Exercícios de Circuitos Elétricos

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Engenharia de Biossistemas
Curso de Circuitos Elétricos I
Exercícios
Objetivos: Resolver questões envolvendo circuitos em série, paralelo e mistos, bem como indutores, capacitores e suas associações
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1
Exercícios
Questão 1: Quatro resistores ôhmicos de resistências iguais a 10 Ω, 20 Ω, 30 Ω e 40 Ω são ligados em série e depois em paralelo. Calcule suas resistências equivalentes em cada um dos casos.
Resposta: 100 Ω e 4,8 Ω
Questão 2: Calcule a resistência equivalente aproximada de uma associação mista em que dois resistores, de 10 Ω e 20 Ω, encontram-se associados em série a outros dois resistores, de 30 Ω e 40 Ω, associados em paralelo.
Resposta: 47 Ω
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2
Exercícios
Questão 3: Considere os valores indicados no esquema a seguir que representa uma associação de resistores.
A resistência equivalente dessa associação, em ohms, vale?
Resposta: 50 Ω
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3
Exercícios
Questão 4: A resistência equivalente entre os pontos A e B, em ohms, da combinação de resistores mostrada na figura abaixo é:
Resposta: 6,67 Ω
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4
Exercícios
Questão 5: Na figura abaixo temos um circuito formado por três resistores ligados em paralelo. Determine o valor da resistência do resistor R e da corrente i.
Resposta: i = 0,4 A e R = 60 Ω
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5
Exercícios
Questão 6: Considere dois capacitores, um de 2 pF e outro de 3 pF. Determine as capacitâncias equivalentes para as associações em série e paralelo.
Resposta: 1,2 pF e 5 pF
Questão 7: A figura a seguir apresenta uma associação mista entre três capacitores, C1, C2 e C3. Sendo suas respectivas capacitâncias 1 pF, 2pF e 3 pF, calcule a capacitância equivalente aproximada do conjunto.
Resposta: 0,8 pF
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6
Exercícios
Questão 8: Dado o circuito abaixo determinar:
Carga total;
Capacitância total e;
Tensão entre as placas do capacitor de 15 μF.
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7
Considere a figura abaixo:
Em todos os sentidos da definição, há um circuito aberto entre as placas do capacitor.
Capacitores
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8
Capacitância
É uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em suas placas, ou seja, é sua capacidade de armazenamento
Quanto mais alta a capacitância de um capacitor, maior a quantidade de carga armazenada nas placas para a mesma tensão aplicada
Em particular:
Se uma carga de 1 C (6,242 × 1018 elétrons) for depositada nas placas de um capacitor por uma ddp de 1 volt entre elas, sua capacitância será de 1 farad
Em aplicações práticas, é mais comum o microfarad (μF - 10–6), o nanofarad (nF – 10-9) ou o picofarad (pF - 10–12)
A relação que envolve tensão, carga e capacitância é dada por:
Capacitores
 (2)
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Exemplo:
Se elétrons são depositados sobre a placa negativa de um capacitor por uma tensão aplicada de 60 V, calcule:
A capacitância do capacitor e;
Se 40 V são aplicados através de um capacitor de , calcule a carga nas placas.
Capacitores
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10
Símbolos gráficos de circuito
Os capacitores que satisfazem a equação (1) são chamados de capacitores lineares
Para os capacitores descritos até então, a carga total dentro do dispositivo é zero
As cargas que deixam um terminal, entram no outro terminal, o que atende à exigência de que a corrente que entra em um terminal, precisa sair pelo outro (bipolos)
Capacitores
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11
O capacitor exibe suas características somente quando ocorre uma mudança na tensão ou na corrente do circuito.
A corrente é proporcional à taxa de variação temporal da tensão no capacitor. Matematicamente, temos:
Que é a relação tensão-corrente em um capacitor
Capacitores
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Duas importantes observações em relação à Eq. (3):
A tensão não pode variar instantaneamente nos terminais de um capacitor. Isso produziria uma corrente infinita, o que é fisicamente impossível.
Se a tensão nos terminais for constante, a corrente no capacitor é igual a zero. A razão é que uma corrente de condução não pode ser estabelecida no material dielétrico do capacitor.
Somente uma tensão que varie com o tempo pode produzir uma corrente de deslocamento
Assim, o capacitor comporta-se como uma malha aberta na presença de uma tensão constante.
Capacitores
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Para encontrar em função de , integramos ambos os lados da eq. (3) entre os intervalos t0 e t, obtendo-se:
Na equação, o que a integral representa? E quem é v(t0)?
Em que é a tensão no capacitor C no tempo t0.
Já a tensão v(-), é considerada zero. Assim, uma forma alternativa da eq. (4) é:
Capacitores
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A tensão através dos terminais de um capacitor é acompanhada pela separação das cargas elétricas entre suas placas
Estas cargas têm forças elétricas atuando sobre elas
Energia Armazenada em Capacitores
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15
Um campo elétrico, é definido como a força atuando sobre uma unidade de carga positiva
Então, as forças que atuam nas cargas dentro do capacitor podem ser consideradas como resultantes de um campo elétrico
Por esta razão, a energia armazenada ou acumulada em um capacitor é dita armazenada em um campo elétrico
A energia armazenada em um capacitor, é dada por
Energia Armazenada em Capacitores
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Vimos dos circuitos resistivos, que a associação série-paralelo é uma ferramenta útil para redução de circuitos
A técnica pode ser estendida para ligações série-paralelo de capacitores que são encontradas algumas vezes
Para o circuito da figura abaixo, qual a capacitância equivalente?
Aplicando a LKC, temos: 
A capacitância equivalente de N capacitores ligados em paralelo é a soma de suas capacitâncias individuais.
Capacitores em série e em paralelo
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Observamos que os capacitores em paralelo se associam da mesma forma que os resistores em série
Obtenhamos agora a Ceq de N capacitores ligados em série
Perceba que a mesma corrente i passa (e, consequentemente, a mesma carga) pelos capacitores. Aplicando a LKT ao laço da Figura à esquerda, temos:
Mas 
Capacitores em série e em paralelo
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Exercícios
Calcule a carga armazenada em um capacitor de 3 pF com 20 V entre seus terminais. Determine a energia armazenada no capacitor.
Qual é a tensão entre os terminais de um capacitorde 4,5 mF se a carga em uma placa for 0,12 mC? Quanta energia é armazenada?
A tensão entre os terminais de um capacitor de 5 mF é V. Calcule a corrente que passa por este capacitor.
Se um capacitor de 10 mF for conectado a uma fonte de tensão com V, determine a corrente através do capacitor.
Determine a tensão através de um capacitor de 2 mF se a corrente através dele for mA. Suponha que a tensão inicial no capacitor seja igual a zero.
Capacitores em série e em paralelo
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Exemplos de capacitores reais de valor fixo.
Capacitores
Capacitor eletrolítico
Capacitor de poliéster
Capacitor de tântalo
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Elemento passivo projetado para armazenar energia através de seu campo magnético.
Dispositivo de dois terminais composto de um fio condutor enrolado na forma espiral.
Condutores de corrente elétrica possuem propriedades indutivas e podem ser considerados um indutor.
Indutores
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Contudo, para aumentar o efeito indutivo, um indutor usado na prática é normalmente formado em uma bobina cilíndrica com várias espiras de fio condutor.
A corrente fluindo através do dispositivo produz um fluxo magnético que forma laços fechados envolvendo a bobina e gerando o indutor
Indutores
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22
Para indutores de N espiras, o fluxo total , enlaçado pelas N espiras, denotado por , é:
 (1 – enlace de fluxo)
Em indutores lineares, . Portanto, podemos escrever:
 (2)
Em que L, a constante de proporcionalidade, é a indutância (em webers por ampère – 1Wb/A é a unidade de indutância henry – H)
Na equação de enlace de fluxo, um incremento em i provoca um incremento correspondente em . Este incremento em produz uma tensão na bobina de N espiras
Indutores
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A descoberta de que a tensão ocorre com a variação do fluxo magnético foi provada por Henry, o qual, entretanto, repetindo o erro de Cavendish com o resistor, não divulgou suas descobertas.
Como resultado, é creditada a Faraday a descoberta da lei de indução eletromagnética.
Esta lei estabelece que a tensão é igual à taxa de variação no tempo do fluxo magnético total. Matematicamente:
 (3)
Substituindo (2) em (3), temos:
 (4)
Indutores
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24
Símbolos gráficos de circuito
Fica claro que, com o aumento de i, uma tensão é gerada através dos terminais do indutor;
A polaridade é a mostrada na figura. Esta tensão se opõe ao crescimento de i, pois se não fosse este o caso, ou seja, se a polaridade fosse invertida, a tensão induzida iria “ajudar” a corrente.
Isto não pode ser verdade fisicamente, pois a corrente cresceria indefinidamente.
Indutores
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De (4), se i é constante, então a tensão v é zero.
Portanto, um indutor atua como um curto-circuito para uma corrente contínua.
Por outro lado, quanto maior a velocidade de variação de i, maior será a tensão que aparecerá nos seus terminais.
Indutores
Uma corrente que decresce linearmente de 1 para 0 A em b-1s é do tipo:
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O cálculo de i(t) em função de v(t) é feito integrando a eq. (4) no intervalo entre t0 e t e resolvendo para i:
 (5)
Na eq. (5), a integral mostra o acumulo de i de t0 até t e i(t0) é a corrente em t0. Como i(t0) é a corrente acumulada de até t0 e , tem-se:
 (6)
Exemplo: Um indutor de 10 mH tem uma corrente de mA . Calcule sua tensão e seu enlace de fluxo.
Indutores
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Como já visto, i fluindo através de um indutor produz um enlace de fluxo λ que passa pelas espirais da bobina que constitui o dispositivo
Assim como um trabalho foi desenvolvido pelo movimento das cargas em um capacitar, um trabalho similar é necessário para estabelecer o fluxo φ no indutor
O trabalho ou energia necessário neste caso é dito armazenado no campo magnético. A energia armazenada em um indutor, é dada pelas equações de energia e tensão no indutor
Energia armazenada em Indutores
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28
Energia armazenada em Indutores
Exercício: Calcule a energia armazenada pelo indutor no circuito da figura abaixo, quando a corrente no circuito atinge seu valor final.
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Considere uma associação de N indutores em série, como mostrado na figura abaixo
 Aplicando a LKT, vemos que:
 
Substituindo , obtem-se:
+ +
Indutores em Série e em Paralelo
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30
A indutância equivalente de indutores conectados em série é a soma das indutâncias individuais.
Considere agora uma ligação em paralelo de N indutores, como mostrado abaixo:
Usando a LKC, tem-se:
 
Mas Logo:
 
Indutores em Série e em Paralelo
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Onde
A corrente inicial i(t0) através de Leq no instante t = t0 deve ser, segundo a LKC, a soma das correntes dos indutores no instante t0. Portanto:
++
Indutores em Série e em Paralelo
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Indutores em Série e em Paralelo
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Indutores em Série e em Paralelo
Exemplo 1: Determine a indutância equivalente dos circuitos das figuras abaixo:
Exemplo 2: Para o circuito da abaixo, mA. Se i2(0) = –1 mA, determine: (a) i1(0); (b) v(t), v1(t) e v2(t); (c) i1(t) e i2(t).
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image1.png
oleObject1.bin
R1
R3
R2
7 V
5 V
8 V
i = 0,4 A
image2.emf
R
1
R
3
R
2
7 V5 V8 V
i= 0,4 A
oleObject2.bin
10 Ω
20 Ω
A
B
image3.emf
10 Ω
A
B
20 Ω
oleObject3.bin
R
20 Ω
15 Ω
0,3 A
i
0,8 A
image4.emf
R
20 Ω
15 Ω
0,3 A
i
0,8 A
oleObject4.bin
C1
C3
C2
image5.emf
C
1
C
3
C
2
image6.emf
10 μF
100 V
10 μF
5 μF
15 μF
image7.png
oleObject5.bin
E
R
image8.emf
E
R
image3.png
image4.png
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oleObject6.bin
i
C
v
i
C
v
i
C
v
image9.emf
i
C
v
i
C
v
i
C
v
image70.png
image10.png
image9.png
image90.png
image100.png
image11.png
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image13.png
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image15.png
image16.png
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image18.png
image19.png
image20.png
image21.png
image200.png
image22.png
image23.emf
image24.jpeg
image25.png
image26.png
image27.png
image28.png
image29.png
image30.png
image31.png
image32.emf
i
t0
1
1/b
image33.emf
v
t0
-b
1/b
image34.png
image35.png
image36.png
image34.emf
oleObject9.bin
E
R1
R2
L
5 mH
6 Ω
4 Ω
30 V
image35.emf
E
R
1
R
2
L
5 mH
6 Ω
4 Ω
30 V
image37.png
image36.emf
image37.emf
image40.png
image38.png
image39.png
image43.png
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