Teoremas e Transformações em Circuitos

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Engenharia de Biossistemas
Curso de Circuitos Elétricos I
Linearidade, Teorema da superposição, teorema de THEVENIN e de NORTON
Objetivos: Compreender o conceito de linearidade em circuitos elétricos; Identificar componentes e circuitos lineares e não lineares; Analisar as características de circuitos lineares; Aplicar conceitos de linearidade na resolução de problemas; Compreender os conceitos de circuito equivalente de Thévenin e de Norton e saber construir um ou outro para um circuito; Conhecer a condição de máxima transferência de potência a uma carga resistiva e saber calcular o valor do resistor de carga que satisfaça essa condição.
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Transformação de fontes
É outra ferramenta que ajuda a simplificar os circuitos.
Contudo, um ponto fundamental para essas ferramentas é o conceito de equivalência. Lembrando que um circuito equivalente é um circuito cujas curvas características v-i são idênticas à do circuito original.
Já foi visto que as equações nó-tensão (ou malha-corrente) podem ser obtidas por inspeção de um circuito quando as fontes são todas de corrente independentes (ou todas de tensão independentes).
Portanto, é conveniente, em análise de circuitos, sermos capazes de substituir uma fonte de tensão em série com um resistor por uma fonte de corrente em paralelo com um resistor, ou vice-versa.
Qualquer uma dessas substituições é conhecida como transformação de fontes.
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Transformação de fontes
É o processo de substituir uma fonte de tensão vs em série com um resistor R por uma fonte de corrente is em paralelo com um resistor R, ou vice-versa.
Fig. 1.
Os circuitos da figura acima são equivalentes, desde que tenham a mesma relação v-i nos terminais a-b.
Como demonstrar?
Desativando as fontes, qual a Req nos terminais a-b em ambos os circuitos?
Da mesma forma, quando os terminais a-b forem curto-circuitados, a corrente de curto-circuito fluindo de a para b é no circuito do lado esquerdo e para o circuito da direita.
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Transformação de fontes
Assim, para que os dois circuitos sejam equivalentes. Portanto, a transformação de fontes requer que:
 ou (1)
A transformação de fontes também se aplica a fontes dependentes, desde que tratemos adequadamente a variável dependente e que seja garantido que a equação (1) seja satisfeita.
Fig. 2.
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Transformação de fontes
As seguintes questões devem ser consideradas ao lidar com transformação de fontes:
Observar, na Fig. 1 (ou Fig 2), que as setas da fonte de corrente estão voltadas para o polo positivo da fonte de tensão;
Notar, na equação (1), que a transformação de fontes não é possível quando R = 0, que é o caso de uma fonte de tensão ideal. Entretanto, para uma fonte de tensão não ideal, R ≠ 0. De forma similar, uma fonte de corrente ideal com R = ∞ não pode ser substituída por uma fonte de tensão.
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Transformação de fontes
Exemplo 1: Use transformação de fontes para determinar vo no circuito da figura abaixo.
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Teorema de Thévenin
Em termos práticos, um determinado elemento em um circuito pode ser variável (denominado carga), enquanto outros elementos são fixos;
Um exemplo característico é a tomada de uma residência onde se pode conectar diferentes aparelhos, constituindo em uma carga variável;
Cada vez que o elemento variável for alterado, todo o circuito tem de ser analisado por completo novamente;
O teorema de Thévenin evita esse tipo de problema e fornece uma técnica por meio da qual a parte fixa do circuito é substituída por um circuito equivalente.
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Teorema de Thévenin
O teorema de Thévenin afirma que o circuito linear da Figura 3 pode ser substituído pelo circuito da Figura 4 (ambas mostradas abaixo);
A carga nas figuras pode ser um simples resistor ou um circuito qualquer;
O circuito à esquerda dos terminais a-b na Fig 4b é conhecido como circuito equivalente de Thévenin;
	Fig. 3						Fig. 4
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Teorema de Thévenin
O teorema de Thévenin afirma que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte de tensão VTh em série com um resistor RTh, onde VTh é a tensão de circuito aberto nos terminais e RTh, a resistência de entrada ou equivalente nos terminais quando as fontes independentes forem desativadas.
O objetivo principal é encontrar a tensão equivalente de Thévenin VTh e a resistência equivalente de Thévenin RTh;
Para tanto, supondo que os circuitos das Fig 3 e 4 sejam equivalentes (dois circuitos são ditos equivalentes se tiverem a mesma relação tensão-corrente em seus terminais);
Vejamos o que tornará os circuitos das Fig. 3 e 4 equivalentes.
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Teorema de Thévenin
Se os terminais a-b forem tornados um circuito aberto (eliminando-se a carga), nenhuma corrente fluirá. Portanto, a tensão nos terminais a-b da Fig. 3 terá de ser igual à fonte de tensão VTh da Fig. 4, já que os dois circuitos são equivalentes;
Logo, VTh é a tensão de circuito aberto nos terminais, conforme ilustrado na Fig 5 abaixo, ou seja
 (2)
				Fig. 5
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Teorema de Thévenin
Enfatizando, com a carga desconectada e os terminais em circuito aberto, desligamos todas as fontes independentes;
A resistência de entrada do circuito inativo nos terminais a-b da Fig. 3 deve ser igual a RTh da Fig. 4, pois os dois circuitos são equivalentes;
Portanto, RTh é a resistência de entrada nos terminais quando as fontes independentes forem desligadas, como pode ser observado na Fig. 6; ou seja
 (3)
		
		Fig. 6
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Teorema de Thévenin
Para aplicar esse conceito na determinação da resistência equivalente de Thévenin RTh, precisamos considerar dois casos:
CASO 2 (com fontes dependentes) – desligamos todas as fontes independentes. Segundo a superposição, fontes dependentes não devem ser desligadas (são controladas por variáveis de circuito). Aplicamos uma tensão vo aos terminais a e b, e determinamos a corrente resultante io. Assim, , (ver Fig7).
CASO 1 (sem fontes dependentes) – desligamos todas as fontes independentes. RTh é a resistência de entrada da rede, olhando-se entre os terminais a e b, como ilustrado na Fig. 6.
Fig. 7.
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Teorema de Thévenin
De forma alternativa, pode-se inserir uma fonte de corrente io nos terminais a e b, como na Fig. 8, e encontrar a tensão entre os terminais vo. Chega-se novamente a . Qualquer um dos dois métodos leva ao mesmo resultado.
	Fig. 8
Em ambos os métodos, podemos supor qualquer valor de vo e io. Poderíamos usar, por exemplo, vo = 1 V ou io = 1 A, ou até mesmo valores não especificados de vo ou io.
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Teorema de Thévenin
Muitas vezes, pode ocorrer de RTh assumirum valor negativo; nesse caso, a resistência negativa () implica o fato de o circuito estar fornecendo energia. Isso é possível em um circuito com fontes dependentes.
Portanto, é muito importante na análise de circuitos, pois ajuda a simplificar um circuito, e um circuito grande pode ser substituído por uma única fonte de tensão independente e um único resistor.
Fig. 9
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Teorema de Thévenin
Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito mostrado na figura abaixo, à esquerda dos terminais a-b. Em seguida, determine a corrente através de RL = 6 Ω, 16 Ω e 36 Ω.
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Teorema de Thévenin
Determine o equivalente de Thévenin do circuito da figura abaixo.
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Teorema de Norton
O teorema de Norton afirma que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte de corrente IN em paralelo com um resistor RN, em que IN é a corrente de curto-circuito através dos terminais e RN é a resistência de entrada ou equivalente nos terminais quando as fontes independentes forem desligadas.
Portanto, o circuito da Fig. 10(a) pode ser substituído por aquele da Fig. 10(b), abaixo:
Fig. 10
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Teorema de Norton
Portanto, basicamente o interesse é obter RN e IN.
Determina-se RN do mesmo modo que se determina RTh.
De fato, do que foi estudado sobre a transformação de fontes, as resistências de Thévenin e de Norton são iguais; isto é, .
Para descobrir a corrente IN, determina-se a corrente de curto-circuito que flui entre os terminais a e b em ambos os circuitos da Fig. 10.
É evidente que a corrente de curto-circuito na Fig. 10(b) é IN.
Esta tem de ser igual à corrente de curto-circuito entre os terminais a e b da Fig. 10(a), uma vez que as duas correntes são equivalentes. Portanto, 
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Teorema de Norton
As fontes dependentes e independentes são tratadas da mesma forma que no teorema de Thévenin.
Observar a estreita relação entre os dois teoremas: RN = RTh e:
Isso é, basicamente, transformação de fontes. Por conseguinte, a transformação de fontes é muitas vezes chamada transformação Thévenin-Norton.
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Teorema de Norton
Uma vez que VTh, IN e RTh estão relacionadas, determinar o circuito equivalente de Thévenin e de Norton requer que encontremos:
A tensão de circuito aberto, voc, entre os terminais a e b.
A corrente de curto-circuito, isc, nos terminais a e b.
A resistência equivalente, Rent, nos terminais a e b quando todas as fontes independentes estiverem desligadas.
Podemos calcular quaisquer dois desses três itens usando o método mais fácil e então usá-los para obter o terceiro item pela lei de Ohm.
Da mesma forma, já que
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Teorema de Norton
Determine o circuito equivalente de Norton do circuito da figura abaixo nos terminais a-b.
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