LISTA II

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Universidade Federal do Cariri - UFCA
2a Lista de Exerc´ıcios
Disciplina: Matema´tica Aplicada
Curso: Engenharia Civil
Prof. Dr. Juscelino Silva
Nome: Matricula:
1. Resolva as equac¸o˜es abaixo:
(a) y¨− 5y˙+ 4y = 0;
(b) y¨− 9y = 0;
(c) y¨− 10y˙+ 25y = 0;
(d) y¨+ 9y = 0;
(e) y¨+ 4y˙+ 5y = 0;
(f) 4y¨+ 9y = 0;
(g) y¨+ 12y˙+ 36y = 0;
(h) y¨− 4y˙+ 6y = 0.
2. Mostre que
W[eαtcosβt, eαtsenβt] = βe2αt.
3. Resolva os problemas de valor inicial abaixo
(a) 9y¨− 12y˙+ 4y = 0, y(0) = 2, y˙(0) = −1;
(b) y¨− 5y˙+ 9y = 0, y(0) = 0, y˙(0) = 2;
(c) y¨− 5y = 0, y(0) = 2, y˙(0) = 0;
(d) y¨+ 9y = 0, y(0) = 1, y˙(0) = −1.
4. Uma part´ıcula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ac¸a˜o de uma forc¸a ela´stica −x~i
e de uma forc¸a de amortecimento proporcional a` velocidade dada por −2x˙~i. Determine a posic¸a˜o
x(t), t > 0, da part´ıcula e discuta o movimento, supondo
(a) x(0) = 1 e x˙(0) = 0; (b) x(0) = 1 e x˙(0) = −2.
5. Uma part´ıcula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ac¸a˜o de uma forc¸a ela´stica −4x~i.
Supondo x(0) = 1 x˙(0) = −1, determine a velocidade da part´ıcula.
6. Seja f uma func¸a˜o real tal que sua derivada segunda e´ igual a diferenc¸a entre a sua derivada e ela
pro´pria. Determine f sabendo-se que f(0) = 0 e f˙(0) = 1.
7. Um mo´vel desloca-se sobre o eixo Ox com acelerac¸a˜o proporcional a` diferenc¸a entre a velocidade e a
posic¸a˜o. Determine a posic¸a˜o x = x(t) do mo´vel, supondo que x¨(0) = 2, x˙(0) = 1 e x(0) = 0.
8. Uma part´ıcula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo Ox sob a ac¸a˜o de uma forc¸a ela´stica −x~i e de
uma forc¸a proporcional a velocidade dada por −κx˙~i, κ > 0. Determine κ de modo que o movimento
seja:
(a) Fortemente amortecido (∆ > 0);
(b) Criticamente amortecido (∆ = 0);
(c) Oscilato´rio ou subcr´ıtico (∆ < 0).
9. Encontre uma soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial abaixo:
(a) y¨− 2y˙− 3y = 3e2t;
(b) y¨+ 2y˙+ 5y = 3sen 2t;
(c) y¨− 2y˙− 3y = −3te−t;
(d) y¨+ 2y˙ = 3 + 4sen 2t;
(e) y¨+ 9y = t2e3t + 6;
(f) y¨+ 2y˙+ y = 2e−t;
(g) 2y¨+ 3y˙+ y = t2 + 3sen t;
(h) y¨+ y = 3sen 2t+ tcos 2t.
10. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y¨+ y˙− 2y = 2t, y(0) = 0, y˙(0) = 1;
(b) y¨+ 4y = t2 + 3et, y(0) = 0, y˙(0) = 2;
(c) y¨− 2y˙+ y = tet + 4, y(0) = 1, y˙(0) = 1;
(d) y¨− 2y˙− 3y = 3te2t, y(0) = 1, y˙(0) = 0;
(e) y¨+ 4y = 3sen 2t, y(0) = 2, y˙(0) = −1;
(f) y¨+ 2y˙+ 5y = 4e−tcos 2t, y(0) = 1, y˙(0) =
0;
11. Use o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros para determinar a soluc¸a˜o geral das equac¸o˜es diferenciais
abaixo:
(a) y¨+ y = tg t, 0 < t < pi/2;
(b) y¨ + 9y = 9 sec23t, 0 < t <
pi/6;
(c) y¨+4y˙+4y = t−2e−2t, t >
0;
(d) y¨ + 4y = 3 cosec 2t, 0 <
t < pi/2;
(e) 4y¨ + y = 2sec (t/2), −pi <
t < pi;
(f) y¨− 2y˙+ y = et/(1 + t2);
(g) y¨− 5y˙+ 6y = g(t);
(h) y¨+ 4y = g(t).
Prof. Dr. Juscelino Silva
juscelino.silva@ufca.edu.br
Universidade Federal do Cariri