Limites No Infinito

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Limites No Infinito Ca´lculo I
LIMITES NO INFINITO
Seja f(x) =
2x2
x2 + 1
. Temos que D(f) = R. Vamos observar o comportamento de f(x)
quando x assume valores muito grandes e muito pequenos:
x f(x)
0 0
1 1
2 1, 6
3 1, 8
4 1, 88
5 1, 92
10 1, 98
100 1, 9998
1000 1, 999998
Tabela 1: x muito grande
x f(x)
0 0
−1 1
−2 1, 6
−3 1, 8
−4 1, 88
−5 1, 92
−10 1, 98
−100 1, 9998
−1000 1, 999998
Tabela 2: x muito pequeno
Na Tabela 1, observamos que, quando x assume valores muito grandes, f(x) assume
valores cada vez mais pro´ximos de 2; na Tabela 2, observamos que, quando x assume valores
muito pequenos, f(x) tambe´m assume valores cada vez mais pro´ximos de 2. No primeiro
caso, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a +∞ e´ 2; no segundo caso, dizemos que
o limite de f(x) quando x tende a −∞ e´ 2. Expressamos tais afirmac¸o˜es com as respectivas
notac¸o˜es:
lim
x→+∞
f(x) = 2 e lim
x→−∞
f(x) = 2 .
Geometricamente, temos:
Material Complementar 1 Cristiane de Mello
Limites No Infinito Ca´lculo I
Definic¸a˜o(Limite no Infinito Positivo): Seja f uma func¸a˜o definida no intervalo
aberto real (a,+∞). O limite de f(x) quando x tende a +∞ e´ L se, quando x assume valores
muito grandes, f(x) assume valores cada vez mais pro´ximos de L. Neste caso, escrevemos
lim
x→+∞
f(x) = L .
Definic¸a˜o(Limite no Infinito Negativo): Seja f uma func¸a˜o definida no intervalo
aberto real (−∞, a). O limite de f(x) quando x tende a −∞ e´ M se, quando x assume
valores muito pequenos, f(x) assume valores cada vez mais pro´ximos de M . Neste caso,
escrevemos
lim
x→−∞
f(x) = M .
PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO
(1) Se r e´ um nu´mero inteiro positivo, enta˜o
lim
x→+∞
1
xr
= 0;
lim
x→−∞
1
xr
= 0.
Material Complementar 2 Cristiane de Mello
Limites No Infinito Ca´lculo I
(2) Seja p(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0 uma func¸a˜o polinomial, com
n ∈ N e an 6= 0. Enta˜o,
lim
x→+∞
p(x) =
{
+∞, se an > 0
−∞, se an < 0 .
(3) Seja p(x) = anx
n + an−1xn−1 + · · · + a2x2 + a1x + a0 uma func¸a˜o polinomial, com
n ∈ N e an 6= 0. Enta˜o,
lim
x→−∞
p(x) =

+∞, se
{
n e´ par e an > 0
n e´ ı´mpar e an < 0
−∞, se
{
n e´ ı´mpar e an > 0
n e´ par e an < 0
.
(4) Sejam p(x) e q(x) func¸o˜es polinomiais, cujos coeficientes dos termos de maior grau
sa˜o a e b, respectivamente. Enta˜o,
lim
x→±∞
p(x)
q(x)
=

±∞, se grau p(x) > grau q(x)
a
b
, se grau p(x) = grau q(x)
0, se grau p(x) < grau q(x)
.
Exemplos:
1. lim
x→+∞
2x3 − x2 + x + 1 = lim
x→+∞
2x3 = +∞
2. lim
x→+∞
−4x5 + 3x4 − x3 + x2 − x + 1 = lim
x→+∞
−4x5 = −∞
3. lim
x→−∞
x4 − x3 + 2x2 − 5 = lim
x→−∞
x4 = +∞
4. lim
x→−∞
−2x5 + x4 − x3 + x− 4 = lim
x→−∞
−2x5 = +∞
Material Complementar 3 Cristiane de Mello
Limites No Infinito Ca´lculo I
5. lim
x→−∞
x7 + 3x6 − x5 + 2x3 − x = lim
x→−∞
x7 = −∞
6. lim
x→−∞
−2x6 + x4 − 3x2 + 2x− 4 = lim
x→−∞
−2x6 = −∞
7. lim
x→+∞
2x3 − x + 1
x4 + 1
= 0
8. lim
x→−∞
4x− 1
3x + 5
=
4
3
9. lim
x→+∞
x4 − x2 + 1
1− x2 = limx→+∞
x4
−x2 = limx→+∞ −x
2 = −∞
10. lim
x→−∞
2x3 − x2 − 1
x + 4
= lim
x→−∞
2x3
x
= lim
x→−∞
2x2 = +∞
11. lim
x→+∞
3x + 4√
2x2 − 5 = limx→+∞
3x√
2x2
= lim
x→+∞
3x
2 |x| = limx→+∞
3x
2x
=
3
2
12. lim
x→−∞
3x2 − 1√
x2 − x + 1 = limx→−∞
3x2√
x2
= lim
x→−∞
3x2
|x| = limx→−∞
3x2
−x = limx→−∞ −3x = +∞
Material Complementar 4 Cristiane de Mello