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Estatística - Cap 7 - Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros

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Estatística para Cursos de Engenharia e Estatística para Cursos de Engenharia e 
InformáticaInformática
Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia
São Paulo: Atlas, 2004
Cap. 7 Cap. 7 -- DistribuiçõesDistribuiçõesAmostrais Amostrais 
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Cap. 7 Cap. 7 -- DistribuiçõesDistribuiçõesAmostrais Amostrais 
ee EstimaçãoEstimaçãodedeParâmetrosParâmetros
APOIO:
Fundação de Apoio à Pesquisa Científica e Tecnológica do Estado de Santa Catarina 
(FAPESC)
Departamento de Informática e Estatística – UFSC (INE/CTC/UFSC)
Amostragem e Inferência estatísticaAmostragem e Inferência estatística
POPULAÇÃO: todos 
os possíveis 
consumidores
AMOSTRA: um 
subconjunto dos 
consumidores 
amostragem
Ex.
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
consumidores 
inferência
ConceitosConceitos
• Parâmetro: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, 
etc.) dos valores x1, x2, x3,..., associados à população.
• Amostra aleatória simples: conjunto de n variáveis aleatórias 
independentes {X1, X2, ..., Xn}, cada uma com a mesma distribuição 
de probabilidades de uma certa variável aleatória X. Esta distribuição 
de probabilidades deve corresponder à distribuição de freqüências dos 
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
de probabilidades deve corresponder à distribuição de freqüências dos 
valores da população (x1, x2, x3, ...).
• Estatística: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, 
etc.) das variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, associadas à amostra 
Parâmetros e EstatísticasParâmetros e Estatísticas
Amostra
(X1, X2, ..., Xn)
População
(x1, x2, x3,..., xN)
Parâmetros Estatísticas
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
N
 atributo o com elementos de np
o
=
n
 atributo o com elementos de nP
o
=
ˆ
∑
=
=
N
i
ixN 1
1µ ∑
=
=
n
i
iX
n
X
1
1
( )∑
=
−=
N
i
ixN 1
22 1 µσ ( )∑
=
−
−
=
n
i
i XX
n
S
1
22
1
1
Proporção
Média
Variância
Exemplos de parâmetrosExemplos de parâmetros
• X variável aleatória discreta com função de probabilidade p
Média ou valor esperado: ∑
=
==
k
j
jj pxXE
1
)(µ
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Variância: ∑
=
−==
k
j
jj pxXV
1
22 )()( µσ
22 )()( µ−= XEXV ∑
=
=
k
j
jj pxXE
1
22 )(ou: onde:
Exemplos de parâmetrosExemplos de parâmetros
• X variável aleatória contínua com função de densidade f
Média ou valor esperado:
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Variância:
22 )()( µ−= XEXV ∫
∞
∞−
= dxxfxXE )()( 2ou: onde:
Exemplos de estatísticasExemplos de estatísticas
• (X1, X2,..., Xn): uma amostra aleatória simples da 
população caracterizada por X.
Média : ∑
=
=
+++
=
n
i
i
n X
nn
XXXX
1
21 1...
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Variância: ( )∑
=
−
−
=
n
i
i XX
n
S
1
22
1
1
• Uma estatística é uma variável aleatória e a sua distribuição de 
probabilidades é chamada de distribuição amostral. 
EstatísticasEstatísticas
• (x1, x2,..., xn): amostra efetivamente observada.
Média : ∑
=
=
+++
=
n
i
i
n x
nn
xxx
x
1
21 1...
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Variância: ( )∑
=
−
−
=
n
i
i xx
n
s
1
22
1
1






−
−
= ∑
=
2
1
22
1
1
xnx
n
s
n
i
iou:
Ex. 7.2Ex. 7.2
• População: {2, 3, 4, 5} 
• Parâmetros:
p(x)
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
5,3
4
15
4
14
4
13
4
12)( =×+×+×+×== XEµ
( ) [ ] 25,1)5,35()5,34()5,33()5,32(
4
1
.)( 2222
1
22
=−+−+−+−=−== ∑
=
N
i
ii pxXV µσ
x2 3 4 5
Distribuição da média amostral (Ex. 7.2)Distribuição da média amostral (Ex. 7.2)
X
Amostras possíveis Probabilidade
⁄
• Amostragem aleatória simples de tamanho n = 2.
– Construção da distribuição amostral da média:
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
(2, 2)
(2, 3), (3, 2)
(2, 4), (3, 3), (4, 2)
(2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2)
(3, 5), (4, 4), (5, 3)
(4, 5), (5, 4)
(5, 5)
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
1⁄16
2⁄16
3⁄16
4⁄16
3⁄16
2⁄16
1⁄16
Distribuição da média amostral (Ex. 7.2)Distribuição da média amostral (Ex. 7.2)
p(x)
Distribuição da 
população
Distribuição da 
média amostral
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
)(xp
x2 3 4 5x2 3 4 5
E(X) = 3,5
5,3)( =XE
Média e variância da média amostral (Ex. 7.2)Média e variância da média amostral (Ex. 7.2)
( ) 5,3
16
15
16
25,4
16
34
16
45,3
16
33
16
25,2
16
12 =





+





+





+





+





+





+





=XE
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
625,0
16
1)5,35(...
16
2)5,35,2(
16
1)5,32()( 222 =−++−+−=XV
Distribuição amostral da médiaDistribuição amostral da média
Amostra:
(X1, X2, ..., Xn)
População: N elementos
X : variável quantitativa
Parâmetros:
Amostragem 
aleatória simples
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
(X1, X2, ..., Xn)Parâmetros:
µµµµ = E(X), σσσσ2 = V(X)
Estatísticas:X pode ser vista como uma variável
aleatória se considerar a distribuição de
freqüências da população como uma
distribuição de probabilidades – a
distribuição da população.
∑
=
=
n
i
iX
n
X
1
1
( )∑
=
−
−
=
n
i
i XX
n
S
1
22
1
1
Exemplo de motivaçãoExemplo de motivação
• População X uniforme em [0, 1].




∉
∈
−
=
],[ para ,0
],[ para,1)(
βα
βα
αβ
x
x
xf
• Lembrando: 
X uniforme em [α, β].
1)( =XE
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
xα0
f(x)
β
αβ −
1
2
)( βα +=XE ( )
12
)(
2αβ −
=XV
2
1)( =XE
12
1)( =XV
• Simular dados numa numa 
planilha eletrônica e calcular 
estatísticas.
Média e variância da média amostralMédia e variância da média amostral
µ=)(XE
XV
2
)( σ= se a amostragem for com reposição, 
• Seja a população com média µµµµ e variância σσσσ2.
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
n
XV )( σ= se a amostragem for com reposição, 
ou N muito grande ou infinito
1
)(
2
−
−
⋅=
N
nN
n
XV σ se a amostragem for sem reposição e
N não muito grande, N < 20n
Distribuição da média amostralDistribuição da média amostral
• (Teorema do limite central) Se o tamanho da amostra for 
razoavelmente grande, então a distribuição amostral da 
média pode ser aproximada pela distribuição normal.
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Distribuição da média amostralDistribuição da média amostral
• População • Amostra ∑
=
=
n
i
iX
n
X
1
1
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.Atlas, 2004
µ=)(XE
2)( σ=XV
σ=)(XDP
µ=)(XE
n
XV
2
)( σ=
n
XDP σ=)(
População de tamanho NPopulação de tamanho N
População dos salários dos empregados 
de certo setor da economia (N =1.000)
Distribuição de freqüências de médias 
de amostras de tamanho n = 100
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 
2004
µ=)(XE
1
)(
2
−
−
⋅=
N
nN
n
XV σ
1
)(
−
−
=
N
nN
n
XDP σ
µ=)(XE
2)( σ=XV
σ=)(XDP
Distribuição amostral da proporçãoDistribuição amostral da proporção
População: elementos
A A
AA NNN +=
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Amostra:
(X1, X2, ..., Xn)
A
0 ou 1
(0 = sem o atributo;
1 = com o atributo)
Parâmetro:
p = proporção dos elementos 
que têm o atributo A
Distribuição da população (caso de proporção)Distribuição da população (caso de proporção)
x p(x)
0
1
1 – p
p
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
µ = p
σ2 = p(1 – p)
Média e variância:
Média e variância da proporção amostralMédia e variância da proporção amostral
pPE =)ˆ(
n
ppPV )1()ˆ( −= se a amostragem for com reposição, ou N
muito grande ou infinito 
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
n
PV )( =
muito grande ou infinito 
1
)1()ˆ(
−
−
⋅
−
=
N
nN
n
ppPV
ou:
se a amostragem for sem reposição e N
não muito grande, N < 20n
Distribuição da proporção amostralDistribuição da proporção amostral
• Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande, 
então a distribuição amostral da proporção pode ser 
aproximada pela distribuição normal. 
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
• OBS. Se n for pequeno, a distribuição exata é binomial ou 
hipergeométrica (dependendo se a amostragem for com
ou sem reposição)
universo do estudo (população)
Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
O raciocínio indutivo da estimação de parâmetros
dados observados
AMOSTRA
POPULAÇÃO
p = ?
Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
X1 X2 X3 ...Observações: pˆ
p = ± erro amostralpˆ
Estimação de parâmetros:Estimação de parâmetros:
intervalo de confiança para proporçãointervalo de confiança para proporção
= proporção na população (parâmetro que se quer estimar)
= proporção na amostra (pode ser calculada com base na 
amostra)
p
p
ˆ
σ
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
= erro-padrão da proporção, que para amostra aleatória simples 
com reposição (ou sem reposição, mas com N >> n), pode 
ser estimado por:
Pˆσ
n
pp
sP
)ˆ1(ˆ
ˆ
−
=
Estimação de parâmetros:Estimação de parâmetros:
intervalo de confiança para proporçãointervalo de confiança para proporção
Seja uma variável aleatória normal padrão, Z. Vale:
{ } 95,096,196,1 =≤≤− ZP
95,096,1
ˆ
96,1
ˆ
=








≤
−
≤−
P
pPP
σ n
pp
P
)1(
ˆ
−
=σEntão: sendo:
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
ˆ  P
{ } 95,0)96,1(ˆ)96,1(ˆ
ˆˆ
=+≤≤− PP PpPP σσou:
PpP ˆ)96,1(ˆ σ≤−com probabilidade de 95%:
PppIC ˆ)96,1(ˆ%)95,( σ±=
intervalo de confiança para p, 
com nível de confiança de 95%:
Estimação de parâmetros:Estimação de parâmetros:
intervalo de confiança para proporçãointervalo de confiança para proporção
• Com dados de uma amostragem aleatória simples com 
reposição (ou sem reposição, mas com N >> n), tem-se um 
intervalo de confiança para p, com nível de confiança γ :
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
n
pp
zppIC )ˆ1(ˆˆ),( −±= γγ
Estimação de parâmetros:Estimação de parâmetros:
intervalo de confiança para proporçãointervalo de confiança para proporção
n
pp
zppIC )ˆ1(ˆˆ),( −±= γγ
 
n íve l de 
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
0 Z γ - Z γ 
n íve l de 
con fiança 
desejado 
(γγγγ = 1-αααα ) 
α ⁄2 
α ⁄2 
γ 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 0.995 0,998
zγ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090
Resultados do Exemplo 7.3:Resultados do Exemplo 7.3:
Intervalo de 95% de confiança para p
Intervalo de 99% de confiança para p
(60,0 ± 6,3%)
60,0%
Intervalo de 95% de confiança para p
(60,0 ± 4,8%)
55,2%53,7% 64,8% 66,2%
Estimação de parâmetros:Estimação de parâmetros:
intervalo de confiança para médiaintervalo de confiança para média
= média na população (parâmetro que se quer estimar)
= média na amostra (pode ser calculada com base na amostra)x
σ
µ
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
= erro-padrão da média.Xσ
n
X
σ
σ =
Estimação de parâmetros:Estimação de parâmetros:
intervalo de confiança para intervalo de confiança para média µmédia µ
Seja uma variável aleatória normal padrão, Z. Vale:
{ } 95,096,196,1 =≤≤− ZP
Então: γ
σ
µ
γγ =










≤−≤− z
n
X
zP{ } γγγ =≤≤− zZzP
σσ 
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
ou:
com probabilidade de 95%:
intervalo de confiança para µ, 
com nível de confiança de γ:
γσµσ γγ =






+≤≤−
n
zX
n
zXP
n
zxIC σγµ γ±=),(
Estimação de parâmetros:Estimação de parâmetros:
intervalo de confiança para médiaintervalo de confiança para média
Caso o desvio padrão (populacional) seja conhecido:
zxIC σγµ ±=),(
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
n
zxIC σγµ γ±=),(
Estimação de parâmetros:Estimação de parâmetros:
intervalo de confiança para médiaintervalo de confiança para média
Caso o desvio padrão (populacional) não seja conhecido:
uso da distribuição t de Student.
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
A distribuição A distribuição t t dede StudentStudent
• Supondo a população com distribuição normal, a 
estatística
n
S
X
T
µ−
=
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
tem distribuição de probabilidades conhecida como 
distribuição t de Student, com gl = n – 1 graus de 
liberdade. 
n
A distribuição A distribuição t t dede StudentStudent
t com gl = ∞ (normal padrão)
t com gl = 3
f(x)
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
t com gl = 1
x0
A distribuição A distribuição t t dede StudentStudent
Estimação de parâmetros:Estimação de parâmetros:
intervalo de confiança para médiaintervalo de confiança para média
Caso o desvio padrão (populacional) não seja conhecido:
n
s
txIC γγµ ±=),(
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
n
γ
s = desvio padrão calculado na amostra
Como usar a Tabela Como usar a Tabela tt (Tab. IV do Apêndice)(Tab. IV do Apêndice)
• Ilustração com gl = 9 e nível 
de confiança de 95%.
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Tamanho de amostraTamanho de amostra
• Na fase do planejamento da pesquisa, muitasvezes 
precisamos calcular o tamanho n da amostra, para 
garantir uma certa precisão desejada, a qual é descrita em 
termos do erro amostral máximo tolerado (E0,) e do nível 
de confiança (γ) a ser adotado no processo de estimação.
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
de confiança (γ) a ser adotado no processo de estimação.
• Suponha amostragem aleatória simples 
Tamanho de amostraTamanho de amostra
• No caso de estimação de µ, podemos exigir 
0EX ≤− µ
ou:
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
0E
n
z ≤σγ
E
z
 n 
0
2
22 σγ≥
ou:
ou:
Tamanho de amostraTamanho de amostra
• No caso de estimação de p, a população é caracterizada por uma 
variável 0-1, portanto: 
4
1)1.(2 ≤−= ppσ σσσσ
2
 = p (1-p )
1 ⁄4
Assim:
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
 
p
 
0
 
1 ⁄2 1
E
ppz
 n 
0
2
2 )1( −
≥ γ
Ver discussão no livro.E
z
 n 
4 0
2
2
γ
=
Então, 
é suficiente para qualquer p. 
Tamanho mínimo de uma amostra aleatória simplesTamanho mínimo de uma amostra aleatória simples
E
z
 = n
0
2
22
0
σγ
( )
E
ppz
 = n
0
2
2
0
1−γ
Parâmetro de interesse Valor inicial do tamanho da amostra
uma média (µµµµ):
uma proporção (p):
BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
E
z
 = n
4 0
2
2
0
γ
0nn =
10
0
−nN +
nN.
n = 
várias proporções (p1, p2, ...):
Tamanho da amostra
População infinita: (arredondamento para 
o inteiro superior)
População de tamanho N: (arredondamento para 
o inteiro superior)

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