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Ca´lculo Nume´rico
Aula 14
Esdras Peneˆdo de Carvalho
Departamento de Matema´tica - F67 - Sala 203
Universidade Estadual de Maringa´
e-mail:epcarvalho@uem.br
Esdras Peneˆdo de Carvalho Ca´lculo Nume´rico
Erro na Interpolac¸a˜o
Teorema:
Seja f (x) cont´ınua em [a, b] e suponhamos que f (n+1)(x) exista em cada
ponto de (a, b). Seja P(x) o polinoˆmio de grau no ma´ximo n que interpola
a func¸a˜o y = f (x) sobre os n + 1 pontos distintos x0, x1, . . . , xn. Seja ainda
a 6 x0 6 x1 6 . . . 6 xn 6 b. Enta˜o
Rn(x) = f (x)− Pn(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)
(n + 1)! f
(n+1)(ξ); ξ ∈ (a, b).
Corola´rio:
Seja Rn(x) = f (x)− Pn(x). Se f (x) e suas derivadas ate´ ordem
n + 1 sa˜o cont´ınuas em [a, b], enta˜o
|Rn(x)| 6 |(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)|
(n + 1)! maxa6t6b |f
(n+1)(t)|.
Esdras Peneˆdo de Carvalho Ca´lculo Nume´rico
Erro na Interpolac¸a˜o
Exemplo
Dada a tabela abaixo calcule um limitante superior para o erro de
truncamento quando calculamos f (0.52), onde f (x) = 2xex ,
usando um polinoˆmio de interpolac¸a˜o do 2◦ grau.
x 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
ex 1.35 1.49 1.65 1.82 2.01 2.23
|R2(x)| 6 |(x − x0)(x − x1)(x − x2)|3! max0.46t60.6 |f
′′′(t)|.
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Interpolac¸a˜o Linear
Seja:
x x0 x1
f (x) f (x0) f (x1)
P1(x) = f (x0)L0(x) + f (x1)L1(x)
P1(x) = f (x0)
(x − x1)
(x0 − x1) + f (x1)
(x − x0)
(x1 − x0)
R1(x) =
(x − x0)(x − x1)
2! f
′′(ξ); ξ ∈ (x0, x1).
|R1(x)| 6 |(x − x0)(x − x1)|2! maxx06t6x1 |f
′′(t)|.
Esdras Peneˆdo de Carvalho Ca´lculo Nume´rico
Interpolac¸a˜o Linear
Seja
φ(x) = (x − x0)(x − x1).
φ′(x) = (x − x1) + (x − x0) = 0⇒ x = x0 + x12 .
|(x − x0)(x − x1)| =
∣∣∣(x0 + x12 − x0
)(x0 + x1
2 − x1
)∣∣∣ = 14(x1− x0)2.
Assim,
|R1(x)| 6 18(x1 − x0)
2 max
x06t6x1
|f ′′(t)|.
Esdras Peneˆdo de Carvalho Ca´lculo Nume´rico
Diferenc¸as Divididas Finitas
Definic¸a˜o:
Sejam x0, x1, . . . , xn n + 1 pontos distintos no intervalo [a, b] e
sejam f (x0), f (x1), . . . , f (xn) os n + 1 valores de f (x) nesses
pontos.
Definimos
f [xk ] = f (xk); k = 0, 1, . . . , n
como sendo a diferenc¸a dividida finita de ordem 0 da func¸a˜o f (x)
sobre os pontos x0, x1, . . . , xn
e
f [x0, x1, . . . , xn] =
f [x1, x2, . . . , xn]− f [x0, x1, . . . , xn−1]
xn − x0
como sendo a diferenc¸a dividida finita de ordem n da func¸a˜o f (x)
sobre os pontos x0, x1, . . . , xn.
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Diferenc¸as Divididas Finitas
Assim, usando a definic¸a˜o, temos que:
f [x0] = f (x0) (ordem 0)
f [x0, x1] = f [x1]−f [x0]x1−x0 =
f (x1)−f (x0)
x1−x0 (ordem 1)
f [x0, x1, x2] = f [x2,x1]−f [x1,x0]x2−x0 =
f (x2)−f (x1)
x2−x1 −
f (x1)−f (x0)
x1−x0
x2−x0 (ordem 2)
f [x0, x1, x2, x3] = f [x3,x2,x1]−f [x2,x1,x0]x3−x0 (ordem 3)
... ... ...
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Tabela de Diferenc¸as Divididas
x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4
x0 f (x0)
f [x0, x1]
x1 f (x1) f [x0, x1, x2]
f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]
x2 f (x2) f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]
f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4]
x3 f (x3) f [x2, x3, x4]
f [x3, x4]
x4 f (x4)
... ...
Por induc¸a˜o e´ poss´ıvel mostrar que:
f [x0, x1, . . . , xn] = f [xα0 , xα1 , . . . , xαn ],
onde α0, α1, . . . , αn e´ qualquer permutac¸a˜o dos inteiros 0, 1, . . . , n.
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Fo´rmula de Newton para o Polinoˆmio de Interpolac¸a˜o
Teorema:
O polinoˆmio
Pn(x) =f [x0] + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2]
+ . . .+ (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . , xn]
e´ o polinoˆmio que interpola a func¸a˜o f (x) nos n + 1 pontos distintos
x0, x1, . . . , xn.
O erro na interpolac¸a˜o e´ dado por
|Rn(x)| 6 |(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)||f [x0, x1, . . . , xn, x ]|.
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Fo´rmula de Newton para o Polinoˆmio de Interpolac¸a˜o
Exemplo
Dada a tabela abaixo, determinar o polinoˆmio de interpolac¸a˜o do
2◦ grau, calcular f (4.5) e dar uma estimativa para o erro de
truncamento.
x 1 2 3 4 5 6 7
f (x) 0.09 0.13 0.19 0.27 0.38 0.51 0.67
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Fo´rmula de Newton para o Polinoˆmio de Interpolac¸a˜o
Observac¸a˜o:
A diferenc¸a dividida de ordem n de um polinoˆmio
Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 e´ igual a n!an e
independe do ponto x . As diferenc¸as de ordem maior que n sa˜o
todas iguais a zero.
Assim, ao examinarmos uma tabela de diferenc¸as divididas de uma
func¸a˜o, se as diferenc¸as de ordem k sa˜o praticamente constantes,
isto significa que a func¸a˜o e´ bastante pro´xima de um polinoˆmio de
grau k.
Portanto, podemos usar um polinoˆmio de grau k para interpolar
tal func¸a˜o.
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