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FUNDAMENTOS DE SISTEMAS 
DE COMUNICAÇÃO 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Mauro José Kummer 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Os objetivos desta aula são: conhecer as modulações por pulso; 
diferenciar a modulação PAM da PWM e da PPM; e compreender os efeitos de 
cada tipo de modulação sobre os sistemas de comunicação. 
O estudo dos processos de recuperação dos sinais oportuniza uma 
melhor compreensão do funcionamento de circuitos complexos utilizados em 
outras áreas da eletrônica, possibilita aprofundar os conhecimentos sobre 
amostragem de sinais e entender a importância da quantização para os sistemas 
digitais de comunicação. 
TEMA 1 – AMOSTRAGEM 
1.1 Introdução 
No estudo da transmissão AM foi compreendido que ao sinal transmitido 
há correspondência no espectro de frequências de certa potência associada a 
informação. Você percebeu que existe a preocupação em diminuir a potência 
transmitida de fontes que não contribuem para a potência do sinal, de forma que 
o equipamento de transmissão pode ser mais bem aproveitado. 
Na continuidade deste processo também é de se preocupar sobre a 
possibilidade da transmissão de partes da informação além das já filtradas. Ou 
seja, será que é possível transmitir amostras do sinal de forma que estas 
amostras permitam a recuperação do sinal sem a perda da compreensão? 
A resposta é: sim, é possível. A isto chama-se amostragem do sinal. 
1.2 Amostragem 
Existe um teorema chamado de teorema da amostragem, que garante que 
um sinal amostrado com no mínimo o dobro da maior frequência da informação 
pode ser recuperado plenamente. 
Isto é dado pela fórmula: 
𝒇𝒇𝒂𝒂 = 𝟐𝟐.𝒇𝒇𝒎𝒎á𝒙𝒙. 
Desde a década de 1950 já havia conhecimento matemático que 
suportava essa afirmação. Este fato permitiu que as chamadas comunicações 
digitais pudessem sofrer acelerado desenvolvimento na década de 1970. 
 
 
3 
A chamada eletrônica em estado sólido e os sistemas com maior 
integração de transistores favoreceu os sistemas de comunicação e de 
informática (computadores). A possibilidade de converter os chamados sinais 
CW (onda contínua) em sinais digitais ganhou destaque. 
1.3 Porque converter sinais analógicos em sinais digitais? 
Só existe sentido em se fazer essa conversão se houver ganhos. Sabe-
se que: 
• Sinais digitais são menos sensíveis que sinais analógicos. No contexto de 
longas distâncias, sinais digitais podem ser facilmente regenerados. Um 
sinal digital sofre efeitos, os efeitos das capacitâncias parasitas do meio. 
Um simples quadrador1 de sinais resolve isto (Figura 1); 
• É mais fácil integrar diferentes serviços (vídeo, imagem, dados) dentro de 
um sistema digital (voz digitalizada); 
• Independência da fonte de dados: transmitir um sinal de 100 
kbits/segundo de voz é a mesma coisa que transmitir 100 kbits/segundo 
de imagem; 
Figura 1 – Circuito quadrador de sinais tipo Schimitt Trigger com 74LS14 
 
• Circuitos para aplicação são simples e de fácil realização. A construção é 
robusta a efeitos de vibração e choque; 
 
1 Circuito quadrador é aquele circuito elimina formas arredondas de sinais 
 
 
4 
• Sinais sem variação significativa de amplitude quando comparados aos 
sinais analógicos, o que simplifica o projeto do hardware. 
A estratégia de transmissão para sinais digitais pode ser a mesma 
empregada para os sinais analógicos, o que os torna mais eficientes. 
• Estratégias de compartilhamento (multiplexação) são de fácil 
implementação; 
• Diferentes técnicas de codificação da informação permitem a otimização 
da informação transmitida; 
• Correção de erros no receptor sem necessidade de informação adicional; 
• Padronização e especificação de projetos: permite a operação de 
componentes de fabricantes diferentes; 
• Técnicas de equalização de canal podem ser mais fáceis de implementar; 
• Uso de microeletrônica de baixo custo. 
1.4 Processo de amostragem 
Amostrar um sinal no domínio do tempo produz o efeito de tornar periódico 
o espectro no domínio da frequência. A operação de amostragem é fundamental 
para o processamento digital de sinais e para os sistemas de comunicação. A 
amostragem é normalmente descrita no domínio do tempo. 
Ao se falar em amostragem é intuitivo pensar em taxa ou frequência de 
amostragem. Supondo uma amostragem instantânea (duração do pulso de 
amostragem tendendo a zero) e com periodicidade constante de Ts segundos. 
A consequência disto é uma sequência infinita de amostras espaçadas de 
Ts segundos, que é escrita como g{(nTs)}, sendo n um número natural inteiro. 
Chama-se Ts como período de amostragem e, portanto, fs = 1/ Ts Hertz de 
frequência de amostragem ou de taxa de amostragem. 
Chama-se gδ(t) a sequência periódica da função delta de Dirac 
espaçadas por Ts segundos como mostrado na Figura 2. 
 
 
 
5 
Figura 2 – Processo de amostragem (em (a) tem-se o sinal analógico e em (b) o 
sinal amostrado) 
 
A equação que descreve o processo do sinal amostrado é dada por: 
𝒈𝒈𝜹𝜹(𝒕𝒕) = � 𝒈𝒈(𝒏𝒏𝑻𝑻𝒔𝒔)𝜹𝜹(𝒕𝒕 − 𝒏𝒏𝑻𝑻𝒔𝒔)
∞
𝒏𝒏=−∞
 
𝑔𝑔𝛿𝛿(𝑡𝑡) é o sinal amostrado de forma ideal (sem largura de pulso). 
A parcela 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛𝑇𝑇𝑠𝑠) é a função delta em cada intervalo de tempo t = nTs. 
Como a função delta tem amplitude unitária (pela definição é a área da 
curva sob a função delta) a parcela 𝑔𝑔(𝑛𝑛𝑇𝑇𝑠𝑠) corresponderá a amplitude do sinal. 
Como não existe a função delta pode-se aproximar o resultado tornando 
a largura do pulso de amostragem a menor possível (fisicamente realizável) 
valendo Δ𝑡𝑡. 
Sabe-se que a equação do sinal amostrado é semelhante à equação da 
transformada de Fourier de um sinal periódico, usando a propriedade da 
dualidade é possível determinara transformada de Fourier do sinal amostrado, 
além de saber que a função delta é uma função par, obtém-se: 
𝒈𝒈𝜹𝜹(𝒕𝒕) =⇌ 𝒇𝒇𝒔𝒔 � 𝑮𝑮(𝒎𝒎−𝒎𝒎𝒇𝒇𝒔𝒔)
∞
𝒎𝒎=−∞
 
Em que G(f) é a transformada de Fourier de g(t), fs é a frequência de 
amostragem. Da equação, pode-se concluir que um processo uniforme de 
amostragem de um sinal no tempo contínuo, com energia finita, produz um 
 
 
6 
espectro periódico com período igual ao inverso da frequência de amostragem. 
Se tomar-se a transformada de Fourier em ambos os lados, obtém-se uma 
expressão útil. 
Para isto é preciso lembrar que a transformada de 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛𝑇𝑇𝑠𝑠) = 𝑒𝑒−𝑗𝑗2𝜋𝜋𝜋𝜋𝑇𝑇𝑠𝑠, 
e disto pode-se escrever: 
𝑮𝑮𝜹𝜹(𝒇𝒇) = � 𝒈𝒈(𝒏𝒏𝑻𝑻𝒔𝒔).
∞
𝒏𝒏=−∞
𝒆𝒆−𝒋𝒋𝟐𝟐𝒋𝒋𝒏𝒏𝒇𝒇𝑻𝑻𝒔𝒔 
Esta fórmula é conhecida por transformada de Fourier de tempo discreto. 
Uma forma de interpretá-la é como sendo uma representação complexa 
da série de Fourier de uma função periódica 𝐺𝐺𝛿𝛿(𝑓𝑓) em que a sequência de 
amostras {𝑔𝑔(𝑛𝑛𝑇𝑇𝑠𝑠)} determina os coeficientes da expansão da série. 
Estas relações se aplicam a qualquer sinal de tempo contínuo g(t) que 
tenham energia finita e duração infinita. 
Desenvolvendo a análise, partindo da suposição que g(t) seja 
estritamente limitado em banda, portanto sem frequências superiores a W Hertz. 
A Implicação disto é que a transformada de Fourier do sinal g(t) implica 
que G(f) assume o valor zero para |𝑓𝑓| ≥ 𝑊𝑊 (Figura 3). 
Figura 3 – Espectro de um sinal g(t) estritamente limitado em banda 
 
O formato do espectro do sinal mostrado na figura é meramente ilustrativo. 
Pelo teorema da amostragem a frequência de amostragem deve ser igual ou 
maior que 2W, portanto, o período Ts deve ser menor ou igual a metade do 
inverso de W. A menor taxa de amostragem fs=2W para recuperar o sinal é 
chamada taxa de Nyquist e o intervalo de amostragem TS = 1/2W é chamado 
intervalo de Nyquist. 
𝑻𝑻𝒔𝒔 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐𝑾𝑾
 
 
 
7 
Substituindo na fórmula: 
𝑮𝑮𝜹𝜹(𝒇𝒇) = � 𝒈𝒈�
𝒏𝒏
𝟐𝟐𝑾𝑾
� .
∞
𝒏𝒏=−∞
𝒆𝒆−
𝒋𝒋𝒋𝒋𝒏𝒏𝒇𝒇
𝑾𝑾 
Resulta: 
𝑮𝑮𝜹𝜹(𝒇𝒇)= 𝒇𝒇𝒔𝒔𝑮𝑮(𝒇𝒇) + 𝒇𝒇𝒔𝒔 � 𝑮𝑮(𝒇𝒇 −𝒎𝒎𝒇𝒇𝒔𝒔)
∞
𝒎𝒎=−∞
𝒎𝒎≠𝟎𝟎
 
Impondo-se que: 
𝑮𝑮(𝒇𝒇) = 𝟎𝟎 𝒑𝒑𝒂𝒂𝒑𝒑𝒂𝒂 |𝒇𝒇| ≥ 𝑾𝑾 𝒆𝒆 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟐𝟐𝑾𝑾 
Descobre-se que 
𝑮𝑮(𝒇𝒇) =
𝟏𝟏
𝟐𝟐𝑾𝑾
𝑮𝑮𝜹𝜹(𝒇𝒇) 𝒑𝒑𝒂𝒂𝒑𝒑𝒂𝒂 −𝑾𝑾 𝑓𝑓𝑠𝑠
2� e da 
cauda invertida (dobrada) que se soma ao sinal original, alterando a amplitude 
do sinal, esta inversão da cauda é chamada por dobramentos espectral ou 
aliasing. A forma de evitar este efeito é realizar uma filtragem do sinal antes da 
amostragem (Figura 16). 
 
 
 
13 
Figura 16 – Efeitos de filtragem antes da amostragem 
 
O filtro anti aliasing também ajuda a diminuir o ruído, pois ele apresenta 
componentes de alta frequência, as quais são eliminadas pelo filtro. 
TEMA 2 – MODULAÇÃO PAM 
2.1 Aplicações do teorema da amostragem 
A conversão de sinais analógicos em sinais digitais é uma das 
consequências do teorema da amostragem. Sinais digitais se apresentam na 
forma sequencial de números discretos, uma sequência ou trem de pulsos. 
 
 
 
14 
Figura 17 – Sinal contínuo sendo amostrado e as três diferentes possibilidades 
(PAM2, PWM3 e PPM4) 
 
Lembrando que um sinal contínuo no tempo, na forma x(t) pode ser 
amostrado e os valores amostrados podem ser trabalhados para modificar 
alguns parâmetros de um sinal, a saber, amplitude, frequência ou fase. 
A Figura 17 mostra estas possibilidades. O sinal modificado ajustado para 
corresponder a amplitude do sinal original aparece em (b), em (c) o sinal 
modificado em sua largura o que corresponde ao PWM e em (d) o sinal 
modificado em sua posição ou PPM. 
De forma resumida, pode-se afirmar que a transmissão do sinal contínuo 
x(t) é substituída pela transmissão do sinal pulsado modificado de acordo com a 
técnica escolhida. Assim como na transmissão AM, o receptor deve reconstituir 
o sinal pulsado recebido no sinal contínuo. Uma vantagem dos sistemas 
pulsados é que existem intervalos de tempo entre os pulsos, intervalos estes que 
 
2 PAM = pulse amplitude modulation 
3 PWM = pulse width modulation 
4 PPM = pulse position modulation 
 
 
15 
podem ser aproveitados para a transmissão de outras informações também 
moduladas em forma de pulsos. 
Esta técnica é chamada multiplexação por divisão no tempo ou TDM. Na 
Figura 18 observa-se o princípio do funcionamento do TDM. 
Figura 18 – Dois sinais distintos PAM multiplexados no tempo 
 
Sinais digitais apresentam melhor resposta ao ruído. Se pensarmos em 
sinais digitais como valores de tensão positivos e negativos, a sua interpretação 
é mais simples e o efeito da distância tem menor impacto na sua recuperação. 
O uso de repetidores regenerados do sinal digital permite a transmissão 
a longas distâncias. A Figura 19 nos dá a compreensão desta vantagem. 
Em (a) vê-se o sinal digital, em (b) o sinal digital distorcido, em (c) o sinal 
distorcido adicionado ao ruído e em (d) o sinal digital recuperado. 
Figura 19 – Sinal digital em suas diversas possibilidades de alteração durante 
uma transmissão até o sinal regenerado 
 
O uso de regeneradores/repetidores garante que o sinal digital possa ser 
transmitido a longas distâncias sem que ocorram problemas na recuperação ou 
detecção. 
 
 
16 
2.2 Conversão analógica para digital 
Sabe-se que um sinal analógico pode assumir continuamente qualquer 
valor entre os limites do sinal. O mesmo não acontece com os sinais digitais, 
estes podem assumir apenas valores discretos entre seus extremos. 
Um sinal amostrado continua sendo analógico, para tanto, após a 
amostragem, há a quantização. 
Nesta etapa se atribui um valor, um quantum ao sinal, de forma que o sinal 
pode ser medido diretamente. A quantização divide os extremos do sinal em 
níveis, chamados de níveis de quantização. Desta forma, pode-se aproximar o 
nível do sinal analógico a um nível de quantização, isto é uma aproximação. 
Figura 20 – Sinal analógico amostrado e quantizado 
 
Certamente haverá uma pequena diferença de valores entre o nível do 
sinal analógico e o nível de quantização. 
Esta diferença se chama erro de quantização. Quanto menor a diferença 
de nível, menor o erro de quantização, ou seja, para pequenos erros são 
necessários váriosníveis de quantização. 
Os sinais de voz são limitados em 3.400 Hz, portanto, a taxa de 
amostragem deve ser superior a 6.800 Hz. 
Na prática se utiliza uma frequência de amostragem de 8.000 Hz. Os 
sistemas digitais utilizam palavras de 8 bits, ou 1 byte. Os níveis de quantização 
são tantos quantos forem possíveis obter com estes 8 bits, ou seja, 256 níveis 
distintos. 
 
 
17 
O sinal digitalizado utiliza os 8.000Hz vezes os 8 bits, isto é equivalente a 
64 kbit/s, e essa é a taxa de transmissão. 
2.3 Modulação PAM 
A modulação PAM é a mais simples e básica das modulações por pulsos. 
Os pulsos amostrados estão distribuídos de forma periódica com período igual a 
Ts. Estes pulsos podem ser retangulares ou ter outras formas com exponenciais, 
ondas triangulares e etc., desde que lembrem a ideia de pulso. 
Ondas quadradas são facilmente obtidas. O sinal analógico amostrado 
terá uma parte que acompanhara o formato do sinal e um pulso quadrado terá o 
topo plano. Isto implica em uma pequena diferença entre eles, como mostra a 
Figura 21. 
Figura 21 – Sinal analógico amostrado por pulsos de topo plano 
 
Duas etapas são associadas ao processo de amostragem, o sinal m(t) é 
varrido a cada Ts segundos em concordância com o teorema da amostragem. 
Cada pulso de amostra tem largura igual a T. 
Estas duas etapas recebem denominação própria, são chamadas de 
amostrar e reter5. A largura de cada pulso tem influência sobre o espectro 
transmitido, uma vez que é sabido que a função impulso tem espectro infinito, 
uma certa largura de pulso T é desejável para minimizar os efeitos sobre o 
espectro de frequências. 
TEMA 3 – MODULAÇÃO PWM 
3.1 Modulação PWM 
 
5 Amostrar e reter = sample and hold 
18 
Este tipo de modulação tem pouca aplicação em comunicações, pois 
emprega muita energia quando modulado por um sinal modulante. 
A largura do pulso torna-se uma evidente desvantagem em comparação 
com os sistemas PAM e PPM. Outra desvantagem é quanto à possibilidade de 
multiplexação no tempo. 
Sistemas de modulação PWM tem, no entanto, um grande campo 
de aplicação em sistemas de controle, no uso com motores operados por 
corrente contínua (CC). O controle do motor CC é decorrente da largura do 
pulso, que altera a tensão média percebida e, portanto, a potência aplicada ao 
motor. A modulação PWM também encontra aplicação em controle de 
iluminação.
Os sistemas PWM podem ser apresentados em três formas distintas: 
1. Borda de transição esquerda;
2. Borda de transição direita e;
3. Borda simétrica.
A Figura 22 mostra estas possibilidades.
Figura 22– Possibilidades de modulação PWM 
3.2 Geração PWM 
Sinais PWM podem ser de duas formas distintas. Uma utiliza um 
discriminador de nível de entrada6 no qual uma das entradas é o sinal m(t) e na 
outra um sinal dente de serra, veja a Figura 23: 
6 Circuito tipo Schimitt Triger 
 
 
19 
Figura 23 – Gerador PWM 
 
 
O outro modelo se baseia na carga de um capacitor, é uma fonte de 
corrente constante. Parte do sinal PAM de topo plano que é usado para carregar 
um capacitor (circuito sample and hold), depois o capacitor se descarrega por 
meio de uma fonte de corrente constante (o tempo de descarga variará em 
função da carga inicial). 
Na descarga ocorrerão pulsos triangulares com variação temporal. Estes 
sinais então devem passar por um diferenciador, que converterá os sinais 
triangulares em sinais quadrados com largura variável (Figura 24). 
Figura 24 – Modulador PWM 
 
 
 
 
 
 
20 
TEMA 4 – MODULAÇÃO PPM 
4.1 Modulação PPM 
A modulação PPM é uma derivação da modulação PWM. O objetivo é 
fazer com que a posição do pulso mude de acordo com o sinal a ser transmitido. 
Para isto, o tempo Ts do sinal amostrado irá variar, ou seja, a periodicidade deixa 
de existir. 
A modulação PPM é mais eficiente que a modulação PWM. O objetivo é 
mudar a posição do pulso em função do sinal de entrada. A equação que rege o 
funcionamento da modulação é: 
𝒔𝒔(𝒕𝒕) = � 𝒈𝒈�𝒕𝒕 − 𝒏𝒏𝑻𝑻𝒔𝒔 − 𝒌𝒌𝒑𝒑𝒎𝒎(𝒏𝒏𝑻𝑻𝒔𝒔�
∞
𝒏𝒏=−∞
 
kp é a chamada sensibilidade do modulador PPM e g(t) representa o pulso 
padrão sob interesse. É importante destacar que não pode haver sobreposição 
de pulsos, ou seja, um pulso não pode ter duração superior a Ts. Para garantir 
isto se deve cuidar dos valores, veja a fórmula: 
𝒈𝒈(𝒕𝒕) = 𝟎𝟎 𝒑𝒑𝒂𝒂𝒑𝒑𝒂𝒂 |𝒕𝒕| >
𝑻𝑻𝒔𝒔
𝟐𝟐
− 𝒌𝒌𝒑𝒑|𝒎𝒎(𝒕𝒕)|𝒎𝒎á𝒙𝒙. 
Isto implica em: 
𝒌𝒌𝒑𝒑|𝒎𝒎(𝒕𝒕)|𝒎𝒎á𝒙𝒙.observada na Figura 34. 
 
 
 
26 
Figura 34 – Saída do sistema e do filtro 
 
Pelo fato de se utilizar pulsos de topo plano, aparece uma distorção. Esta 
distorção afeta tanto a amplitude do sinal, quanto produz um atraso, isto recebe 
o nome de efeito de abertura. Para corrigir este problema soma-se ao circuito do 
filtro um equalizador de sinal (Figura 35). 
Figura 35 – Circuito cascata do filtro de reconstrução com o equalizador 
 
O espectro do equalizador é mostrado na Figura 36. 
Figura 36 – Equalizador de sinal 
 
Na Figura 37 observa-se que a resposta ideal não é alcançada, mas a 
resposta prática pode ser obtida fisicamente, pode-se ver também a simbologia 
para filtro equalizador e a respectiva resposta em frequência. 
 
 
27 
Figura 37 – Filtro equalizador com simbologia e resposta em frequência 
 
Dadas as dificuldades na transmissão e recuperação do sinal, sinais PAM 
normalmente são empregados como etapa anterior a outros sistemas de 
modulação por pulso. 
5.2 Recuperação PPM 
Para esta análise será considerado que o sinal da mensagem m(t) seja 
estritamente limitado em banda. Desta forma, a recuperação sinal m(t) pode ser 
efetuada seguindo os passos: 
1. Converter a onda PPM em onda PWM; 
2. Aplicar a onda PWM a um circuito integrador; 
3. Aplicar o sinal integrado da onda PWM a um amostrador para obter um 
sinal PAM; 
4. Demodular o sinal PAM para reconstruir o sinal m(t) original. 
Em circuitos práticos é comum inserir um dispositivo de filtro para eliminar 
o ruído. Este dispositivo recebe o nome de fatiador. A Figura 38 mostra a relação 
entrada/saída de um fatiador. 
Figura 38 – A relação entrada/saída de um fatiador 
 
O ajuste do fatiador é feito em função da amplitude da onda PPM, 
normalmente se ajusta para um valor médio da onda. Seu efeito é aplicar um 
corte abrupto ao sinal, eliminando as componentes do ruído que afetam a 
largura. 
 
 
28 
O resultado são pulsos mais retangulares com as bordas abruptas (evita 
as distorções no sinal), com isto, as influências do ruído são mitigadas. O sinal 
de saída é então, aplicado a um diferenciador e depois a um retificador de meia 
onda. Isto produz um pulso de duração muito curta (Figura 39). 
Figura 39 – Processo de fatiamento do ruído 
 
FINALIZANDO 
Nesta aula vimos as razões que levaram às buscas de alternativas para 
circuitos que digitalizassem sinais analógicos. 
O estudo do fenômeno da amostragem e suas implicações para os 
sistemas digitais abriu o seu entendimento para novos tipos de modulação. 
Conhecemos as consequências dos sinais amostrados para o espectro 
de frequências e o uso de filtros para resolver alguns problemas relacionados a 
banda de transmissão. 
O fenômeno do aliasing e suas implicações para os sistemas de 
comunicação foram objeto de aprofundamento nesta aprendizagem. 
A modulação por amplitude de pulso permitiu o estudo das modulações 
por largura de pulso e modulações por posição de pulso. 
Foi possível estabelecer certa relação entre modulações de sinais 
analógicos e modulações de sinais digitais. 
A aplicação do teorema da modulação a da taxa de Nyquist estiveram 
presentes neste aprofundamento, e também a transformada de Fourier. 
Ficou claro nesta aula que o cuidado com o ruído continua presente nos 
sistemas de comunicação. 
 
 
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REFERÊNCIAS 
HAYKIN, S. Sistemas de comunicação. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
LATHI, B. P. Sinais e sistemas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. 
SOARES, V.N. Sistemas de comunicação: serviços, modulação e meios de 
transmissão. 1.ed. São Paulo: Érica, 2015. 
	Conversa inicial
	REFERÊNCIAS