Matemática - Aula 8

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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Iniciaremos este módulo apresentando formalmente o conceito de 
equação. Trabalharemos principalmente com equações de primeiro 
grau com uma variável, mas ocasionalmente introduziremos equações com 
duas ou mais variáveis. Em um segundo momento, expomos o conceito 
de inequação e discutiremos a diferença com o conceito de equação. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 08 - 
EQUAÇÕES DO 1º 
E 2 º GRAU E 
INEQUAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, você vai conferir os contextos conceituais da psicologia entenderá 
como ela alcançou o seu estatuto de cientificidade. Além disso, terá a oportunidade 
de conhecer as três grandes doutrinas da psicologia, behaviorismo, psicanálise e 
Gestalt, e as áreas de atuação do psicólogo. 
 Compreender o conceito de psicologia 
 Identificar as diferentes áreas de atuação da psicologia 
 Conhecer as áreas de atuação do psicólogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Definir uma equação do primeiro grau; 
 Identificar os termos da equação do primeiro grau; 
 Identificar os termos de uma equação de segundo grau; 
 Reconhecer a fórmula para a resolução de uma equação de segundo 
grau; 
 Resolver problemas envolvendo equações de segundo grau; 
 Definir inequações e sistemas de inequações. 
 
 
 
 
 
1 EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 
Neste módulo, abordaremos outro tópico importante para a matemática: o 
uso de letras em vez de números. Do que estamos falando? 
Segundo Giovanni e Parente (1999), primeiro é preciso entender que qualquer 
afirmação matemática expressa por uma igualdade e na qual haja uma ou mais 
letras representando números é chamada de equação. Cada letra é indicada como 
uma variável ou incógnita. 
Imaginamos a seguinte situação: Fernando é encanador e convive com 
vazamentos, canos furados, paredes com infiltrações, etc. Ele cobra 15 reais para 
fazer um orçamento (ou seja, para analisar o problema) e mais 12 reais por hora de 
trabalho. Um dia, Fernando foi chamado para consertar um vazamento na pia. 
Durante a visita, ele estimou que levaria duas horas para resolver o problema. 
Portanto, o preço cobrado foi de 39 reais. Qual é a relação entre os valores 
cobrados por Fernando e a equação de primeiro grau? 
Um exemplo numérico do que foi dito acima é a seguinte equação: 
-4x + 10 = 3x - 1 
A expressão situada à esquerda do sinal de igual é chamada de primeiro 
membro da equação (-4x + 10), e a expressão à direita do sinal é chamada segundo 
membro da equação (3x -1). 
Antes de voltarmos ao problema do encanador, devemos discutir outros 
conceitos que envolvem a ideia de uma equação. Primeiro, consideraremos o 
seguinte problema: 
Quais são os elementos do conjunto U = {-4, 1, 2, 4} que tornam a equação x2 
= 16 uma sentença verdadeira? 
Se x =-4, temos que (-4)2 = 16 ou 16 = 16, o que é uma afirmação verdadeira. 
Se x = 1, temos que (1)2 = 16 ou 1 = 16, o que é uma afirmação falsa. 
Se x = 2, temos que (2)2 = 16 ou 4 = 16, o que é uma afirmação falsa. 
Se x = 4, temos que (4)2 = 16 ou 16 = 16, o que é uma afirmação verdadeira. 
Portanto, os números -4 e 4 são chamados de raízes ou a solução de 
uma equação. Para Giovanni e Parente (1999), as raízes de uma equação são os 
 
 
elementos do universo como um todo que, substituídos na incógnita (neste caso, x2), 
fazem uma sentença verdadeira dessa equação. 
O conjunto de soluções da equação consiste nas raízes da equação (se 
houver). No problema acima, o conjunto solução é S = {-4, 4}. Mas por que isso está 
acontecendo? Bem, porque -4 e 4 são os números do conjunto universo U 
{-4,1,2,4} que tornam x2= 16 uma afirmação verdadeira. Em outras palavras, não 
podemos dizer que 12 = 16 assim como não podemos dizer que 22 = 16; essas são 
afirmações falsas. A afirmação verdadeira para o conjunto universo U = {-4,1, 2, 4} é 
que apenas (-4)2 e 42 são valores iguais a 16 e contam como solução da equação. 
Agora, considere um conjunto universo U = {2, 4}. 
Qual elemento tornará a sentença 3x - 1 = 5 verdadeira? 
Vejamos o número 2, substituindo-o na sentença: 
3 · (2) - 1 = 5 6 – 1 = 5 5 = 5 
Teremos como resultado que 5 = 5, então sabemos de antemão que 2 está no 
conjunto de solução. 
Vamos ao segundo elemento, o número 4: 
3 · (4) – 1 = 5 12 – 1 = 5 11 ≠ 5 
Substituindo a incógnita pelo número 4, para verificar se a sentença 
é verdadeira, chegamos à conclusão que 11 ≠ 5. Portanto, a solução dada neste caso 
é S = {2}. 
Agora que entendemos como resolver uma equação, mergulharemos 
no mundo das equações de primeiro grau. 
Segundo Pesco e Arnaut (2010), uma equação de primeiro grau é qualquer 
sentença aberta em uma variável real x que pode ser expressa na forma ax + b = 
0, onde a e b são números reais e a ≠ 0. Provando esta afirmação encontrando o 
conjunto solução da equação ax + b = 0: 
ax + b = 0 ⇔ ax = –b ⇔ x = - b/a, a ≠ 0 
 
Agora podemos voltar ao nosso amigo Fernando e entender como a 
 
 
equação de primeiro grau entra no nosso dia a dia. 
Veremos o problema do ponto de vista matemático: 
O orçamento da visita é de R$ 15,00. 
Fernando diagnosticou que levaria duas horas para realizar o trabalho. 
Então, como chegamos ao valor de R$ 39,00? 
 
Por exemplo, usamos a letra x para representar a quantidade de horas 
trabalhadas. Portanto, a expressão algébrica fica assim: 
Ou, na forma habitualmente aceita: 15 + 12x. 
A letra x é chamada de variável de expressão. Além disso, essa expressão 
algébrica permite calcular o custo de qualquer serviço executado por Fernando. 
Vamos a outro exemplo prático: quanto custaria um serviço em 14 horas de 
trabalho? Se soubermos que x representa a quantidade de horas de trabalho, basta 
substituí-lo na expressão algébrica: 
15 + 12x =? 
15 + 12 · 14 = 183 
Logo, Fernando cobraria R$ 183,00 por esse serviço. 
Saiba mais: As equações são uma das ferramentas mais importantes da matemática 
para resolver problemas em situações concretas. O inglês Isaac Newton, um dos 
maiores cientistas da humanidade, escreveu: “Para resolver problemas 
relacionados a números ou relações entre quantidades, basta traduzir tal problema da 
linguagem corrente para a linguagem da álgebra, ou seja, linguagem das 
 
 
equações” (GIOVANNI; PARENTE, 1999). Foi exatamente isso que fizemos no caso 
do encanador Fernando. 
1.1 Termos da equação do primeiro grau 
Já mencionamos na seção anterior que uma equação é dividida em membros. 
Entenderemos um pouco melhor esta característica. Em resumo, na equação a 
seguir, a incógnita é x; tudo que antecede o sinal de igualdade, denomina-se 1° 
membro da equação, e o que sucede, 2° membro. 
2x - 8 = 3x - 10 
Portanto, 2x - 8 caracteriza o primeiro membro da equação, e 3x - 10 apresenta-
se como segundo membro da equação. 
Além disso, cada uma das parcelas que compõem um membro de uma 
equação é chamada de termo da equação. 
No exemplo acima, é possível observar os seguintes termos: 
 
Portanto, é possível confirmar que esta equação contém quatro termos. 
Observe o Quadro 1 a seguir: 
Quadro 1 - Incógnitas, membros e termos da equação do primeiro grau 
 
Agora vamos resolver problemas usando uma equação de primeiro grau com 
 
 
uma incógnita, mas vamos traduzir da linguagem corrente para a algébrica. Em 
seguida “armaremos” a equação que representa o problema para finalmente resolvê-
lo. Além disso, destacaremos as incógnitas, seus membros e termos. Veja o Quadro 
2 a seguir: 
Quadro 2 - Problemas usando equação do primeiro grau 
Para encontrar a quantia que procura, basta resolver a equação obtida: 
Desta equação, podemos inferir que: 
 Há apenas uma incógnita x; 
 O primeiro membro apresenta-se como: 
 
 O segundo membro apresenta-se como: 48; 
 A equação contém quatrotermos: 
 
 
 
Finalmente vamos à solução – primeiro partimos da equação “armada” 
considerando o problema proposto: 
 
Iniciamos resolvendo a fração x - 
𝑥
3
 da equação. Partimos do MMC de 1 e 3: 
 1, 3 | 3 
1 1 | 
Portanto, o MMC (1, 3) = 3. 
Aplicando o MMC, teremos uma nova equação que toma a seguinte forma: 
Agora, podemos resolver a equação principal, que toma outra forma: ⁣ 
 
Novamente, temos uma operação (subtração) envolvendo frações com 
denominadores diferentes. O primeiro passo, como fizemos anteriormente, 
será realizar a redução para o mesmo numerador. Aplicando a técnica MMC, 
teremos: 
1, 3, 15 | 3 
1, 1, 5 | 5 
1, 1, 1 | 3 x 5 = 15 
Portanto, o MMC (1, 3, 5) = 15. 
Após encontrar o MMC entre os diferentes denominadores, use o resultado do 
novo denominador (neste caso = 15) para dividi-lo pelo antigo e multiplique pelo 
 
 
numerador correspondente. A nova equação fica assim: 
 
Agora temos uma nova equação onde os denominadores são iguais (15). 
Nesse caso, para encontrar o resultado, basta manter o denominador e adicionar ou 
subtrair os numeradores conforme a operação especificada. Portanto, temos outra 
equação que se constitui da seguinte maneira: 
15x -5x -2x = 720 
O próximo passo será fatorar os termos da equação. Teremos, então: 
8x = 720 
Finalmente, uma última, mas importante etapa: A constante (8) multiplica a 
incógnita (x). Pelas regras matemáticas, quando há uma multiplicação com essa 
característica (8x), a constante passa para o outro lado do sinal de igual, 
dividindo (se ao contrário a constante estiver dividindo, ela deve passar do outro 
lado do sinal de igual, multiplicando): 
x = 
720
8
 
x = 90 
Como esse valor satisfaz as condições do problema, temos que a quantidade 
inicial era de R$ 90,00. 
2 EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU 
A equação de segundo grau pode ser definida como uma sentença aberta na 
qual a variável está na segunda potência e apresenta a forma ax2 + bx + c = 0, sendo 
a, b e c números reais e a diferente de zero (a ≠ 0) (CENTURION, 2003). 
Nas equações de segundo grau de uma incógnita, os números reais a, b e c 
recebem o nome de coeficientes, sendo a o coeficiente do termo x2; b o coeficiente do 
termo x e c o coeficiente ou termo independente de x (Figura 1). 
 
 
Figura 1 - Forma de uma equação de segundo grau 
 
Uma equação de segundo grau é denominada incompleta quando apresenta 
um dos coeficientes, b ou c, ou até mesmo ambos (b e c) iguais a zero. 
Exemplos: 
 x2 + 16 = 0 → (b = 0) 
 3x2 - 3x = 0 → (c = 0) 
 2x2 = 0 → (b = c = 0) 
Uma equação de segundo grau é denominada completa quando apresenta os 
três coeficientes (a, b e c) diferentes de zero. 
Exemplos: 
x2 - 4x + 6 = 0 
2x2 + 3x - 4 = 0 
2.1 Raízes de uma equação de segundo grau 
A solução de uma equação de segundo grau está na busca das suas raízes. As 
raízes são valores que, quando substituídos nas incógnitas, tornam a sentença 
verdadeira (CENTURION, 2003). 
2.2 Raízes de equações de segundo grau incompletas 
As equações de segundo grau incompletas cujo termo b é igual a zero podem 
ser resolvidas isolando o termo independente (CENTURION, 2003). 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
x2 -16 = 0 
x2 = 16 
x = ±√16 
x = ± 4 
x'= 4 
x'' = -4 
Portanto, as raízes 4 e -4 satisfazem esta equação. 
2x2 - 50 = 0 
2x2 = 50 
x² = 
50
2
 
x2= 25 
x = ±√25 
x = ± 5 
x'= 5 
x'' = -5 
Portanto, as raízes 5 e -5 satisfazem esta equação. 
Equações de segundo grau incompletas em que o termo é zero podem ser 
resolvidas usando a técnica de fatoração do termo comum em evidência. 
Exemplo: 
2x2 - x = 0 
O termo x é semelhante na equação; por isso, deve ser destacado. Para 
trazer este termo é necessário dividi-lo pelos outros termos da equação. 
x (2x - 1) = 0 
Com isso, obtemos um produto de multiplicação de dois fatores, x e 2x - 1, 
sendo que a multiplicação destes fatores é igual a zero; portanto, podemos afirmar 
que um destes fatores deve ser igual a zero. Como não sabemos qual destes fatores 
 
 
é igual a zero, devemos igualar os dois a zero, obtendo, assim, duas equações de 
primeiro grau. 
x = 0 
2x - 1 = 0 
Assim podemos ver que o zero é uma das raízes desta equação, 
e para encontrar a outra raiz, basta resolver a equação do primeiro grau. 
2x - 1 = 0 
2x = 1 
x =1/2 
x' = 0 e x'' =1/2 
Portanto, as raízes 0 e 1/2 satisfazem esta equação. 
Equações de segundo grau incompletas cujos ambos os termos, b e c, são 
iguais a zero, também têm raízes iguais a zero. 
Exemplo: 
x2 = 0 
x = √0 
x = 0 
x' = x'' = 0 
2.3 Raízes de equações de segundo grau completas 
A forma mais utilizada para resolver equações de segundo grau completas é 
usando a fórmula de Bhaskara, considerada uma das principais fórmulas 
matemáticas. 
O nome desta fórmula foi uma homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, 
considerado o mais importante matemático indiano do século XII. 
A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações de 
segundo grau completas da forma ax2 + bx + c + 0. 
 
 
2.4 Fórmula de Bhaskara 
A fórmula geral de Bhaskara é mostrada na Figura 2. A fórmula 
permite determinar as raízes de uma equação de segundo grau a partir de seus 
coeficientes, substituindo os valores correspondentes e realizando as operações 
matemáticas propostas pela fórmula para determinar os valores de x que satisfazem a 
equação. 
Figura 2 - Fórmula de Bhaskara 
 
A letra grega delta (Δ) pode ser chamada de discriminante porque através 
dela é possível obter alguma informação que distingue ou classifica equações de 
segundo grau. Dependendo do sinal de Δ, aplica-se o seguinte: 
Δ = 0 A equação tem duas raízes iguais; 
Δ > 0 A equação tem duas raízes diferentes; 
Δ 12 e 2x - 4 ≤ x + 2 são do 1º grau, isto é, aquelas em que a variável 
x aparece com expoente 1. 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade é chamada de primeiro 
membro da inequação. A expressão à direita do sinal de desigualdade chama-
se segundo membro da inequação. 
Na inequação x + 5 > 12, por exemplo, observamos que: 
A variável é x; 
O primeiro membro é x + 5; 
O segundo membro é 12. 
 
 
Na inequação 2x - 4 ≤ x + 2: 
A variável é x; 
O primeiro membro é 2x - 4; 
O segundo membro é x + 2. 
3.1 Propriedade da desigualdade 
Propriedade Aditiva: Uma inequação não muda de sentido se adicionarmos ou 
subtrairmos o mesmo número de seus dois membros. 
Propriedade Multiplicativa: Uma desigualdade não muda de sentido quando 
multiplicamos ou dividimos seus dois membros pelo mesmo número positivo. 
Resolver uma inequação significa determinar seu conjunto verdade a partir de 
um conjunto universo dado. Vejamos, através do exemplo, a resolução de inequações 
do 1º grau: 
a) xinfinitos menores que 5 nomeando seus 
elementos, realizaremos isso por meio da propriedade que caracteriza seus 
elementos. Assim: 
V = {x ∊ Q / x 0 
ax2 + bx + c ≥ 0 
ax2 + bx + c 0: 
S = {x ∈ R| x 4}. 
Nota: Quando o universo para as soluções não é fornecido, fazemos com que ele seja 
o conjunto R dos reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ANDRINI, A.; VASCONCELOS, M. J. Praticando Matemática. São Paulo: Editora do 
Brasil, 2002. 
CENTURION, M. Nova Matemática na medida certa. 8ª série. Centurión Jakubovic, 
Lellis. São Paulo: Scipione, 2003. 
DANTE, L. R. Tudo é Matemática: ensino fundamental. São Paulo: Ática, 2005. 
GIOVANNI, J. R.; PARENTE, E. Aprendendo Matemática. São Paulo: FTD, 1999. 
PESCO, D. U.; ARNAUT, T. Matemática básica. Rio de Janeiro: Fundação Cecierj, 
2010. 
PEDROSO, H.A. Uma breve história da equação de 2º grau. Revista eletrônica de 
Matemática. n 2, 2010. Disponível em: http://www.matematicajatai.com/rematFiles/2-
2010/ eq2grau.pdf. Acesso em: dez. 2022. 
TOSATTO, C. M.; PERACCHI, E.P.; ESTEPHAN, V.M. Ideias e relações. Curitiba: 
Positivo, 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	1 EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
	1.1 Termos da equação do primeiro grau
	2 EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU
	2.1 Raízes de uma equação de segundo grau
	2.2 Raízes de equações de segundo grau incompletas
	2.3 Raízes de equações de segundo grau completas
	2.4 Fórmula de Bhaskara
	3 INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
	3.1 Propriedade da desigualdade
	4 INEQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
	5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS