Tarefa 1 Mat020 e Mat130 12012

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Primeira Tarefa de Matemática - MAT020 e MAT130 
Primeiro semestre de 2012 
 
Responda às questões abaixo e justifique sua resposta. Descreva o seu raciocínio e 
explique o significado das equações ou funções que venham a ser utilizadas. Comente a 
intenção de cada procedimento. 
 
 
Questão um (5 pontos) 
 
(a) Considere a função quadrática genérica f(x) = ax2 + bx + c, com a diferente de 
zero. 
 
i. Calcule f'(x). 
ii. Calcule o valor de x para o qual f'(x) = 0. 
iii. Analise o crescimento e o decrescimento da função f(x) supondo 
a >0. Relacione o sinal de a com o sinal da derivada de f(x). 
 
Para y = g(x) = ax + b calcule g'(x) e interprete o resultado geometricamente. 
Relacione o sinal da derivada com o crescimento e decrescimento da função. 
Considere os dois casos, a > 0 e a 0; v0 = velocidade inicial. Esboce o 
gráfico dessa solução particular no intervalo [0, + ∞). 
 
Parte B 
 
Responda às perguntas abaixo supondo y(0) = 0, m = 1 e k = 1. Reflita sobre cada 
situação e justifique sua resposta, argumentando sobre a compatibilidade entre o modelo 
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e o fenômeno de fato observado. (Dê a resposta exata e também sua representação 
decimal com quatro casas decimais). 
 
i. Qual deve ser a velocidade inicial v0 para que a birosca pare exatamente a um 
metro do rodapé da parede. 
ii. Qual deve ser a velocidade inicial v0 para que a birosca bata no rodapé da parede 
com a velocidade de 1,6 metros por segundo. Ao atingir o rodapé da parede com 
essa velocidade quanto tempo decorreu entre o lançamento e o choque? 
iii. Qual deve ser a velocidade inicial v0 para que a birosca choque contra o rodapé da 
parede após 3 segundos do lançamento? 
iv. Qual deve ser a velocidade de lançamento v0 para que a vitória seja certa, sem 
qualquer possibilidade de derrota? (Todos os jogadores lançam a birosca de catão 
da posição inicial zero a quatro metros do rodapé da parede). 
 
Questão três (10 pontos) 
 
Sistema massa-mola: movimento harmônico simples. 
 
Pela Lei de Hooke: A força restauradora que uma mola exerce em uma massa é dada 
por F = -kx, em que k é uma constante positiva que depende das características da mola 
e x é o seu deslocamento. (Faça uma pesquisa sobre Robert Hooke e suas atuações na 
biologia e na física do Século XVII). 
 
A função que descreve o movimento de uma massa m conectada a uma mola e sujeita 
apenas à sua força de restauração, de acordo com a Segunda Lei de Newton, satisfaz à 
seguinte equação diferencial: 
 
mx”( t) + kx(t) = 0. (1) 
 
Parte A 
 
Verifique que a função 
 
x(t) = Asen(wt) + Bcos(wt) (2) 
 
satisfaz a equação diferencial (1) quaisquer que sejam os valores das constantes A e B, 
em que w = (k/m)1/2. Verifique que x(0) = B e x’(0) = wA. (x(t) = posição da massa m no 
instante t). 
 
Parte B 
 
Considere na função em (2) que A ≠ 0 e B ≠ 0. Responda às perguntas abaixo. 
 
i. Quando e onde a massa m tem sua velocidade escalar máxima? 
ii. Qual o valor da velocidade escalar máxima? 
iii. Quando e onde a massa m tem velocidade nula? 
iv. Quando a mola obtém seu maior deslocamento? 
v. Qual o valor do alongamento máximo da mola? 
vi. De quanto em quanto tempo a massa passa por um mesmo ponto? (Cuidado)! 
 
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Questão quatro (10 pontos) 
 
Sistema massa-mola: movimento amortecido 
 
Considere a seguinte equação diferencial: 
 
x”( t) + 6x’( t) + 9x(t) = 0. (1) 
 
Parte A 
 
Verifique que 
 
x(t) = (A + Bt)e-3t (2) 
 
satisfaz a equação diferencial (1) quaisquer que sejam as constantes A e B. 
 
Parte B 
 
Na função em (2) suponha A > 0. Verifique que a posição inicial x(0) = A e que a 
velocidade inicial é v0 = x’(0) = B - 3A. 
 
Parte C 
 
Considerandoainda A > 0 esboce a gráfico da função em (2) com as seguintes 
hipóteses: 
 
i. v0 > 0 
ii. v0 = 0 
iii. -3A