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PONTO DE PARTIDA
Olá, estudante!
Nesta aula, você aprenderá sobre as propriedades da integral de convolução, também conhecerá sobre a
estabilidade e a resposta ao impulso unitário e por fim terá uma visão intuitiva sobre o comportamento de
sistemas.
Vale lembrar que, o autoestudo é uma importante ferramenta que contribuirá para a sua formação, sendo
fundamental para a busca do conhecimento, das habilidades e das competências necessárias para o seu
cotidiano profissional.
Uma das maiores e mais famosas empresas de consultoria e desenvolvimento de projetos de controle que
atua no ramo há mais de dez anos, abriu um concorrido processo seletivo de estágio. Gigio, ficou muito feliz
em saber que o seu esforço no curso fez com que ele fosse um dos poucos selecionados para atuar nessa
empresa.
Nesse programa de estágio, Gigio passará por todas as áreas e setores da empresa e poderá atuar em vários
Aula 1
ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM
TEMPO CONTÍNUO
Olá, estudante! Nesta aula, você aprenderá sobre as propriedades da integral de convolução, também
conhecerá sobre a estabilidade e a resposta ao impulso unitário e por fim terá uma visão intuitiva sobre
o comportamento de sistemas.
ANÁLISE DE SISTEMAS CONTÍNUOS NO TEMPO
 Aula 1 - Análise no domínio do tempo de sistemas em tempo contínuo
 Aula 2 - Séries de Fourier contínuas no tempo
 Aula 3 - Transformada de Fourier contínua no tempo
 Aula 4 - Análise de sinais e sistemas por transformada de Fourier
contínua no tempo
 Aula 5 - Encerramento da unidade
 Referências
28/01/2026, 17:10 wlldd_u2_ana_pro_sin
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projetos. No seu primeiro dia na empresa, Gigio foi encaminhado para a área de climatização que desenvolve
sistemas de aquecimento e refrigeração automáticos para grandes edifícios.
Esses sistemas utilizam sensores de temperatura para ajustar a produção de calor ou frio conforme a
necessidade do cliente, garantindo conforto e eficiência energética. No entanto, o seu supervisor, lhe explicou
que o sistema atual está apresentando comportamento instável em certos horários do dia, com a
temperatura variando de forma abrupta e fora do controle desejado. Os engenheiros acreditam que a
resposta ao impulso unitário do sistema está causando essa instabilidade, uma vez que a saída do sistema
aumenta rapidamente e não retorna ao valor de equilíbrio.
Assim, a primeira tarefa de Gigio será explicar para o seu supervisor como utilizar a resposta ao impulso
unitário para analisar a estabilidade do sistema e propor soluções para corrigir o comportamento instável.
Vamos acompanhar Gigio nesta tarefa? Então mãos à obra!
VAMOS COMEÇAR! – CONVOLUÇÃO E IMPULSO
Olá, estudante!
A integral de convolução é uma operação matemática utilizada para descrever a resposta de sistemas lineares
aos sinais de entrada. Ela está diretamente ligada à resposta ao impulso unitário, que revela o
comportamento de um sistema. A estabilidade de um sistema é garantida quando sua resposta se mantém
limitada ao longo do tempo.
Assim, convidamos você a assistir esta aula para ampliar os seus conhecimentos sobre análise no domínio do
tempo de sistemas em tempo contínuo.
Vamos lá! Bons estudos!
Olá, estudante! A integral de convolução é uma operação matemática que descreve como a saída de um
sistema linear depende de suas entradas. Ela representa a superposição das respostas individuais a impulsos
unitários deslocados no tempo, facilitando a análise de sistemas contínuos. A convolução é uma ferramenta
muito utilizada para prever o comportamento de um sistema baseado em sua função de resposta ao impulso,
o que é particularmente útil em sistemas invariantes no tempo. Entre suas principais propriedades estão a
comutatividade, associatividade e distributividade.
Na resolução de equações diferenciais, é comum encontrarmos expressões de que não correspondem à
transformada de nenhuma função conhecida, mas podem ser representadas como o produto de duas
funções de , cujas inversas são conhecidas. Desse modo, pode ser expressa conforme a equação (1)
(Çengel; Palm III, 2014):
(1)
onde e são as transformadas das funções e .
Y (s)
s Y (s)
Y (s) = F(s)G(s)
F(s) G(s) f(t)  g(t)
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Nesses casos a transformada inversa de é possível de ser determinada com base no teorema da
convolução. Assim, a transformada inversa de Laplace de um produto de duas funções e pode ser
determinada através da equação (2):
(2)
onde, é uma variável muda (variável que pode ser substituída por outra letra sem que seja mudada a lógica
da proposição). A integral da equação (2) é chamada de convolução de e . A integral de convolução
também é denotada simbolicamente por (Çengel; Palm III, 2014).
A integral de convolução apresenta algumas propriedades importantes, como a propriedade comutativa,
distributiva, associativa e de deslocamento. Vamos ver cada uma delas?
A operação de convolução é comutativa, ou seja, vale a equação (3) (Lathi, 2006):
(3)
A propriedade distributiva é observada na equação (4) e a associativa na equação (5) (Lathi, 2006):
(4)
(5)
A equação (6) apresenta a propriedade de deslocamento, se:
(6)
Então, podemos escrever a equação (7):
(7)
E, a equação (8):
(8)
A resposta ao impulso unitário é a reação de um sistema a uma entrada que consiste em um impulso em um
instante específico. Essa resposta caracteriza o comportamento de um sistema linear e invariante no tempo
(LTI). Ela funciona como um "resumo" de como o sistema responderá a qualquer outro sinal, devido à
propriedade de convolução.
A convolução de uma função com o impulso unitário resulta na própria função Pela definição da
convolução, temos a equação (9):
(9)
Como é um impulso localizado em , de acordo com a propriedade de amostragem do
impulso [Eq. (1.24)], a integral da Eq. 9 é o valor de x(τ) para τ= t, ou seja, x(t). Portanto, resulta a equação (10):
(10)
Y (s)
F(s) G(s)
L−1{F(s)G(s)} =
t
∫
0
f(t − τ)g(τ)dτ =
t
∫
0
f(τ)g(t − τ)dτ
τ  
f(t) g(t)
f(t)*g(t)
f(t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f(t)
f(t) ∗ [g(t) + h(t)] = f(t) ∗ g(t) + f(t) ∗ h(t)
f(t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] = [g(t) ∗ f(t)] ∗ h(t)
f(t) ∗ g(t) = c(t)
f(t) ∗ g(t − T ) = f(t − T ) ∗ g(t) = c(t − T )
f(t − T1) ∗ g(t − T2) = c(t − T1 − T2)
x(t) x(t).
x(t) ∗ δ(t) =
∞
∫
−∞
x(τ)δ(t − τ)dτ
 δ(t – T )  τ =  t
x(t) ∗ δ(t) = x(t)
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Um sistema estável produz uma saída limitada quando recebe uma entrada limitada. Para determinar se um
sistema é estável, podemos analisar sua resposta ao impulso. A convolução entre dois sinais converge quando
ambos são limitados, e pelo menos um deles é absolutamente integrável. A resposta de um sistema para
é dada pela equação (11):
(11)
Assim, se é limitado, afirmamos que é limitada quando é absolutamente integrável. Desse
modo, temos a equação (12):
(12)
Um sistema é considerado estável pelo critério BIBO (bounded-input/bounded-output) quando sua resposta
ao impulso é absolutamente integrável.
SIGA EM FRENTE – ESTABILIDADE
A estabilidade BIBO é um critério usado para avaliar a estabilidade de sistemas dinâmicos, principalmente em
teoria de controle e processamento de sinais. De acordo com esse critério, um sistema é estável se, para
qualquer entrada limitada (bounded input), a saída também for limitada (bounded output). Em outras
palavras, um sistema estável não produzirá saídas infinitas ou descontroladasde saída em uma dada frequência e a tensão de saída na banda média,
equação (5):
(5)
A atenuação geralmente é expressa em decibéis através da equação (6):
(6)
A atenuação em decibel sempre é um número positivo, devido ao sinal negativo apresentado na equação (6).
Na análise e no projeto de filtros, o filtro passa-baixas serve como uma configuração básica e versátil que
pode ser ajustada para obter outras topologias de filtro. De modo geral, problemas de filtro são inicialmente
convertidos em problemas de filtro passa-baixas equivalentes e em seguida, ajustados para o tipo de filtro
Atenuação = vout
vout(médio)
Atenuação em dB = −20 log atenuação
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desejado. Essa abordagem facilita o desenvolvimento de diferentes tipos de filtro a partir de uma estrutura
base.
A ordem de um filtro, representada pelo símbolo , é uma medida de sua complexidade. Nos filtros passivos,
a ordem corresponde ao número de componentes indutivos (indutores) e capacitivos (capacitores) presentes
no circuito (Malvino; Bates, 2016). Por exemplo, um filtro passivo com três indutores e dois capacitores terá
ordem , enquanto um filtro com seis indutores e seis capacitores terá ordem . Em resumo,
quanto maior a ordem, maior a complexidade do filtro e sua capacidade de moldar a resposta em frequência.
Para filtros ativos, a ordem é determinada pelo número de circuitos (conhecidos como polos) que o filtro
contém. Contudo, contar manualmente esses polos pode ser desafiador, especialmente em circuitos
complexos. Por isso, uma aproximação útil para filtros ativos é considerar que a ordem é aproximadamente
igual ao número de capacitores presentes. Assim, um filtro ativo com dez capacitores terá aproximadamente
ordem . Vale lembrar que essa fórmula é uma diretriz prática e pode haver exceções, pois o número
de capacitores nem sempre corresponde exatamente ao número de polos. No entanto, a aproximação de que
a ordem é aproximadamente igual ao número de capacitores oferece uma maneira rápida e eficiente de
estimar a ordem ou o número de polos em um filtro ativo na maioria dos casos.
Ao projetar um filtro, é necessário definir como o módulo de sua função de transferência varia com a
frequência. Após essa etapa inicial, avalia-se se o impacto causado pela variação da fase em função da
frequência é aceitável. Em outras palavras, o filtro deve ser considerado principalmente como um dispositivo
com um ganho dependente da frequência, que atenua ou amplifica o sinal de entrada de modo a produzir a
saída desejada.
Os filtros passivos práticos são circuitos elétricos que utilizam componentes passivos, como resistores (R),
capacitores (C) e indutores (L), para manipular as frequências de um sinal. Diferentemente dos filtros ativos,
eles não requerem fontes de alimentação adicionais nem componentes amplificadores (como transistores ou
amplificadores operacionais). Esses filtros são muito utilizados em sistemas de áudio, rádio, comunicação e
eletrônica em geral, pois permitem reduzir ruídos e ajustar a resposta em frequência de sinais.
Os filtros passivos são formados pela combinação de resistores, capacitores e indutores. A configuração
desses componentes define a frequência de corte e a seletividade do filtro:
Filtros RC: utilizados principalmente para frequências baixas, em que capacitores permitem ou bloqueiam
a passagem do sinal, dependendo da frequência.
Filtros RL: utilizados para frequências mais altas, em que indutores reagem a frequências diferentes para
permitir ou bloquear sinais.
Filtros RLC: são mais complexos, capazes de criar respostas de passa-faixa e rejeita-faixa.
A resposta em frequência dos filtros passivos práticos não é ideal, pois a transição entre as frequências
atenuadas e as permitidas não é abrupta. Essa característica gera uma faixa de transição ao redor da
frequência de corte, conhecida como roll-off. A taxa de atenuação nessa faixa é geralmente de 20 dB/dec
(decibéis (dB) por década de frequência) para filtros de primeira ordem e 40 dB/dec para filtros de segunda
ordem, dependendo do número de componentes no circuito (Malvino; Bates, 2016).
n
n = 5 n = 12
RC
n = 10
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SIGA EM FRENTE – DIAGRAMA DE BODE
O gráfico logarítmico da magnitude da resposta em frequência é uma ferramenta essencial no estudo de
sinais e sistemas, especialmente na análise e no projeto de sistemas lineares invariantes no tempo (LIT). Esse
tipo de gráfico é amplamente utilizado para representar como a magnitude da resposta de um sistema varia
em função da frequência, facilitando a visualização da amplificação ou atenuação de componentes de
diferentes frequências, que o sistema exerce sobre um sinal de entrada.
Em vez de usar uma escala linear, o gráfico logarítmico da magnitude emprega uma escala em decibéis (dB)
para a magnitude e uma escala logarítmica para a frequência. Essa escolha de escalas oferece várias
vantagens. Primeiro, ela permite representar uma ampla faixa de frequências e magnitudes em um gráfico
compacto, o que é útil para sistemas com respostas que cobrem ordens elevadas de grandeza. A escala
logarítmica também possibilita uma análise mais intuitiva dos fenômenos de ganho e atenuação, já que uma
multiplicação na magnitude é representada como uma adição na escala dB. Isso ajuda a destacar a resposta
de diferentes componentes do sistema em frequências específicas, facilitando a identificação de
comportamentos típicos como passa-baixas, passa-altas, rejeita-faixa e passa-faixas.
Os gráficos logarítmicos da magnitude são também conhecidos como diagramas de Bode, sendo uma das
representações mais utilizadas em sinais e sistemas. Um diagrama de Bode típico inclui dois gráficos: um para
a magnitude e outro para a fase. No gráfico de magnitude, a amplitude da resposta em frequência é expressa
em decibéis e traçada em função da frequência em hertz (Hz) ou radianos por segundo (rad/s) na escala
logarítmica. Essa abordagem permite que engenheiros e projetistas observem as mudanças na resposta em
frequência de forma assintótica, ou seja, a magnitude pode ser representada por linhas retas em
determinadas faixas de frequência, uma técnica que facilita o esboço do gráfico, mesmo para sistemas de
ordem elevada.
Ao observar o gráfico logarítmico da magnitude, é possível identificar frequências de corte, em que a resposta
do sistema começa a decair (ou a crescer) significativamente. Esses pontos são essenciais para determinar as
características do sistema e como ele filtra sinais de entrada. Por exemplo, um filtro passa-baixas terá uma
magnitude alta nas frequências baixas e decrescerá à medida que a frequência aumenta, enquanto um filtro
passa-altas fará o oposto. Esse tipo de representação ajuda a projetar e ajustar sistemas que atendam a
requisitos específicos de resposta em frequência, como amplificação de certas faixas ou supressão de ruído.
Além disso, o comportamento da magnitude em frequências extremas pode fornecer informações sobre a
estabilidade e o comportamento de longo prazo do sistema. A inclinação da curva em dB por década de
frequência é um indicador da ordem do sistema e das características de seus polos e zeros. Esse
comportamento permite ao projetista entender rapidamente a resposta do sistema, fazer ajustes finos e
prever como o sistema se comportará ao receber sinais de diferentes frequências.
A criação dos gráficos de resposta (| e em função de ) é facilitada com o uso de escalas
logarítmicas. Como já vimos, os gráficos de amplitude e fase em relação a são conhecidos como diagramas
deBode, que permitem uma representação assintótica das respostas de amplitude e fase. Esse formato
possibilita esboçar os gráficos de forma ágil e precisa, mesmo para funções de transferência de ordens
elevadas. Assim, o Diagrama de Bode oferece uma visão específica da magnitude e da fase da resposta em
frequência de um sistema, utilizando escalas logarítmicas tanto para a frequência quanto para a magnitude.
H(jω)| ∠H(jω) ω
ω
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Isso simplifica a análise de sistemas de controle e circuitos eletrônicos, tornando o gráfico logarítmico da
magnitude uma parte essencial do Diagrama de Bode (Geromel, 2019). A Figura 6 apresenta duas
representações gráficas de .
Figura 6 | Duas representações gráficas de 
Fonte: Geromel (2019, p. 206).
A Figura 6 apresenta duas representações gráficas de para frequências que estão no intervalo
[rad/s]. Observe que no lado esquerdo, tanto o módulo quanto a fase de são expressos
em função de [rad/s] em escala linear. Já no lado direito, tem-se os diagramas de Bode de
módulo e de fase, porém, na escala logarítmica (base dez) para toda [rad/s]. Note que os
gráficos são visualmente diferentes, porém, é importante ficar claro que as duas representações nos passam
as mesmas informações (Geromel, 2019).
Para construir um diagrama de Bode, ou seja, os gráficos de magnitude e fase de uma função de
transferência, devemos seguir alguns passos. Primeiro, devemos obter a função de transferência no formato:
, onde ,e, na sequência, converter em . O segundo passo é decompor a
função de transferência em termos de componentes básicos, como: ganho constante, polos e zeros na
origem, termos de primeira ordem e termos de segunda ordem. O terceiro passo é estabelecer o eixo de
frequência, onde no eixo horizontal, usamos uma escala logarítmica de frequência, por exemplo, de a
rad/s ou Hz. O quarto passo é calcular o ganho (magnitude) em dB em função de . Para o ganho
constante , temos que a contribuição para o ganho é de dB, constante para todas as frequências.
Já para polos e zeros na origem, cada polo diminui a inclinação em e cada zero aumenta a
inclinação em . Para frequências abaixo da frequência de corte, o ganho é aproximadamente
constante, e após a frequência de corte a inclinação é de (dependendo se é polo ou zero).
Considerando os termos de segunda ordem, a magnitude varia dependendo do fator de amortecimento e da
F(ω)
F(ω)
F(ω)
|ω|  ∈  [0, 100] F(ω)
ω  ∈  [−100, 100]
ω  ∈  [0.01, 100]
H(s) =
N(s)
D(s) s = jω H(s) H(jω)
10−2
102 ω
K 20log|K|
−20dB/dec
+20dB/dec
±20 dB/dec
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frequência natural. É necessário somar as contribuições de cada componente em cada faixa de frequência
para calcular a magnitude total em dB. O quinto passo é calcular para cada componente, a contribuição para a
fase, em função da frequência, do seguinte modo:
Ganho constante (k): a fase é 0º se K for positivo e 180º se K for negativo.
Polos/Zeros na Origem: cada polo contribui com -90º e cada zero com +90º.
Termos de Primeira Ordem: a fase varia de 0º a ±90º (dependendo se é polo ou zero) ao cruzar a
frequência de corte.
Termos de Segunda Ordem: a fase muda de 0º a ±180º, variando com o amortecimento.
Some as contribuições de cada componente para encontrar a fase total em cada ponto de frequência.
O sexto passo é desenhar o gráfico da magnitude com escala logarítmica no eixo de frequência (eixo x) e uma
escala linear em dB no eixo da magnitude (eixo y), plotando a magnitude total em função da frequência e
traçando as linhas de inclinação com as mudanças na magnitude, marcando frequências de corte e mudanças
nas inclinações conforme necessário. O sétimo e último passo é desenhar o gráfico da fase, com a mesma
escala logarítmica de frequência no eixo x e o eixo da fase (em graus) no eixo y, plotando a fase total e
marcando as mudanças nas contribuições de fase nas frequências características.
Este processo gera um diagrama de Bode completo, que mostra a resposta em frequência do sistema em
termos de magnitude e fase.
VAMOS EXERCITAR? – PROJETO DE CONTROLE COM FILTROS PASSIVOS PARA SISTEMAS DE ÁUDIO
Como podemos perceber nesse estudo, os filtros Ideais são teóricos e têm respostas em frequência exatas,
separando completamente sinais desejados de indesejados. Por outro lado, os filtros passivos práticos
utilizam componentes como resistores, capacitores e indutores, oferecendo uma aproximação do
comportamento ideal. Para analisar a eficácia desses filtros, utiliza-se o gráfico logarítmico da magnitude da
resposta em frequência, que mostra como a magnitude do sinal varia com a frequência. O Diagrama de Bode
vai um passo além, representando tanto a magnitude quanto a fase da resposta em frequência, usando
escalas logarítmicas. Essa combinação de ferramentas é importante para projetar e entender sistemas de
controle e circuitos eletrônicos.
A empresa que Gigio está estagiando, especializada em consultoria e desenvolvimento de projetos de
controle, foi contratada para resolver problemas de ruído em um sistema de áudio de alta precisão. O sistema
deve operar com precisão para preservar a qualidade dos sinais de áudio em uma faixa específica, removendo
ruídos de alta e baixa frequência fora da faixa de interesse. O cliente busca uma solução que minimize a
distorção e mantenha o sinal original o mais intacto possível, como é comum em sistemas de áudio e
comunicação. O sistema precisa filtrar frequências indesejadas sem comprometer a qualidade das
frequências úteis. O cliente espera uma solução prática e eficaz.
Assim, a tarefa de Gigio é escolher e projetar filtros que eliminem ruídos indesejados, preservando a faixa de
frequências relevante para manter a qualidade do sinal.
Para abordar o problema, Gigio primeiro avalia as propriedades dos filtros ideais, que, teoricamente, eliminam
as frequências indesejadas com perfeição, isolando apenas a faixa útil. Entretanto, ele conclui que esses
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filtros, apesar de teoricamente perfeitos, não poderiam ser aplicados na prática. Filtros ideais exigem
componentes com características impossíveis de se realizar fisicamente, como transições de frequência
abruptas ou capacitores de tamanho impraticável. Essa limitação leva Gigio a optar pelos filtros passivos
práticos, como os circuitos RC (Resistor-Capacitor) e RL (Resistor-Indutor), que são eficazes para uma filtragem
satisfatória, embora apresentem uma transição mais gradual entre as faixas de passagem e rejeição.
A primeira etapa prática de Gigio consiste em realizar uma análise por Transformada de Fourier Contínua no
Tempo para entender as componentes de frequência do sinal de áudio. Com a análise de Fourier, Gigio
identifica as frequências fora da faixa do áudio, que devem ser atenuadas, e as frequências relevantes, que
precisam ser preservadas. Em seguida, ele define que o filtro passa-baixa elimina frequências de ruído
superiores ao limite do áudio e que um filtro passa-alta remove ruídos indesejados abaixo do intervalo da
faixa.
Para garantir que a resposta em frequência dos filtros seja adequada, Gigio recorre ao Diagrama de Bode,
uma ferramenta que facilita a análise da magnitude e da fase da resposta de um sistema em diferentes
frequências. No Diagrama de Bode, ele observa como o ganho varia com a frequência e ajusta os
componentes do filtro paraque as frequências de corte sejam adequadas às especificações de áudio.
Após essa análise e ajuste dos componentes para obter a resposta ideal, Gigio monta o circuito filtrado e o
integra ao sistema de áudio. Desse modo, Gigio alcança o seu objetivo: reduzir o ruído sem prejudicar a
clareza e fidelidade das frequências essenciais.
O supervisor de Gigio agradece por mais essa tarefa concluída com sucesso e o parabeniza pelo excelente
trabalho realizado.
 Saiba mais
Olá, estudante!
Vamos aprender um pouco mais sobre os filtros passivos? O trabalho de conclusão do curso (TCC): Filtros
passivos aplicados a inversores monofásicos conectados à rede elétrica é um bom começo!
Este TCC apresenta o estudo de uma topologia de um micro inversor fotovoltaico de dois estágios onde a
parte inversora é derivada do conversor Dual Buck para permitir analisar e comparar diferentes
topologias de filtros passivos de interface entre o inversor e a rede elétrica. 
Vamos realizar esta importante leitura!
Então, mãos à obra!
Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/197977
Acesso em: 8 nov. 2024.
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PONTO DE CHEGADA – ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
Olá, estudante!
A estabilidade e a resposta ao impulso unitário são essenciais para compreender o comportamento dos
sistemas, permitindo avaliar sua reação a diferentes entradas. As séries e Transformadas de Fourier auxiliam
na decomposição dos sinais, possibilitando uma análise detalhada em frequência. Nesta aula, exploraremos
ainda os filtros ideais e passivos práticos, além do gráfico logarítmico da magnitude da resposta em
frequência e o diagrama de Bode, que oferecem uma visão clara do desempenho do sistema.
Convidamos você a assistir a esta aula de encerramento para aprofundar seus conhecimentos sobre a análise
em frequência de um sinal ou sistema de tempo contínuo e para compreender de que modo os conteúdos
das aulas contribuíram para desenvolver a competência da unidade, bem como as aplicações práticas
resultantes.
Vamos lá!
Bons estudos!
Olá, estudante!
Durante as aulas, você estudou a integral de convolução. Você também viu a estabilidade e a resposta ao
impulso unitário e teve uma visão intuitiva sobre o comportamento de sistemas. Além disso, aprendeu sobre
as séries de Fourier e Transformadas de Fourier. Por fim, conheceu os filtros: ideais e passivos práticos, além
da importância do gráfico logarítmico da magnitude da resposta em frequência e do diagrama de Bode. Esses
conhecimentos são necessários para desenvolver a competência desta Unidade, que envolve compreender
integralmente a convolução e suas propriedades, além de dominar os conceitos e os cálculos envolvendo as
Séries e a Transformada de Fourier, suas propriedades e sua convergência para sinais e sistemas de tempo
contínuo.
Para entender a dinâmica e o comportamento de sistemas, especialmente em controle e processamento de
sinais, é importante compreender a estabilidade e a resposta ao impulso unitário. A estabilidade é a
propriedade de um sistema de retornar a um estado de equilíbrio após uma perturbação, o que é essencial
para que ele funcione de forma confiável. A resposta ao impulso unitário, por sua vez, permite caracterizar
como o sistema reage a uma entrada repentina e é usada para determinar propriedades como estabilidade e
tempo de resposta.
Aula 5
ENCERRAMENTO DA UNIDADE
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A análise de comportamento de sistemas em resposta a diferentes sinais de entrada é frequentemente
facilitada pela decomposição de sinais complexos em somas de componentes senoidais, que é possível por
meio da série de Fourier. A série de Fourier permite expressar sinais periódicos como uma soma de senoides,
cada qual representada por uma frequência específica, amplitude e fase. Para sinais não periódicos, a
Transformada de Fourier possibilita a representação do sinal em termos de suas frequências. Ambas as
técnicas são importantes para estudar a resposta em frequência de sistemas e são amplamente utilizadas em
controle, comunicação e processamento de sinais.
A utilização dos filtros é outra técnica importante e muito utilizada, pois permite a manipulação de sinais para
melhorar o desempenho do sistema em relação à estabilidade e ao comportamento desejado. Filtros ideais
podem selecionar ou rejeitar faixas específicas de frequência com precisão perfeita, porém esses filtros são
teóricos e não é possível de serem implementados exatamente na prática. Desse modo, são utilizados os
filtros passivos que são formados por elementos como resistores, capacitores e indutores. Esses tipos de filtro
não atingem a perfeição dos filtros ideais, sendo projetados para se aproximarem das características
desejadas.
A análise de como um sistema responde a diferentes frequências é visualizada no gráfico logarítmico da
magnitude da resposta em frequência. Este gráfico, conhecido como diagrama de Bode, é muito utilizado para
representar a resposta em frequência de sistemas. O diagrama de Bode fornece uma visão clara da
magnitude e da fase da resposta de um sistema em função da frequência, ajudando na identificação de
bandas de passagem e de rejeição do sistema, além de sua estabilidade. Esses diagramas são ferramentas
muito utilizadas para avaliar o desempenho de filtros e sistemas, ajustando os parâmetros de acordo com o
necessário para otimizar a resposta de um sistema em frequências específicas, garantindo a sua operação de
modo estável e eficiente em sua faixa de aplicação.
Os assuntos que foram abordados nesta unidade são amplamente aplicáveis em várias áreas da engenharia e
tecnologia, especialmente para profissionais que sigam carreiras em processamento de sinais, eletrônica,
controle de sistemas e telecomunicações. Vejamos onde alguns conteúdos são utilizados na prática!
A integral de convolução é uma técnica muito utilizada em engenharia elétrica, principalmente no
processamento de sinais, para entender como sistemas e filtros respondem a diferentes entradas. Na prática,
a convolução ajuda na análise e no projeto de sistemas de áudio, processamento de imagem e redes de
comunicação, na qual a resposta do sistema deve ser previsível e precisa.
A estabilidade é uma preocupação central no controle de sistemas e no projeto de circuitos. Em áreas como
robótica e automação a estabilidade e a resposta ao impulso ajudam a garantir que sistemas de controle
respondam de maneira previsível e segura a entradas ou perturbações, evitando falhas que poderiam
comprometer operações industriais.
A análise de Fourier é utilizada para decompor sinais complexos em frequências fundamentais, facilitando o
entendimento e a manipulação de sinais em telecomunicações, processamento de imagens e diagnóstico
médico por imagem (como em ressonâncias magnéticas). Engenheiros de redes e de telecomunicações
também utilizam a Transformada de Fourier para lidar com modulação e demodulação de sinais, compressão
e análise de espectro.
A prática com filtros e a análise da resposta em frequência, como mostrado pelo Diagrama de Bode, são
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fundamentais para projetar sistemas eletrônicos e de comunicação que precisam separar frequências úteis de
ruído indesejado. Isso é essencial em circuitos de rádio, áudio e controle de ruído em diversosequipamentos
eletrônicos.
É HORA DE PRATICAR – ANÁLISE E CORREÇÃO DE INSTABILIDADE EM SISTEMAS DE CONTROLE
Você é um engenheiro recém-especializado na área de análise de controle e automação, e acaba de ser
contratado pela Tecno Soluções, uma empresa que está expandindo sua área de atuação, desenvolvendo
soluções de controle e automação para grandes indústrias.
No seu primeiro dia de trabalho, você foi apresentado à equipe, que enfrenta um grande desafio: analisar e
corrigir instabilidades em uma linha de produção automatizada, em que o controlador atual tem apresentado
oscilação e lentidão ao responder a mudanças na carga de trabalho. O sistema precisa de uma resposta mais
estável e rápida, principalmente em situações de alta demanda.
Sob a supervisão de Gilberto, gerente da área de engenharia, a equipe levanta as seguintes questões para
resolver o problema:
1. Com base na resposta ao impulso unitário, o que deve ser observado para decidir se o sistema atual é
estável?
2. Como a série de Fourier e a Transformada de Fourier devem ser utilizadas para identificar frequências
críticas que possam estar causando instabilidade no sistema?
3. Que tipo de filtro deve ser recomendado para reduzir as oscilações de alta frequência, e qual seria seu
efeito esperado sobre o sistema?
4. Ao analisar o diagrama de Bode, quais aspectos específicos da magnitude e da fase devem ser
observados para confirmar que o sistema se estabilizou?
Para responder a estas questões, após um brainstorming coordenado por você, a equipe chega às seguintes
respostas:
1. Ao observar a resposta ao impulso unitário, deve ser verificado se o sistema apresenta oscilações
persistentes ou se ele se estabiliza em um valor constante após um tempo curto. Se o sistema retornar
ao equilíbrio rapidamente sem oscilações excessivas, ele é considerado estável.
2. A série e a Transformada de Fourier decompõem o sinal original em frequências componentes. Estas
ferramentas devem ser utilizadas para identificar picos de amplitude em frequências específicas que
estão associadas a oscilações indesejadas. Esses picos revelam as frequências críticas que precisam ser
atenuadas para garantir a estabilidade.
3. Para reduzir oscilações em alta frequência, um filtro passa-baixa seria uma boa escolha, pois ele atenua
as frequências acima de um determinado limite, preservando as frequências mais baixas e estáveis. O
filtro deve reduzir o impacto de ruídos e vibrações indesejadas sem afetar o sinal principal do sistema.
4. Ao analisar o diagrama de Bode, deve ser observada a magnitude para confirmar que as frequências
críticas estão sendo atenuadas e deve ser verificada a fase para garantir que não haja distorções
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significativas na resposta. A estabilidade e a precisão do sistema podem ser confirmadas se a magnitude
das frequências problemáticas foi reduzida e a fase se mantém estável dentro da faixa desejada.
Essas respostas permitem que a equipe da Tecno Soluções tenha um norteamento adequado para as ações
necessárias ao atendimento das demandas do cliente, respeitando o prazo e garantindo a eficiência na
correção de instabilidades em uma linha de produção automatizada.
O gerente analisou o caminho proposto e ficou muito satisfeito com o modo em que o problema foi acessado,
utilizando uma abordagem objetiva e eficaz. Seus colegas gostaram da forma como você coordenou o
brainstorming, ressaltando a sua competência técnica e capacidade de liderança. Em função do excelente
trabalho realizado, Gilberto está considerando um projeto de maior vulto para você coordenar, no âmbito do
seu desenvolvimento pessoal.
DÊ O PLAY!
Olá, estudante!
No podcast desta unidade, você complementará o seu conhecimento sobre a importância da estabilidade em
sistemas de controle e o uso de filtros para melhorar a qualidade de sinais. Exploraremos como identificar
frequências indesejadas com a Transformada de Fourier, as boas práticas para escolher filtros adequados, e
como o diagrama de Bode ajuda a ajustar e garantir o comportamento estável dos sistemas. Esses
conhecimentos são necessários para entender e otimizar o funcionamento de sistemas elétricos e eletrônicos
que estão ao nosso redor.
Convidamos você a ouvir o nosso podcast para aprofundar seus conhecimentos e aplicar o que foi adquirido
neste episódio da sua vida profissional e acadêmica. 
ASSIMILE
Olá, estudante! Nesta unidade, você viu a integral de convolução, além de conceitos fundamentais para avaliar
a estabilidade e a resposta ao impulso unitário, desenvolvendo uma compreensão intuitiva do
comportamento dos sistemas. Também aprendeu sobre séries de Fourier e Transformadas de Fourier. Por
fim, conheceu os tipos de filtro: ideais e passivos práticos e a importância do gráfico logarítmico de magnitude
na resposta em frequência, juntamente com o diagrama de Bode.
Esse mapa mental resume cada tópico em seus aspectos essenciais e se foca em palavras-chave e conceitos
para facilitar a conexão entre eles. É uma estrutura que ajuda na revisão rápida e na compreensão de como
cada tema se relaciona no contexto de análise de sinais e sistemas.
Utilize este mapa mental para revisar e aprofundar seu conhecimento!
Bons estudos!
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
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Fonte: elaborada pela autora.
Aula 1
ÇENGEL, Y. A.; PALM III, W. J. Equações diferenciais. Porto Alegre: AMGH, 2014. p. 472.  Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788580553499/. Acesso em: 17 out. 2024.
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. p.162.  Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577803910/. Acesso em: 17 out. 2024.
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 4. ed. Prentice-Hall, 2004.
ROBERTS, M. J. Fundamentos de sinais e sistemas. Porto Alegre: AMGH, 2009. p. 180. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788563308573/. Acesso em: 17 out. 2024.
Aula 2
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. p.162.  Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577803910/. Acesso em: 22 out. 2024.
Aula 3
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. p. 617. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577803910/. Acesso em: 29 out. 2024.
ROBERTS, M. J. Fundamentos de sinais e sistemas. Porto Alegre: AMGH, 2009. p. 727. Disponível em:
REFERÊNCIAS
28/01/2026, 17:10 wlldd_u2_ana_pro_sin
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=eder.tecnologias%40gmail.com&usuarioNome=EDER+CARLOS+FERNANDES&disciplinaDescricao=&atividadeId=4866901&atividadeDes… 39/40
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788580553499/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577803910/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788563308573/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577803910/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577803910/
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788563308573/. Acesso em: 29 out. 2024.
Aula 4
GEROMEL, J. C. Análise linear de sinais. São Paulo: Editora Blucher, 2019. p. 206. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521215783/. Acesso em: 8 nov. 2024.
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. p. 403. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577803910/.Acesso em: 4 nov. 2024.
MALVINO, A. P.; BATES, D. J. Eletrônica. v. 2. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2016. p. 790. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788580555936/. Acesso em: 3 nov. 2024.
Aula 5
GEROMEL, J. C. Análise linear de sinais. São Paulo: Editora Blucher, 2019. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521215783/. Acesso em: 12 nov. 2024.
LATHI, B P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577803910/. Acesso em: 12 nov. 2024.
MALVINO, A. P.; BATES, D. J. Eletrônica. v. 2. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2016. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788580555936/. Acesso em: 12 nov. 2024.
ROBERTS, M. J. Fundamentos de sinais e sistemas. Porto Alegre: AMGH, 2009. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788563308573/. Acesso em: 12 nov. 2024.
28/01/2026, 17:10 wlldd_u2_ana_pro_sin
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788580555936/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521215783/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788577803910/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788580555936/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788563308573/quando as entradas forem
finitas.
Vamos pensar um pouco? Será que qualquer sistema real considerado instável segundo o critério BIBO é de
fato instável? Tecnicamente, nenhum sistema real gera uma resposta ilimitada, o que implica que todos os
sistemas reais são estáveis. No entanto, a instabilidade prática de um sistema, segundo o critério BIBO, refere-
se a um modelo aproximado por equações lineares que geraria uma resposta ilimitada para uma entrada
limitada, caso o sistema permanecesse linear. Na realidade, qualquer sistema se torna não linear quando sua
resposta atinge uma magnitude suficientemente elevada, o que impede a produção de uma resposta
verdadeiramente ilimitada. Por exemplo, uma arma nuclear é BIBO instável em termos práticos, mas BIBO
estável no sentido estrito, já que a energia liberada, embora imensa, não é infinita em comparação com
outros sistemas artificiais criados pelo homem (Roberts, 2009).
O tipo de sistema mais comum analisado em sinais e sistemas é aquele em que a relação entre entrada e
saída é descrita por uma equação diferencial ordinária linear com coeficientes constantes. A autofunção para
esse tipo de equação diferencial é uma exponencial complexa, o que significa que a solução homogênea se
expressa como uma combinação linear de exponenciais complexas.
O comportamento de cada exponencial complexa é definido pelos autovalores associados. A forma de cada
uma é dada pela equação (13):
(13)
Onde é o autovalor e dado pela equação (14):
(14)
y(t)
 x(t)
y(t) = x(t) ∗ h(t)
x(t) y(t)  h(t) 
∞
∫
−∞
|h(t)|dt
est = eσtejωt
 s
s = σ + jω
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Onde σ é a parte real e ω é a parte imaginária.
A magnitude do fator é sempre unitária para qualquer valor de . Já o fator diminui com o tempo
quando é negativo e aumenta quando σ é positivo. Se , é apenas uma constante unitária.
Se a exponencial cresce ao longo do tempo, o sistema é instável, pois a resposta não pode ser limitada. Se
, é possível definir uma entrada limitada que faça a saída crescer indefinidamente. Um sinal de entrada
com a mesma forma funcional da solução homogênea da equação diferencial (limitada quando a parte real do
autovalor é zero) também produzirá uma resposta ilimitada. Portanto, para um sistema contínuo no tempo, se
a parte real de qualquer autovalor for maior ou igual a zero, o sistema é considerado instável segundo o
critério BIBO (Roberts, 2009).
A relação entre a estabilidade BIBO e a resposta ao impulso unitário é direta. A resposta ao impulso é a saída
de um sistema quando a entrada é um impulso unitário (delta de Dirac). Para que o sistema seja estável
segundo o critério BIBO, a integral da resposta ao impulso deve ser absolutamente integrável, ou seja, a soma
total (ou integral) dos valores absolutos da resposta ao impulso precisa ser finita.
A estabilidade interna também é conhecida como estabilidade assintótica ou estabilidade no sentido de
Lyapunov. Um sistema Linear Contínuo Invariante no Tempo (LCIT) é assintoticamente estável se, e somente
se, todas as suas raízes características estiverem no semiplano esquerdo (SPE) do plano complexo. Essas
raízes podem ser tanto simples (não repetidas) quanto repetidas. Um sistema LCIT é instável se, e somente se,
ocorrer uma das seguintes condições:
Pelo menos uma raiz estiver no semiplano direito (SPD).
Houver raízes repetidas no eixo imaginário.
Por outro lado, um sistema LCIT é marginalmente estável se não houver raízes no SPD e existirem algumas
raízes não repetidas no eixo imaginário. A Figura 1 apresenta a posição das raízes no plano complexo e os
modos correspondentes.
Figura 1 | Localização das raízes características e dos modos característicos correspondentes
ejωt t eσt
σ σ = 0 est
σ = 0
28/01/2026, 17:10 wlldd_u2_ana_pro_sin
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Fonte: Lathi (2006, p. 195).
A Figura 2 apresenta as regiões de estabilidade no plano complexo.
Figura 2 | Localização das raízes características e estabilidade do sistema 
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Fonte: Lathi (2006, p. 196).
A estabilidade externa é avaliada aplicando uma entrada externa com condições iniciais nulas, enquanto a
estabilidade interna é determinada por condições iniciais não nulas, sem a aplicação de uma entrada externa.
Por isso, essas estabilidades são chamadas de estabilidade de estado nulo e estabilidade de entrada nula,
respectivamente.
Vale lembrar que a resposta ao impulso de um sistema LCIT, é uma combinação linear dos modos
característicos do sistema. Em um sistema LCIT descrito, pode-se facilmente demonstrar que, quando a raiz
característica está no semiplano esquerdo (SPE), o modo correspondente é absolutamente integrável.
Em contraste, se estiver no semiplano direito (SPD) ou no eixo imaginário, não será absolutamente
integrável.
Isso significa que um sistema assintoticamente estável também é estável segundo o critério BIBO. No entanto,
um sistema marginalmente estável ou assintoticamente instável será BIBO instável. O inverso, porém, não é
necessariamente verdadeiro. Ou seja, a estabilidade BIBO não garante a estabilidade interna do sistema. Por
exemplo, se um sistema for não controlável ou não observável, alguns modos do sistema podem ser invisíveis
ou não controláveis a partir dos terminais externos, o que torna a estabilidade avaliada pela descrição externa
questionável. A estabilidade BIBO (externa) não assegura a estabilidade interna (assintótica).
Uma visão intuitiva sobre o comportamento de sistemas envolve entender como eles reagem a diferentes
estímulos, como sinais de entrada, e como essas reações evoluem ao longo do tempo. Um sistema estável
tende a responder de maneira previsível e controlada, enquanto sistemas instáveis podem ter saídas que
crescem sem controle. A análise por meio de convolução e resposta ao impulso permite visualizar e prever
esse comportamento de forma mais prática e direta.
Uma visão intuitiva do comportamento dos sistemas também envolve a compreensão dos efeitos de suas
propriedades internas, como a linearidade, a invariância no tempo e a presença de modos característicos.
Essas propriedades determinam como o sistema reage a variações de entrada e quais condições podem levar
h(t),
λk eλkt
λk eλkt
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a uma resposta estável ou instável. A presença de autovalores com partes reais negativas sugere que o
sistema dissipará energia ao longo do tempo, enquanto autovalores com partes reais positivas indicam
crescimento exponencial, sinalizando instabilidade. Ao interpretar a evolução dos modos ao longo do tempo,
podemos prever como o sistema vai se comportar frente a diferentes perturbações, ajudando a identificar sua
robustez e limitações.
A intuição sobre o comportamento de sistemas também está ligada à ideia de equilíbrio e perturbações. Um
sistema estável tende a retornar ao seu estado de equilíbrio após uma perturbação, enquanto um sistema
instável se afasta progressivamente desse equilíbrio. Essa noção pode ser visualizada observando a resposta
temporal de um sistema, no qual, em um cenário estável, as oscilações ou os desvios diminuem com o tempo,
retornando a uma condição de repouso ou um comportamento cíclico controlado.Já em sistemas instáveis,
qualquer pequena perturbação pode desencadear uma amplificação progressiva, levando a saídas
imprevisíveis ou caóticas (Ogata, 2004).
Outro aspecto importante é o conceito de tempo de resposta, que reflete o quão rápido um sistema reage a
uma entrada ou a uma mudança nas condições iniciais. Sistemas que respondem rapidamente podem ser
eficientes em algumas aplicações, mas também podem ser mais propensos a oscilações indesejadas ou
instabilidade, dependendo das suas características dinâmicas. A análise dos polos do sistema e suas
implicações no domínio do tempo, como a velocidade de amortecimento e a frequência de oscilação, fornece
uma maneira prática de compreender como o sistema "se comporta" frente a entradas dinâmicas ou
variações em seu ambiente operacional (Ogata, 2004).
Por fim, a combinação dessas análises intuitivas com ferramentas matemáticas como a transformada de
Laplace, permitem não apenas prever o comportamento do sistema, mas também projetar controladores que
garantam estabilidade e desempenho adequados, ajustando as condições para minimizar oscilações ou evitar
respostas descontroladas.
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VAMOS EXERCITAR? – ESTABILIDADE DE UM SISTEMA DE CONTROLE TÉRMICO
Como podemos perceber, a integral de convolução descreve a relação entre entrada e saída de sistemas
lineares. Já a resposta ao impulso unitário é utilizada para determinar a estabilidade de sistemas, com saídas
limitadas indicando estabilidade. Uma visão intuitiva do comportamento de sistemas ajuda a prever reações a
estímulos e avaliar seu desempenho e sua confiabilidade em diferentes condições.
Gigio, ficou muito feliz em saber que o seu esforço no curso fez com que ele fosse um dos poucos
selecionados para atuar em uma das maiores e mais famosas empresas de consultoria e desenvolvimento de
projetos de controle. No primeiro dia de trabalho, Gigio foi encaminhado para a área de climatização que
desenvolve sistemas de aquecimento e refrigeração automáticos para grandes edifícios.
O seu supervisor, lhe explicou que o sistema atual está apresentando comportamento instável em certos
horários do dia, com a temperatura variando de forma abrupta e fora do controle desejado. Assim, a primeira
tarefa de Gigio será explicar para o seu supervisor como utilizar a resposta ao impulso unitário para analisar
a estabilidade do sistema e propor soluções para corrigir o comportamento instável.
Para analisar a estabilidade do sistema usando a resposta ao impulso unitário, é necessário entender como
o sistema reage a uma entrada impulsiva (um impulso unitário). A resposta ao impulso revela a característica
completa de um sistema linear e invariante no tempo. Se a saída do sistema cresce indefinidamente ou oscila
sem se estabilizar, isso indica instabilidade. Para um sistema ser estável, a resposta ao impulso deve decair ao
longo do tempo, tendendo a zero ou se mantendo dentro de limites aceitáveis.
No caso do sistema atual da empresa, a instabilidade observada pode ser ocasionada, devido a uma função
de transferência inadequada, em que os polos do sistema estão localizados no lado direito do plano
complexo, o que contribui para o comportamento instável. A solução seria ajustar a função de transferência
do sistema para mover esses polos para o lado esquerdo do plano complexo, garantindo assim uma resposta
ao impulso que decresça com o tempo.
Além disso, o uso de controladores como PID (Proporcional, Integral, Derivativo) ou filtros de correção pode
ajudar a estabilizar o sistema, suavizando a resposta e eliminando oscilações indesejadas. Outra abordagem
seria ajustar os parâmetros do sistema, como ganhos ou constantes, para otimizar a resposta e garantir que
ela permaneça dentro de limites estáveis, garantindo um comportamento mais controlado e eficiente.
Assim, ao corrigir a função de transferência ou implementar controles adicionais, o sistema terá uma resposta
ao impulso mais adequada, garantindo a estabilidade desejada.
Após as explicações, o supervisor de Gigio agradece e já está pensando em um próximo desafio que poderá
estar confiando ao seu novo estagiário.
 Saiba mais
Olá, estudante!
Vamos aprender um pouco mais sobre Convolução? O artigo: Convolução de Sinais: Definição,
Propriedades e Ferramentas da Revista Ilha Digital, volume 2, 2010 é um bom começo!
Este artigo apresenta a operação de convolução para diferentes representações de sinais ou funções,
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https://ilhadigital.florianopolis.ifsc.edu.br/index.php/ilhadigital/article/view/24
https://ilhadigital.florianopolis.ifsc.edu.br/index.php/ilhadigital/article/view/24
https://ilhadigital.florianopolis.ifsc.edu.br/index.php/ilhadigital/article/view/24
bem como as suas propriedades e o relacionamento com as transformadas de Laplace, de Fourier e Z.
Vamos lá!
Então, mãos à obra! 
PONTO DE PARTIDA
Olá, estudante!
Você já aprendeu sobre a integral de convolução, a estabilidade e a resposta ao impulso unitário e teve uma
visão intuitiva sobre o comportamento de sistemas. Seguiremos em frente e você aprenderá sobre as séries
de Fourier.
Depois de Gigio ter explicado para o seu supervisor como utilizar a resposta ao impulso unitário para
analisar a estabilidade do sistema e propor soluções para corrigir o comportamento instável, o seu supervisor
lhe passou outra missão, muito importante.
A empresa que Gigio está estagiando, especializada em consultoria e desenvolvimento de projetos de
controle, foi contratada por uma indústria automotiva para otimizar o sistema de suspensão ativa de seus
veículos. O desafio é suavizar as oscilações dos chassis, que ocorrem devido a variações na superfície da
estrada, melhorando o conforto e a segurança dos passageiros.
O sistema de suspensão ativa utiliza sensores que capturam as vibrações e os atuadores que ajustam em
tempo real as propriedades da suspensão, baseado nos sinais recebidos. Esses sinais são periódicos, mas
complexos, envolvendo uma mistura de frequências que precisam ser filtradas e analisadas para fornecer um
controle preciso e eficiente.
Desse modo a empresa onde Gigio realiza o estágio decidiu utilizar as Séries de Fourier para decompor os
sinais captados pelos sensores, separando suas componentes de baixa e alta frequência. A série
trigonométrica ajudará a identificar padrões específicos de vibrações que impactam negativamente o
conforto, enquanto a série exponencial auxiliará no cálculo de resposta rápida dos atuadores.
Assim, Gigio deverá explicar ao seu supervisor como é possível aplicar o desenvolvimento da Série de Fourier
e suas propriedades para calcular a resposta ideal do sistema de controle em tempo contínuo, garantindo a
convergência das séries e, consequentemente, a estabilidade e a precisão do sistema de suspensão ativa.
Gigio precisa resolver essa tarefa e, para isso, é necessário se aprofundar nos conhecimentos sobre Séries de
Fourier. Você acompanhará Gigio em mais esta tarefa! Vamos em frente!
Bons estudos e ótimo aprendizado!
Aula 2
SÉRIES DE FOURIER CONTÍNUAS NO TEMPO
Olá, estudante! Você já aprendeu sobre a integral de convolução, a estabilidade e a resposta ao impulso
unitário e teve uma visão intuitiva sobre o comportamento de sistemas. 
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VAMOS COMEÇAR! – INTRODUÇÃO AS SÉRIES DE FOURIER 
Olá, estudante!
As Séries de Fourier,tanto trigonométricas quanto exponenciais, permitem a decomposição de sinais
periódicos em somas de senos e cossenos. O cálculo e a convergência dessas séries são essenciais para
analisar sistemas no tempo contínuo. Suas propriedades são amplamente usadas em telecomunicações,
processamento de sinais, e controle de sistemas dinâmicos, facilitando a manipulação de frequências.
Convidamos você a assistir esta aula para conhecer mais sobre as séries de Fourier.
Vamos lá!
Bons estudos! 
Olá, estudante!
A Série de Fourier é uma ferramenta matemática que permite representar funções periódicas como somas de
senos e cossenos (série trigonométrica) ou exponenciais complexas (série exponencial). Basicamente, a ideia é
decompor um sinal contínuo em componentes mais simples, identificando suas frequências. A série
trigonométrica usa senos e cossenos com diferentes amplitudes e fases, enquanto a versão exponencial faz
isso com funções exponenciais complexas. Ambas permitem uma análise detalhada de sinais periódicos,
sendo amplamente utilizadas em áreas como engenharia, física e processamento de sinais.
Considere um sinal periódico com período que possui a propriedade para todo t, conforme equação
(1):
(1)
O menor valor de que atende à condição de periodicidade da equação (1) é chamado de período de A
equação (1) indica que se estende de até . Além disso, a área sob o sinal periódico é
constante para qualquer intervalo de duração , ou seja, para quaisquer números reais e , conforme a
equação (2):
(2)
Esse resultado decorre do fato de que um sinal periódico repete os mesmos valores em intervalos de .
Portanto, os valores de qualquer segmento com duração se repetem em qualquer outro intervalo de igual
duração. Para simplificar, a área sob em qualquer intervalo de duração será expressa pela equação
(3):
(3)
A Figura 1 apresenta um sinal periódico de período 
x(t) T0
x(t) = x(t + T0)
T0 x(t).
x(t) −∞ ∞ x(t)
T0 a b
a+T0
∫
a
x(t)dt =
b+T0
∫
b
x(t)dt
T0
T0
x(t) T0
∫
T0
x(t)dt
T0
28/01/2026, 17:10 wlldd_u2_ana_pro_sin
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Figura 1 | Sinal periódico de período 
Fonte: Lathi (2006, p. 529).
A frequência de uma senoide ou é chamada de , e o seu período é dado pela equação
(4):
(4)
Essas senoides também podem ser escritas como ou , onde é a frequência em radianos
dada pela equação (5):
(5)
A senoide com frequência é chamada de n-ésima harmônica da senoide de frequência . Agora, vamos
considerar um sinal composto por senos e cossenos de frequência e suas respectivas harmônicas
(incluindo a harmônica zero), com amplitudes arbitrárias, equação (6):
(6)
Onde, é a frequência fundamental.
Uma propriedade muito importante é que , da equação (6), é um sinal periódico com o mesmo período
da frequência fundamental, independentemente dos valores das amplitudes e da fundamental. Desse
modo, temos a equação (7):
(7)
A série infinita do lado direito da equação (6) recebe o nome de série trigonométrica de Fourier de um sinal
periódico . Para calcular os coeficientes da série de Fourier, utilizamos o conjunto de equações (8):
(8)
T0
cos2πf0t sen2πf0t f0
T0 = 1
f0
cosω0t senω0t ω0
ω0 = 2πf0
nf0 f0
x(t) ω0
x(t) = a0 +
∞
∑
n=1
an cosω0t+bnsenω0t
ω0
x(t)
an bn
T0 = 1
f0
= 2π
ω0
x(t)
a0 = 1
T0
∫
T0
f(t)dt a0 = C0 = D0
an = 2
T0
∫
T0
f(t) cosnω0tdt an − jbn = Cne
jθn = 2Dn
bn = 2
T0
∫
T0
f(t)sennω0tdt an + jbn = Cne
−jθn = 2D−n
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Onde representa a integração em um intervalo contínuo de segundos. Quando é uma função
real, os coeficientes e da série de Fourier podem ser combinados em uma forma compacta. Nesse
formato, utiliza-se uma única expressão complexa para representar a série, simplificando o cálculo e a
representação dos termos senoidais e cossenoidais, facilitando o estudo de sinais periódicos. Assim, é
dado pela equação (9):
(9)
Onde, e são relacionados com os coeficientes e . Desse modo para calcular os coeficientes da
série de Fourier, utilizamos o conjunto de equações (10):
(10)
A Série de Fourier exponencial é uma representação alternativa para funções periódicas que utiliza
exponenciais complexas em vez de senos e cossenos. Enquanto a série trigonométrica expressa um sinal
como uma soma de senos e cossenos, a forma exponencial usa a função onde é a unidade imaginária
e a frequência angular, conforme equação (11):
(11)
Para calcular os coeficientes da série de Fourier exponencial, utilizamos a equação (12):
(12)
O uso de exponenciais complexas facilita a análise de sinais periódicos, pois combina os coeficientes das
funções seno e cosseno em um único coeficiente complexo. Esse coeficiente contém informações sobre a
amplitude e a fase da componente de cada frequência no sinal. Assim, a Série de Fourier exponencial
simplifica os cálculos de transformadas e facilita a análise de sistemas lineares, especialmente em eletrônica e
telecomunicações.
Essa representação também destaca a simetria dos sinais, pois os coeficientes para frequências positivas e
negativas espelham-se, e os termos negativos indicam componentes de fase oposta. Essa abordagem é muito
utilizada em engenharia e física para resolver problemas de análise de frequência, transformadas e filtragem.
SIGA EM FRENTE – CONVERGÊNCIA E PROPRIEDADES DA SÉRIE DE FOURIER
O cálculo e a convergência das Séries de Fourier são etapas essenciais para representar e analisar sinais
periódicos. Para encontrar a Série de Fourier de uma função determinamos seus coeficientes, que
correspondem às contribuições das diferentes frequências no sinal. Esses coeficientes são obtidos por meio
de integrais específicas, aplicadas sobre um período completo da função.
  ∫T0
T0 x(t)
an bn
x(t)
x(t) = C0 +
∞
∑
n=1
Cn cos(nω0t + θn)
cn θn an bn
C0 = a0 C0 = D0
cn = √a2
n + b2
n Cn = 2|Dn| n ≥ 1
θn = tan−1( −bn
an
) θn = ∠Dn
ejωt  j 
ω
f(t) =
∞
∑
n=−∞
Dne
jnω0t
Dn = 1
T0
∫
T0
f(t)e−jnω0tdt
x(t),
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Em qualquer aplicação prática, utilizamos apenas um número finito de termos em uma série. Se com um
número fixo de termos, a série consegue convergir com um erro arbitrariamente pequeno para qualquer valor
de , dizemos que ela é uniformemente convergente, sendo essa característica, altamente desejável. Caso a
série convirja para todos os valores de , mas necessite de uma quantidade variável de termos para garantir
essa precisão em diferentes pontos, ela é chamada de convergente pontualmente e é considerada menos
desejável. Por fim, há o caso em que a série não converge em certos valores de , independentemente do
número de termos somados. Nesse cenário, ela ainda pode convergir em média, isto é, a energia da diferença
entre e a série truncada tende a zero conforme o número de termos cresce indefinidamente (Lathi,
2006).
A convergência da série, ou seja, o quão próximo a soma infinita das componentes da série se aproxima da
função original, depende de certas condições, como a continuidade e a suavidade da função. Se a função
apresenta descontinuidades, por exemplo, a série ainda converge, mas com oscilações nas bordas das
descontinuidades – um efeito conhecido como fenômeno de Gibbs. A série de Fourier de converge para
na média quando possuir energia finita em um período, conforme a equação (13):
(13)
Portanto, o sinal periódico possuindo energia finita em um período, garante a convergência na média de
sua série de Fourier.A condição apresentada pela equação (13) e pela equação (14), garante que os
coeficientes de Fourier sejam finitos.
(14)
Quando as funções são contínuas e bem-comportadas, a série de Fourier converge de modo uniforme,
permitindo uma representação precisa e útil para aplicações como em análise de sinais, processamento de
imagem e simulação de ondas.
E.T. Dirichlet demonstrou que, se x(t) atende a certas condições conhecidas como condições de Dirichlet, sua
série de Fourier converge pontualmente em todos os valores onde x(t) é contínua. Nos pontos de
descontinuidade, a série converge para o valor médio entre os limites laterais de x(t). As condições para essa
convergência são:
A função deve ser absolutamente integrável, isto é, deve satisfazer a equação (14).
deve ter um número finito de descontinuidades finitas em cada período.
A função deve possuir apenas um número finito de máximos e mínimos em um período.
As Séries de Fourier em tempo contínuo possuem diversas propriedades fundamentais que facilitam a análise
e a manipulação de sinais periódicos. A primeira propriedade é a de linearidade que permite que a Série de
Fourier de uma combinação linear de funções seja igual à combinação linear das séries de Fourier de cada
função individualmente. Essa característica é especialmente útil na análise de sistemas lineares, pois facilita a
combinação e a decomposição de sinais.
Além disso, os coeficientes da Série de Fourier de um sinal periódico também apresentam periodicidade, o
t
t
t
x(t)
x(t)
x(t) x(t)
∫
T0
|x(t)|
2
dt16/40
https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/18161
https://repositorio.ufscar.br/handle/ufscar/18161
PONTO DE PARTIDA
Olá, estudante!
Você já aprendeu sobre a integral de convolução, a estabilidade e a resposta ao impulso unitário e teve uma
visão intuitiva sobre o comportamento de sistemas. Você também já viu as séries de Fourier e agora
seguiremos aprendendo sobre a Transformada de Fourier.
Depois de Gigio ter concluído com sucesso as duas primeiras tarefas que lhe foram passadas, o seu
supervisor, o incumbiu de outra importante missão.
Uma empresa de manufatura contratou a consultoria especializada em desenvolvimento de projetos de
controle, onde Gigio trabalha, para resolver um problema importante: o sistema de controle de temperatura
de suas máquinas está apresentando instabilidade, o que afeta diretamente a precisão da produção. O
problema parece estar relacionado a ruídos de certas frequências que interferem nas leituras dos sensores,
causando oscilações.
O supervisor passou o problema para Gigio, que deverá identificar as frequências de ruído que estão
prejudicando a estabilidade do sistema. Ele usará a transformada de Fourier para decompor o sinal dos
sensores e analisar suas componentes de frequência.
Assim, a tarefa de Gigio será explicar o passo a passo de como ele pode identificar as frequências indesejadas
e o tipo de filtro que seria adequado para reduzir a interferência dessas frequências no sistema de controle.
Vamos acompanhar Gigio em mais uma tarefa! Vamos lá!
Bons estudos e ótimo aprendizado!
VAMOS COMEÇAR! – INTRODUÇÃO A TRANSFORMADA DE FOURIER
Olá, estudante!
A transformada de Fourier é uma ferramenta matemática que transforma sinais do domínio do tempo para o
domínio da frequência, permitindo analisar a composição de frequências de um sinal. É essencial em áreas
como processamento de sinais, telecomunicações e imagem, facilitando a filtragem de ruídos, compressão de
dados e detecção de padrões em sinais complexos.
Convidamos você a assistir esta aula para conhecer mais sobre a Transformada de Fourier.
Vamos lá! Bons estudos!
Aula 3
TRANSFORMADA DE FOURIER CONTÍNUA NO TEMPO
Olá, estudante! Você já aprendeu sobre a integral de convolução, a estabilidade e a resposta ao impulso
unitário e teve uma visão intuitiva sobre o comportamento de sistemas.
28/01/2026, 17:10 wlldd_u2_ana_pro_sin
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Olá, estudante!
O termo "transformada" é bastante abrangente e se aplica a diversas operações matemáticas. Transformar
uma função significa obter uma nova função que permite cálculos de forma mais simples e eficiente do que
com a função original. Os resultados desejados são alcançados com maior praticidade e rapidez. A
transformada de uma função é única e deve admitir uma inversa, formando um par exclusivo entre função e
transformada, pois uma identifica a outra de modo único.
A Transformada de Fourier é muito importante na análise de sinais. Sua versão clássica aplica-se a sinais no
tempo contínuo com domínio real e imagem complexa, que podem ou não ser periódicos. A
transformada de Fourier é uma generalização da série de Fourier, expandindo a análise para sinais não
periódicos (Geromel, 2019).
A série de Fourier é uma ferramenta útil de análise, porém com limitações. Ela pode descrever qualquer sinal
periódico limitado, relevante para a engenharia, como uma combinação linear de senoides ao longo do
tempo. No entanto, não é capaz de representar um sinal aperiódico em todo o intervalo temporal.
A principal diferença entre um sinal periódico e um aperiódico é que o sinal periódico se repete em um
intervalo finito , conhecido como período fundamental, e continua a se repetir indefinidamente a cada .
Em contraste, um sinal aperiódico não possui um período finito, mas ele pode repetir certos padrões em
intervalos limitados, porém, não ao longo de todo o tempo. A transição entre a série de Fourier e a
transformada de Fourier ocorre ao analisar a série de Fourier de um sinal periódico e, então, deixar que o
período fundamental tende ao infinito. Quando o período fundamental se aproxima do infinito, o sinal deixa
de se repetir em um intervalo finito, tornando-se, portanto, aperiódico.
Podemos definir a transformada de Fourier contínua no tempo (TFCT) através da equação (1):
(1)
A transformada de Fourier também pode ser escrita de acordo com a equação (2):
(2)
O operador indica a "transformada de Fourier de", enquanto indica a "transformada inversa de Fourier
de". Essas duas formas da transformada de Fourier são as mais comuns na engenharia. A primeira é expressa
em termos da frequência cíclica e possui a vantagem de ser bastante simétrica, já que as transformadas
t ϵ R
T0 T0
X(f) = F(x(t)) =
∞
∫
−∞
x(t)e−j2πftdt
x(t) = F −1(X(f)) =
∞
∫
−∞
X(f)e−2πftdf
X(jω) = F(x(t)) =
∞
∫
−∞
x(t)e−jωtdt
x(t) = F −1(X(jω)) = 1
2π
∞
∫
−∞
X(jω)ejωtdω
F F −1
f
28/01/2026, 17:10 wlldd_u2_ana_pro_sin
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direta e inversa são praticamente iguais, mudando apenas o sinal no expoente e a variável de integração. Essa
forma é amplamente utilizada em análise de sistemas de comunicação, na ótica de Fourier e no
processamento de imagens.
A segunda definição utiliza a frequência angular ω em vez da frequência cíclica . A frequência angular tem
uma relação mais direta com constantes de tempo e frequências de ressonância de sistemas reais, facilitando
a análise de certas funções em sistemas. Essa abordagem é mais comum na análise de sistemas de controle.
As duas definições podem ser convertidas uma na outra através da equação (3):
(3)
O sinal é dito estar no domínio do tempo, pois seu argumento t representa o tempo. Já a função
transformada ou está no domínio da frequência, pois seu argumento ou representa a
frequência. A frequência cíclica é o inverso do tempo, enquanto a frequência angular é proporcional ao
inverso do tempo. Em outras aplicações da Transformada de Fourier de Tempo Contínuo (TFCT) em
matemática, física e engenharia, as variáveis independentes podem não ser tempo ou frequência, mas são
sempre mutuamente proporcionais aos inversos uma da outra.
A função ou é frequentemente chamada de densidade espectral de amplitude, ou simplesmente
espectro de Ela representa como a amplitude das senóides complexas varia com a frequência,
compondo quando somadas. O termo “espectral” refere-se aqui à variação em função da frequência,
embora em outras áreas possa se relacionar a outra grandeza física, como o comprimento de onda em ótica
ou a energia em espectroscopia de raios X. A palavra “densidade” refere-se às unidades em volts por hertz,
semelhante a outras densidades, como a pressão, que é força por unidade de área. Para ou ,
temos a densidade de amplitude por unidade de frequência, em que a amplitude pode ser dada em tensão,
corrente ou outra grandeza.
Há diversas razões para transformar sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa.
Algumas operações, são muito úteis e comuns na análise de sistemas lineares, tornando-se mais convenientes
em um domínio do que no outro. O fato de que e ou sejam transformadas entre si pode ser
representado pela notação, conforme a Figura 1.
Figura 1 | Representação da Transformada de sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa
Fonte: Roberts (2009, p. 343).
As relações da Figura 1 recebem o nome de par de transformada de Fourier. A Tabela 1 apresenta algumas
transformadas de Fourier.
Tabela 1 | Transformadas de Fourier
x(t) X(ω)
f
ω = 2πf
x(t)
X(f) X(jω) f  ω
X(f) X(jω)
x(t).
 x(t)
X(f) X(jω)
x(t) X(f) X(jω)
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1 1 
Fonte: elaborada pela autora.
O fator de convergência na Transformada de Fourier é um conceito utilizado para assegurar que a
transformada funcione de modo correto em condições em que a função original pode não ser absolutamente
integrável ou possuir oscilações indesejadas. A ideia é suavizar a função ou reduzir certas irregularidades,
permitindo que a transformada convirja para um resultado bem-definido, mesmo quando o sinal apresenta
características que poderiam dificultar a convergência, como descontinuidades ou crescimento assintótico.
Na prática, o fator de convergência age como uma espécie de "filtro" que decai ao longo do tempo, aplicando-
se multiplicativamente ao sinal original. Um exemplo comum é multiplicar a função x(t) por um fator
exponencial de decaimento, , onde σ é uma constante positiva (Roberts, 2009). Esse fator torna o sinal
"mais suave" e o limita em amplitude, ajudando na convergência da transformada.
Quando utilizamos o fator de convergência para obter a Transformada de Fourier Contínua no Tempo de uma
função, produzimos o que chamamos de Fourier generalizada.
SIGA EM FRENTE – TRANSFORMADA DE FOURIER GENERALIZADA E PROPRIEDADES
A Transformada de Fourier Generalizada permite trabalhar com sinais que não são limitados no tempo e que
podem não ser absolutamente integráveis, ampliando as aplicações da transformada convencional para sinais
aperiódicos e com duração infinita. Em situações em que a convergência não é garantida pela Transformada
de Fourier padrão, o fator de convergência ajuda a regularizar o sinal, evitando problemas de divergência.
Assim, ele permite que a Transformada de Fourier seja aplicada mesmo em sinais mais complexos,
estendendo a aplicabilidade da transformada para um conjunto mais amplo de funções.
A necessidade de uma forma generalizada da Transformada de Fourier surge porque funções como
constantes e senoides, apesar de serem limitadas, não são absolutamente integráveis. A Transformada de
e−atu(t) 1
a+jω     a > 0
eatu(−t) 1
a−jω     a > 0
e−a|t| 2a
a2+ω2     a > 0 te−atu(t) 1
(a+jω)2     a > 0
tne−atu(t) n!
(a+jω)n+1     a > 0
δ(t) 2πδ(ω)
ejω0t 2πδ(ω − ω0)
cosω0t π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]
u(t) πδ(ω) + 1
jω
senω0t jπ[δ(ω + ω0) − δ(ω − ω0)]
e−σ|t|
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Fourier Generalizada permite sua aplicação a outros sinais que, embora não sejam absolutamente integráveis,
são limitados, como o degrau unitário e a função sinal (Roberts, 2009).
A Transformada de Fourier Generalizada surgiu para expandir as aplicações da Transformada de Fourier
convencional, especialmente quando lidamos com sinais e sistemas que não são periodicamente limitados.
Enquanto a Transformada de Fourier clássica é adequada para sinais que repetem um padrão ao longo do
tempo (sinais periódicos), a versão generalizada permite a análise de sinais aperiódicos e de duração infinita,
que surgem com frequência em áreas como telecomunicações, processamento de imagem e física de
partículas.
O fundamento da Transformada de Fourier Generalizada está em interpretar a série de Fourier (originalmente
definida para sinais periódicos) como uma decomposição no domínio da frequência, em que cada
componente representa uma frequência específica. A ideia da generalização é fazer essa decomposição para
sinais que se estendem indefinidamente, tratando o limite do período fundamental como infinito. Assim, o
espectro resultante não é mais uma série de componentes discretos, mas uma distribuição contínua de
frequências. Essa abordagem permite que qualquer sinal seja representado como uma soma (ou integral) de
senoides complexas, mesmo quando o sinal não repete um padrão fixo.
A Transformada de Fourier Generalizada é importante porque viabiliza o uso das mesmas técnicas de análise
de frequência para sinais que não se repetem, como uma gravação de áudio única ou uma imagem estática.
Ela também permite o cálculo de densidades espectrais para entender como a energia de um sinal se distribui
no espectro de frequências. Isso é particularmente útil em sistemas de controle, no qual é importante filtrar
ruídos específicos, e em sistemas de comunicação, em que é essencial extrair informações em diferentes
faixas de frequência.
Esse tipo de transformada exige que o sinal seja absolutamente integrável e tenha energia finita em um
período para garantir uma representação precisa no domínio da frequência. A Transformada de Fourier
Generalizada possibilita uma compreensão profunda da estrutura de frequências em sinais complexos, o que
a torna uma ferramenta essencial em engenharia e física.
Vamos ver um exemplo? Determine a TFCT de .
O primeiro passo é aplicar a fórmula da integral, equação (4):
(4)
Observe que essas integrais não convergem. Assim, podemos utilizar um fator de convergência para
determinar a TFCT generalizada, conforme a equação (5):
(5)
x( t ) = sgn( t )
X(jω) =
∞
∫
−∞
sgn(t)e−jωt
X(jω) = −
0
∫
−∞
e−jωtdt +
∞
∫
0
e−jωtdt
Xσ(t) = sgn(t)e−σ|t|, com σ > 0
28/01/2026, 17:10 wlldd_u2_ana_pro_sin
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Desse modo, temos, a equação (6):
(6)
Assim, resulta a equação (7):
(7)
As propriedades da transformada de Fourier são importantes e úteis não somente para obter as
transformadas direta e inversa de várias funções, mas também para obter os vários resultados importantes
no processamento de sinais. Algumas propriedades são (Lathi, 2006):
LINEARIDADE
A transformada de Fourier é linear, se a equação (8) for satisfeita.
(8)
Desse modo, temos a equação (9):
(9)
CONJUGAÇÃO E SIMETRIA DE CONJUGADO
A propriedade do conjugado, diz que se , temos, a equação (10):
(10)
Da propriedade da conjugação é possível obter a propriedade da simetria de conjugado que diz que se é
real, temos, a equação (11):
(11)
DUALIDADE
A propriedade da dualidade resulta na equação (12):
(12)
Desse modo, tem-se, a equação (13):
Xσ(jω) =
∞
∫
−∞
sgn(t)e−σ|t|e−jωtdt
Xσ(jω) = −
0
∫
−∞
e(σ−jω)tdt +
∞
∫
0
e−(σ+jω)tdt
Xσ(jω) = − e(σ−jω)t
σ−jω
0
−∞ − e−(σ+jω)t
σ+jω
∞
0
Xσ(jω) = − 1
σ−jω + 1
σ+jω∣ ∣X(jω) = lim
σ→0
Xσ(jω)
X(jω) = 2
jω
x1(t) ⇔ X1(ω) e x2(t) ⇔ X2(ω)
a1x1(t) + a2x2(t) ⇔ a1X1(ω) + a2X2(ω)
x(t)  ⇔ X(ω)
x*(t) ⇔ X *(−ω)
x(t)
X(−ω) = X *(ω)
x(t) ⇔ X(ω)
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(13)
Concluímos que a Transformada de Fourier é uma ferramenta matemática essencial para decompor sinais no
domínio da frequência, facilitando a análise e processamento de sinais em engenharia e física. Suas principais
propriedades incluem linearidade, escalonamento, e deslocamento, que permitem manipular sinais de forma
eficiente. Quanto à convergência, a Transformada de Fourier exige que o sinal seja absolutamente integrável,
caso contrário, a série pode não convergir. Para sinais que não atendem a essa condição, como senoides e
sinais de degrau, utiliza-se a Transformada de Fourier Generalizada, que amplia a aplicabilidade do método e
permite o estudo de uma gama maior de sinais não periódicos e limitados.
VAMOS EXERCITAR? – TRANSFORMADA DE FOURIER NA ANÁLISE DE RUÍDOS EM SISTEMAS DE
CONTROLE
Olá, estudante!
Percebemos que a transformada de Fourier é uma técnica que expande funções em termos de suas
componentes de frequência. A transformaçãode sinais temporais em frequências, facilita a análise de sinais
complexos. O desenvolvimento da transformada considera a convergência, com adaptações que levam à
Transformada de Fourier Generalizada, útil para sinais que não atendem às condições clássicas. A
Transformada de Fourier Contínua no Tempo possui propriedades fundamentais, como linearidade,
escalonamento e a importante dualidade entre o tempo e a frequência, sendo amplamente aplicada em
processamento de sinais, telecomunicações e física.
A empresa em que Gigio está estagiando, especializada em consultoria e desenvolvimento de projetos de
controle, foi contratada por uma empresa de manufatura, para resolver um problema importante: o sistema
de controle de temperatura de suas máquinas está apresentando instabilidade, o que afeta diretamente a
precisão da produção. O problema parece estar relacionado a ruídos de certas frequências que interferem
nas leituras dos sensores, causando oscilações.
O supervisor passou o problema para Gigio, de forma que ele precisa identificar essas frequências de ruído
que estão prejudicando a estabilidade do sistema utilizando a transformada de Fourier para decompor o sinal
dos sensores e analisar suas componentes de frequência.
Desse modo a tarefa de Gigio será explicar o passo a passo de como ele pode identificar as frequências
indesejadas e o tipo de filtro que seria adequado para reduzir a interferência dessas frequências no sistema
de controle.
Para analisar o sinal por meio da transformada de Fourier, Gigio deve começar aplicando a transformada ao
sinal obtido dos sensores de temperatura. Isso permitirá decompor o sinal no domínio da frequência,
exibindo cada componente que contribui para o sinal total. Ao observar o resultado da transformada de
Fourier, ele identificará as frequências específicas que representam ruídos, sendo que normalmente os ruídos
de alta frequência são indesejados em sistemas de controle, especialmente quando ocorrem fora do espectro
de frequências operacionais do sistema. Para eliminar essas frequências indesejadas, Gigio pode sugerir a
utilização de um filtro passa-baixa, que permite a passagem das frequências baixas relevantes e atenua ou
elimina as altas frequências responsáveis pelo ruído. Após a aplicação do filtro passa-baixa, Gigio deve
observar novamente o sinal filtrado, verificando se as oscilações foram reduzidas e se o sistema de controle
X(t) ⇔ 2πx(−ω)
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opera de forma mais estável, garantindo que as leituras dos sensores de temperatura estejam precisas e
livres de interferências indesejadas.
Esses passos permitirão a Gigio resolver o problema de estabilidade causado pelos ruídos e contribuirão para
um controle de temperatura preciso na empresa de manufatura. Seu supervisor está muito satisfeito com
mais uma tarefa cumprida de forma exemplar por Gigio.
 Saiba mais
Olá, estudante!
Vamos aprender um pouco mais sobre a Transformada de Fourier? O artigo: Uma breve síntese sobre
transformadas de Fourier e suas aplicações para soluções de problemas complexos é um bom começo!
Este artigo trata da Transformada de Fourier a fim de conseguir lidar melhor com problemas complexos
enquanto profissional de áreas tecnológicas.
Vamos lá! Então, mãos à obra!
PONTO DE PARTIDA
Olá, estudante!
Você já aprendeu sobre a integral de convolução, a estabilidade e a resposta ao impulso unitário e teve uma
visão intuitiva sobre o comportamento de sistemas. Você também já viu as séries de Fourier e Transformadas
de Fourier. Agora seguiremos aprendendo sobre os filtros: ideais e passivos práticos, além da importância do
gráfico logarítmico da magnitude da resposta em frequência e do diagrama de Bode.
Depois de Gigio ter concluído com sucesso os seus três primeiros desafios, o seu supervisor lhe passou outra
missão muito importante.
Um cliente procurou a empresa de consultoria especializada em desenvolvimento de projetos de controle,
onde Gigio faz estágio, para resolver problemas de ruído em um sistema de áudio de alta precisão. Este
sistema precisa operar com precisão para preservar a qualidade de sinais de áudio em uma faixa de
frequência específica, removendo ruídos de alta e baixa frequência que estão fora da faixa de interesse. O
cliente demanda uma solução que minimize a distorção e assegure que o sinal original seja preservado o
máximo possível, algo comum em sistemas de áudio e comunicação. O sistema precisa filtrar frequências
Aula 4
ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS POR TRANSFORMADA DE
FOURIER CONTÍNUA NO TEMPO
Olá, estudante! Você já aprendeu sobre a integral de convolução, a estabilidade e a resposta ao impulso
unitário e teve uma visão intuitiva sobre o comportamento de sistemas. 
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https://www.periodicos.unimontes.br/index.php/ciranda/article/view/5939.
https://www.periodicos.unimontes.br/index.php/ciranda/article/view/5939.
indesejadas sem comprometer a qualidade das frequências úteis. O cliente espera uma solução prática e
efetiva.
Assim a tarefa de Gigio envolve escolher e projetar filtros que eliminem ruídos indesejados no sistema de
áudio, preservando a faixa de frequências relevante para manter a qualidade do sinal.
Bons estudos e ótimo aprendizado!
VAMOS COMEÇAR! – FILTROS
Olá, estudante!
Os filtros ideais apresentam uma resposta exata para certas frequências, mas são teóricos e inviáveis na
prática. Já os filtros passivos práticos, trazem uma aproximação do comportamento ideal, mas com limitações.
Para analisar a resposta em frequência desses filtros, utilizam-se gráficos logarítmicos e diagramas de Bode
que facilitam a interpretação, mostrando como o ganho e a fase variam com a frequência para sinais
contínuos.
Convidamos você a assistir esta aula para conhecer um pouco mais sobre a análise de sinais e sistemas por
transformada de Fourier contínua no tempo.
Vamos lá! Bons estudos!
Olá, estudante!
Os filtros ideais e os filtros passivos são conceitos fundamentais no processamento de sinais e controle de
sistemas. Praticamente todos os sistemas de comunicação utilizam filtros. Através dos filtros é possível
separar os sinais desejados dos indesejados, bloquear sinais de interferência, melhorar sinais de voz e vídeo,
além de modificar sinais.
Os filtros ideais representam modelos teóricos capazes de eliminar ou deixar passar determinadas
frequências, proporcionando uma transição abrupta entre as bandas de passagem e rejeição. Porém, eles não
são realizáveis fisicamente, devido a suas exigências infinitas de precisão e componentes impraticáveis. Em
contrapartida, os filtros passivos, como os circuitos RC (resistor – capacitor) e RL (resistor – indutor), são
viáveis e usam componentes reais, como resistores, capacitores e indutores, para aproximar o
comportamento dos filtros ideais. Embora apresentem transições menos precisas e atenuação gradual, os
filtros passivos são amplamente aplicados em sistemas práticos por sua simplicidade, estabilidade e eficiência
em diversas faixas de frequência.
A função de um filtro é permitir a passagem de uma faixa de frequências, enquanto rejeita outra faixa. Os
filtros passivos são formados por resistores, capacitores e indutores, e, geralmente, são utilizados com
frequências acima de 1 MHz, não possuindo ganho de potência e sendo normalmente mais difíceis de serem
sintonizados. Já os filtros ativos são formados por resistores, capacitores e AmpOps (amplificadores
operacionais). Esse tipo de filtro é utilizado geralmente com frequências abaixo de 1 MHz, possuindo ganho de
potência e sendo mais simplesde ser sintonizado.
A resposta em frequência de um filtro é o gráfico que apresenta o ganho de tensão em função da frequência.
Há cinco tipos de filtro: passa-baixas, passa-altas, passa-faixa, rejeita-faixa e passa-todas (ou filtro deslocador
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de fase).
Um filtro passa-baixas permite que todas as frequências entre zero e a frequência de corte passem, enquanto
bloqueia as frequências acima desse limite. As frequências entre zero e a frequência de corte formam a banda
de passagem, e as acima da frequência de corte compõem a banda de corte. A região de transição entre essas
duas bandas é chamada de faixa de transição. A Figura 1 apresenta a resposta em frequência de um filtro
passa-baixas ideal. Essa resposta é chamada de ideal pois a borda direita do retângulo é vertical.
Figura 1 | Resposta de um filtro passa-baixas ideal 
Fonte: Malvino e Bates (2016, p. 790).
No caso ideal, o filtro passa-baixas apresenta atenuação nula, ou seja, não há perda de sinal na banda de
passagem, atenuação infinita na banda de corte e uma transição abrupta. Além disso, um filtro ideal possui
deslocamento de fase nulo para todas as frequências na banda de passagem, o que é relevante quando o
sinal de entrada não é senoidal. Com o deslocamento de fase nulo, o formato do sinal não senoidal é
preservado ao passar pelo filtro. Por exemplo, se o sinal de entrada for uma onda quadrada, ele conterá uma
frequência base e seus harmônicos. Se tanto a frequência base quanto os harmônicos significativos
(aproximadamente os dez primeiros) estiverem na banda de passagem, a onda quadrada manterá
aproximadamente o mesmo formato na saída (Malvino; Bates, 2016).
A Figura 2 apresenta a resposta em frequência ideal de um filtro passa-altas. Esse tipo de filtro bloqueia todas
as frequências entre zero e a frequência de corte, permitindo a passagem das frequências acima dela. No
filtro passa-altas, as frequências entre zero e a frequência de corte compõem a banda de corte, enquanto as
frequências superiores à frequência de corte estão na banda de passagem. Um filtro passa-altas ideal
apresenta atenuação infinita na banda de corte, nenhuma atenuação na banda de passagem e uma transição
abrupta entre as duas bandas (Malvino; Bates, 2016).
Figura 2 | Resposta de um filtro passa-altas ideal
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Fonte: Malvino e Bates (2016, p. 791).
Um filtro passa-faixa é muito utilizado e útil em sistemas de comunicação eletrônica, como nos receptores AM
e FM, na qual apenas uma faixa específica de frequências deve ser permitida, enquanto todas as demais são
bloqueadas. Esse tipo de filtro também é empregado em equipamentos de comunicação telefônica para
separar diferentes conversas transmitidas simultaneamente por um mesmo meio.
A Figura 3 apresenta a resposta em frequência ideal de um filtro passa-faixa. Nesse tipo de filtro, no caso
ideal, todas as frequências abaixo da frequência de corte inferior são bloqueadas. O filtro permite a passagem
de frequências entre as frequências de corte inferior e superior, bloqueando as frequências acima da
frequência de corte superior.
Figura 3 | Resposta de um filtro passa-faixa ideal 
Fonte: Malvino e Bates (2016, p. 791).
Em um filtro passa-faixa, a banda de passagem compreende todas as frequências entre as frequências de
corte inferior e superior. As frequências que não estão nesse intervalo, ou seja, abaixo da frequência de corte
inferior e acima da frequência de corte superior, compõem a banda de corte. Em sua forma ideal, o filtro
passa-faixa apresenta atenuação nula na banda de passagem, atenuação infinita na banda de corte e
transições abruptas entre as bandas (Malvino; Bates, 2016).
A largura de banda ( - bandwidth) de um filtro passa-faixa é a diferença entre as frequências de corte
superior e inferior, medidas a -3 dB, conforme a equação (1)
BW
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(1)
A frequência central, representada por , é calculada como a média geométrica entre as duas frequências de
corte, conforme equação (2):
(2)
Para minimizar interferências entre diferentes conversas telefônicas, os filtros passa-faixa são projetados para
se aproximar de uma resposta ideal, conforme apresentado na Figura 3. O fator de qualidade ( ) de um
filtro passa-faixa é definido como a frequência central dividida pela largura de banda, conforme equação (3):
(3)
Quando o fator é superior a 10, a frequência central pode ser aproximada pela média aritmética entre as
frequências de corte, de acordo com a equação (4):
(4)
Quando o valor de for menor que 1, o filtro passa-faixa recebe o nome de filtro de banda larga e se for
maior que 1, o filtro é chamado de filtro de banda estreita.
O filtro rejeita faixa, ou como também é conhecido filtro de banda de corte, permite a passagem de todas as
frequências desde zero até a frequência de corte inferior. Em seguida, bloqueia as frequências situadas entre
as frequências de corte inferior e superior e por fim, permite a passagem de todas as frequências acima da
frequência de corte superior. A Figura 4 apresenta a resposta em frequência ideal de um filtro rejeita-faixa.
Figura 4 | Resposta de um filtro rejeita-faixa ideal 
Fonte: Malvino e Bates (2016, p. 792).
Um filtro rejeita-faixa ideal, ou, como também é chamado, filtro notch, apresenta atenuação total na banda de
corte, nenhuma atenuação na banda de passagem e transições verticais bem-definidas. O filtro notch recebe
esse nome, pois rejeita ou elimina todas as frequências dentro da banda de corte. As Equações (1) a (3) são
utilizadas para calcular , e .
BW = f2 − f1
f0
f0 = √f1f2
Q
Q =
f0
BW
Q
f0 ≅
f1+f2
2
Q Q
BW f0 Q
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No caso de um filtro passa-todas, representado na Figura 5, a resposta em frequência mostra uma única
banda de passagem, sem qualquer banda de corte. Isso significa que ele permite a passagem de todas as
frequências, de zero até o infinito, sem atenuação.
Figura 5 | Resposta de um filtro passa-todas ideal 
Fonte: Malvino e Bates (2016, p. 793).
O filtro passa-todas não possui perda de amplitude em nenhuma frequência, pois altera apenas o
deslocamento de fase do sinal filtrado, preservando a amplitude original. A resposta de fase de um filtro
indica o gráfico do deslocamento de fase em função da frequência.
Um filtro passa-baixas ideal, por exemplo, apresenta uma resposta de fase de 0° em todas as frequências, o
que mantém a forma de um sinal de entrada não senoidal, desde que a frequência principal e os harmônicos
estejam na banda de passagem. Já a resposta de fase de um filtro passa-todas se diferencia, pois cada
frequência pode apresentar um deslocamento específico ao passar por ele (Malvino; Bates, 2016).
As respostas ideais não podem ser alcançadas em circuitos práticos, porém, existem aproximações que são
utilizadas como alternativa. Cada uma dessas aproximações oferece vantagens específicas que as demais não
possuem. A escolha da aproximação pelo projetista depende das exigências específicas da aplicação.
Atenuação refere-se à perda de intensidade do sinal. Com uma tensão de entrada constante, a atenuação é
definida como a razão entre a tensão