Lista de Exercícios de Álgebra

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3a LISTA DE EXERCÍCIOS DE FMC
01. Determine se as operações binárias * sobre R são associativas e comuta-
tivas em cada um dos seguintes casos:
a)a � b = 3
p
a3 + b3 b)a � b = ab+ a+ b
c)a � b = a+ log10
�
10b�a + 1
�
d)a � b =
p
a2 + b2 + 1
02. Sejam G um grupo e x um elemento �xo de G. Mostre que G munido
com a nova operação binária a � b = axb é um grupo.
03. Seja G um semigrupo com a seguinte propriedade: para qualquer a 2 G
existe um único at 2 G tal que aata = a. Mostre que:
a) Se e 2 G (elemento identidade), então et = e.
b) Se x; a 2 G e atx = at, então x = aat.
c) Para cada a 2 G, ataat = at e (at)t = a.
d) Para todos a; b 2 G, x = (bat)t é solução da equação xb = a.
e) G é um grupo.
04. Seja G um grupo tal que a2 = e, para todo a 2 G. Mostre que G é
abeliano.
05. Seja G um grupo tal que (ab)3 = a3b3 e (ab)5 = a5b5 para todos a; b 2 G.
Mostre que G é abeliano.
06. Seja G um semigrupo tal que a�1(ab) = b = (ba)a�1 para todos a; b 2 G.
Mostre que G é um grupo.
07. Seja o grupo aditivo dos inteiros (G = Z;+). Então H = nZ = fna; a 2
Zg é um subgrupo de G, com n 2 N.
08. Sejam G um grupo e S um subconjunto não vazio de G. Então:
{G(S) = fa 2 G; asa�1 = s 8s 2 Sg = fa 2 G; as = sa 8s 2 Sg
é um subgrupo de G, chamado o subgrupo centralizador de S em G:
09. Seja G um grupo. Então:
Z(G) = fa 2 G; ab = ba 8b 2 Gg
é um subgrupo de G, chamado o centro de G:
1
10. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e a 2 G �xo. Então:
Ha = aHa�1 = faha�1;h 2 Hg
é um subgrupo de G.
11. Sejam G um grupo e n 2 N com n � 2. Sejam:
Hn = fa 2 G; an = eg e Hn = fan; a 2 Gg.
Mostre que se G é abeliano, então Hn e Hn são subgrupos de G:
12. Sejam G um grupo e
H = fa 2 G; a = a�1g.
Mostre que se G é abeliano, então H é subgrupo de G:
13. Sejam G um grupo e a; b 2 G.
a) Mostre que se ab2a�1 = ab, então a = b.
b) Mostre que se jaj = 2 e ab2a�1 = b3, então jbj = 5.
c) Mostre que se ab2a�1 = b3 e ba2b�1 = a3, então a = b = e.
d) Mostre que se jaj = 5 e aba�1 = b2, então jbj = 31.
14. Seja � a seguinte permutação de S10
� =
�
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 7 5 9 4 10 2 6 3 1
�
Calcule a ordem de �.
15. Seja � : G �! H um homomor�smo de grupos. Então:
Im� = fh 2 H;h = �(a), para algum a 2 Gg é um subgrupo de H.
ker� = fa 2 G;�(a) = eHg é um subgrupo de G.
16.Seja � : G �! H um homomor�smo de grupos. Mostre que � é injetora
se, e somente se, ker� = feGg.
17. Seja � : G �! H um homomor�smo de grupos. Mostre que �(an) =
[�(a)]n para todo n 2 Z.
18. Seja G um grupo. Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
2
a) G é um grupo abeliano;
b) A função � : G �! G de�nida por �(a) = a�1 é um homomor�smo de
grupos;
c) A função � : G �! G de�nida por �(a) = a2 é um homomor�smo de
grupos;
d) A função � : G�G �! G de�nida por �(a; b) = ab é um homomor�smo
de grupos.
19. Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal.
20. Mostre que se � : G �! H é um homomor�smo de grupos, então ker�
é um subgrupo normal de G:
21. Seja G um grupo. Então:
a) N é um subgrupo normal em G se, e somente se, aN = Na para todo
a 2 G.
b) Se N e K são subgrupos normais de G, então N\K é um subgrupo normal
em G:
c) N é um subgrupo normal em G se, e somente se, aNa�1 = N para todo
a 2 G.
22. Seja A um anel com identidade e sem divisores de zero.
a) Mostre que ab = 1 se, e somente se, ba = 1 para todos a; b 2 A.
b) Mostre que se a2 = 1, então a = 1 ou a = �1.
23. Sejam A um anel e e 2 A tal que e2 = e. Mostre que:
(xe� exe)2 = (ex� exe)2 = 0 8x 2 A.
24. Seja A um anel. Mostre que A é um anel comutativo se, e somente se,
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 8a; b 2 A.
25. Seja A um anel com identidade tal que a3 = a 8a 2 A. Mostre que A é
um anel comutativo.
26. Sejam A um anel e a 2 A com a2 = 0. Mostre que ab+ ba comuta com
a, para todo b 2 A.
3
27. Sejam A um anel e S um subconjunto de A. Mostre que o conjunto:
AnnA(S) = fa 2 A; as = 0 8s 2 Sg
é um subanel de A chamado o anulador (à esquerda) de S em A.
28. Seja � : A �! B um homomor�smo de anéis. Mostre que:
Im� = fb 2 B; b = �(a), para algum a 2 Ag é um subanel de B
Ker� = fa 2 A;�(a) = 0Bg é um subanel de A
29. Seja � : A �! B um homomor�smo de anéis. Mostre que 8a; b 2 A
�(a) = �(b) se, e somente se, b� a 2 ker�.
30. Sejam A um anel comutativo e a 2 A �xo. Mostre que a função La :
A �! A de�nida por La(x) = ax é um homomor�smo de anéis se, e somente
se, a2 = a.
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