Aula 02 - Limite.pdf

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1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
 
 Seja a função definida pela lei 
(3 2)( 2)
( )
2
x x
f x
x
 


, definida para todo número 
real 
2x 
. Note que considerando 
2x 
, a lei é 
equivalente à 
( ) 3 2f x x 
. 
 Analisemos o comportamento de 
( )f x
 quando 
x
 assume valores próximos de 2. Temos dois casos a 
considerar: 
 
x
 assume valores próximos de 2, porém menores 
que 2. 
x
 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 
( )f x
 
 
 
x
 assume valores próximos de 2, porém maiores que 
2. 
x
 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 
( )f x
 
 
 Que conclusão podemos tirar sobre 
x
 e 
( )f x
 
observando as tabelas acima? 
 
 Com base na primeira tabela acima, complete as 
seguintes afirmações: 
1,9 ( )x f x  
 , ou seja, 
2x  
 
( ) 8f x  
 
 
1,99 ( )x f x  
 , ou seja, 
2x  
 
( ) 8f x  
 
 
1,999 ( )x f x  
 , ou seja, 
2x  
 
( ) 8f x  
 
 
 Com base na segunda tabela acima, complete as 
seguintes afirmações: 
2,1 ( )x f x  
 , ou seja, 
2x  
 
( ) 8f x  
 
 
2,01 ( )x f x  
 , ou seja, 
2x  
 
( ) 8f x  
 
 
2,001 ( )x f x  
 , ou seja, 
2x  
 
( ) 8f x  
 
 
Portanto, vemos que: 
2 ( ) 8x f x    
 
2 ( ) 8x f x    
 
2 ( ) 8x f x    
 
 Note que podemos fazer com que 
( )f x
 fique 
mais próximo de 8, bastando fazer com que 
x
 fique 
suficientemente próximo de 2. 
 
 Assim, dado 
ε 0
, para que 
( ) 8f x 
 seja 
menor que 
ε
, devemos obter um número 
δ 0
 
suficientemente pequeno de modo que: 
 
2 δ ( ) 8 εx f x    
 
 
 Observe que o valor de δ depende do valor de 
ε
, pois, como vimos anteriormente, 
 
2 0,001 ( ) 8 0,003x f x    
 
Então dado 
ε 0,003
, basta escolher 
δ 0,001
 e 
teremos: 
 
2 0,001 ( ) 8 0,003x f x    
 
 
 Generalizando, dado o número positivo 
ε
, basta 
escolher 
ε
δ
3

, para que se tenha: 
 
ε
2 δ ( ) 8 ε
3
x f x     
 
 
 É importante destacar que 
ε
3
 não é a única 
escolha possível para 
δ
 e, sim, o maior valor que este 
pode assumir. Se escolhermos, por exemplo, 
1
ε
δ
4

, 
teremos: 
 
1
ε
2 δ ( ) 8 ε
4
x f x     
 
 
2. DEFINIÇÃO FORMAL 
 
Seja a um elemento de um intervalo aberto 
I
. 
Seja 
f
 uma função de uma variável real definida em 
todos os pontos de 
I
, exceto possivelmente em 
a
. 
Dizemos que o limite de 
f
 é 
L
, quando 
x
 tende a 
a
 e denotaremos por 
lim ( )
x a
f x L


 se dado qualquer 
ε 0
, existir 
δ 0
 de modo que: 
 
δ ( ) εx a f x L    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Exemplo 2.1. Seja 
:f 
 definida pela lei 
( ) 5 2f x x 
. Se 
2
lim ( ) 8
x
f x


, encontre um 
δ
 para 
ε 0,01
 de modo que: 
 
2 δ ( ) 8 0,01x f x    
 
O valor de 
δ
 encontrado é único? Por quê? 
 
Exemplo 2.2. Suponha que 2
2
3
9 4
lim 4
3 2x
x
x



. Quão 
próximo 
2
3
 deve estar de 
x
 para que a fração 29 4
3 2
x
x


 
esteja próxima de 4, com aproximação inferior a 0,0001? 
 
Exemplo 2.3. Usando a definição, demonstre que: 
a) 
lim
x a
x a


 b) 
2
lim(3 2) 8
x
x

 
 
 
c) 
1
lim(4 3) 1
x
x

 
 d) 
2
4
lim 16
x
x


 
 
e) 
6
3
lim
2 2x
x
x


 f) 
3
1
lim 1
x
x


 
 
Teorema. (Unicidade) Se 
1lim ( )
x a
f x L


 e 
2lim ( )
x a
f x L


, então 
1 2L L
. 
 
3. PROPRIEDADES DE LIMITE 
 
Sejam 
, :f g 
 e 
, , ,a c L M 
. Se 
lim ( )
x a
f x L


 e 
lim ( )
x a
g x M


, então são válidas as 
seguintes propriedades. 
 
(i) O limite de uma constante é a própria constante. 
 
lim
x a
c c


 
 
(ii) O limite do produto de uma constante pela função é 
o produto da constante pelo limite da função. 
 
lim ( )
x a
cf x cL


 
 
(iii) O limite da soma é a soma dos limites. 
 
lim ( )( )
x a
f g x L M

  
 
Esta propriedade pode ser estendida para a soma de uma 
quantidade finita de funções. 
 
(iv) O limite da diferença é a diferença dos limites. 
 
lim ( )( )
x a
f g x L M

  
 
 
(v) 
lim ( ) lim [ ( ) ] 0
x a x a
f x L f x L
 
   
. 
(vi) Se 
lim ( )
x a
f x L


 e 
lim ( ) 0
x a
g x M

 
, então: 
 
lim ( )( ) 0
x a
fg x


 
 
(vii) O limite do produto de duas funções é o produto 
dos limites. 
 
lim ( )( )
x a
fg x LM


 
Esta propriedade pode ser estendida para a soma de uma 
quantidade finita de funções. 
 
(viii) O limite da potência é a potência do limite. 
 
*lim ( ) ( ) ,n n
x a
f x L n

 
 
 
(ix) Se 
lim ( ) 0
x a
f x L

 
, então existem 
δ, 0N 
 tais 
que: 
 
δ ( ) Nx a f x   
 
 
(x) Se 
lim ( ) 0
x a
g x M

 
, então 
1 1
lim
( )x a g x M

. 
 
(xi) O limite do quociente de duas funções é o produto 
dos limites. 
 
lim ( )
x a
f L
x
g M
 
 
 
, com 
0M 
 
 
(xii) O limite da raiz é a raiz do limite. 
 
lim ( ) , , 2nn
x a
f x L n n

  
 
 
Exemplo 3.1. Seja a função polinomial 
1
1 1 0( )
n n
n nf x a x a x a x a

    
 
Calcular 
lim ( )
x a
f x

. 
 
Exemplo 3.2. Calcular os limites abaixo. 
a) 
3 2
2
lim(5 6 3)
x
x x

 
 b) 
π
lim(sen cos2 )
x
x x


 
c) 
24
4
lim
16x
x
x


 d) 2
1
1
lim
1x
x
x


 
 
e) 3
22
8
lim
4x
x
x


 f) 3
41
3 2
lim
4 3x
x x
x x
 
 
 
 
g) 
3
3
lim
3x
x
x


 h) 33
22
2
lim
4x
x
x


 
 
i) 
0
1 1
lim
x
x
x
 