2015 1 AD1 C2 Prova

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Cálculo II – AD1 (2015/1) 
1ª Avaliação a Distância - Postagem REGISTRADA com AR (para o Polo) até o dia 
 02/03/2015. Data de entrega da AD1 no Polo até o dia 07/03/2015. 
 
Nome: Matrícula: 
Polo: Data: 
 
Todas as respostas devem estar acompanhadas das justificativas, mesmo que não exista o que está 
sendo pedido. 
 
1ª Questão (2,5 pontos) 
Seja 
:[0,12]G 
 a função dada por 
0
( ) ( )
x
G x g t dt 
, em que 
:[0,12]g 
 é uma função 
derivável no intervalo 
(0,12)
 cujo gráfico é mostrado na figura a seguir, 
 
 
Figura 1 
 
Neste caso, tendo em mente que as amplitudes do gráfico diminuem a cada 4 unidades de 
t
 e que 
cada dois pulsos consecutivos são simétricos em relação ao eixo 
t
, como o gráfico sugere, responda 
os itens a seguir: 
 
(a) Compare os valores 
(0), (2), (4), (6), (8), (10)G G G G G G
 e 
(12)G
 
(ou seja, ordene-os em ordem de grandeza). 
(b) Quais são os intervalos de crescimento e de decrescimento da função 
G
? 
(c) Quais os pontos de máximo e de mínimo locais e globais da função 
G
? 
(d) Determine a coordenada 
x
 de cada ponto de inflexão do gráfico de 
G
no intervalo aberto. 
(e) Estude a concavidade do gráfico da função 
G
 . 
(f) Construa um esboço aproximado do gráfico da função 
G
. 
 
 
 
Cálculo II AD01 – Aluno 2015/1 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
ág
in
a2
 
2ª Questão (2,0 pontos) Considere a função contínua 
1
,4
2
:g
 
  
 
 dada por 
1
4 1, 1
2
9 3
, 1 4
2 2
( )
x se x
x
se x
g x

   

   


 
 
(a) Calcule 4
1/2
( )g x dx


 . 
(b) Interprete o resultado anterior em termos de áreas. 
Calcule a área total da região limitada pelo gráfico da função 
g
, pelo eixo 
x
 e as retas 
1
2
x  
 e 
4x 
. 
 
3ª Questão (1,5 pontos) 
(a) Seja 
f
 uma função contínua, com
( ) 0f t 
, para todo 
t
. Apresente os intervalos de 
crescimento e decrescimento da função dada por 
 3 23
1
( ) ( )
x x
F x f t dt

 
. 
(b) Calcule 
'(0)H
, sendo 3
4
3
( )
1
x
sen x
H x dt
t


. 
 
4ª Questão (2,5 pontos) Seja 
R
 a região plana limitada pelas 4 curvas a seguir: 
4 23 0x y
 
, 
9 4 7 0x y
, 
2xy
 e 
2 5 10y xx
. 
 a) Esboce a região 
R
. 
 b) Represente a área de 
R
 por uma ou mais integrais definidas em termos de 
x
. 
 c) Represente a área de 
R
 por uma ou mais integrais definidas em termos de 
y
. 
 d) Encontre a área da região 
R
 (Use a representação mais conveniente). 
Obs: - os pontos 
1
( 1, )
2
 e 
(2,4)
 são dois dos quatro vértices da região considerada; 
 - desconsidere as partes que não sejam limitadas por todas as quatro curvas. 
 
 
5ª Questão (1,5 pontos) 
a) Encontre o número 
a
 tal que a reta 
x a
 divida a área sob a curva 
3
1
y
x

, com 
1 5x 
, 
em duas partes, de modo que a área da região da esquerda seja 5 vezes a da direita. 
b) Encontre o número 
b
 tal que a reta 
x b
 divida a mesma região do item (a) em duas 
partes, de modo que a área da região da direita seja 11 vezes a da esquerda. 
 
 
Boa prova!