Apostila de álgebra linear Cap 3

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1 
CAPITULO 3 – DETERMINANTES E MATRIZ INVERSA 
 
A cada matriz quadrada de ordem n 
 
ijaA 
 podemos associar um escalar especial 
chamado determinante de A. Escrevemos: 
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
det  
Este número surgiu com o estudo de sistema de equações lineares e é um instrumento 
indispensável para investigar e obter propriedades de matrizes quadradas. 
 
1 – Determinantes de Ordem Um e Dois 
 
Considere o sistema 
bax 
 com 
0a
. 
A solução desse sistema é 
a
b
x 
 e este número está associado à matriz dos coeficientes do 
sistema 
 aA 
. 
Definimos: 
 
aaA det
 
 
Considere agora o sistema 





22221
11211
byaxa
byaxa . 
Se o sistema tiver solução, esta será dada por 













21122211
211112
21122211
122221
aaaa
abab
y
aaaa
abab
x
. 
Observe que os denominadores são iguais e estão relacionados com a matriz dos 
coeficientes do sistema. 







2221
1211
aa
aa
A 
Definimos: 
21122211
2221
1211
det aaaa
aa
aa
A 
 
 
Com base nessa definição podemos expressar a solução do sistema em termos de 
determinantes. 
 2 
Temos que: 








D
N
y
D
N
x
y
x
 
Onde 
AD det
 e 
xN
, 
yN
 são os determinantes das matrizes que se obtém substituindo a 
coluna dos coeficientes das respectivas incógnitas pela coluna dos termos independentes. 
Isto é, 
221
111
y
222
121
N e 
ba
ba
ab
ab
N x 
 
 
Exemplo: Resolva por determinantes o sistema 





153
732
yx
yx
 
Temos que: 
  199103352
53
32
det 

A
 
 
  383353157
51
37


xN
 e 
  192127312
13
72
yN
 
 
Assim a solução desse sistema será: 








1
19
19
2
19
38
y
x
. Isto é 
  1,2 S
. 
 
O método utilizado acima se chama Regra de Cramer e é válido para encontrar a solução de 
qualquer sistema linear 
nn
. Entretanto, na prática, o que se utiliza para sistemas maiores 
é o método do escalonamento de matrizes, sendo este resultado importante somente por 
motivos teóricos. 
 
2 – Determinantes de Ordem Três 
 
Seja 
 
ijaA 
 uma matriz 
33
. Definimos: 
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
det aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A 
 
 
Regra de Sarrus 
 
 3 
Como é difícil guardar a expressão do determinante de uma matriz A de ordem 3, utiliza-se 
a seguinte regra: 
O determinante de A é igual à soma dos produtos dos elementos das diagonais com setas 
“mais” menos a soma dos produtos dos elementos das diagonais com setas “menos”. 
 
 
 
 
 
 
 
3231
2221
1211
333231
232221
131211
det
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule 
Adet
 onde 












431
250
112
A
. 
 
       
2101250240
104223151301121452
31
50
12
431
250
112
det



A
 
 
A Regra de Sarrus é válida para calcular o determinante de matrizes de ordem menor ou 
igual a 3, entretanto, para matrizes de ordem maior que 3 o que usamos é o 
Desenvolvimento de Laplace. 
 
3 – Desenvolvimento de Laplace 
 
O Desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o 
determinante de uma matriz de ordem n, normalmente utilizado quando 
4n
. 
Este método consiste em expressar o determinante de uma matriz A de ordem n. em função 
dos determinantes das submatrizes de ordem n – 1 obtidas eliminando uma linha i e uma 
coluna j da matriz A. 
 
Definição: Seja 
 
ijaA 
 uma matriz de ordem n. Para cada índice ij definimos 
ijA
 como a 
matriz de ordem n – 1 obtida por eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna de A. 
O determinante 
ijAdet
 é chamado de menor relativo à 
ija
. 
O cofator de 
ija
 é o número: 
+ + + 
 
_ _ _ 
 4 
  ij
ji
ij Adet1


 
 
Exemplo: Determine 
23
 se 











198
765
432
A
. 
 
Temos que 
624183892
98
32
detA e 
98
32
2323 





A
 
 
Portanto, 
     661det1 23
32
23 

A
. 
 
Observe que os sinais de 
  ji1
 acompanham o padrão de um tabuleiro de xadrez: 


























 
 
Podemos, usando cofatores, definir o determinante de uma matriz A de ordem n qualquer. 
 
Definição: O determinante de uma matriz 
 
ijaA 
 de ordem n é igual a soma dos produtos 
obtidos pela multiplicação dos elementos de qualquer linha (coluna) fixa por seus 
respectivos cofatores. Isto é: 
 



n
j
ijijaA
1
det
 
 
O cálculo do determinante através desta fórmula é chamado de Desenvolvimento de 
Laplace. 
 
Exemplo 1: Se A é uma matriz de ordem 3, então o determinante de A usando o 
desenvolvimento de Laplace na primeira linha da matriz A é dado por: 
 
332112322311312213322113312312332211
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
3
1
11
333231
232221
131211
det
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
j
jj

 

 
 5 
Exemplo 2: Calcule 
Adet
 onde 












150
324
321
A
 
 
Fixando a 3ª linha de A temos: 
 
      55104508211235660
24
21
1
34
31
5
32
32
0
150
324
321
det






A
 
 
Exemplo 3: Calcule o determinante de 














2013
3021
2132
1245
A . 
 
Utilizando a coluna 3 temos: 
 
    38286628332815613620661222782
321
232
145
0
213
232
145
0
213
321
145
1
213
321
232
2
2013
3021
2132
1245
det
4
1
33





 
i
iiaA
 
4 – Propriedades do Determinante 
 
1) Se A tem uma linha (coluna) de zeros, então 
0det A
. 
 
Por exemplo, se 











123
321
000
A
, então 
0011032023210330120det A
 
 
2) 
tAA detdet 
 
 
 6 
Por exemplo, seja 











001
300
210
A
. Temos que 
 
30231
30
21
1det A
 
 
Por outro lado,   313
01
10
3det
032
001
100











 tt AA
 
 
Desta propriedade segue que qualquer resultado sobre o determinante de A que diga 
respeito às linhas de A, também é válido para as colunas de A. 
 
3) Multiplicando-se uma linha (coluna) de A por uma constante k, então o determinante fica 
multiplicado por k. 
 
Por exemplo, se 
























153
100
642
 e 
153
100
321
BA
. Temos que 
AB ~
, pois 
BA
LL    11 2
. 
Logo 
AB det2det 
 
 
De fato, 
  165
53
21
1
153
100
321det 

A
 e 
  21210
53
42
1
153
100
642
det 

B
 
 
4) Permutando-se duas linhas (colunas) de A, então o determinante troca de sinal. 
 
Por exemplo, se 






















001
210
300
 e 
001
300
210
BA
. Temos que 
AB ~
, pois 
BA
LL    21
. 
] 
 
Logo 
AB detdet 
 
 7 
 
De fato, 
303
30
21
1
001
300
210
det A
 e 
330
21
30
1
001
210
300
det B
 
 
5) O Determinante não se altera se somarmos a uma linha um múltiplo de outra linha. 
 
Por exemplo, se 






















201
100
924
 e 
201
100
321
BA
. Temos que 
AB ~
, pois 
BA
LLL    311 3
. 
 
Logo 
AB detdet 
 
 
De fato, 
2
10
32
1
201
100
321
det A
 e 
2
10
92
1
201
100
924
det B
 
 
6) Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então 
0det A
. 
 
Por exemplo, se 
 
540
321
321










A
, então 
 
01012001210215134320032143521
540
321
321
det A
 
7) 
  BABA detdetdet 
, desde que AB seja bem definida. 
 
 8 
Por exemplo, se 






















105
030
210
 e 
201
100
321
BA
, então 
 
2
10
32
1
201
100
321
det A
 e 
 
  3065
03
21
5
105
030
210
det B
 
 
Daí 
  60302detdet  BA
 
 
Por outro lado, 
 
4110
105
5715










AB
. 
 
Assim 
 
601401525707541511501015510174015det AB
 
 
8) Se A é uma matriz triangular, então o determinante de A é igual ao produto dos 
elementos da diagonal. 
 
Por exemplo, se 






















302
011
004
 e 
200
450
321
BA
, temos 
10512
50
21
2
200
450
321
det A
 e 
 
12143
11
04
3
302
011
004
det B
 
 
Observação: Em geral 
  BABA detdetdet 
. 
 
 9 
De fato, se 






















500
132
150
 e 
201
100
321
BA
 temos que: 
2
10
32
1
201
100
321
det A
 e 
 
  50105
32
50
5
500
132
150
det B
 
 
Daí 
48502detdet  BA
 
 
Por outro lado, 
 
 
  6598121421727120431024127731det 
 e 
701
232
471












BA
BA
 
 
As oito propriedades listadas acima juntamente com o Desenvolvimento de Laplace 
simplificam muito o cálculo de determinantes. 
 
Exemplo: Calcule o determinante de 
















2203
0122
3102
1311
A 
 
Fazendo a operação elementar 
133 2LLL 
 em A obtemos a matriz 
 















2203
2704
3102
1311
B 
 
Pela propriedade (5) temos que 
BA detdet 
. Vamos então calcular 
Bdet
 usando o 
Desenvolvimento de Laplace com a coluna 2. 
 
 10 
  125886362428
223
274
312
1det 


B
 
 
5 – Matriz Inversa 
 
Definição: Uma matriz quadrada A é inversível se existe uma matriz B tal que 
nIBAAB 
. 
Neste caso, dizemos que B é a matriz inversa de A e escrevemos 1 AB . 
 
Exemplo 1: Dada a matriz 







31
52
A
, temos que a matriz inversa de A é 









21
53
1A
 
 De fato: 
 




















 
10
01
21
53
31
52
1AA
 e 





















10
01
31
52
21
53
1 AA
 
 
Exemplo 2: Determine a matriz inversa de 







32
53
A
 
 
Seja 







wz
yx
B
 tal que 
2IBAAB 
. 
 
Logo, 
 

































10
01
3232
5353
10
01
32
53
wyzx
wyzx
wz
yx
AB
 
 
Devemos então resolver os seguintes sistemas: 
 





032
153
:1
zx
zx
S
 e 





132
053
:2
wy
wy
S
 
 
A matriz associada à estes sistemas é A e 
1109det A
. 
 
Assim, usando a regra de Cramer temos: 
 
 11 
3
1
11
03
det
5
1
31
50
det
2
1
01
13
det
3
1
30
51
det










A
N
w
A
N
y
A
N
z
A
N
x
wy
zx
 
 
Portanto 
 















32
53
det
1
wz
yx
NN
NN
A
B
 
 
Precisamos mostrar que 
2IBA 
. 
 
De fato, 
 





















10
01
31
52
32
53
BA
 
 
Exemplo 3: Determine a matriz inversa de 







31
00
A
se existir. 
Seja 







wz
yx
B
 tal que 
2IAB 
. 
 
Logo, 
 
































10
01
33
00
10
01
31
00
wyzxwz
yx
AB
 
 
Assim, 
 





03
)(absurdo! 10
zx
 
 
Suponha agora que existe 







dc
ba
C
 tal que 
2ICA 
. 
 
Logo, 
 
 12 































10
01
3
3
10
01
31
00
dd
bb
dc
ba
CA
 
 
Assim, 
 
)(absurdo! 
13
 0
 e 
03
 1










d
d
b
b
 
 
 Consequentemente a matriz A não é inversível. 
 
Observações: 
 
1) Nem toda matriz tem inversa. 
 
2) Se A tem uma linha(coluna) nula, então A não é inversível. 
 
 
Se A tem uma linha nula, então AB tem uma linha nula, qualquer que seja a matriz B. Assim 
se A fosse inversível, então 
2
1 IAA 
 deveria ter uma linha nula! 
 
 3) A inversa de uma matiz é única. 
 
Sejam 
21 e BB
 matrizes inversas de A. 
    22212111
22
11
BIBBABABBIBB
IABAB
IABAB







 
 
4) Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que 
IBA 
, então 1 AB . 
 
    1111   AIAABAAABBIB
 
 
Logo, basta verificar somente uma das condições de inversibilidade. 
 
5) Se A e B são inversíveis, então AB é inversível e 
  111   ABAB
. 
 
De fato,     
     IBBIBBBAABABAB
IAAAIAABBAABAB




111111
111111 
 
6) A é inversível se, e somente se, tA é inversível. 
 
De fato, A é inversível se, e somente se, existe uma matriz B tal que 
IABBA 
. 
Assim, temos 
    IABBAIBAAB ttttttt 
. 
Segue desta igualdade que tA é inversível.13 
7) A é inversível se, e somente se, 
0det A
. 
 
Temos que 
IAA 1
. 
Assim 
  1detdetdetdet 11   IAAAA
 
Portanto 
0det A
. 
 
Processo Prático para Inversão de Matrizes 
 
Para determinar a inversa de uma dada matriz A siga os seguintes passos: 
 
1 – Escreva a matriz identidade 
nI
 à direita da matriz A. 
2 – Escalone a matriz assim obtida 
 nIA
 até que a matriz do lado esquerdo se transforme 
na matriz identidade. 
3 - Terminada a 2ª etapa, a matriz que está à direita da matriz identidade é a inversa da 
matriz A 
 1AI n 
. 
 
Exemplo 1 - Determine a inversa da matriz 









 

523
302
121
A
. 
 
Vamos escalonar a matriz 
 3IA
 
 
























































































































 
3/13/13/1
12/53/212/1
2/112/1
100
010
001
4/5
3/13/13/1
04/12/1
2/112/1
100
4/510
001
2/3
3/13/13/1
04/12/1
02/10
100
4/510
2/301
3/1
111
04/1
2
1
02/10
300
4/510
2/301
4
103
04/12/1
02/10
840
4/510
2/301
2
103
04/12/1
001
840
4/510
121
4/1
103
012
001
840
540
121
3
100
012
001
523
540
121
2
100
010
001
523
302
121
322311
33233
21122
133122



























LLLLLL
LLLLL
LLLLL
LLLLLL
 
 14 
Assim, 














3/13/13/1
12/53/212/1
2/112/1
1A
 
 
Exemplo 2 - Determine 1A onde 











120
011
101
A
. 
 
Vamos escalonar a matriz 
 3IA
 
 









































































3/13/23/2
3/13/13/1
3/13/23/1
100
010
001
3/13/23/2
011
3/13/23/1
100
110
001
3/13/23/2
011
001
100
110
101
3/1
122
011
001
300
110
101
2
100
011
001
120
110
101
100
010
001
120
011
101
32231133
233122


















LLLLLLLL
LLLLLL
 
 
Logo, 














3/13/23/2
3/13/13/1
3/13/23/1
1A
 
 
6 – Sistemas Lineares X Matriz Inversível 
 
Considere o Sistema Linear 
BAX 
. Podemos mostrar que o sistema tem solução única se, 
e somente se, 
0det A
 e neste caso, 
BAX 1
. 
 
De fato, se 
0det A
, então A é inversível. 
Multiplicando o sistema 
BAX 
por 1A temos: 
 
 
BAX
BAIX
BAXAA
BAAXA
1
1
11
11








 
 15 
Exemplo: Resolva o sistema linear: 








1523
232
32
:
zyx
zx
zyx
S
 
 
Em forma de matriz temos: 
 































 
1
2
3
523
302
121
z
y
x
 
 
 Como já vimos 














3/13/13/1
12/53/212/1
2/112/1
1A
. 
 
Assim, 
 



































 
2
2/3
4
1
2
3
3/13/13/1
12/53/212/1
2/112/1
1BAX
. 
 
Isto é a solução do sistema é dada por: 
 








2
2/3
4
:
z
y
x
S