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Matemática Básica
AULA 3 : PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
Objetivo desta Aula
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
Identificar os diferentes tipos de conjuntos numéricos e realizar operações.
Produtos Notáveis
Determinados produtos, por aparecerem no estudo da matemática com muita frequência, são chamados de notáveis e seu desenvolvimento por multiplicação deve ser evitado. Para tal, devemos conhecer previamente o seu desenvolvimento.
Veremos uma relação de produtos notáveis mais utilizados.
Quadrado de uma soma:
(a+b)² = a² + 2ab + b² 
Quadrado de uma diferença:
(a-b)² = a² - 2ab + b²
Diferença entre dois quadrados:
(a+b)(a-b) = a² - b²
Produto de Stevin:
(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
Cubo de uma soma:
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Cubo de uma diferença:
(a-b)³ = a³ - 3ª²b + 3ab² - b³
Soma de dois cubos:
(a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³
Diferença de dois cubos:
(a-b)(a²+ab+b²) = a³ - b³
Quadrado da soma de três termos:
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
Vejamos os exemplos abaixo:
Diversas vezes, podemos utilizar os produtos notáveis para facilitar cálculos que podem oferecer muito trabalho. Observe os exemplos abaixo:
27² = (20+7)² = 20²+2.20.7+7² = 400+280+49 = 729
33²(35-2)² = 35² - 2.35.2+2² = 1225 – 140+4 = 1089
Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica significa transformar essa expressão em outra equivalente, expressa em produto de dois ou mais fatores de grau inferior ao da expressão dada.
Vejamos os principais processos de fatoração:
Evidenciação: Consiste na aplicação inversa da propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição ou subtração.
Devemos colocar em evidência o fator comum a todos os termos da expressão dada em seguida dividir cada termo da expressão pelo fator evidenciado.
Exemplos:
Grupamento ou agrupamento: Esse método consiste na aplicação do processo da evidenciação mais de uma vez. Observe os exemplos abaixo:
Exemplos:
Identificação: Devemos identificar a expressão dada como sendo um dos produtos notáveis.
Exemplos:
MDC e MMC de expressões algébricas
MDC: Máximo Divisor Comum. É o produto dos fatores comuns elevados aos menores expoentes.
MMC: Mínimo Múltiplo Comum. É o produto dos fatores comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.
Para determinarmos o MDC ou o MMC de várias expressões algébricas, devemos fatorar cada uma das expressões e, em seguida, aplicar a definição de MDC ou de MMC conforme seja solicitado.
Exemplos:
Determine o MDC e o MMC das expressões:
2x+2y = 2(x+y)
X²+2xy+y² = (x+y)²
X²-y² = (x+y)(x-y)
MDC: x+y
MMC: 2(x+y)²(x-y)
X³+8 = (x+2)(x²-2x+4)
X²+2x = x(x+2)
X²-4 = (x+2)(x-2)
X²+8x+12 = (x+2)(x+6)
MDC: x+2
MMC: x(x+2)(x-2)(x+6)(x²-2x+4)
Frações Algébricas
São aqueles em que um dos seus termos é uma expressão algébrica.
Exemplo:	
Operações com frações algébricas
As frações algébricas obedecem a todas as regras das frações ordinais.
Simplificação de frações algébricas: Devemos dividir o numerador e o denominador pelo MDC entre eles. Na prática, dividimos o numerador e o denominador por um ator comum, repetimos a operação até que a fração encontrada seja irredutível, ou seja não tenha mais nenhum fator comum.
Exemplos:
Adição e subtração de frações obedecem às mesmas regras das frações ordinárias.
Exemplos:
Para praticar!
Leia com atenção as afirmações e arraste cada termo ao seu conceito correspondente.
Síntese da Aula
Nessa aula você:
Aprendeu a reconhecer e aplicar os produtos notáveis e a fatoração.