Aula 02 - Adição e Subtração

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1. Adição
2. Subtração
Operações aritméticas
Adição
• Sistema Numérico decimal: pode-se obter 
resultados de 2 tipos: 
• Resultado de 1 dígito: 
• 2 + 5 = 7 
• Lembrando que o sistema numérico decimal é 
constituído de dez algarismos: 
• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Adição
 A operação adição pode ser entendida como sendo um deslocamento à direita na 
série acima, cada deslocamento correspondendo a adição de uma unidade: 
 
0 1 2 3 4 6 7 8 9 
 
5 7 
1ª unidade 
2ª unidade 
Adição
• Resultado de 2 dígitos:
• 8 + 5 = 13
 A operação adição pode ser entendida como sendo um deslocamento à direita na 
série acima, cada deslocamento correspondendo a adição de uma unidade: 
 
0 1 2 4 5 6 7 9 
 
3 8 
2ª unidade-Estouro 
1ª unidade 
Adição
• Há um estouro, pois o maior algarismo do sistema 
decimal (9) é ultrapassado, havendo a necessidade de 
se recomeçar o deslocamento a partir do zero (0) para 
que a operação seja completada, o que acontecerá no 
algarismo 3.A este estouro dá-se o nome de vai-um ou 
carry (transporte).
• Este mecanismo pode ser adotado para números com 
vários dígitos.
• 7 1 8 + 6 2 7 = 1 3 4 5
• Obs: os números a serem somados possuem 3 
algarismos, mas o resultado possui 4 algarismos. 
Sistema Numérico Hexadecimal:
 Neste sistema numérico, o mecanismo é exatamente o mesmo, só que o estouro 
ocorre quando o algarismo F é ultrapassado: 
 
Lembrando que o sistema numérico decimal é constituído de dez algarismos: 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 
 
 Com números de um algarismo : 
 5 + 8 = D(16) 
 
 Com números de vários algarismos: 
 4 B 7 + D 8 3 = 1 2 3 A(16) 
No sistema numérico binário:
 Segue o mesmo mecanismo utilizado, nos sistemas numéricos anteriores, porém há 
apenas dois algarismos: 
 
0 e 1 
 Haverá estouro apenas quando se adicionar uma unidade ao algarismo 1: 
A B S Vai-Um
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1
Exemplos: 
10 + 01 = 11
101 + 011 = 1000
Exercícios:
a) 4B73F(16) + FFFF(16)
b) 1001110101(2) + 00111110111(2)
c) 9BCD,4AE(16) + 197D,ABD(16)
d) 101110011111010,10111(2) + 10110,110(2)
Subtração
Sistema numérico decimal:
 A subtração corresponde ao deslocamento à esquerda do minuendo de tantas 
unidades quantas forem o subtraendo. Exemplo: 
 
 7 - 3 = 4 
(minuendo) (subtraendo) 
 
0 1 2 3 5 6 8 9 
 
4 7 
1ª 2ª 3ª 
Subtração
Sistema numérico decimal:
 Quando o minuendo é menor que o subtraendo ocorre um estouro, e neste caso, 
deve-se subtrair uma unidade do minuendo ou somar uma unidade ao subtraendo da 
casa seguinte. 
 A este estouro dá-se o nome de vem-um ou borrow (empréstimo). 
 Fazendo: 
 53 - 28 = 25 
(minuendo) (subtraendo) 
 
0 1 2 4 6 7 8 9 
 
 
 
0 1 3 4 6 7 8 9 2 5 
Casa das 
dezenas 
3 5 
1ª 2ª 3ª 8ª 7ª 6ª 5ª 
Casa das 
unidades 
Subtração
Sistema numérico decimal:
 Aplicando este método o que acontecerá com: 
 
 28 - 53 = ? ( O que representa ?) 
(minuendo) (subtraendo) 
Subtração
Sistema numérico decimal:
 Para se obter o resultado correto, faz-se: 
 Chama-se módulo a quantidade de números que pode ser representada pelo 
seus algarismos. Exemplo: 
Algarismos Números Módulo
1 De 0 a 9 10
2 De 00 a 99 100
3 De 000 a 999 1000
Subtração
Sistema numérico decimal:
 Chama-se complemento de um número a diferença entre ele e o seu módulo e é 
representado com uma barra sobre o número. Exemplo: 
O complemento de 6 ou 6 é 4 (10 – 6 = 4) 
O complemento de 32 ou 32 é 68 (100 – 32 = 68) 
 Usando os conceitos, módulo e complemento, verifica-se o seguinte resultado: 
28 – 53 = ...9975 usando os conceitos de módulo e complemento 100 – 75 = 25 
Subtração
Sistema numérico decimal:
 Se a operação de subtração é o inverso da adição, então é possível dizer que uma 
subtração entre dois números ( minuendo e subtraendo) é igual à soma do minuendo 
com o complemento do subtraendo sendo agora, o vai-um igual a 1 significa que o 
resultado é positivo e o vai-um igual a zero significa que o resultado é negativo e, 
portanto, deve ser complementado: 
 Exemplo: 
9 – 3 = 9 + 3 = 9 + 7 = 6 e vai-um = 1, resultado positivo = 6 
2 – 6 = 2 + 6 = 2 + 4 = 6 e vai-um = 0, resultado negativo, então 6 = 4 
Subtração
Sistema numérico decimal:
 Há uma questão a considerar! O módulo de um número possui sempre um algarismo a 
mais que os números que podem ser representados dentro dele. Exemplo: módulo 
100 (3 algarismos), representa números de 00 a 99 (2 algarismos). 
 Como transformar este método para que o número de algarismo seja fixo ? 
 Ao invés de se fazer a complementação de um número subtraindo o do módulo, faz-se 
subtraindo-o do maior número do módulo (módulo – 1) somado-se 1 ao final da 
operação. 
 Exemplo: 
4 = 10 – 4 = 6 ou 4 = (9 – 4) + 1 = 5 + 1 =6 
276 = 1000 – 276 = 724 ou 276 = (999 – 276) + 1 = 723 + 1 = 724 
Subtração
Sistema numérico decimal:
 Esta nova maneira permite que o complemento seja feito dígito a dígito: 
 
0 = 9 5 = 4 
1 = 8 6 = 3 
2 = 7 7 = 2 
3 = 6 8 = 1 
4 = 5 9 = 0 
 Exemplo: complemento dígito a dígito de números com vários algarismos: 
9346 = (9) (3) (4) (6) = 0 6 5 3 = 653 
8759873 = (8) (7) (5) (9) (8) (7) (3) = 1240126 
Subtração
Sistema numérico decimal:
 Subtração usando complemento dígito a dígito: 
 Subtração com resultado positivo: 
578 – 325 = 578 + 325 + 1 = 578 + 674 + 1 = 253 e vai-um = 1 
O que indica um resultado positivo. 
 Quanto vale: 239 – 1 = ? 
 Subtração com resultado negativo: 
 
239 – 671 = 239 + 671 + 1 = 239 + 328 + 1 = 568 e vai-um = 0 
 O que indica um resultado negativo. Logo deve-se complementar novamente o 
resultado, adicionar um e colocar o sinal negativo à frente: 
 568 + 1 = - 432 
Subtração
Sistema numérico hexadecimal:
 Sistema Numérico Hexadecimal 
 Subtração com resultado positivo: 
 C 7 
 2 B - 
0 9 C 
 
0 1 2 3 4 5 6 8 9 A B D E F 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D E F 
 
1ª 2ª 3ª 
1ª 2ª 3ª 9ª 7ª 6ª 5ª 
C 7 
4ª 10ª 11ª 
8ª 
C 9 
Subtração
Sistema numérico hexadecimal:
 Subtração com número negativo: 
5 D 
 B 9 - 
 ...FFF A 4 Sequência de F’s (...FFF) significa que o resultado é negativo 
 
0 1 2 3 4 6 7 8 9 B C D E F 
 
 
1ª 2ª 3ª 9ª 7ª 8ª 5ª 
A 5 
4ª 10ª 11ª 
6ª - Estouro 
Subtração
Sistema numérico hexadecimal:
 É necessário aplicar a teoria da complementação para se fazer esta verificação. Seja a 
relação de cada algarismo do sistema hexadecimal 
 
 0 = F 4 = B 8 = 7 C = 3 
 1 = E 5 = A 9 = 6 D = 2 
 2 = D 6 = 9 A = 5 E = 1 
 3 = C 7 = 8 B = 4 F = 0 
 Exemplo: subtração com resultado positivo: 
C 7 – 2 B = 9 C ou C7 + 2B + 1 = C7 + D4 + 1 = 9 C e vai-um = 1, resultado positivo 
 Subtração comresultado negativo: 
5D – B9 = ...FFFA4 ou 5D + B9 + 1 = 5D + 46 + 1 = A4, vai-um = 0, resultado negativo 
Deve-se complementar o resultado novamente e colocar o sinal negativo: 
 A4 + 1 = - 5C 
Subtração
Sistema numérico binário:
• Esta é a forma como os computadores 
executam a operação de subtração:
Operando Resultado Estouro
A B S VEM-UM
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 0 0
Subtração
Sistema numérico binário:
 Obs: a coluna da subtração possui os mesmos resultados da coluna da soma! 
 A diferença entre os resultados nas operações de adição e subtração, no sistema 
binário, está apenas nas colunas VAI-UM e VEM-UM. 
 Logo, um algarismo é complemento do outro: 
 
0 = 1 e 1 = 0 
Subtração
Sistema numérico binário:
 Subtração com resultado positivo: 
1110 – 11 = 1110 + 0011 + 1 = 1110 + 1100 + 1 = 1011 
Vai-um 1 1110 
No. positivo 1100 + 
 1 
 1011 
Subtração
Sistema numérico binário:
 Subtração com resultado negativo: 
0101 – 1100 = 0101 + 1100 + 1 = 0101 + 0011 + 1 = 1001 
Deve-se complementa o resultado novamente e 
 incluir o sinal de menos: 
 1001 + 1 = - 0111 
Vai-um 0 0101 
No. negativo 0011 + 
 1 
 1001 
 O método de se fazer a subtração usando o complemento é chamado, no sistema 
binário, de subtração em complemento de 2, já que o complemento do algarismo mais 
um é igual ao complemento do algarismo em relação ao módulo, que no sistema 
binário é 2. 
Deslocamento
 Acrescentando-se zeros a direita da parte fracionária de um número, seu valor não é 
alterado, ou seja, 56,3 = 56,30 = 56,300 = ..., é, analogamente, acrescentando-se zeros 
à esquerda, seu valor também não é alterado: 56 = 056 = 0056 = 00056 = ...000056 
 O deslocamento à esquerda dos algarismos de um número corresponde à 
multiplicação pela sua base. 
 Exemplo: 
Sistema Decimal: 
1230(10) = 123(10) x 10 
12300(10) = 123(10) x 10 x 10 
Sistema Binário: 
10(2) = 100(2) / 2 
Sistema Hexadecimal 
4E2(16) = 4E20(16) / 16 
Exercícios
1º) Calcule o resultado das operações a seguir:
a) BABACA(16) – BOBOCA(16) = ?(16)
b) 19330(16) – 9851(16) = ?(16)
c) 110110(2) – 1101111(2) = ?(2)
d) 101010111,101(2) – 10001010,01(2) = ?(2)
e) 10111(2) – 1011001, 101(2) = ?(2)
f) F0F0,CA(16) – CADA,D(16) = ?(16)
g) DAD0,D(16) – FACA(16) = ?(16)
Exercícios
2º) Calcule o resultado das subtrações a seguir 
utilizando o método do complemento de 2.
a) 11010011(2) – 10111010(2) = ?(2)
b) 10000000(2) – 1(2) = ?(2)
c) 110101010(2) – 101010100(2) = ?(2)
d) 0110001(2) – 1100001(2) = ?(2)
e) 1010101111(2) – 1111001010(2) = ?(2)