Prova de Cálculo Numérico

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO
(UEMA)
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA – SÃO LUÍS
CURSO: ENGENHARIA MECÂNICA
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO
SEGUNDA CHAMADA – 1ª AVALIAÇÃO
PROFESSOR: Marcus Vinícius Sousa
ALUNO(A):
MATRÍCULA:
TURMA:
INSTRUÇÕES GERAIS
• A avaliação pode ser realizada individualmente ou em dupla (opcional).
• É permitido consultar livros físicos e anotações pessoais.
• É proibido o uso de IA generativa (ChatGPT, Copilot, Gemini, Claude, etc.).
• O uso de IA resultará em nota zero.
• Utilizar 4 casas decimais com arredondamento padrão.
• Respostas sem justificativa e cálculos serão desconsideradas.
• Permitido o uso de calculadora científica.
• Celular desligado e guardado.
• Duração: 2 horas.
Questão 1 (2,0 pontos) – Sistema de Ponto Flutuante
Considere o sistema de ponto flutuante F (10, 7,−80, 80).
(a) Determine o ε-máquina do sistema e explique seu significado computacional.
(b) Encontre a maior lacuna entre dois números positivos representáveis imediatamente
antes do overflow.
(c) Justifique rigorosamente por que, mesmo em base fixa, a densidade de números re-
presentáveis não é uniforme ao longo da reta real.
1
Questão 2 (2,0 pontos) – Localização de Raiz e Newton Mo-
dificado
Considere:
f(x) = e−x sin(3x) + x2 − 1.
(a) Localize graficamente uma raiz real positiva.
(b) Encontre um intervalo de amplitude 0,05 que contenha essa raiz.
(c) Usando esse intervalo, aplique o Método de Newton Modificado:
xn+1 = xn −
f(xn)f
′(xn)
[f ′(xn)]2 − f(xn)f ′′(xn)
,
realizando no máximo 3 iterações ou até que
|xn+1 − xn| ≤ 10−3.
Questão 3 (2,0 pontos) – Newton-Raphson e Convergência
Quadrática
Considere a equação:
g(x) = ln(x+ 2) + x3 − 4.
(a) Mostre que existe exatamente uma raiz no intervalo [0, 1].
(b) Escolha um valor inicial x0 justificando analiticamente.
(c) Aplique o Método de Newton até obter precisão 10−4.
(d) Verifique se houve convergência quadrática calculando:
Qn =
|en+1|
|en|2
.
Questão 4 (2,0 pontos) – Método da Secante
Considere:
h(x) = e−x + x2 − 2.
(a) Justifique a escolha de pontos iniciais x0 e x1 no intervalo [0, 2] com base no sinal da
função.
(b) Aplique o método da Secante por até 6 iterações ou até que:
|xk+1 − xk|