Teoria das Estruturas 2 - Aula 5 - 2013 2S - EC

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 2 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 2 S 
A
U
LA
 4
 
28
.0
8.
20
13
 
2 
“ L I Ç Ã O D E C A S A ” 
3 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
70 tf 
90 tf 
6 m 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 1 m 
85 tf/m 
200 tf.m 
PEDE-SE: 
 REDUÇÃO AO PONTO B; 
 RESULTANTES DAS FORÇAS DE AÇÃO E DE REAÇÃO DO PÓRTICO 
4 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
70 tf 
90 tf 
6 m 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 
1 
m 
85 tf/m 
200 tf.m 
5 m 
4 m 
+ 
70 tf / m 
C D 
B 120 tf 
6 m 
100 tf 
A 
4 m 4 m 3 m 
1 
m 
680 tf 
200 tf.m 
20 tf 
5 
1,5 
m 
630 tf 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 
680 tf 
200 tf.m 
90 tf 
4 m 
1,5 
m 
+ 
70 tf / m 
C D 
B 120 tf 
6 m 
100 tf 
A 
4 m 4 m 3 m 
1 
m 
680 tf 
200 tf.m 
20 tf 
6 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HB – 120 = 0 
 HB = 120 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB – 680 – 100 – 90 – 630 = 0 
 VA + VB = 1500 tf (a) 
(3) Σ MB = 0 
 VB . 0 + VA . 11 – HB . 0 + 120 . O – 680 . 11 
 – 100 . 7 – 90 . 3 – 630 . 1,5 + 200 = 0 
 VA . 11 – 7480 – 700 – 270 – 945 + 200 = 0 
 11 VA = 9195 
 VA = 9195 / 11 
 VA = 835,91 tf 
 de (a), VB = 664,09 tf 
1,5 
m 
630 tf 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 
680 tf 
200 tf.m 
90 tf 
4 m 
1,5 
m 
7 
630 tf 
C D 
B 
120 tf 
100 tf 
A 
680 tf 
200 tf.m 
90 tf 
835,91 tf 
664,09 tf 
120 tf 
8 
- 
DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS: 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
70 tf 
90 tf 
6 m 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 1 m 
85 tf/m 
200 tf.m 
835,91 
- 
- 120,00 
835,91 tf 
664,09 tf 
120 tf 
664,09 
9 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
70 tf 
90 tf 
6 m 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 1 m 
85 tf/m 
200 tf.m 
835,91 tf 
664,09 tf 
120 tf 340,00 
- 
DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES: 
495,91 
120,00 
- 444,09 
- 
155,91 
220,00 
55,91 
835,91 tf 
664,09 tf 
120 tf 
10 
C D 
B 
5 m 
120 tf 
70 tf 
90 tf 
6 m 
100 tf 
4 m 
A 
4 m 4 m 3 m 1 m 
85 tf/m 
200 tf.m 
835,91 tf 
664,09 tf 
120 tf 
279,55 
223,64 297,00 
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
200,00 
600,00 
480,00 
925,00 
325,00 
600,00 
1080,00 
835,91 tf 
664,09 tf 
120 tf 
11 
E Q U I L Í B R I O E C O M P A T I B I L I D A D E 
12 
 CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL 
 A ESSÊNCIA DA ANÁLISE DE MODELOS ESTRUTURAIS ESTÁ NO ATENDIMENTO A 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO, A CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE GEOMÉTRICA INTERNA 
E EXTERNA (RESPEITANDO RESTRIÇÕES DE APOIO) E A CONDIÇÕES IMPOSTAS PELA 
IDEALIZAÇÃO DO COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS. ESSAS SÃO AS CONDIÇÕES 
BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL, AS “FERRAMENTAS” MATEMÁTICAS UTILIZADAS 
NA ANÁLISE DE UMA ESTRUTURA; 
 EXISTEM MANEIRAS CLÁSSICAS PARA SE COMBINAR AS CONDIÇÕES BÁSICAS, 
RESULTANDO NOS MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE DE ESTRUTURAS: MÉTODO DAS 
FORÇAS E MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS. 
13 
CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL 
 NO CONTEXTO DA ANÁLISE ESTRUTURAL, O CÁLCULO CORRESPONDE À 
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS, NA ESTRUTURA, DAS REAÇÕES DE 
APOIO, DOS DESLOCAMENTOS E ROTAÇÕES, E DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES; 
 AS METODOLOGIAS DE CÁLCULO SÃO PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS QUE 
RESULTAM DAS HIPÓTESES ADOTADAS NA CONCEPÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL; 
 DESSA FORMA, UMA VEZ CONCEBIDO O MODELO DE ANÁLISE PARA UMA 
ESTRUTURA, AS METODOLOGIAS DE CÁLCULO PODEM SER EXPRESSAS POR UM 
CONJUNTO DE EQUAÇÕES MATEMÁTICAS QUE GARANTEM A SATISFAÇÃO DAS 
HIPÓTESES ADOTADAS. 
14 
CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL 
 DITO DE OUTRA MANEIRA, UMA VEZ FEITAS CONSIDERAÇÕES SOBRE GEOMETRIA DA 
ESTRUTURA, CARGAS E SOLICITAÇÕES, CONDIÇÕES DE SUPORTE OU DE LIGAÇÃO 
COM OUTROS SISTEMAS E LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS, A ANÁLISE 
ESTRUTURAL PASSA A SER UM PROCEDIMENTO MATEMÁTICO DE CÁLCULO QUE SÓ 
SE ALTERA SE AS HIPÓTESES E SIMPLIFICAÇÕES ADOTADAS FOREM REVISTAS OU 
REFORMULADAS; 
 AS CONDIÇÕES MATEMÁTICAS QUE O MODELO ESTRUTURAL TEM DE SATISFAZER 
PARA REPRESENTAR ADEQUADAMENTE O COMPORTAMENTO DA ESTRUTURA REAL 
PODEM SER DIVIDIDAS NOS SEGUINTES GRUPOS: 
15 
CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL 
 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO; 
 CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE ENTRE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES; 
 CONDIÇÕES SOBRE O COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS QUE COMPÕEM A 
ESTRUTURA (LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS); 
 A IMPOSIÇÃO DESSAS CONDIÇÕES É A BASE DOS MÉTODOS DA ANÁLISE 
ESTRUTURAL, ISTO É, AS FORMAS COMO ELAS SÃO IMPOSTAS DEFINEM AS 
SISTEMÁTICAS DOS CHAMADOS MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE DE ESTRUTURAS. 
16 
L 
N1 
θ θ 
P 
y 
x 
N2 N2 
θ θ 
17 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 AS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO SÃO AQUELAS QUE GARANTEM O EQUILÍBRIO 
ESTÁTICO DE QUALQUER PORÇÃO ISOLADA DA ESTRUTURA OU DESTA COMO UM 
TODO; 
 NO EXEMPLO DA FIGURA ANTERIOR, O EQUILÍBRIO TEM DE SER GARANTIDO 
GLOBALMENTE, ISTO É, PARA A ESTRUTURA COMO UM TODO, EM CADA BARRA 
ISOLADA E EM CADA NÓ ISOLADO; 
 CONSIDERANDO QUE SÓ EXISTEM ESFORÇOS INTERNOS AXIAIS NAS BARRAS 
(FORÇAS NORMAIS), AS REAÇÕES DE APOIO NOS NÓS SUPERIORES CONVERGEM A 
UM SÓ PONTO: O NÓ INFERIOR; 
 OBSERVAR QUE A REAÇÃO DE APOIO INDICADA NA FIGURA, EM CADA BARRA 
INCLINADA, É A RESULTANTE DE SUAS DUAS COMPONENTES HORIZONTAL E 
VERTICAL. 
18 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 NA VERDADE, NESTE CASO, AS REAÇÕES DE APOIO SÃO OS PRÓPRIOS ESFORÇOS 
NORMAIS NAS BARRAS, COMO INDICADO NA MESMA FIGURA; 
 ALÉM DISSO, A SIMETRIA DA ESTRUTURA IMPÕE QUE OS ESFORÇOS NORMAIS NAS 
BARRAS INCLINADAS SEJAM IGUAIS (NA VERDADE, UMA IMPOSIÇÃO DE EQUILÍBRIO 
DE FORÇAS); 
 DESSA FORMA, O EQUILÍBRIO DO NÓ INFERIOR GARANTE O EQUILÍBRIO GLOBAL DA 
ESTRUTURA: 
ONDE: 
N1 = ESFORÇO NORMAL NA BARRA VERTICAL; 
N2 = ESFORÇO NORMAL EM AMBAS AS BARRAS INCLINADAS. 
Σ FY = 0 N1 + 2 . N2 . cos θ = P (  ) 
19 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
 NA EQUAÇÃO ANTERIOR, A CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO NA DIREÇÃO VERTICAL DO NÓ 
INFERIOR DA ESTRUTURA FOI ESCRITA CONSIDERANDO A GEOMETRIA ORIGINAL 
(INDEFORMADA) DA ESTRUTURA; 
 ISTO SÓ É VÁLIDO QUANDO OS DESLOCAMENTOS QUE A ESTRUTURA SOFRE SÃO 
MUITO PEQUENOS EM RELAÇÃO ÀS DIMENSÕES DA ESTRUTURA; 
 ESSA HIPÓTESE, DENOMINADA HIPÓTESE DOS PEQUENOS DESLOCAMENTOS PERMITE 
UMA ANÁLISE DE ESTRUTURAS DENOMINADA ANÁLISE DE PRIMEIRA ORDEM; 
 A MESMA EQUAÇÃO INDICA QUE NÃO É POSSÍVEL DETERMINAR OS VALORES DOS 
ESFORÇOS NORMAIS N1 E N2, ISTO É, EXISTEM DUAS INCÓGNITAS EM TERMOS DE 
ESFORÇOS E APENAS UMA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO (CONSIDERANDO QUE A 
CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO NA DIREÇÃO HORIZONTAL JÁ É UTILIZADA PELA SIMETRIA 
DO PROBLEMA). 
20 
CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE ENTRE DESLOCAMENTO E DEFORMAÇÕES 
 AS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE ENTRE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES SÃO 
CONDIÇÕES GEOMÉTRICAS QUE DEVEM SER SATISFEITAS PARA GARANTIR QUE A 
ESTRUTURA, AO SE DEFORMAR, PERMANEÇA CONTÍNUA (SEM VAZIOS OU 
SOBREPOSIÇÃO DE PONTOS) E COMPATÍVEL COM OS SEUS VÍNCULOS EXTERNOS; 
 DEVE-SE RESSALTAR QUE AS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE NÃO TÊM RELAÇÃO 
ALGUMA COM AS PROPRIEDADES DERESISTÊNCIA DOS MATERIAIS DA ESTRUTURA 
(CONSIDERADAS NAS LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS); 
 AS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE SÃO EXPRESSAS POR RELAÇÕES GEOMÉTRICAS 
IMPOSTAS PARA GARANTIR A CONTINUIDADE DO MODELO ESTRUTURAL; 
 ESSAS RELAÇÕES CONSIDERAM AS HIPÓTESES GEOMÉTRICAS ADOTADAS NA 
CONCEPÇÃO DO MODELO. 
21 
CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE ENTRE DESLOCAMENTO E DEFORMAÇÕES 
 AS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE PODEM SER DIVIDIDAS EM DOIS GRUPOS: 
 CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE EXTERNA: 
REFEREM-SE AOS VÍNCULOS EXTERNOS DA ESTRUTURA E GARANTEM QUE OS 
DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES SEJAM COMPATÍVEIS COM AS HIPÓTESES 
ADOTADAS COM RESPEITO AOS SUPORTES OU LIGAÇÕES COM OUTRAS ESTRUTURAS; 
 CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE INTERNA: 
GARANTEM QUE A ESTRUTURA, AO SE DEFORMAR, PERMANEÇA CONTÍNUA NOS 
INTERIOR DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS (BARRAS) E NAS FRONTEIRAS ENTRE OS 
ELEMENTOS ESTRUTURAIS, ISTO É, QUE AS BARRAS PERMANEÇAM LIGADAS PELOS 
NÓS QUE AS CONECTAM (INCLUINDO LIGAÇÃO POR ROTAÇÃO NO CASO DE NÃO 
HAVER ARTICULAÇÃO ENTRE BARRAS). 
22 
CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE ENTRE DESLOCAMENTO E DEFORMAÇÕES 
 NO EXEMPLO ANTERIOR, AS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE EXTERNA SÃO 
GARANTIDAS AUTOMATICAMENTE QUANDO SÓ SE ADMITE UMA CONFIGURAÇÃO 
DEFORMADA PARA A ESTRUTURA QUE TENHA DESLOCAMENTOS NULOS NOS NÓS 
SUPERIORES, COMO MOSTRA A FIGURA A SEGUIR; 
 A CONFIGURAÇÃO DEFORMADA ESTÁ INDICADA, COM DESLOCAMENTOS 
AMPLIADOS DE FORMA EXAGERADA, PELAS LINHAS TRACEJADAS MOSTRADAS NESSE 
ESQUEMA; 
 AS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE INTERNA DEVEM GARANTIR QUE AS TRÊS 
BARRAS PERMANEÇAM LIGADAS PELO NÓ INFERIOR NA CONFIGURAÇÃO 
DEFORMADA. MANTENDO-SE A HIPÓTESE DE PEQUENOS DESLOCAMENTOS, PODE-SE 
CONSIDERAR QUE O ÂNGULO ENTRE AS BARRAS APÓS A DEFORMAÇÃO DA 
ESTRUTURA NÃO SE ALTERA. 
23 
N2 N3 
N1 
y 
x 
D1 
θ θ 
P 
24 
y 
x 
P 
θ θ 
d1 = D1 
d2 
25 
CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE ENTRE DESLOCAMENTO E DEFORMAÇÕES 
 COM BASE NA FIGURA ANTERIOR E CONSIDERANDO A SIMETRIA DA ESTRUTURA, É 
POSSÍVEL ESTABELECER RELAÇÕES DE COMPATIBILIDADE ENTRE OS ALONGAMENTOS 
DAS BARRAS E O DESLOCAMENTO VERTICAL DO NÓ INFERIOR: 
d1 = D1 
d2 = D1 . cos θ 
ONDE: 
D1 = DESLOCAMENTO VERTICAL DO NÓ INFERIOR; 
d1 = ALONGAMENTO NA BARRA VERTICAL; 
d2 = ALONGAMENTO DAS BARRAS INCLINADAS. 
(  ) 
26 
CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE ENTRE DESLOCAMENTO E DEFORMAÇÕES 
 ESSA SITUAÇÃO RESULTA NA SEGUINTE EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE ENTRE OS 
ALONGAMENTOS DAS BARRAS: 
d2 = d1 . cos θ 
 A INTRODUÇÃO DA EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE ACRESCENTA DUAS NOVAS 
INCÓGNITAS AO PROBLEMA, d1 E d2, SEM RELACIONÁ-LAS ÀS INCÓGNITAS 
ANTERIORES, N1 E N2; 
 ENTRETANTO, ESSAS QUATRO INCÓGNITAS FICAM RELACIONADAS POR MEIO DA 
CONSIDERAÇÃO DO COMPORTAMENTO DO MATERIAL QUE COMPÕE A ESTRUTURA, 
SEM QUE ISSO INTRODUZA NOVAS INCÓGNITAS. 
27 
LEIS CONSTUTITIVAS DOS MATERIAIS 
 O MODELO MATEMÁTICO DO COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS, EM UM NÍVEL 
MACROSCÓPICO, É EXPRESSO POR UM CONJUNTO DE RELAÇÕES MATEMÁTICAS 
ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES CHAMADAS DE LEIS CONSTITUTIVAS; 
 TAIS RELAÇÕES CONTÊM PARÂMETROS QUE DEFINEM O COMPORTAMENTO DOS 
MATERIAIS. A TEORIA DA ELASTICIDADE ESTABELECE QUE AS RELAÇÕES DA LEI 
CONSTITUTIVA SÃO EQUAÇÕES LINEARES COM PARÂMETROS CONSTANTES; 
 NESSE CASO, DIZ-SE QUE O MATERIAL TRABALHA EM REGIME ELÁSTICO-LINEAR; 
 O COMPORTAMENTO É CONSIDERADO ELÁSTICO QUANDO, AO SE DESCARREGAR A 
ESTRUTURA, O MATERIAL NÃO APRESENTA DEFORMAÇÃO RESIDUAL ALGUMA, ISTO 
É, ELE RETORNA AO ESTADO NATURAL SEM DEFORMAÇÃO. 
28 
LEIS CONSTUTITIVAS DOS MATERIAIS 
 O COMPORTAMENTO É CONSIDERADO LINEAR QUANDO EXISTE 
PROPORCIONALIDADE ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES; 
 ENTRETANTO, NEM SEMPRE É POSSÍVEL ADOTAR UM COMPORTAMENTO TÃO 
SIMPLIFICADO PARA OS MATERIAIS. POR EXEMPLO, PROCEDIMENTOS MODERNOS DE 
PROJETO DE ESTRUTURAS METÁLICAS OU DE CONCRETO ARMADO SÃO BASEADOS 
NO ESTADO DE LIMITE ÚLTIMO, QUANDO O MATERIAL NÃO TEM MAIS UM 
COMPORTAMENTO ELÁSTICO-LINEAR; 
 NO EXEMPLO ANTERIOR, O MATERIAL CONSIDERADO TEM UM COMPORTAMENTO 
ELÁSTICO-LINEAR. AS BARRAS DESTA ESTRUTURA ESTÃO SUBMETIDAS APENAS A 
ESFORÇOS AXIAIS DE TRAÇÃO. AS TENSÕES σX E DEFORMAÇÕES εX QUE APARECEM 
NESSE CASO SÃO NORMAIS ÀS SEÇÕES TRANSVERSAIS DAS BARRAS (NA DIREÇÃO DO 
EIXO LOCAL X, OUSEJA, NA DIREÇÃO AXIAL DA BARRA). 
29 
LEIS CONSTUTITIVAS DOS MATERIAIS 
 A LEI CONSTITUTIVA QUE RELACIONA TENSÕES NORMAIS E DEFORMAÇÕES NORMAIS 
É A CONHECIDA LEI DE HOOKE, DADA POR: 
σX = E . εX 
ONDE: 
E = MÓDULO DE ELASTICIDADE (PROPRIEDADE DO MATERIAL); 
σX = TENSÃO NORMAL NA SEÇÃO TRANSVERSAL DA BARRA (DIREÇÃO 
LONGITUDINAL; 
εX = DEFORMAÇÃO NORMAL NA DIREÇÃO LONGITUDINAL DA BARRA. 
(  ) 
30 
LEIS CONSTUTITIVAS DOS MATERIAIS 
 NO CONTEXTO DE UMA ANÁLISE COM PEQUENOS DESLOCAMENTOS, A TENSÃO 
NORMAL A UM ESFORÇO AXIAL É DADA PELA RAZÃO ENTRE O VALOR DO ESFORÇO E 
A ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL, E A DEFORMAÇÃO NORMAL É A RAZÃO ENTRE O 
ALONGAMENTO DA BARRA E SEU COMPRIMENTO ORIGINAL; 
 
 ASSIM, PARA A BARRA VERTICAL DO EXEMPLO ANTERIOR, TEM-SE: 
N1 
A 
d1 
L 
= E (  ) 
31 
LEIS CONSTUTITIVAS DOS MATERIAIS 
 E PARA AS BARRAS INCLINADAS: 
N2 
A 
d2 
L / cos . θ 
= E 
 OBSERVA-SE QUE AMBAS AS EQUAÇÕES ANTERIORES INTRODUZEM NOVAS 
RELAÇÕES ENTRE AS INCÓGNITAS DO PROBLEMA, SEM QUE APAREÇAM NOVAS 
VARIÁVEIS; 
 DESSA MANEIRA, AS EQUAÇÕES , ,  E  FORMAM UM SISTEMA DE QUATRO 
EQUAÇÕES A QUATRO INCÓGNITAS (N1; N2; d1; d2), RESULTANDO EM UMA SOLUÇÃO 
ÚNICA PARA O PROBLEMA! 
(  ) 
32 
MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL 
 O EXEMPLO SIMPLES MOSTRADO NA SEÇÃO ANTERIOR ILUSTRA BEM A 
PROBLEMÁTICA PARA A ANÁLISE DE UMA ESTRUTURA HIPERESTÁTICA; 
 PARA SE RESOLVER (CALCULAR ESFORÇOS, DESLOCAMENTOS, ETC.) UMA ESTRUTURA 
HIPERESTÁTICA É SEMPRE NECESSÁRIO CONSIDERAR OS TRÊS GRUPOS DE 
CONDIÇÕES BÁSICAS DA ANÁLISE ESTRUTURAL: CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO, 
CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE ENTRE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES E 
CONDIÇÕES SOBRE O COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS; 
 NO EXEMPLO, EXISTEM INFINITOS VALORES DE N1 E N2 QUE SATISFAZEM A EQUAÇÃO 
DE EQUILÍBRIO. TAMBÉM EXISTEM INFINITOS VALORES DE d1 E d2 QUE SATISFAZEM A 
EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE. ENTRETANTO, EXISTE UMA ÚNICA SOLUÇÃO PARA 
ESSAS ENTIDADES: É AQUELA QUE SATISFAZ SIMULTANEAMENTE EQUILÍBRIO, 
COMPATIBILIDADE E LEIS CONSTITUTIVAS. 
33 
MÉTODOS BÁSICOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL 
 OBSERVA-SE QUE, PARA ESSE EXEMPLO, A SOLUÇÃO DA ESTRUTURA HIPERESTÁTICA 
REQUER A RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE QUATRO EQUAÇÕES A QUATRO 
INCÓGNITAS; 
 PARA ESTRUTURAS USUAIS (BEM MAIORES), A FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DESSA 
MANEIRA ACARRETA UMA COMPLEXIDADE DE TAL ORDEM QUE A SOLUÇÃO PODE 
FICAR COMPROMETIDA; 
 ASSIM, É NECESSÁRIO DEFINIR METODOLOGIAS PARA A SOLUÇÃO DE ESTRUTURAS 
HIPERESTÁTICAS. ISTO VAI RESULTAR NOS DOIS MÉTODOS BÁSICOS DA ANÁLISE 
ESTRUTURAL, QUE SÃO INTRODUZIDOS A SEGUIR. 
34 
MÉTODO DAS FORÇAS 
 O PRIMEIRO MÉTODO BÁSICO DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS É O CHAMADO MÉTODO 
DAS FORÇAS. NELE, AS INCÓGNITAS PRINCIPAIS DO PROBLEMA SÃO FORÇAS E 
MOMENTOS (QUE PODEM SER REAÇÕES DE APOIO OU ESFORÇOS INTERNOS). TODAS 
AS OUTRAS INCÓGNITAS SÃO EXPRESSAS EM TERMOS DAS INCÓGNITAS PRINCIPAIS 
ESCOLHIDAS E SUBSTITUÍDAS EM EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE; 
 O MÉTODO DAS FORÇAS TEM COMO IDÉIA BÁSICA DETERMINAR, DENTRO DO 
CONJUNTO DE SOLUÇÕES EM FORÇAS QUE SATISFAZEM AS CONDIÇÕES DE 
EQUILÍBRIO, QUAL A SOLUÇÃO QUE FAZ COM QUE AS CONDIÇÕES DE 
COMPATIBILIDADE TAMBÉM SEJAM SATISFEITAS; 
 NA FORMALIZAÇÃO DO MÉTODO DAS FORÇAS EXISTE UMA SEQUÊNCIA DE 
INTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕESBÁSICAS DO PROBLEMA: PRIMEIRO SÃO UTILIZADAS 
AS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO, DEPOIS SÃO CONSIDERADAS AS LEIS CONSTITUTIVAS 
DOS MATERIAIS, E FINALMENTE SÃO USADAS AS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE. 
35 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
 NESTE MÉTODO, AS INCÓGNITAS PRINCIPAIS DO PROBLEMA SÃO DESLOCAMENTOS E 
ROTAÇÕES. TODAS AS OUTRAS INCÓGNITAS SÃO EXPRESSAS EM TERMOS DAS 
INCÓGNITAS PRINCIPAIS ESCOLHIDAS E SUBSTITUÍDAS EM EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO, 
QUE SÃO ENTÃO RESOLVIDAS. 
 AQUI, A IDÉIA BÁSICA É DETERMINAR, DENTRO DO CONJUNTO DE SOLUÇÕES EM 
DESLOCAMENTOS QUE SATISFAZEM AS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE, QUAL A 
SOLUÇÃO QUE FAZ COM QUE AS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO SEJAM SATISFEITAS. 
 OBSERVA-SE QUE ESTE MÉTODO ABORDA A SOLUÇÃO DE ESTRUTURAS DE MANEIRA 
INVERSA AO QUE É FEITO PELO MÉTODO DAS FORÇAS. NA FORMALIZAÇÃO DO 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS, A SEQUÊNCIA DE INTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕES 
BÁSICAS TAMBÉM É INVERSA: PRIMEIRO SÃO UTILIZADAS AS CONDIÇÕES DE 
COMPATIBILIDADE, EM SEGUIDA SÃO CONSIDERADAS AS LEIS CONSTITUTIVAS DOS 
MATERIAIS, E FINALMENTE SÃO UTILIZADAS AS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO. 
36 
M É T O D O S B Á S I C O S D E A N Á L I S E D E E S T R U T U R A S 
MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
I D E I A B Á S I C A 
DETERMINAR, DENTRO DO CONJUNTO DE 
SOLUÇÕES EM FORÇAS QUE SATISFAZEM AS 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO, QUAL A 
SOLUÇÃO QUE FAZ COM QUE AS CONDIÇÕES 
DE COMPATIBILIDADE TAMBÉM SEJAM 
SATISFEITAS. 
DETERMINAR, DENTRO DO CONJUNTO DE 
SOLUÇÕES EM DESLOCAMENTOS QUE 
SATISFAZEM AS CONDIÇÕES DE 
COMPATIBILIDADE, QUAL DAS SOLUÇÕES FAZ 
COM QUE AS CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
TAMBÉM SEJAM SATISFEITAS. 
37 
M É T O D O S B Á S I C O S D E A N Á L I S E D E E S T R U T U R A S 
MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
M E T O D O L O G I A 
SUPERPOR UMA SÉRIE DE SOLUÇÕES QUE 
SEJAM ESTATICAMENTE DETERMINADAS 
(ISOSTÁTICAS) E QUE SATISFAZEM AS 
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DA ESTRUTURA 
PARA OBTER UMA SOLUÇÃO FINAL QUE 
TAMBÉM SATISFAZ AS CONDIÇÕES DE 
COMPATIBILIDADE. 
SUPERPOR UMA SÉRIE DE SOLUÇÕES 
CINEMATICAMENTE DETERMINADAS (CUJAS 
CONFIGURAÇÕES DEFORMADAS SÃO 
CONHECIDAS) E QUE SATISFAZEM AS 
CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE DA 
ESTRUTURA, PARA OBTER UMA SOLUÇÃO 
FINAL QUE TAMBÉM SATISFAZ AS CONDIÇÕES 
DE EQUILÍBRIO. 
38 
M É T O D O S B Á S I C O S D E A N Á L I S E D E E S T R U T U R A S 
MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
I N C Ó G N I T A S 
HIPERESTÁTICOS: 
FORÇAS E MOMENTOS ASSOCIADOS A 
VÍNCULOS EXCEDENTES À DETERMINAÇÃO 
ESTÁTICA DA ESTRUTURA. 
DESLOCABILIDADES: 
COMPONENTES DE DESLOCAMENTOS E 
ROTAÇÕES NODAIS QUE DEFINEM A 
CONFIGURAÇÃO DEFORMADA DA 
ESTRUTURA. 
39 
M É T O D O S B Á S I C O S D E A N Á L I S E D E E S T R U T U R A S 
MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
N Ú M E R O D E I N C Ó G N I T A S 
É O NÚMERO DE INCÓGNITAS EXCEDENTES 
DAS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO, CHAMADO 
GRAU DE HIPERESTATICIDADE. 
É O NÚMERO DE INCÓGNITAS EXCEDENTES 
DAS EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE, 
DENOMINADO GRAU DE HIPERGEOMETRIA. 
40 
M É T O D O S B Á S I C O S D E A N Á L I S E D E E S T R U T U R A S 
MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
E S T R U T U R A A U X I L I A R P A R A S O L U Ç Õ E S B Á S I C A S 
SISTEMA PRINCIPAL (SP): ESTRUTURA 
ESTATICAMENTE DETERMINADA (ISOSTÁTICA) 
OBTIDA DA ESTRUTURA ORIGINAL PELA 
ELIMINAÇÃO DOS VÍNCULOS EXCEDENTES 
ASSOCIADOS AOS HIPERESTÁTICOS. ESSA 
ESTRUTURA AUXILIAR VIOLA CONDIÇÕES DE 
COMPATIBILIDADE DA ESTRUTURA ORIGINAL. 
SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO (SH): A 
ESTRUTURA É CINEMATICAMENTE 
DETERMINADA (COM CONFIGURAÇÃO 
DEFORMADA CONHECIDA) OBTIDA DA 
ESTRUTURA ORIGINAL PELA ADIÇÃO DOS 
VÍNCULOS NECESSÁRIOS PARA IMPEDIR AS 
DESLOCABILIDADES. ESSA ESTRUTURA 
AUXILIAR VIOLA CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 
DA ESTRUTURA ORIGINAL. 
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M É T O D O S B Á S I C O S D E A N Á L I S E D E E S T R U T U R A S 
MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
E Q U A Ç Õ E S F I N A I S 
SÃO EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 
EXPRESSAS EM TERMOS DOS 
HIPERESTÁTICOS. TAIS EQUAÇÕES 
RECOMPÕEM AS CONDIÇÕES DE 
COMPATIBILIDADE VIOLADAS NAS SOLUÇÕES 
BÁSICAS. 
SÃO EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO EXPRESSAS 
EM TERMOS DAS DESLOCABILIDADES. ESSAS 
EQUAÇÕES RECOMPÕEM AS CONDIÇÕES DE 
EQUILÍBRIO VIOLADAS NAS SOLUÇÕES 
BÁSICAS. 
42 
M É T O D O S B Á S I C O S D E A N Á L I S E D E E S T R U T U R A S 
MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
T E R M O S D E C A R G A D A S E Q U A Ç Õ E S F I N A I S 
DESLOCAMENTOS E ROTAÇÕES NOS PONTOS 
DOS VÍNCULOS LIBERADOS NO SISTEMA 
PRINCIPAL (SP), PROVOCADOS PELA 
SOLICITAÇÃO EXTERNA (CARREGAMENTO). 
FORÇAS E MOMENTOS (REAÇÕES) NOS 
VÍNCULOS ADICIONADOS NO SISTEMA 
HIPERGEOMÉTRICO (SH) PROVOCADOS PELA 
SOLICITAÇÃO EXTERNA (CARREGAMENTO). 
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M É T O D O S B Á S I C O S D E A N Á L I S E D E E S T R U T U R A S 
MÉTODO DAS FORÇAS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
C O E F I C I E N T E S D A S E Q U A Ç Õ E S F I N A I S 
COEFICIENTES DE FLEXIBILIDADE: 
DESLOCAMENTOS E ROTAÇÕES NOS PONTOS 
DOS VÍNCULOS LIBERADOS NO SISTEMA 
PRINCIPAL, MOTIVADOS POR HIPERESTÁTICOS 
COM VALORES UNITÁRIOS ATUANDO 
ISOLADAMENTE. 
COEFICIENTES DE RIGIDEZ: FORÇAS E 
MOMENTOS NOS VÍNCULOS ADICIONADOS 
NO SISTEMA HIPERGEOMÉTRICO PARA 
IMPOR CONFIGURAÇÕES DEFORMADAS COM 
DESLOCABILIDADES ISOLADAS COM VALORES 
UNITÁRIOS. 
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C O N T I N U A . . .