro termo e outra b₄ 3 4 + = 13 e 3 5 + 1 16 então g (4, 7, 10, 13, 16, ...). para calcular cada termo a partir do antecedente 2-D 3-D7. Por propriedade dos termos É dada uma propriedade que termos da seqüência devem apresentar. CAPÍTULO II Exemplos Escrever a seqüência finita f de seis termos em que cada termo é igual ao número de divisores inteiros do respectivo índice. PROGRESSÃO Temos: ARITMÉTICA D(1) a₁ = 2 D(2) = 2, a₂ 4 D(3) 3, a₃ 4 D(4) = 2, -2, 4, 6 DEFINIÇÃO D(5) = 5, -5} 4 a₆ 8 8. Chama-se progressão aritmética (P.A.) uma seqüência dada pela seguinte fórmula de recorrência: Escrever cinco termos iniciais da seqüência infinita g formada pelos a₁ a números primos positivos colocados em ordem crescente. + onde a e r são números reais dados. Notemos que esta seqüência não pode ser dada por fórmula de recorrência Assim, uma P.A. é uma seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é a bem como não existe fórmula para calcular o n-ézimo número primo positivo a soma do anterior com uma constante r dada. partir de n. Eis alguns exemplos de progressões aritméticas: EXERCÍCIOS onde a₁ = e 2 onde a₁ 0 e = -2 D.1 Escrever os seis termos iniciais das seqüências dadas pelas seguintes fórmulas de re- onde a₁ = 4 e r 0 corrência: 13579 1 a) a₁ 5 + 2, 2 2 2 2 2 onde a₁ 2 e r = 1 b) 3 e 1 c) 2 e onde a₁ 4 e 3 d) 4 e 2 D.2 Escrever os seis termos iniciais das seqüências dadas pelas seguintes leis: II. CLASSIFICAÇÃO a) 3n 2, b) . c) n(n d) As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias: e) = crescentes são as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. É D.3 Descrever por meio de uma fórmula de recorrência cada uma das seqüências abaixo: imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois: a) (3, 6, 9, 12, 15, 18, b) (1, 2, 4, 8, 16, 32, ) > an > 0 r > 0. Exemplos: f₁ e f4. 4-D 5-Dconstantes são as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. É fácil ver De 1 obtemos X = 8, substituindo em 2 vem: que isto só ocorre quando r = 0, pois: (8 r) 8 (8 + = 440 64 - - = 55 9 = ± 3. - = 0 = 0 Assim, a P.A. procurada é: Exemplo: f₃ (5, 8, 11) para = 8 e 3 ou (11, 8, 5) para decrescentes são as P.A. em que cada termo é menor que o Isto D.7 Obter uma P.A. crescente formada por números inteiros e consecutivos de modo que a ocorre somente se rD.14 Obter 4 números reais em P.A. sabendo que sua soma é 22 e a soma de seus quadrados IV. FÓRMULA DO TERMO GERAL é 166. 9. Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.A. e admitindo D.15 Obter uma P.A. de 5 termos sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus cubos é 3 025. dados o primeiro termo a razão (r) e o índice (n) de um termo desejado, temos: Solução a₂ = + Utilizando a notação (x 2r, X, + 2r), temos: a₃ = = a₂ + 1 (x 2r) + (x r) + + (x + r) + (x + 2r) 25 = a₃ + 2 (x + (x + + (x + + (x + 3025 = + De 1 vem: 5x = 25, isto é, 5. Somando essas igualdades, temos: De 2 vem: a₂ + + + + an = + a₂ + + + + (n 1) + + + - + + + + 3xr2 + + + + + + cancelam-se isto é: + e, então, = a₁ + (n 1) . que sugere o seguinte Lembrando que = 5, temos: 5 + 30 5 = 2 400 16 4. 10. Teorema Portanto a P.A. é: (-3, 1, 5, 9, 13) ou (13,9,5,1, -3). Na P.A. em que 0 primeiro termo é a₁ e a razão é r, o n-ézimo termo é D.16 Obter uma P.A. decrescente com 5 termos cuja soma é 10 e a soma dos quadrados é 60. D.17 Obter 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é 563 + 63 1) D.18 Achar 5 números reais em P.A. sabendo que sua soma é 10 e a soma dos cubos dos dois primeiros é igual à soma dos cubos dos dois últimos, Demonstração pelo princípio da indução finita D.19 Mostrar que se (a, b, c) é uma P.A., então ab²c, também é. Para n = 1, temos: a₁ = a₁ + (sentença verdadeira) Solução Temos, por hipótese, II) Admitamos a validade da fórmula para n = p: = a₁ + 1) (hipótese = abc(b a) abcr = abc(c - ab² de indução) e provemos que vale para n = p + 1: + (a₁ + r) + r a₁ + [(p + 1) . D.20 Provar que se ( 1 1 1 é uma P.A., então também é. Então a₁ + E y Z D.21 Provar que se (a, b, c) é uma P.A., então + c), + c), + b)) também é. EXERCÍCIOS D.24 Calcular o termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5. D.22 Sabendo que (a, b, c) e ( b'c'd são P.A., mostrar que 2ad c(a + c). Solução D.23 Sabendo que é P.A., provar que: Notando que a₁ = apliquemos a fórmula do termo geral: + 16r 3 + 16 . 83. 8-D 9-DD.25 Obter e o termos da P.A. (2, 5, 8, 11, Solução Temos: Solução 9,5. 7 + 19r 30 -8 + 19r 2. Concluímos queEXERCÍCIOS 3 + + p(p 2 + 1) D.40 Intercalar 5 meios aritméticos entre -2 e 40. e provemos para n = p + 1: Solução Devemos obter a razão da P.A. com 7 termos (2 extremos e 5 meios) em que + p + + = p(p 2 + 1) + = = -2 e a₇ = 40. Temos: a₇ = + 6r 40 = -2 + 6r r = 7 então a P.A. é (-2, 5, 12, 19, 26, 33, 40) p(p + 1) + 2(p = = 2 2 meios D.41 Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34 para que a razão da Então + n = n(n 2 + E N*. interpolação seja 2 1 ? Exemplo D,42 Inserir 12 meios aritméticos entre 100 e 200. A soma dos 50 termos iniciais da seqüência dos inteiros positivos é: D.43 Quantos números inteiros e positivos, formados com 3 algarismos, são múltiplos de 13? D.44 De 100 a 1000 quantos são múltiplos de 2 ou 1 + 2 + 3 + + 50 = 50(50 2 1) = 25 X 51 275. D.45 Quantos números inteiros e positivos, formados de dois ou três algarismos, não são Utilizando a fórmula do termo geral, podemos calcular a soma dos n divisíveis por 7? termos iniciais da P.A. (a₁, ). D.46 (ITA-66) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, não divisíveis nem por 5 e nem por 7? 12. Teorema 2 D.47 (MAPOFEI-75) Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é sexto termo da P.A.? Em toda P.A. tem-se: = + n(n 2 VI. SOMA Demonstração Vamos deduzir uma fórmula para calcular a soma Sₙ dos n termos iniciais a₁ a₁ de uma P.A. a₂ a₁ + a₃ + + 11. Teorema 1 A soma dos n primeiros números inteiros positivos é n(n 2 + 1) a₁ + a₂ + a₃ + + an = (a₁ + a₁ + + + + 2r + + 1)r) Demonstração por indução finita n parcelas I) Para n = 1, temos: 1 = 1(1 2 + 1) (sentença verdadeira) = + (1 + 2 + + II) Admitamos a validade da fórmula para n = p: Pelo teorema 1: 1 + 2 + + (n (n - 2 1)n então: 12-D 13-Dn EXERCÍCIOS + a₂ + a₃ + + = + 2 D.48 Calcular a soma dos 25 termos iniciais da P.A. (1, 7, 13, . ). isto é: Solução Sendo = e 6, temos: = a₁ + 24 r = 1 + 24 X 6 = 145 S₂₅ + a25) 25(1 + 145) 2 2 D.49 Obter a soma dos 200 primeiros termos da seqüência dos números ímpares positivos. 13. Teorema 3 Calcular também a soma dos n termos iniciais da mesma seqüência. Solução Em toda P.A. tem-se: A seqüência (1, 3, 5,...) é uma P.A. em que a₁ = 1 e = 2, então: = a₁ + 199 . r = 1 + 199 X 2 = 399 + = 2 S₂₀₀ + 200(1 + 399) = = 2 2 Demonstração 2 + an) = n(1 + 2 2n 1) = na, + n(n 2 1) = + 2 n(n = n[2a₁ + 2 1)r] = D.50 Qual é a soma dos números inteiros de 1 a 350? + + 1)r] + D.51 Qual é a soma dos 120 primeiros números pares positivos? E a soma dos n primeiros? = = 2 2 Obter a soma dos 12 primeiros termos da P.A. (6, 14, D.53 Obter a soma dos n elementos iniciais da seqüência: 2 Exemplos ). n n n A soma dos 15 termos iniciais da P.A. (-2, 1, 4, 7,...) é: D.54 Determinar a P.A. em que o vigésimo termo é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é 650. S₁₅ = 15(-2) + 15 2 14 3 -30 + 315 285. Solução Determinar uma P.A. é obter e r Temos: = 2 a₁ + 19r 2 1 A soma dos múltiplos inteiros de 2 desde 4 até 100 pode ser calculada notando-se que (4, 6, 8, 100) é uma P.A. de 49 termos em que a₁ = 4 e = = 650 50(2a, 2 + 49r) = 650 + 49r = 26 2 a49 = 100: Resolvendo sistema 1 e 2 obtemos = -36 e r = 2, portanto, a pro- curada é (-36, -34, -32, S₄₉ = 49(4 + 100) = 49 X 52 = 2 D.55 Qual é o elemento da P.A. de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255? 14-D 15-DD.56 Quantos termos devem ser somados na P.A. (-5, -1, a partir do termo, para D.67 (EESCUSP-66) Se numa P.A. a soma dos m primeiros termos é igual à soma dos n que a soma seja 1 590? primeiros termos, m mostre que a soma dos m + n primeiros termos é igual a zero. D.68 Demonstrar que em toda P.A. com número de termos, o termo médio é igual à D.57 Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. (13, 45 4 19 2 a diferença entre a soma dos termos de ordem e a soma dos termos de ordem par. partir do termo, para que a soma seja negativa? D.69 (FAUUSP-66) Quais as progressões aritméticas nas quais a soma de dois termos D.58 Ao se efetuar a soma de 50 parcelas em P.A., 202, 206, 210, por quaisquer faz parte da progressão? distração não foi somada a parcela. Qual foi a soma encontrada? D.70 (EE. LINS-67) Determinar uma progressão aritmética de razão 1, sabendo-se que o D.59 Determinar uma P.A. de 60 termos em que a soma dos 59 primeiros é 12 e a soma dos número de termos é divisível por 3, que a soma dos termos é 33 e que termo de 59 últimos é 130. ordem é 4. 3 D.60 Determinar uma P.A. em que a soma dos 10 termos iniciais é 130 e a soma dos 50 D.71 (FFCLUSP-65) A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é iniciais é -6, o produto do primeiro deles pelo quarto é -54. Determinar esses termos. D.61 Calcular o quociente entre a soma dos termos de índice e a soma dos termos de D.72 (ITA-58) Provar que se uma P.A. é tal que a soma dos seus n primeiros termos é igual índice par da P.A. finita (4, 7, 10, 517). a n+1 vezes a metade do enézimo termo então r D.62 Qual é a soma dos múltiplos positivos de 5 formados por 3 algarismos? Solução Os múltiplos positivos de 5 formados por 3 algarismos constituem a P.A. (100, 105, 110, 995), em que = 100, r = 5 e = 995. o número de elementos dessa P.A. é n tal que: = + (n 1)r 995 100 + 1)5 n 180. A soma dos termos da P.A. é: + = 180(100 + 995) = 98 550. 2 2 D.63 Qual é a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 10 000? D.64 (MAPOFEI-74) Qual é a soma dos múltiplos positivos de 7, com dois, três ou quatro algarismos? D.65 Obter uma P.A. em que a soma dos n primeiros termos é + 2n para todo n natural. Solução Como + 2n, E N*, temos: 12 + 2 1 3 3 D.66 Calcular o termo e a razão de uma P.A. cuja soma dos n primeiros termos é + 4n para todo n natural. 17-D 16-Da) P.G. com termos positivos CAPÍTULO III > 1 q > 1 PROGRESSÃO b) P.G. com termos negativos GEOMÉTRICA 0 1 q > 1 Exemplos: e f₃ onde a₁ = alternantes são as P.G. em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isto ocorre quando q II. CLASSIFICAÇÃO Exemplo: f₆ As progressões geométricas podem ser classificadas em cinco categorias: estacionárias são as P.G. em que # 0 e a₂ = = = = 0. Isto ocorre quando q = 0. crescentes são as P.G. em que cada termo é maior que o anterior. Note- mos que isto pode ocorrer de duas maneiras: Exemplo: f₇ 18-D 19-DIII. NOTAÇÕES ESPECIAIS g) se uma P.G. formada com números reais apresenta dois termos com sinais contrários, então a P.G. é h) existe uma P.G. de números reais em que 0 e 0 e 0 e q 0, todos termos são positivos. D.90 Os lados de um triângulo formam uma P.G. crescente. Determinar a razão da P.G. b) na P.G. em que a₁ 0 e q > todos termos são c) na P.G. em que a₁ > 0 e qIV. FÓRMULA DO TERMO GERAL D.96 (ITA-59) Dada uma P.G. finita de modo que a₁ 2 e 6, pergunta-se se é correta a igualdade 15. Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.G. e admitindo 1 1 dados o primeiro termo (a₁ # 0), a razão (q # 0) e índice (n) de um termo 3 desejado, temos: D.97 (MAPOFEI-76) Uma empresa produziu, no ano de 1975, 100 000 unidades de um produto. a₂ = q Quantas unidades produzirá no ano de 1980, se aumento anual de produção é de 20%? a₃ = = a₂ q = a₃ q D.98 Obter a P.G. cujos elementos verificam as relações: + + = 10 = q + + a₇ 30 Multiplicando essas n 1 igualdades, temos: D.99 Calcular número de termos da P.G. que tem razão 1/2 1 termo 6 144 e último termo 3. a₂ a₂ a₃ qⁿ⁻¹ D.100 Provar que se a, b, são elementos de ordem p, q, respectivamente, da mesma cancelam-se P.G., então: e, então, = a₁ que sugere o seguinte D.101 Provar que se é uma P.G., com termos todos diferentes de zero, então 1 também é P.G. a₂ 16. Teorema D.102 Provar que se (a₁, é uma P.G., então (a₁, , a3, e a4, também Na P.G. em que primeiro termo é a₁ e a razão é q, o n-ézimo termo é são P.G. V. INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA Demonstração Interpolar k meios geométricos entre os números a e b significa obter uma P.G. de extremos a₁ = a e = b, com n = k + 2 termos. Para determinar Demonstra-se pelo princípio da indução finita. meios dessa P.G. é necessário calcular a razão. Assim, temos: a₁ b a q k+1 a b EXERCÍCIOS Exemplo D.93 Obter o e o termos da P.G. (1, 2, Solução Interpolar 8 meios geométricos (reais) entre 5 e 2 560. = = 1.29 512 Formemos uma P.G. com 10 termos onde a₁ Temos: = 14 D.94 Obter o termo da P.G. (2, 6, 18, ). q 9 a₁₀ a₁ 9 5 9 512 2 D.95 Calcular o termo da seqüência (1, 3, 0, 9, 0, ...). então a P.G. é (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1 280, 2 560). 22-D 23-DEXERCÍCIOS EXERCÍCIOS D.103 Inserir 6 meios geométricos reais entre 640 e 5. D.107 Em cada uma das P.G. abaixo calcule o produto dos n termos iniciais: D.104 Quantos meios se deve intercalar entre 78 125 e 128 para obter uma P.G. de razão b) (-2, -6, -18, -54, ...) e 20 c) (3, -6, 12, -24, ...) e 25 D.105 Qual é o número mínimo de meios geométricos que se deve interpolar entre 1 458 e d) ...) e n 66 2 para a razão de interpolação ficar menor que e) f) (a¹, a³, ...) e = 100 D.106 (EESCUSP-58) Sendo a e b números dados, achar outros dois e y tais que a, X, y, b D.108 (MAPOFEI-71) formem uma P.G. a) Calcular a soma S = + + + + b) Qual o valor de a se S = n + 1? VI. PRODUTO D.109 Calcular produto dos 101 termos iniciais da P.G. alternante em que -1. Vamos deduzir uma fórmula para calcular produto Pₙ dos n termos iniciais D.110 Uma seqüência é tal que: de uma P.G. I) OS termos de ordem par são ordenadamente as potências de 2 cujo expoente é igual ao índice do termo, isto é, = para todo n 1. II) termos de ordem impar são ordenadamente as potências de -3 cujo expoente é igual ao índice do termo, isto é, para todo n 17. Teorema n(n-1) Calcular o produto dos 55 termos iniciais dessa seqüência. 2 Em toda P.G. tem-se: VII. SOMA DOS TERMOS DE P.G. FINITA Demonstração 18. Sendo dada uma P.G., isto é, conhecendo-se os valores de a₁ e q, procuremos a₁ a₁ uma fórmula para calcular a soma dos n termos iniciais da seqüência. a₂ = a₁ q Temos: a₁ + a₁q + + + + a₁qⁿ⁻¹ 1 Multiplicando ambos membros por q, obtemos: + a₁q² + a₁q³ + + a₁qⁿ⁻¹ + 2 a₁ qⁿ⁻¹ a₂ a₃ = a₁ qⁿ⁻¹) Comparando segundos membros del 1 e 2 podemos observar que a par- cela a₁ só aparece em 1 a parcela a₁qⁿ só aparece em 2 e todas as outras par- n fatores celas são comuns às duas igualdades, então, subtraindo, temos: n(n-1) 2 1 a₁ . 2 Supondo q # 1, resulta: isto é: 2 Este resultado sugere o seguinte teorema: 24-D 25-D19. Teorema EXERCÍCIOS A soma dos n termos iniciais de uma P.G. é D.111 Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da série 1 + 2 + 4 + 8 D.112 Calcular a soma dos 20 termos iniciais da série (q # 1) D.113 (MAPOFEI-76) Se a e q são números reais não nulos, calcular a soma dos n primeiros termos da P.G.: a, aq², aq⁴, aq⁶, Demonstração D.114 (ITA-53) Partindo de um quadrado Q₁, cujo lado mede a metros, consideremos os Demonstra-se aplicando o princípio da indução finita: quadrados tais que vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcular, então, a soma das áreas dos quadrados 20. Corolário D.115 Quantos termos da P.G. (1, 3, 9, 27, ...) devem ser somados para que a soma 3 280. A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é D.116 Determinar n tal que 088. D.117 A soma de seis elementos em P.G. de razão 2 é 1 197. Qual é o termo da P.G.? D.118 Provar que em toda P.G. + + Demonstração D.119 Determinar onze números em P.G. sabendo que a soma dos dez primeiros é e a soma dos dez últimos é 6 a₁qⁿ q - 1 a₁ = a₁ = D.120 Uma P.G. finita tem n Sendo S a soma dos termos, S' a soma de seus inversos e P produto dos elementos, provar que S 21. Exemplos VIII. LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA Calcular a soma dos 10 termos iniciais da P.G. (1, 3, 9, 27, ...) S₁₀ a₁ = 1 = 59 049 2 = 29 524 22. Consideremos a seqüência 2'4'8' 1 1 1 , 1 ...) e representemos seus 4 termos iniciais sobre a reta real 1 1 1 1 16 8 4 2 1 Calcular a soma das potências de 5 com expoentes inteiros consecutivos, desde 5² até Notemos que os termos da seqüência vão se aproximando de zero, isto é, Trata-se da P.G. (5², 5³, para n bastante "grande" o enézimo termo da seqüência 1/2 estará tão próximo de 1 Temos: zero quanto quizermos. Assim, desejando que a distância entre 1/2 1 e 0 seja menor S = 5 = 1 5 - 1 4 que impomos: 1000 1 1 0então: 1 1000 (pois 512 0, é possível encontrar um nú- Formemos a seqüência S2, ...) onde: mero natural tal que 1 0 V quando n > Dizemos, então, que o limite de 1 quando tende a infinito, é zero e 1 7 + + = 2 4 8 8 anotamos: 1 lim 0 23. Definição Esta última seqüência converge para 1 pois: Uma seqüência an, ...) tem um limite l se, dado > 0, é possível obter um número natural tal que Neste (1 1 lim 1 0 1 caso, indica-se lim e diz-se que a seqüência converge para & Quer dizer, que, quanto maior o número de termos somados na P.G. ...), mais nos aproximamos de 1. Dizemos, então, que a soma dos infini- 24. Exemplo Importante tos termos dessa P.G. é 1. Para nosso próximo assunto é importante saber que toda seqüência da forma (1, q, q², q³, ...), com converge para 26. Definição Dada uma P.G. infinita (a₁, dizemos que a₁ + a₂ + = S Se -127. TEOREMA Calcular a soma dos termos da P.G. (2, -1, 1 4 1 ...). Se (a₁, a₂, a₃, ...) é uma P.G. com razão q tal que então Como q 2 -1 2 1 1, decorre: S a₁ = 1+ 2 133 2 4 S a₁ + a₂ + + + + a₁ 2 2 Demonstração Calcular S = = 3 6 5 25 12 + 125 24 + Vamos provar que o limite da seqüência (S₁, das somas Como as parcelas formam uma P.G. infinita com razão q 2 e parciais dos termos da P.G. é a₁ Temos: 1 a₁ q = a₁ a₁ a, -1 1, a seqüência não converge. Neste caso, é impossível calcular a soma dos termos da P.G. D.125 Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo? a) 0,417417417...; b) 5,12121212...; c) 0,17090909...; d) 9,3858585.... 29. Exemplos D.126 (MAPOFE1-75) Determinar a fração geratriz do número decimal periódico N = Calcular a soma dos termos da P.G. (1, 1 1 27 1 ...). D.127 Qual o erro cometido quando, em vez de 1000 elementos iniciais, calcula-se a soma dos infinitos elementos da P.G. abaixo? Como q 3 1 e -1D.128 (FEI-1967) Mostre que existe a P.G. cujos três primeiros termos são 1 1 e e 2 4 determine o limite da soma dos n primeiros termos, quando n D.129 (FAUSP-67) A soma dos termos de ordem de uma P.G. infinita é 20 e a soma dos termos de ordem par é 10. Obter o primeiro termo, D.130 A soma dos termos de ordem de uma P.G. 17 e a soma dos termos de ordem par 17 3 Calcular o primeiro termo da progressão. D.131 (ENE-59) Numa P.G. a₁ 1) e 5a + com a 0. Pede-se: a) estabelecer o conjunto de valores de a para OS quais a P.G. é decrescente. b) calcular o limite da soma dos termos para q = a - 1 5 OS MAIORAIS EM ÁLGEBRA D.132 (EPUSP-67) Divide-se um segmento de comprimento m em três partes iguais e retira-se a parte central; para cada um dos segmentos repete-se o processo, retirando-se suas partes centrais e assim sucessivamente. Calcular a soma dos comprimentos Solicitado a relacionar vinte maiores algebristas de todos tempos, o D.133 (EPUSP-65) É dado um triângulo de perímetro p. Com vértices nos pontos médios grande matemático francês André Veil, um dos componentes do grupo Bourbaki, dos seus lados, constrói-se um triângulo. Com vértices nos pontos médios dos lados alinhou os seguintes nomes: do constrói-se um triângulo e assim por diante. Qual é o limite da soma dos perímetros dos triângulos construídos? Fermat (1601 1665) Euler (1707 1783) D.134 (FAUUSP-67) É dada uma seqüência infinita de quadriláteros, cada um, a partir do segundo, tendo por vértices os pontos médios dos lados do anterior. Obter a soma das Lagrange (1736 1813) áreas dos quadriláteros em função da área A do primeiro. Legendre (1752 1833) Gauss (1777 1855) D.135 Num triângulo de lado a se inscreve uma circunferência de raio r. Dirichlet (1805 1859) Nesta circunferência, se inscreve um triângulo de lado a' e neste inscreve-se Kummer (1810 1893) uma circunferência de raio Repete-se indefinidamente a operação de inscrição Hermite (1822 1901) Eisenstein (1823 1852) Pede-se calcular: Kronecker (1823 1891) Riemann (1823 1891) a) o limite da soma dos lados dos triângulos; b) o limite da soma dos raios das circunferências; Dedekind (1831 1921) c) o limite da soma das áreas dos triângulos; H. Weber (1842 1913) d) o limite da soma das áreas dos círculos. Hensel (1861 1941) Hilbert (1862 1943) D.136 Num quadrado de lado a inscreve-se um círculo; neste círculo se inscreve um novo qua- Takagi (1875 1960) drado e neste um novo círculo. Repetindo-se a operação indefinidamente, pede-se: Hecke (1887 1947) a) a soma dos perímetros de todos quadrados; Artin (1898 1962) b) a soma dos perímetros de todos círculos; c) a soma das áreas de todos quadrados; Hasse (1898 ) d) a soma das áreas de todos OS círculos. Chevalley (1909 ) Esta lista é, no entanto, considerada incompleta uma vez que, por uma ques- tão de elegância, Veil não se incluiu na relação, faltando com a verdade. 32-DCAPÍTULO IV MA TRIZES NOÇÃO DE MATRIZ Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (indica-se m X n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas. 30. Exemplos 3 5 1) é matriz 2 X 3 4 0 √₂ 5 4 -3 3 2) 2 é matriz 3 X 2 7 4 1 3) 0 .9 7 5 4) 1 é matriz 3 X 1 -3 1 2 5) é matriz 2 X 2 3 7 35-D31. Em uma matriz qualquer M, cada elemento é indicado por 0 índice i indica 33. matriz-quadrada de ordem n é toda matriz do tipo n n, isto é, é uma a linha e o índice j a coluna às quais elemento pertence. Com a convenção de que matriz que tem igual número de linhas e colunas: as linhas sejam numeradas de cima para baixo (de 1 até m) è as colunas, da esquerda para a direita (de 1 até n), uma matriz m X n é representada por: a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₃ a₃₂ M = ou M = a₂₂ ou Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n conjunto a₁₂ dos elementos que têm dois índices iguais, isto é: M = Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1, isto é: Uma matriz M do tipo m X n também pode ser indicada por: M = + j = 1} = = {1, 2, 3, m} e 2 3 n} ou simplesmente M Exemplos 8 9 -7 II. MATRIZES ESPECIAIS A matriz M = 6 4 -5 é quadrada de ordem 3. Sua diagonal Há matrizes que, por apresentarem uma utilidade maior nesta teoria, recebem -1 2 3 um nome especial: principal é {8, 4, 3} e sua diagonal secundária é {-7, 4, -1} 32. a) matriz linha é toda matriz do tipo 1 n, isto é, é uma matriz que tem uma única linha (exemplo 3 da página 35). 0 1 2 3 b) matriz coluna é toda matriz do tipo m 1, isto é, é uma matriz que tem uma única coluna (exemplo 4 da página 35). 4 5 6 7 A matriz M = é quadrada de ordem 4. Sua c) matriz nula é toda matriz que tem todos elementos iguais a zero. 8 9 1 -2 Exemplos -3 -4 -5 0 0 0 diagonal principal é {0, 5, -1, 6} e sua diagonal secundária é {3, 6, 9, 3}. é a matriz nula do tipo 0 0 0 34. e) matriz-diagonal é toda matriz quadrada em que os elementos que não per- 0 0 é a matriz-nula do tipo 2 X 2. tencem à diagonal principal são iguais a zero. 0 0 37-D 36-DExemplos EXERCÍCIOS 4 0 0 0 0 0 3 0 D.137 Indicar explicitamente elementos da matriz A - tal que = i j. 1) 2) 0 -2 0 3) 0 0 0 0 -2 Solução 0 0 -3 0 0 0 Temos por definição: 2 0 0 0 0 4) 5) 0 3 0 - 0 0 0 0 0 0 -2 Assim, a matriz é A = 1 0 -1 2 1 0 35. f) matriz-unidade de ordem n (indica-se é toda matriz-diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. D.138 Construir as seguintes matrizes: Exemplos A tal que 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = 0 1 0 01 tal que bij = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 D.139 Determinar e y de modo que se tenha 2x 3y x + 1 2y = 3 4 3 y + 4 Solução III. IGUALDADE Temos, por definição, que satisfazer sistema: 3y 2y 36. Definição 4=y+4 Duas matrizes A = e são iguais quando para D.140 Determinar X, e de modo que se tenha todo i 2, 3, m}) e todo 2, 3, n}). Isto significa que para serem x2 2x y X 3 iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e apresentar todos OS elementos = 4 5 t2 5t t correspondentes (elementos com índices iguais) iguais. Exemplos IV. ADIÇÃO 1 -3 1 -3 1) = 7 -4 7 pois b₁₁, b₁₂, b₂₁ b₂₂ 37. Definição -4 Dadas duas matrizes A = e chama-se soma A+Ba 1 -3 1 7 2) # matriz C = tal que = + bij, para todo todo j. Isto significa que a 7 -4 pois # b₁₂ e # b₂₁ -3 -4 soma de duas matrizes A e do tipo m n é uma matriz C do mesmo tipo em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B. 38-D 39-D38. Exemplos (4) Impondo A + A' = M = 0, resulta: 1 2 3 4 -1 1 1+4 3+1 + = 0 = + = 4 5 6 -4 isto é, a simétrica da matriz A para a adição é a matriz A' de mesmo tipo que 0 -6 5+0 A, na qual cada elemento é simétrico do correspondente em A. 5 1 4 = 0 5 0 40. Definição 7 8 0 1 7+0 8+1 7 9 Dada a matriz A = chama-se oposta de A (indica-se A) a matriz A' + = = 9 9 2 3 9+3 11 12 tal que A + A' 0. 5 1 6 Exemplos 11 + -2 = = 9 1 2 -2 3 3 3 +3 15 A A = 4 4 4 4 4 -3 3 5 5 39. Teorema 9 8 7 -9 -8 -7 A = A = 2 0 1 √₂ 0 -1 A adição de matrizes do tipo m X n goza das seguintes propriedades: (1) é associativa: (A + B) + = A + quaisquer que sejam A, do tipo m X n. 41. Definição (2) é comutativa: A + = + A quaisquer que sejam A e B, do tipo m X n. (3) tem elemento neutro: + M = A qualquer que seja A do tipo m X n. Dadas duas matrizes A = e chama-se diferença (4) todo elemento tem simétrico: para todo A do tipo m X n: a matriz soma de A com a oposta de B. Demonstração Exemplo (1) Fazendo (A + B) + = X e A + (B + C) = Y, temos: 11 9 8 1 0 0 1 1 = + bij) + + + Yij = -1 4 7 1 4 7 8 -1 para todo i e todo j. 11. 9 8 1 0 0 -1 11 9 7 0 + = = -1 4 7 1 -4 -7 -8 1 -5 -3 -1 2 = EXERCÍCIOS (3) Impondo A + M A, resulta: 5 6 0 -1 + 0 M = 0 D.141 Dadas A = e calcular A + 4 2 5 4 isto é, o elemento neutro é a matriz nula do tipo m n. 40-D 41-D1 5 7 2 4 6 0 -1 -5 D.148 Resolver a equação matricial sendo dadas: D.142 Dadas A = e = 3 9 11 1 8 10 12 0 1 5 -1 -2 1 4 7 A = e C 7 2 2 4 3 5 D.149 Obter X tal que D.143 Calcular a soma C = das matrizes A = = tais que + 2ij. 1 5 1 X + 4 = 7 + -1 0 1 2 6 7 8 D.144 Seja = a soma das matrizes A = 7 2 -2 3 4 5 9 10 11 Calcular a soma + C22 + C23. D.145 Determinar, γ e δ de modo que se tenha: V. PRODUTO DE NÚMERO POR MATRIZ α 1 2 ß 3 2 + = 1 2 0 γ δ 42. Definição D.146 Determinar e y de modo que se tenha: Dado um número k e uma matriz A = chama-se produto kA a ma- triz = xn tal que bᵢⱼ k para todo i e todo j. Isto significa que multipli- 3x -1 1 5 1 car uma matriz A por um número k é construir uma matriz formada pelos ele- + + = 4x 2y x2 2 2 10 -1 mentos de A todos multiplicados por k. D.147 Dadas as matrizes: 1 2 0 5 43. Exemplos 7 A = e C 2 3 7 6 5 -2 1 7 2 3 21 6 3 = determinar a matriz X tal que 5 -2 15 -3 -6 Solução 1 0 2 4 0 1 2 y y 1 2 05 7 Fazendo X = 8 6 4 = 4 3 2 temos: + = 2 Z t Z t 23 7 6 10 12 -6 5 6 -3 x + 1 y + 2 1 -2 = z + 2 2 8 44. Teorema = 0 -4 produto de um número por uma matriz goza das seguintes propriedades: então X = 0 5 (1) a (b A) = (ab) A Solução 2 (2) a (A + B) = a A + a . Utilizando as propriedades da adição, temos: (3) (a + b) A = a A + b . A = (4) 1 A = A 0 5 -1 7 1 2 0 -4 onde A e são matrizes quaisquer do tipo m X neae b são números reais quaisquer. então: X = = 7 6 5 -2 23 05 Deixamos a demonstração deste teorema como exercício para o leitor. 42-D 43-DEXERCÍCIOS VI. PRODUTO DE MATRIZES D.150 Calcular as matrizes 2A, 3 1 B, e 1 (A + B), sendo dadas 1 1 06 A e B 45. Definição 5 7 9 3 Dadas duas matrizes A = e = chama-se produto AB a 1 7 2 1 0 2 matriz = tal que D.151 Se A = e 2 6 4 3 2 0 n Cik = + + . + . + bjk determinar X em cada uma das equações abaixo: para todo i {1, 2, m} e todo k {1, 2, p} b) X + A 2 1 C) 46. Observações D.152 Resolver o sistema: X + Y = 3A 2 0 1 5 A definição dada garante a existência do produto AB somente se número onde A = B de colunas de A for igual ao número de linhas de B, pois A é do tipo m ne é do X - Y = 2B 0 4 3 0 tipo n X p. Solução A definição dada afirma que o produto AB é uma matriz que tem o núme- Somando membro a membro as duas equações, resulta: ro de linhas de A e o número de colunas de B, pois C = AB é do tipo m X p. X + Y + X Y = + 2B 2X = + 2B X 1 + 2B) Ainda pela definição, um elemento Cik da matriz AB deve ser obtido pelo Subtraindo membro a membro as duas equações, resulta: procedimento seguinte: 2Y = 2B 1 Y = (3A 2B) 2 toma-se a linha i da matriz A. Temos: 1 6 0 2 10 X = 8 + 1/2 10 4 5 2 = (n elementos) 0 12 6 0 6 12 3 6 1 6 0 2 10 Y = 1 4 -10 2 -5 2 = = 0 12 6 0 2 -6 12 -3 6 (II) toma-se a coluna k da matriz B: D.153 Determinar as matrizes X e Y que satisfazem sistema sendo dadas A = [1 4 7 e = [2 1 5]. D.154 Obter X e Y a partir do sistema: (n elementos) 1 2 2X + 3Y = A + onde A = 3 e = 5 3X + 4Y A bnk 9 0 44-D 45-D(III) coloca-se a linha i de A na "vertical" ao lado da coluna k de (conforme esquema) 1 X 7 2 X 8 3 X 9 (7 + 16 + 27) 50 = = = 4 X 7 (28 + 40 + 54) 122 5 X 8 6 X 9 ain bnk 1 2 5 6 Dadas A = e = calcular AB. (IV) calculam-se OS n produtos dos elementos que ficaram lado a lado 3 4 7 8 (conforme esquema) Sendo A do tipo 2 X 2 e do tipo 2 X 2, decorre que existe AB e é do tipo Fazendo AB = C, temos: X C₁₂ L. de A X C. de B) L. de A X . C. de B) X C = = = C₂₁ L. de A X C. de B) L. de A X C. de B) X 1 X 5 1 X 6 ain X bnk 2 X 7 2 X 8 5 + 14 6 + 16 19 22 = = = 3 X 5 3 X 6 15 + 28 18 + 32 43 50 (V) somam-se esses n produtos, obtendo Cik 4 X 7 4 X 8 47. Exemplos EXERCÍCIOS Dadas D. 155 Calcular OS seguintes produtos: 7 0 1 1 4 7 1 2 3 a) calcular AB. b) 2 3 1 1. 2 A = e = 8 4 5 6 1 0 2 3 3 9 1 1 1 5 2 1 -1 1 -1 5 0 Sendo A do tipo 2 X 3 e do tipo 3 X 1, decorre que existe AB e é do tipo 2 1 c) 2 3 d) Fazendo AB = C, devemos calcular C₁₁ e 3 1 -1 4 7 -3 0 2 3 7 1 1 1 C₁₁ L. de A X C. de B) 1 -1 2 3 0 1 1 1 4 7 = = = e) 2 2 f) 2 2 0 4 -5 1 0 0 1 C₂₁ L. de A X C. de B) 3 4 0 3 4 1 2 0 46-D 47-D11 D.159 Calcular seguintes produtos: D.156 Sendo A = calcular A², A³, 01 11 112 7 Solução a) 5 121350 11 11 12 A² = AA = = 01 01 01 10 23 01 b) 01 57 12 10 12 11 13 = A²A = = 01 01 01 D.160 Resolver a equação matricial: 13 11 14 ab 31 57 = = = = 01 01 01 -2 2 - Observamos que em cada multiplicação por A OS elementos e não se alteram Solução elemento sofre acréscimo de 1. Provaríamos por indução finita sobre n que: A equação dada equivale a: 1n = 3a 2b a + 2b 57 01 = 3c 2d C + 2d D.157 Calcular AB, BA, A² e sabendo que então 21 21 3a 2b = 5 -4 -2 10 a + 2b = 7 32 resposta é D.158 Calcular o produto ABC, sendo dadas: 3c 2d = -5 14 31 c + 2d = 9 12 111 B e C = 1 0 51 321 D.161 Resolver as seguintes equações: 13 ab 57 Solução a) = -2 2 12 111 AB = = 51 = 321 abc 111 100 b) 011 = 110 753 ghi 001 211 # 48. Teorema 753 31 32 4 Se A = então = (AB)C = 10 = = Demonstração 51 -2 7 X 1 I) Sendo In = e B = = Temos: 10 X 2 49-D 48-D= + + + + + + = (2) Fazendo D = (A + B) C = temos = 0 + 0 + 0 + + 1 + + 0 para todos i e j, então = Σ + = . + j=1 j=1 II) Analogamente Σ Cjk + Σ bᵢⱼ Cjk então, j=1 j=1 49. Teorema = A multiplicação de matrizes goza das propriedades seguintes: (1) é associativa: (AB)C = A(BC) (3) Análoga a (2) quaisquer que sejam as matrizes A = = B = (bjk)nxp e C = (4) Fazendo C = kA = D = kB = E = AB (2) é distributiva à direita em relação à adição: (A + B)C = AC + BC temos: quaisquer que sejam as matrizes A = = e C = Σ Σ (3) é distributiva à esquerda: C(A + B) = CA + CB j=1 j=1 j=1 quaisquer que sejam as matrizes A = B = e C (4) (kA)B = A(kB) = k(AB) j=1 j=1 j=1 quaisquer que sejam o número ke as matrizes A = (aij)mxn e = (bjk)nxp então, (kA)B A(kB) = Demonstração 50. Observações (1) Fazendo D = AB = E (AB) C F BC = É muito importante notar que a multiplicação de matrizes não é temos: comutativa, isto é, para duas matrizes quaisquer A e é falso que AB = BA necessariamente. eil Exemplos Há casos em que existe AB e não existe BA. Isto ocorre quando A é = p j=1 n Σ k=1 Σ bjk ckl = A e B 3 AB m X n n X p = = fil j=1 e A BA n X p m X n então, (AB)C A(BC) # 50-D 51-DHá casos em que existem AB e BA, porém são matrizes de tipos diferentes É importante observar também que a implicação: e, portanto, AB # BA. Isto ocorre quando Aémxn, A e 3 AB não é válida para matrizes, isto é, é possível encontrar duas matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula. m X n n X m m X m = Exemplo 1 0 00 00 = e A 3 BA 0 0 0 1 0 0 n X m m X n. n X n = EXERCÍCIOS 1 -1 D.162 Sendo A = qual das matrizes abaixo comuta com A? Mesmo nos casos em que AB e BA são do mesmo tipo (o que ocorre 0 2 quando A e são quadradas e de mesma ordem), temos quase sempre 2 1 3 2 0 5 2 AB # BA. Assim, por exemplo: B C = D = E = 3 4 5 1 1 0 0 3 1 0 4 5 4 5 A = e = AB = e D.163 Determinar X e y de modo que as matrizes 2 3 6 0 26 10 1 2 0 1 A = e B = comutem. 14 15 1 0 y BA = 1 -1 6 0 D.164 Obter todas as matrizes que comutam com A 3 0 Solução Quando A e são tais que AB = BA, dizemos que A e comutam. Notemos que uma condição necessária para A e B comutarem é que sejam Notemos inicialmente que uma condição necessária para que A e sejam comutáveis é que A e sejam quadradas e de mesma ordem. Assim, fazendo quadradas e de mesma ordem. a b 1 -1 a b a b 1 -1 Exemplos = temos: = isto é d 3 0 C C di 3 0 a b 1 0 a - = a + 3b 1 comuta com d 0 1 a + 3b b d 2 = e então: 3b c + 3d -c 3a + 3d 3 a b 0 0 3b -c 4 comuta com C d 0 0 De 1 e 4 vem C = 3b De 2 e 3 a b d -b comuta com a b d -c a Resposta: = com a, b E IR. -3b a + b 52-D 53-DD.165 Calcular, em cada caso, as matrizes que comutam com possibilidade: b # 0 2 1 0 1 1 0 0 a) A b) A c) A = 2 1 0 1 1 1 1 0 1 e 4 bc = C = b 0 1 1 Resposta: D.166 Provar que se A e são matrizes comutáveis, então vale a igualdade: - a b 0 0 X com C ou X = com a, b, IR Solução C 0 -a b Lembrando que AB = BA BA AB 0, temos: (A + B) (A B) = A (A B) + (A B) AB + BA = D.170 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que = - D.171 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que = X. D.167 Provar que se A e são matrizes comutáveis, então valem as seguintes igualdades: a) (A + = + 2AB + b) (A - B)² 2AB + c) (A + B)³ + + + B³ VII. MATRIZ TRANSPOSTA d) (A B)³ + e) 51. Definição 1 9 0 -8 D.168 Sendo A e B = calcular: 2 1 3 -1 Dada uma matriz A = chama-se transposta de A a matriz = tal que = para todo i e todo j. Isto significa que, por a) (A + c) + exemplo, são respectivamente iguais a a₁₁, b) (A + B) (A B) d) A³ 13 vale dizer que a coluna de é igual à linha de A. Repetindo o raciocínio, D.169 Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que 0. chegaríamos à conclusão de que as colunas de são ordenadamente iguais às linhas de Solução a b a b a b 0 0 Fazendo X = resulta: = C d d C d 0 52. Exemplos + bc ab + bd a b 0 0 a C A = = = então ca + dc cb + d² 0 d b d a d + bc = 0 1 a b C A = = b e 2 d e f (a + d) = 0 C f 3 bc + d² = 0 4 1 possibilidade: b = 0 3 A = 1357 = 1 => a² = 0 a = 0 5 a + d = 0 3 é satisfeita 4 d² 0 = 0 7 55-D 54-D53. Teorema 2a 2b 2a 2c = = A matriz transposta goza das seguintes propriedades: 2c 2d 2b 2d (1) A para toda matriz A a C = 2 = (2) Se A = e então (A + + b d (3) Se A = e k IR, então = k ae + bg af + bh ae + bg ce + dg (4) AB = (AB)¹ = = (4) Se A e então ce + dg cf + dh af + bh cf + dh e g a C = = Demonstração f h b d (1) Fazendo resulta: = para todos i, j. 55. Definição (2) Fazendo A + B C e (A + = temos: Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que = + + para todos i, j. = (3) Fazendo = resulta: Decorre da definição que se A = (aᵢⱼ) é uma matriz simétrica, temos: = kaji para todos i, j. = (4) Fazendo AB = e resulta: isto é, elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são iguais. Exemplo j=1 j=1 j=1 São simétricas as matrizes: a b C d 54. Aplicação a b C a b b e f g b d e Verificar diretamente a validade do teorema anterior com b d C f h i d g i i a b e f A = C d g h 56. Definição a b a C b (1) A = = = A Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que d b d d b+f c+g (2) A+B= (A + = Decorre da definição que se A = (aᵢⱼ) é uma matriz anti-simétrica, temos: = c+g = a C e g = + b d f + Isto é, elementos simétricamente dispostos em relação à diagonal principal h são opostos. 56-D 57-DExemplo 58. Teorema São anti-simétricas as matrizes: Se A é inversível, então é única a matriz tal que AB = BA = In. 0 a b C 0 a b 0 a -a 0 d e Demonstração -a 0 C , -a 0 -b -d 0 f Admitamos que exista uma matriz C tal que AC = CA = In. Temos: -b 0 -c -e -f 0 C = = (BA) C = (AC) = = B. EXERCÍCIOS 59. Definição D.172 Determinar, em cada caso, a matriz X: Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz A⁻¹ (que é única) tal que AA⁻¹ = = t 1 2 5 1 2 0 a) X = b) X + = É evidente que A⁻¹ deve ser também quadrada de ordem n, pois A⁻¹ comuta -1 7 2 5 1 2 3 com A. 1 1 1 1 1 1 4 c) 2X = d) = 2 3 4 2 7 7 2 Exemplos D.173 Determinar y, Z para que a matriz 1 3 7 -3 A matriz A = é inversível e A⁻¹ = 2 7 -2 1 1 5 pois: A 2 7 -4 seja 1 3 7 -3 1 0 y Z -3 = = = 1₂ 2 7 -2 1 01 D.174 Determinar X, y e Z de modo que a matriz 0 -4 2 7 -3 1 3 1 0 A⁻¹A = = A X 0 seja anti-simétrica -2 1 2 7 01 y 2z 0 1 2 7 1 31 D.175 Provar que se A e são matrizes simétricas de ordem n, então A + também é simétrica, A matriz A = 0 3 1 é inversível e A⁻¹ = 0 2 -1 0 5 2 0 -5 3 pois: VIII. MATRIZES INVERSÍVEIS 1 2 7 1 31 -19 1 0 0 = 0 3 1 0 2 -1 = 0 1 0 = 57. Definição 0 5 2 0 -5 3 0 0 1 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível 1 31 -19 1 2 7 1 0 0 se existir uma matriz tal que AB = BA = Se A não é inversível, dizemos que A = 0 2 -1 0 3 1 = 0 1 0 = A é uma matriz singular. 0 -5 3 0 5 2 0 0 1 58-D 59-De então: 3 7 Qual é a inversa da matriz A = ? 5 11 impossível impossível a b Fazendo A⁻¹ = temos: portanto, não existem a, b, d satisfazendo a definição. d a b 3 7 1 0 1 1 1 A = = d 5 11 0 1 Qual é a inversa da matriz A = 231? 4 9 1 + 5b 7a + 11b 1 0 = 3c + 5d 0 1 a b C Fazendo A⁻¹ = resulta: Pela definição de igualdade de matrizes, temos: g h i 11 7 a = e b = a b C 1 1 1 1 0 0 2 2 7a + 11b = 0 A A = def 2 3 1 = 0 1 0 e g h i 4 9 1 0 0 1 3c + 5d = 0 5 3 C = e d = 1 0 0 2 2 a + 2b + 4c a + 3b + 9c a + b + C 7c + 11d = 1 d + 2e + 4f d + 3e + 9f d + e + f = 0 1 0 g + 2h + 4i g + 3h + 9i g+h+i 11 7 0 0 1 2 2 isto é, A⁻¹ = pois temos também: Devemos ter: 5 3 2 2 = 11 7 d + 2e + 4f = 0 3 7 2 2 1 0 3 1 AA⁻¹ = = d + 3e + 9f = 1 = f = = 2 2 5 11 5 3 01 2 2 g + 2h + 4i = 0 5 1 + 3h + 9i = 0 g = 3, h = = 2 , 1 2 a b 2 A matriz é singular (não é inversível) pois se A⁻¹ = 4 8 C d portanto vem: 1 2 a b 1 0 decorre: = -3 4 -1 4 8 C d 0 1 A⁻¹ = 3 1 1 2 2 a + 2c 1 0 5 1 = 3 4a + 8c 4b + 8d 01 2 2 61-D 60-D60. Observação Solução 2 Notando que se A é matriz inversível, então AX = X = A⁻¹ B, temos: Do exposto observamos que, para determinar a inversa de uma matriz 3 -4 -1 1 quadrada de ordem n, temos de obter n² incógnitas, resolvendo n sistemas de X = = n equações a n incógnitas cada um. Isto não é nada prático. No final do capítulo -2 3 -1 -1 sobre determinantes expomos um outro método para obter a inversa de uma D.179 Resolver as equações matriciais abaixo: matriz. Uma aplicação prática da inversa de uma matriz é exposta no início do 1 2 13 COS a sen a 2a a) X = c) X capítulo sobre sistemas lineares. 1 3 18 -sen a COS a sen 2a 3 4 7 0 1 9 b) X = d) X = 2 3 5 1 0 -7 EXERCÍCIOS D.180 Resolver as equações matriciais abaixo: D.176 Determinar a inversa de cada matriz abaixo: 1 0 0 5 0 0 1 -1 5 6 2 5 1 0 1 -1 a) 2 1 0 X = 7 b) X 0 1 2 = -3 A = B = C = D = 4 5 1 3 0 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 -6 D.177 Determinar a inversa de cada matriz abaixo: D.181 Expressar X em função de A, e C, sabendo que A, e C são matrizes quadradas de ordem n inversíveis e AXB = 1 1 0 1 0 1 1 9 5 A 1 0 1 = 1 2 3 C = 3 1 2 Solução 0 1 1 1 2 4 6 4 4 Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade AXB = C por A⁻¹: A⁻¹ AXB A⁻¹ XB D.178 Resolver a equação matricial: Vamos multiplicar ambos os membros da igualdade XB = por 3 4 -1 X 2 3 -1 XBB -1 X A Solução 1 Temos, portanto: X 3 4 -1 Fazendo = A e = B, vemos que a equação dada é AX B. D.182 Sendo A e matrizes inversíveis de ordem n, isolar X a partir de cada equação abaixo: 2 3 -1 a) AX d) BAX = A Temos: b) AXB In e) 3 A é 2 2 e X é m n m = 2 c) f) (A + B AX = e é 2 X 1 n = 1 a Fazendo X = vem: D.183 Determinar X tal que: b 1 2 2 3 0 1 3 4 a -1 + 4b -1 a) X = = = 1 3 3 5 1 0 2 3 b -1 2a + 3b 2 2 1 2 1 7 1 b) + X = e, então, a = 1 e b = -1, portanto, X = 5 5 3 5 2 7 -1 63-D 62-DD.184 Provar que se A e são matrizes inversíveis de ordem n, então (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ Solução Para provarmos que C = B⁻¹A⁻¹ é a matriz inversa de AB, basta mostrar que C (AB) = (AB) = In. De fato: (AB) C = (AB) = A (BB⁻¹) A⁻¹ = = AA⁻¹ = In D.185 Provar que se A, matrizes inversíveis de ordem n, então (ABC)⁻¹ = D.186 Verificar diretamente que se uma matriz inversível de ordem 2, então 64-DIngleses ofendidos por alemão CAPÍTULO V Carl Gustav Jacob Jacobi nasceu na Alemanha. Seu pai era um próspero banqueiro, nunca tendo lhe faltado nada. Obteve boa instrução na Universidade de Berlim, concentrando-se em Filosofia e Matemática à qual acabou por dedicar-se DETERMINANTES inteiramente. Era professor nato e gostava de transmitir suas idéias. Na mesma época que Gauss e Abel, Jacobi desenvolveu a teoria sobre as funções elíticas. Tendo conhecimento de que Abel havia entregue a Cauchy alguns artigos sobre assunto, Jacobi escreveu ao mestre francês perguntando por eles, na esperança de obter informações que confirmassem sua descoberta. Cauchy, entretanto, tinha perdido escritos de Abel. INTRODUÇÃO Seu tratado clássico "Fundamentos da Nova Teoria das Funções Elíticas" apareceu em 1829, ano da morte de Abel, e mereceu elogios até de Legendre. A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, Em 1834 provou que se uma função unívoca de uma variável é duplamente quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. periódica, a razão entre os períodos não pode ser real e é impossível que ela tenha Hoje em dia, embora não sejam um instrumento prático para resolução de sistemas, mais de dois períodos distintos. A ele também devemos o estudo das "funções determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões theta de funções inteiras das quais as elíticas são quocientes. matemáticas complicadas. Até essa época, a teoria dos determinantes aparecia nos trabalhos de alguns matemáticos como Leibniz, Cramer e Lagrange, mas com idéias esporádicas. O desenvolvimento contínuo dessa teoria teve lugar somente no século XIX e DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE (n 3) seu principal colaborador foi Jacobi, além de Cauchy, construindo algorit- mos, dando regras práticas com grande preocupação pelas notações de deter- Consideremos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. minantes e em 1829 usou pela primeira vez "jacobianos", determinantes espe- Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz ciais análogos para funções de várias variá- M (e indicamos por det M) o número que podemos obter operando com OS veis, do quociente diferencial de uma função elementos de M da seguinte forma: de uma variável. Através deles conseguiu 61. Se M é de ordem n 1, então det M é o único elemento de M. provar o teorema dos quatro quadrados de Fermat-Lagrange e também com a utili- M [a₁₁] det M a₁₁ zação dos jacobianos conseguiu saber quan- Exemplo do uma coleção de funções é independente. Os artigos de Jacobi, bem como M [6] de Abel e Dirichlet apareceram freqüente- Podemos também indicar o determinante de M pelo símbolo isto é, mente no Journal de Crelle. colocando uma barra vertical de cada lado de M. Em 1842, quando Jacobi visitou Paris, quem era maior Se M é de ordem n = 2, o produto dos elementos da diagonal prin- matemático inglês vivo e ele, impressionado cipal menos produto dos elementos da diagonal secundária. com tantas descobertas francesas importan- tes, respondeu: "Não há nenhum", o que Carl G. J. Jacobi foi considerado muito deselegante e cruel a₁₁ M = det M (1804 1851) de sua parte. a₂₂ a₂₂ + 67-DExemplos 1 3 4 1 3 3 -1 = 3 2 4(-1) = 10 5 2 3 5 2 4 2 1 4 2 1 4 sen = y sen sen y COS (x + y) sen y y -8 12 -30 4 -9 80 Uma outra forma de memorizar a₁₃ 63. Se M é de ordem n = 3, isto é, a definição, é a indicada ao lado: a₂₂ Os termos precedidos pelo sinal M = a₂₂ a₂₃ definimos: + são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as trajetórias indica- das. det M = a₂₂ . + a a₂₃ + a₂₂ a₁₁ a₁₃ Os termos precedidos pelo sinal são obtidos multiplicando-se os Podemos memorizar esta definição da seguinte forma: elementos segundo as trajetórias indica- das. a) Repetimos ao lado da matriz, as duas primeiras b) Os termos precedidos pelo sinal + são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal principal: EXERCÍCIOS a₁₁ a₂₂ a₂₃ D.187 Calcular determinantes: c) Os termos precedidos pelo sinal são obtidos multiplicando-se os a) -3 -1 b) 13 7 c) 3i 1 elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária: 1 2 11 5 5 2 a₂₂ -a₁₁ a₂₁ 2 D.188 Calcular os determinantes: a) sen -cos b) sen c) 2 sen 3 a₂₂ sen y y sen D.189 Calcular determinantes: + + + a) log a log b b) 2 m² 2 m Este dispositivo prático é conhecido como regra de Sarrus para cálculo 1 1 m m³ 1 de determinantes de ordem 3. 2 4 Exemplo D.190 Determinar X tal que: 1 3 4 5 2 -3 a) 2x b) 2x = 0 = 11 1 4x 5 3x 1 1 4 2 68-D 69-DD.191 Calcular OS determinantes pela regra de Sarrus: 4 3 4 1 1 0 1 3 2 -3 1 7 1 5 Temos: 2 1 5 então D₁₁ = = 13 a) 0 1 0 b) -1 0 -2 c) 2 -3 3 2 0 1 1 2 5 1 5 4 2 3 3 2 D.192 Calcular determinantes pela regra de Sarrus: 4 3 4 3 4 9 7 11 0 a C 2 -1 0 2 1 5 então D₂₁ = = -6 a) -2 1 13 b) -c 0 b c) 3 2 m n 2 5 3 6 3 3 2 a b 0 3 5 4 D.193 Determinar tal que 4 3 4 3 4 1 1 X 1 1 X 2 2 1 5 então D₃₁ = = 11 1 5 a) 2 2x 1 = 0 b) 1 -1 = 0 c) -2 X -4 = 0 3 3 2 3 x + 1 1 1 1 1 -3 D.194 Determinar X tal que 5 6 x - 1 2 Seja M = e calculemos D₁₂, X 3x 2x 7 8 0 1 -1 = 4 3x x + 1 2x 5 6 Temos: então D₁₂ = 171 = 7 7 8 5 6 III. MENOR E COMPLEMENTO ALGÉBRICO então D₂₂ = = = 5. 7 8 64. Definição 66. Definição Consideremos uma matriz M de ordem n 2; seja um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento e indicamos por como Consideremos uma matriz de ordem > 2; seja um elemento de M. sendo determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e coluna j de M. Definimos complemento algébrico do elemento (ou cofator de e indicamos por como sendo o número 65. Exemplos Exemplo 4 3 4 2 3 -2 Seja M = 2 1 5 e calculemos D₁₁, D₂₁, Seja M = 1 4 8 e calculemos A₁₁, A₁₂, 3 3 2 7 5 3 70-D 71-D2 67. Exemplos 4 8 Temos: 1 4 8 então = = -28 a b 5 3 = a . a . ad bc 7 5 3 C d que coincide com a definição particular dada em II. 2 3 -2 1 8 a b C 1 4 8 então = = 53 7 3 d e f 7 5 3 g h i 2 3 -2 e f C b a C 1 4 = 1 4 8 então A 13 h i = -23 h i e f 7 5 7 a(ei hf) d(bi ch) + ce) aei + dhc + gbf gce dbi ahf 5 3 que coincide com a definição dada em (ver regra de Sarrus). IV DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE POR RECORRÊNCIA (Caso Geral) 3 1 2 -2 0 2 0 4 Já vimos em II a definição de determinante para matrizes de ordem = 3 . A₁₁ + . A₂₁ + . A₃₁ 0 4 1 -2 1, 2 e 3. Vamos agora, com o auxílio de conceito do cofator (complemento 0 0 0 0 algébrico) dar a definição de determinante, válida para matrizes de ordem 1 3 3 n qualquer. 2 0 4 Seja M uma matriz de ordem n. Definimos determinante da matriz M, = 3 . A₁₁ 3 4 1 -2 e indicamos por det M, da seguinte forma: = 3 62 = 186. 1 3 3 Se Mé de ordem 1, então M = [a₁₁] e det M = 1 2 1 1 Se M é de ordem 2, então 2 1 4 3 = A₁₁ + 2 . A₂₁ + 3 4 3 0 0 2 M = a₂₂ ... e definimos det M = ... = 4 3 2 -5 1 4 3 2 1 1 2 1 1 ann = 0 0 2 -2. 0 0 2 +3. 1 4 3 n A₁₁ A₂₁ + Σ aᵢ₁ 3 2 -5 3 2 -5 3 2 -5 i=1 2 1 1 1 4 3 Isto é, o determinante de uma matriz de ordem n 2 é a soma dos pro- = 20 2(-2) + 3 . (-48) 4 (14) 176. dutos dos elementos da coluna, pelos respectivos cofatores. 0 0 2 72-D 73-D68. Observação V. TEOREMA FUNDAMENTAL (DE LAPLACE) Notemos que (exemplo quando a coluna não possui zeros, 0 cálculo 0 determinante de uma matriz M, de ordem 2, é a soma dos produtos dos do determinante torna-se trabalhoso. Isto pode ser atenuado, de certo modo, elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. com o teorema que veremos a seguir. Isto é, a) Se escolhermos a coluna j da matriz M EXERCÍCIOS D.195 Seja M = 2 4 3 M = 5 2 1 -3 7 -1 Calcular D₂₁, D₂₂, então det M = + A₂ⱼ + + D.196 Encontrar cofator de 3 na matriz. b) Se escolhermos a linha i da matriz M 2 4 1 0 6 -2 5 7 a₁₁ M = -1 7 2 4 a₂₂ 0 3 -1 -10 D.197 Seja aᵢ₁ ... 1 -1 0 0 2 -2 1 M = calcular D₁₃, D32, 3 3 4 1 4 5 7 6 então det M = Aᵢ₁ + . Aᵢ₂ + ... + D.198 Seja Portanto, para calcularmos um determinante, não precisamos necessariamente 1 0 2 0 dos elementos da coluna e seus cofatores; qualquer outra coluna (ou linha) com 1 -3 4 0 seus cofatores permitem seu cálculo. M = calcular D₁₁, D₂₂, D44 5 2 -1 2 Para calcularmos -2 2 0 3 1 2 1 1 D.199 Calcular OS determinantes das matrizes abaixo, usando a definição: 2 1 4 3 1 0 -1 3 2 4 2 4 3 0 0 2 2 3 4 2 0 1 1 0 a) M = b) M = 0 2 5 1 1 0 2 3 4 3 2 5 4 1 0 0 3 0 1 0 74-D 75-DSe escolhermos a linha para seu cálculo, teremos: VI. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES det M = 3 A₃₁ + 0 A₃₂ + 0 A₃₃ + 2 A₃₄ = 3 A₃₁ + 2 A₃₄ 0 0 A definição de determinante e teorema de Laplace permitem-nos o cálcu- e só teremos que calcular dois cofatores, em vez de quatro se usássemos a defi- lo de qualquer determinante, contudo, é possível simplificar cálculo com empre- nição. go de certas propriedades. Vejamos quais são elas. Concluímos então que, quanto mais zeros houver em uma fila, mais fácil será o cálculo do determinante se usarmos esta fila. Em particular, se a matriz 69. (P₁) Matriz transposta tiver uma fila de zeros, seu determinante será zero. Demonstração Se M é a matriz de ordem n e sua transposta, então det = det M. Ver apêndice no final do capítulo. Demonstração Vamos usar o princípio da indução finita. EXERCÍCIOS Parte D.200 Calcular determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace Para n = 1, a propriedade é imediata. 3 4 2 1 0 a b 1 1 3 2 0 2ª Parte 5 0 -1 -2 0 1 0 0 3 1 0 2 a) M b) M c) M = Suponhamos a propriedade válida para matrizes de ordem (n 1) e provemos 0 0 4 0 a a 0 b 2 3 0 1 que ela também será válida para determinantes de ordem n. Temos: -1 0 3 3 1 b a 0 0 2 1 3 a₁₁ a₁₃ b₁₁ b₁₂ b₁₃ ... b₁ₙ 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 a₂₁ a₂₂ a₂₃ b₂₁ b₂₂ b₂₃ ... 0 a -1 3 1 a y 0 0 0 0 d) M = 0 0 b 2 3 p 0 0 0 M = = ... b₃₁ b₃₂ b₃₃ e) M = 0 0 0 2 m n p 0 0 0 0 0 0 d b C d e y 0 bₙ₂ bₙ₃ ... a b C d e Z onde = V E {1, 2, n} e {1, 2, n}. D.201 Desenvolver determinante abaixo, pelos elementos da det M = a₁₁ A₁₁ + A₂₁ + + + Aₙ₁ (pela coluna) 0 a 1 0 1 b -1 1 D = det = b₁₁ + b₁₂ + b₁₃ + + (pela linha) 2 c 0 -1 0 1 Mas, por definição de matriz transposta, temos: d 0 a₁₁ = a₂₁ = b₁₂, a₃₁ = b₁₃, 1 2 3 -4 2 0 1 0 0 0 e pela hipotese da indução, temos: 0 4 0 2 1 D.202 (MAPOFEI-76) Calcular valor do determinante A₁₁ = A₂₁ = A₃₁ = Aₙ₁ = 0 -5 5 1 4 0 1 0 -1 Logo det = det M. 2 Portanto, a propriedade é válida para matrizes de ordem n, 76-D 77-DExemplos Demonstração 1 4 1 2 Seja = = -3 2 5 4 5 a₂₂ 1 0 2 1 3 4 3 1 3 = 0 1 5 = 9 M = e M' = 4 5 2 2 3 2 ... K Kaᵢ₂ ... K A importância dessa propriedade reside no fato de que toda proprieda- de válida para as linhas de uma matriz também é válida para as colunas e vice- ... Notemos que os cofatores dos elementos da i -ésima linha de M são mes- 70. Fila nula mos que da i -ésima linha de M'. Desenvolvendo det M e det M' pela i-ésima linha temos: Se elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0. det M = + + + det M' . Aᵢ₁ + . . + + Demonstração de e (II) concluímos que det M' = K . det M. Suponhamos que a j'ésima coluna de M tenha todos OS elementos nulos, A demonstração seria análoga se tomássemos uma coluna de M. isto é Exemplos Desenvolvendo o determinante por esta fila, temos: 7 14 49 det M = 0 + 0 A₂ⱼ + + 0 0 1 2 7 3 5 2 = 7 3 5 2 Exemplos 0 2 7 0 2 7 3 1 4 1 5 X 0 0 0 0 = 0 3 7 y 0 = 0 5 7 2 1 7 2 a b C 4 -2 Z 0 10 28 8 = 5 2 28 8 = 2 3 t 0 15 7 16 3 7 16 71. (P₃) Multiplicação de uma fila por uma constante 1 1 1 1 1 2 Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por um =5.7. 2 4 8 = 5 7 2 2 4 4 número K, o determinante da nova matriz M' obtida será produto de pelo 3 1 16 determinante de M, isto é det M' = det M. 3 1 8 78-D 79-D1 1 1 1 1 1 Tomemos a linha i, admitindo que ela não seja nenhuma das duas que tenham sido trocadas de lugar. Desenvolvendo det det M' por esta linha, temos: = = 5 7 2 2 1 2 2 = 140 1 2 2 3 1 8 3 1 8 n n det M = Σ e det M' = Σ K 2K 3K j=1 j=1 1 2 3 1 2 3K K 4 5 6 Como cada cofator é obtido de trocando de posição duas linhas e, = 4 5 6 = 4 5 6K por hipótese de indução, {1, 2, n}, segue que, 7 8 5 7 8 5 7 8 5K {1, 2, n} e, portanto, det M' = -det Se A é matriz de ordem n, então A demonstração seria análoga se trocássemos de posição duas colunas. det A) = αⁿ det A. Exemplos 3 4 7 2 72. (P₄) Troca de filas paralelas -22, = 22 7 2 3 4 Seja M uma matriz de ordem n 2. Se trocarmos de posição duas filas 1 4 -1 -1 4 1 paralelas (duas linhas ou duas colunas) obteremos uma nova matriz M' tal que 3 1 2 = -37, 2 1 3 = 37, det M' = -det M. 0 3 2 2 3 0 Demonstração Vamos usar o princípio da indução finita. Parte 73. Filas paralelas iguais Provemos que a propriedade vale para n = 2 Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = 0. Seja M = det M = a₁₁ a₂₂ Demonstração Trocando de posição as linhas, obtemos: Suponhamos que as linhas de índices i e k sejam formadas por elementos a₂₂ respectivamente iguais, isto é, = {1, 2, n}. M' = det M' = a₂₂ -det M. De acordo com a propriedade se trocarmos de posição estas duas linhas, obteremos uma nova matriz M' tal que det M' = -det M Trocando de posição as colunas, obtemos: Por outro lado, M = M' (pois as filas paralelas trocadas são iguais). Logo a₁₁ det M' = det M (II). M' = det M' = a₁₂ a₂₂ -det M. a₂₂ a₂₁ De (I) e (II) concluímos que Parte det M = -det M 2 det M = 0 det M = 0. Admitamos que a propriedade seja válida para matrizes de ordem (n 1) e provemos que ela também será válida para matrizes de ordem n. Analogamente se demonstra para caso de duas colunas iguais. 80-D 81-DExemplos Pela P₅, det M' = 0. a b C Desenvolvendo det M' pela s'ésima linha, 3 2 3 det M' = Aₛ₁ + Aₛ₂ + ... + = 0. 1 4 7 = 0, 1 8 1 = 0. 7 2 7 Observemos que cofatores dos elementos da s'ésima linha de M, são a b mesmos que da s'ésima linha de A demonstração é análoga se tomarmos em M duas colunas. 74. (P₆) Teorema de Cauchy Exemplo A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M, 342 ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a M=135 Demonstração 5 6 7 Seja a₁₁ linha 342 linha 567 a₂₂ a₁₁ elementos A₃₁ A₃₂ A₃₃ cofatores ar₁ ... 4 2 3 2 3 4 M = A₃₁ = = 14, A₃₂ = = -13 e A₃₃ = 5 3 5 1 5 1 3 ... a₁₁ A₃₁ + A₃₂ + a₁₃ A₃₃ = 3 . 14 + 4 (-13) + 2 5 = 0 ... Substituindo em M a s'ésima linha pela r'ésima, obteremos a matriz 75. Filas paralelas proporcionais a₁₁ Se uma matriz M de ordem n 2 tem duas filas paralelas (duas linhas a₂₂ ... ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais então det M = 0. ... M' = Demonstração Suponhamos que as linhas de índices i e p de M sejam formadas por ele- ... linha S mentos proporcionais, isto é = K 2, n}. Então 82-D 83-Da₁₂ D.205 Sem desenvolver, dizer porque valor dos determinantes abaixo é zero. linha i a₂₁ a₂₂ a₂₁ a₂₂ a) 4 3 5 9 b) a ab a c) 12 11 15 27 b bc b C y yz xyz 20 12 25 51 cd C b XZ P₃ K 0 28 23 35 64 ad d d det M = D.206 Sem desenvolver nenhum dos determinantes, provar que D' = 8 D, sabendo que: 8x 2x³ linha p ... y y³ 4y -y² D = D' z² z³ 4z z³ A demonstração seria análoga se tivéssemos duas colunas proporcionais. t t3 t4 4t -t² t3 Exemplo bc a 1 a³ D.207 Sem desenvolver provar que: ac b = 1 2x 1 ab C 1 2 2y y = 0 e colunas proporcionais). 3 2z Solução Z Multiplicamos a linha por a, a por b e a por bc a a² abc a³ 1 1 a² a³ 1 ac b abc = abc 1 abc = 1 abc EXERCÍCIOS ab C abc 1 c³ 1 D.203 Calcular determinantes, utilizando as propriedades anteriores: zy 1 1 a) ax 2a a² b) xy² D.208 Sem desenvolver provar que: XZ y 1 1 y 4 1 xy y³ y xy Z 1 1 z² Z 3x 6 2 x² 76. (P₈) Adição de determinantes c) 2 7 6 11 d) 3 5 0 4 7 -2 14 9 22 2 13 0 19 17 Seja M uma matriz de ordem n, onde OS elementos da j'ésima coluna são 4 21 15 55 9 27 0 25 35 tais que: 6 49 30 121 16 51 0 42 47 a₁₂ (b₁ⱼ + ... c₁ⱼ) ... 21 73 0 54 49 = a₂₂ ... (b₂ⱼ + ... D.204 Provar que OS determinantes abaixo são múltiplos de 12, sem desenvolvê-los. b₃ⱼ + isto é M = a₃₁ a₃₂ (b₃ⱼ + 1 12 11 2 1 3 11 1 7 5 D₁ 5 24 13 4 8 12 8 D₃ 3 11 15 = + + D₂ = 7 36 17 10 5 9 13 5 13 25 coluna j 14 7 -3 15 então, teremos: 84-D 85-Ddet M = det M' + det M'' 78. Combinação linear de filas paralelas onde M' é a matriz que se obtém de M, substituindo-se os elementos da Seja M = uma matriz de ordem n e sejam p quaisquer de suas j'ésima coluna, pelos elementos bᵢⱼ (1 ≤ n) e M'' é a matriz que se obtém lunas (ou linhas) de índices S₁, S₂, ..., Multipliquemos, respectivamente, de M, substituindo-se elementos da j'ésima coluna pelos elementos estas p colunas pelos números C₂, C₃, e construamos as somas: Isto é: α₁ = . + + + α₂ = + + + α₃ + + + + αₙ = + . + + (bnj ann Diremos que o conjunto {α₁, α₂, é uma combinação linear das p colunas. Demonstração Se substituirmos a coluna de índice q, diferente das p colunas considera- das, pelos números: Notemos que cofatores dos elementos da j'ésima coluna de M são OS mesmos que OS da j'ésima coluna de M' e M". + + α₂, + α₃, + αₙ Desenvolvendo o determinante de M, pela j'ésima coluna, temos: diremos que se adicionou à coluna de índice q uma combinação linear das outras det M - + c₁ⱼ) + + A₂ⱼ + + (bₙⱼ + det M = + + + + + + + Exemplo det M' det M" det M = det M' + det Vamos construir uma combinação linear da e . da matriz: 1 7 1 M = 2 8 5 77. Observação 3 1 6 A propriedade é válida também se tivermos uma linha cujos elementos se decompõem em 3.8+4.5=44 = usando OS multiplicadores 3 e 4 respectivamente: Exemplos 1 1 1 combinação 1) a + b m X a m b m coluna coluna linear y n = y n + y d n Vamos somar esta combinação linear à coluna; obteremos a matriz: Z e + f p Z e p Z f p 26 7 1 2) 3 4 2 3 4 2 3 4 2 M' = 46 8 5 30 1 6 X + y a + b m + p = X a m + y b p De forma análoga, definimos combinação linear de p linhas e adição dessa 0 3 4 0 3 4 0 3 4 combinação linear a uma outra linha diferente das consideradas. 86-D 87-DDemonstração 79. Teorema da combinação linear Seja Se uma matriz quadrada M = de ordem n, tem uma linha (ou coluna) que é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0. a₂₂ Demonstração M = Suponhamos que a coluna seja combinação linear de p outras colunas, de índices S3, Sp. Desenvolvendo determinante de M pela coluna, temos: det M = Σ n + C₂ + ... + P₈ Adicionemos à j'ésima coluna à p'ésima multiplicada pela constante K. i= i=1 Obtemos a matriz: n = n + K i=1 i=1 a₂₁ a₂₂ ... (a₂ⱼ + M' a₃₁ ... + K + ... K Exemplos São nulos determinantes De acordo com P₈, temos: 2 3 5 4 -1 3 pois coluna = 1 X coluna + 1 X coluna. a₂₁ a₂₂ 5 4 9 det M' = a₃₁ + 2 3 4 anp 1 2 5 pois linha = = 2 X linha + 3 X linha. 7 12 23 ... a₂₂ + = det M 80. (P₁₀) Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra fila ... ... paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova ma- 0 triz M', tal que det M' = = det M. (P₇) 88-D 89-DExemplos D.211 Demonstrar a identidade -3 a b C a b + 2c C 1 3 5 1 0 5 y = y + 2z Z 4 2 7 = 4 -10 7 m n p m n + 2p 4 1 -6 4 -11 -6 (FAM-64-MACK-68) Quais as condições necessárias e suficientes para que um deter- Adicionamos à coluna, a multiplicada por (-3). minante se anule? 1 2 3 4 1 0 0 0 D.213 (FEI-64) Verificar a identidade seguinte, aplicando as propriedades dos determinantes: 3 -2 5 7 3 -8 -4 -5 2a a a = 2 1 4 6 2 -3 -2 -2 2b cos² b b 0 1 3 3 5 1 1 0 1 2c C sen² C -2 D.214 Demonstrar sem desenvolver o determinante que: -3 -4 b = 0 Adicionamos à coluna, a multiplicada por (-2). p - m Adicionamos à coluna, a multiplicada por (-3). D.215 (EESCUSP) Enunciar as propriedades que permitem escrever sucessivamente: Adicionamos à coluna, a multiplicada por (-4). 1 2 3 1 3 4 1 1 2 4 1 2 81. Observação 4 5 6 4 9 10 = 6 4 3 5 6 12 3 5 = 0 7 8 9 7 15 16 7 5 8 20 5 8 A importância desta propriedade, reside no fato de que podemos "intro- duzir zeros" numa fila de uma matriz, sem alterar seu determinante; com isto, D.216 Provar que determinante é múltiplo de 17, sem desenvolvê-lo. Dado: podemos facilitar bastante seu cálculo através do teorema de Laplace. 1 1 9 D 1 8 7 EXERCÍCIOS 1 5 3 D.209 (IE-ITAJUBÁ-65) Completar que falta Solução 1 2 Observemos que se elementos de uma matriz são números inteiros, então o deter- 3 4 = + + minante da matriz também é número inteiro, portanto, provar que divisível por 17 é provar que: D = 17 D' a b 5 6 onde D' é determinante de uma matriz de elementos inteiros. Temos, por exemplo D.210 (IME-65) Calcular valor de 100 10 9 100 10 119 1 1 1 D = 100 80 7 = 100 80 187 = 1 2 3 4 5 100 10 1 2 4 5 100 50 3 100 50 153 6 7 8 9 10 0 1 0 0 11 12 13 14 15 + 1 1 119 1 1 7 1 3 0 1 16 17 18 19 20 = 1 8 187 = 17 1 8 11 1 4 2 1 21 22 23 24 25 1 5 153 1 5 9 D' EZ 90-D 91-D