História da Matemática CEDERJ

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Fundaçăo Centro de Cięncias e Educaçăo Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
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História da Matemática 
1a Avaliação à Distância (AD1) – 1º/2020 
GABARITO 
Prezado(a) Aluno(a): 
 Esta é a primeira Avaliação à Distância (AD1) deste curso. As questões a seguir versarão sobre 
o conteúdo das primeiras semanas do curso (Matemática na Babilônia, no Egito e na Grécia). Fiquem 
bem atentos(as) quanto ao prazo de entrega desta avaliação, bem como com o método de envio das 
mesmas, que será divulgado na plataforma. Avaliações enviadas fora do prazo e/ou por método distinto 
do informado não serão aceitas e, ao(à) aluno(a), será atribuído a nota ZERO na avaliação. 
Desejamos a todos bons estudos e sucesso! 
 
Equipe de História da Matemática CEDERJ 1º/2020. 
 
 
Questão 1 [1,5 ponto] – Aprendemos, através do Papiro de Rhind, que os antigos egípicios 
expressavam todas as frações próprias como somas de frações unitárias distintas. Utilizando o método 
descrito pelo matemático inglês James Sylvester, expresse !
"#
 como soma de frações unitárias. 
 
Solução: 
Em primeiro lugar, é necessário saber qual a maior fração com numerador 1 menor que 7/15. 
1. Inverto 7/15 obtendo 15/7; 
2. Tomo o menor inteiro maior do que a fração obtida (como 2do Estado do Rio de Janeiro 
 
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Questão 5 (2,5 pontos) – Euclides de Alexandria (séc. III a.C.), célebre geômetra da Antiguidade, 
deu em seu tratado “Elementos” uma exposição sistemática dos fundamentos da geometria. Esta obra 
consta de 13 volumes (os livros XIV e XV foram agregados posteriormente). Os livros V, VII, VIII, 
IX e X contém a Aritmética conhecida até àquela época; os livros I, II, III, IV e VI são dedicados à 
Geometria Plana; e os livros XI, XII e XIII se dedicam à Geometria Espacial. É muito pouco provável 
que outro(s) livro(s) de Matemática sejam tão difundidos e conhecidos quando os Elementos de 
Euclides. Esta publicação já atingiu mais de 500 edições, com traduções para quase todos os idiomas 
conhecidos. Além dos “Elementos”, Euclides é responsável pelas obras “Porismas”, o pequeno tratado 
“Dados” e o tratado “Da divisão das Figuras”. 
Resolva os quatro problemas a seguir: 
 
PROBLEMA 1 - (Livro I – Proposição 1) [0,8 ponto] – Construir um triângulo equilátero em uma 
reta limitada dada AB. 
Solução: Construímos a circunferência BCD, centrada no ponto A 
e raio AB. Tomando o ponto B como centro, construímos outra 
circunferência ACE de raio AB. Obtemos o ponto C, intersecção das 
circunferências, que será o terceiro vértice do triângulo equilátero 
ABC. 
Comentário: Observe que as medidas de AC e de BC são iguais à 
medida de AB, raios das circunferências construídas. 
 
PROBLEMA 2 - (Livro I – Proposição 9) [0,8 ponto] – Cortar em dois um ângulo retilíneo dado. 
Solução: Considere o ângulo BÂC da figura ao lado. Tome um ponto qualquer 
D em AB e, em seguida, tome um ponto E em AC, tal que as medidas dos 
segmentos AD e AE sejam iguais. Construímos sobre o segmento DE o 
triângulo equilátero DEF de lado DE. A reta AF divide o ângulo BÂC em duas 
partes iguais. 
Comentário: A justificativa do resultado vem do fato de que ADE é um 
triângulo isósceles, por construção, e a reta AF corta DE em seu ponto médio. 
Logo, AF é bissetriz do ângulo DÂE. 
 
PROBLEMA 3 - (Livro I – Proposição 42) [0,9 ponto] – Dado um triângulo ABC, construir um 
paralelogramo que tenha um dos ângulos igual a e cuja área seja igual a do triângulo ABC. 
Solução: O enunciado original, proposto por Euclides, foi: 
“Construir um paralelogramo, sendo um ângulo e cuja área seja 
igual a de um dado triângulo.” 
Consideremos o triângulo ABC e o ângulo D, conforme a figura. 
Seja E o ponto médio do lado BC. A partir do ponto E, constrói-
se o ângulo D. Agora, constroem-se as retas CG//EF e AG//BC. 
Tal ponto G é a interseção das paralelas construídas. O 
paralelogramo ECGF é o quadrilátero procurado. 
Comentário: Observe que o triângulo ABC e o paralelogramo ECGF têm a mesma altura, ao ponto 
que a base EC do paralelogramo é igual à metade da base do triângulo ABC. Assim: 
 
 
 
 D =!B
 
AECGF = EC ⋅h = BC
2
⋅h = BC ⋅h
2
= AABC
 
 
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Seguem algumas observações finais: 
 
Obs. 1: O prazo para a postagem de ARQUIVO PDF é dia 01 de MARÇO (DOMINGO), às 
23h55min. 
 
NÃO SERÃO ACEITOS ARQUIVOS EM OUTRO FORMATO! 
 
Obs. 2: Já de antemão adiantamos que a AD2 será realizada de forma exclusiva no fórum. Leia o 
Cronograma e o Guia da disciplina.