Derivadas e Tangentes em Matemática

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Matemática 1
Lista de Exerćıcios – Semana 06
Temas abordados : Regras básicas de derivação
1) Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
(a) f(x) = (3x4 − 7x2)(5x− 11) (b) f(x) =
2x+ 3
x2 − 1
(c) f(x) =
√
x
x2 − 2x
(d) f(x) = 3
√
x+
4
x
(e) f(x) =
(
4x3 − 5
x3
+
√
x
)(
3
x
− 4x+ 6
)
(f) f(x) =
1 + x
1− x
2) Como a derivada de uma função é a sua taxa de variação, é de se esperar o seguinte:
se uma função f tem derivada positiva (negativa) em um intervalo I ⊂ R, então ele é
crescente (decrescente) neste intervalo. Vamos usar este fato neste exerćıcio.
Supondo que o lucro de uma empresa, em centenas de milhares de reais, seja dado por
L(x) =
6x
3x2 + 27
, x ≥ 0,
em que x indica a quantidade de milhares de unidades vendidas, resolva os itens abaixo.
(veja v́ıdeo)
(a) Calcule a taxa de variação do lucro.
(b) Após determinar os intervalos onde L′(x) é positiva (negativa), decida em quais
intervalos L(x) é crescente (decrescente).
(c) Usando os dois itens acima, faça um esboço do gráfico de L(x).
(d) Qual deve ser a quantidade de itens vendidos para que o lucro seja máximo? O que
acontece com a derivada no ponto onde isto ocorre?
3) Sejam I ⊂ R um intervalo aberto e f : I → R uma função. Dado a ∈ I, lembre que a
reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) é a (única) reta que passa pelo ponto
(a, f(a)) e tem inclinação igual a
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
,
quando o limite existe (veja v́ıdeo). Neste caso, a equação da reta tangente y = y(x) é dada
por y − f(a) = f ′(a)(x− a).
Para cada uma das funções abaixo, determine a equação da reta tangente no ponto dado:
(a) f(x) = x2 − x+ 1, a = 1 (b) f(x) = 1/x, a = −2
(c) f(x) =
√
x, a = 4 (d) f(x) = 1/
√
x, a = 1
Lista de Exerćıcios – Semana 06 - Página 1 de 3
https://www.youtube.com/watch?v=WrHySyjt8zc
https://www.youtube.com/watch?v=4C0Bu3xb60Q
4) Suponha que a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) existe, isto é, existe o
limite apontado no enunciado do exerćıcio anterior. Verifique que
f(x) =
[
f(x)− f(a)
x− a
]
(x− a) + f(a).
Em seguida, passe os dois lados da igualdade ao limite, quando x → a, para mostrar que
lim
x→a
f(x) = f(a). Conclua, finalmente, que f é cont́ınua em x = a.
5) Vimos no exerćıcio anterior que uma função é sempre cont́ınua nos pontos onde possui
reta tangente. Considerando f(x) = |x|, resolva os itens abaixo para verificar que a
rećıproca não é verdadeira:
(a) Verifique que f é cont́ınua em x = 0.
(b) Calcule o limite lateral
lim
x→0+
|x|
x
.
Em seguida, calcule o limite pela esquerda.
(c) Conclua do item acima que não existe f ′(0).
(d) O que se pode dizer acerca de f ′(a), se a 6= 0? x
|x|
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RESPOSTAS
1) (a) f ′(x) = (12x3 − 14x)(5x− 11) + 5(3x4 − 7x2).
(b) f ′(x) =
−2x2 − 6x− 2
(x2 − 1)2
.
(c) f ′(x) =
−3x2 + 2x
2
√
x(x2 − 2x)2
.
(d) f ′(x) =
1
3x2/3
− 4
x2
.
(e) f ′(x) =
(
12x2 + 15x−4 + 1
2
√
x
)
(
3
x
− 4x+ 6
)
+ (4x3 − 5x−3 +
√
x) (−3x−2 − 4)
(f) f ′(x) =
2
(1− x)2
2) (a) L′(x) = (−18x2 + 162)/(3x2 + 27)2.
(b) L é crescente no intervalo (0, 3) e decrescente no intervalo (3,+∞).
(c)
(d) O lucro é máximo quando x = 3, que ó ponto onde a derivada se anula. Logo,
para maximizar o lucro devem ser vendidas 3 mil unidades. Neste caso, o lucro é
aproximandamente R$ 33.333, 33.
3) (a) f ′(1) = 1 e a reta tangente no ponto (1, f(1)) é y = x.
(b) f ′(−2) = −1/4 e a reta tangente no ponto (−2, f(−2)) é y = −1
4
x− 1.
(c) f ′(4) = 1/4 e a reta tangente no ponto (4, f(4)) é y = 1
4
x+ 1.
(d) f ′(1) = −1/2 e a reta tangente no ponto (1, f(1)) é y = −1
2
x+ 3
2
.
4)
5) (a) Basta ver que lim
x→0
|x| = 0 = |0|.
(b) O limite pela direita é igual a 1 e pela esquerda −1.
(c) Como os limites laterais são distintos, não existe o limite lim
x→0
|x|
x
.
(d) Temos que f ′(a) = 1, se a > 0, e f ′(a) = −1, se a