Roteiro da Semana 5

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Roteiro de Estudos - Semana 5
O material da Semana 5 (Retas tangentes, derivadas e regras de derivação) do Moodle de
Cálculo 1 está organizado abaixo na melhor ordem didática para compreensão dos conteúdos.
Siga este roteiro para evitar atropelos e desencontros.
1. Derivada e taxa de variação: Apresentamos o conceito formal de derivada de uma
função em um ponto. Em seguida, mostramos como a derivada pode ser vista como
uma taxa de variação. Como exerćıcio, calculamos o taxa de variação do volume de
um gás com relação à pressão.
Assista aos v́ıdeos abaixo na ordem indicada:
i) Vı́deo: Derivada e taxa de variação
Se v(t) = 3t2, t > 0, é a velocidade de um móvel no instante t, determine a
taxa de variação de v(t). Note que a taxa de variação da velocidade é a aceleração
do móvel.
ii) Vı́deo: Reta tangente
Neste v́ıdeo, definimos a reta tangente a uma função em um ponto em que ela
é derivável. Determine a reta tangente ao gráfico da função g(x) = 1/x no ponto
x = a > 0.
X No Texto: Derivada de uma função, você encontra o conteúdo escrito do que
foi visto nos v́ıdeos i) e ii). Faça o exerćıcio 2 da tarefa indicada nesse texto.
X No Texto: Exemplos de derivadas, calculamos a derivada de algumas funções
elementares. Faça a tarefa indicada nesse texto.
iii) Vamos rever alguns aspectos importantes do conteúdo que foi discutido nos v́ıdeos
i) e ii)? A seguir, veremos a interpretação geométrica da derivada de uma função
e um exemplo sobre reta tangente.
Derivadas: Interpretação da derivada
Reta tangente: Cálculo da reta tangente
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 no ponto (1, 1).
2. A função derivada: Definimos a função derivada e calculamos a derivada da função
constante, da função afim e de potências naturais. Apresentamos ainda a regra que
nos permite derivar qualquer potência. Assista aos v́ıdeos abaixo na ordem indicada:
i) Vı́deo: A função derivada
Calcule a derivada da função f(x) = 1√
x
, para x > 0. Faça o cálculo usando
a definição de derivada. Em seguida, verifique seu resultado usando a regra da
potência, observando que f(x) = x−1/2.
Vimos que o cálculo da derivada de uma função resume-se ao cálculo de um
determinado limite. Ora, faz sentido falarmos em derivadas laterais. O próximo
v́ıdeo ilustra essa situação.
1
https://www.youtube.com/watch?v=a_qEHLj0scc&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=V2jqoCfi5-k&feature=youtu.be
https://mat.unb.br/calculo1m/Textos/Modulo1/Semana5/derivada.pdf
https://mat.unb.br/calculo1m/Textos/Modulo1/Semana5/derivada-exemplos.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=4C0Bu3xb60Q&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=ylGrm3GDovE&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=10-zOTwFlbM&feature=youtu.be
ii) Vı́deo: Derivadas laterais
Note que, ao analisar a existência da reta tangente ao gráfico da função f(x) =
|x| no ponto x = 0, você precisou usar limites laterais.
Verifique se f(x) = x|x|, x ∈ R é cont́ınua em x = 0. Ela é derivável em x = 0?
3. Regras de derivação: Apresentamos e provamos as regras da soma, diferença, pro-
duto e quociente para derivadas. Como aplicação da regra do quociente, estudamos
como varia com o tempo a concentração de medicamente no sangue de um paciente.
Assista aos v́ıdeos abaixo na ordem indicada:
i) Vı́deo: Derivadas da soma e do produto.
Em geral, o produto das derivadas não é a derivada do produto. Encontre um
exemplo que verifica esta afirmação.
ii) Vı́deo: Derivadas do quociente.
X No Texto: A regra do produto e do quociente para derivadas, você
encontra o conteúdo escrito do que foi visto no v́ıdeo i) e ii). Faça os exerćıcios
da tarefa do texto.
Calcule a derivada da função f(x) =
√
x
x2 + 1
.
4. Listas de Exerćıcios: Para fixar seus conhecimentos, resolva a Lista de Exerćıcios
e a Lista de Aplicações da Semana 5.
2
https://www.youtube.com/watch?v=Sh-rtL86elg&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=cvQwweGL7W0&feature=youtu.be
https://youtu.be/wKm0izvsTYg
https://mat.unb.br/calculo1m/Textos/Modulo1/Semana5/regra-produto.pdf
https://mat.unb.br/calculo1m/Exercicios/Modulo1/semana_05ex.pdf
https://mat.unb.br/calculo1m/Aplicacao/Modulo1/semana_05ap.pdf