Unidade 1 - Números naturais

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Matemática Básica para Biologia Unidade 1 
 
 
 
Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 1 
 
 
 
 
Unidade 1 
Conjuntos e Números naturais 
 
 
 
 
Metas 
Esta unidade apresenta a noção matemática de conjuntos, introduzindo este importante 
conceito para a estruturação do estudo da matemática. Trataremos ainda do conjunto 
numérico compreendido pelos números naturais, que traduz o processo de contagem. 
Objetivos 
Ao final desta unidade você deve: 
• reconhecer conjuntos e elementos, relacionando-os por pertinência ou por inclusão; 
• realizar operações de união, interseção e diferença entre conjuntos; 
• conhecer os números naturais, assim como a sua representação em notação decimal; 
• saber resolver problemas práticos por meio de contagem; 
• saber aplicar métodos alternativos de contagens; 
• conhecer uma representação geométrica dos números naturais; 
• conhecer as duas operações básicas entre números naturais; 
• entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos em 
contextos de Biologia. 
 
Matemática Básica para Biologia Unidade 1 
 
 
 
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Conjuntos: Noções iniciais 
 
 Parabéns! Você está dando início ao seu curso de Ciências Biológicas e estamos 
muito felizes em poder participar do começo de sua formação, através da revisita a 
alguns conceitos de Matemática que serão fundamentais para o bom desenvolvimento 
da sua graduação. É bom ter você conosco! 
 Mas logo Matemática, pra que isso? Você escolheu Biologia! Por que então 
estudar Matemática? Mas você sabia que a Matemática ajuda muito no desenvolvimento 
dos estudos biológicos? Quer ver alguns exemplos? Verifique em 
http://cienciahoje.org.br/biologia-e-matematica-aplicadas-e-combinadas/ 
 Você está matriculado no Consórcio CEDERJ, que é um conjunto de 
universidades públicas (UFRJ, UERJ, UNIRIO, UENF, UFRRJ, UFF) que se reuniram 
para oferecer cursos a distância. Atualmente, o Consórcio CEDERJ oferece um 
conjunto de cursos que transitam por diversas áreas: Administração, Administração 
Pública, Licenciatura em Ciências Biológicas, Licenciatura em Física, Licenciatura em 
História, Licenciatura em Letras, Licenciatura em Matemática, Licenciatura em 
Pedagogia, Licenciatura em Química, Licenciatura em Turismo, Tecnologia em 
Sistemas de Computação e Tecnologia em Turismo. 
A disciplina de Matemática Básica era oferecida para o curso de Biologia, mas 
quando consideramos as especificidades deste curso, percebemos as vantagens de se 
construir um curso de Matemática Básica específica para o curso de Biologia, com um 
conjunto de conteúdos voltados para o desenvolvimento instrumental dos estudos 
biológicos. Neste conjunto de conteúdos, podemos listar o estudo dos números e suas 
operações, linguagem algébrica (produtos notáveis, fatoração e equações), funções 
(noções iniciais, função afim, quadrática, exponencial e logarítmica). 
 Nossa... como falamos em conjunto nos parágrafos anteriores! Mas que outra 
palavra poderíamos usar para substituir esta? Difícil, concorda? Esta é uma palavra que 
contém tanto significado associado a ela que é usada para definir um objeto matemático 
fundamental para a construção desta ciência e que é o tema do estudo desta unidade: os 
conjuntos em Matemática. 
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 Os conjuntos para a Matemática são a estrutura que usamos para organizar 
elementos e objetos que estejam em uma mesma categoria, ou seja, que apresentem 
alguma propriedade comum. Por exemplo, podemos pensar no conjunto dos polígonos 
(figuras planas fechadas formadas por segmentos de retas), que contém o conjunto dos 
quadriláteros, o conjunto dos triângulos, o conjunto dos pentágonos etc. 
 
 Outro exemplo pertinente aqui é a organização dos seres vivos segundo as 
orientações da Biologia. A estrutura é formada pelo grande conjunto dos seres vivos no 
qual estão encontram contidos vários subconjuntos, esquematizados em ordem 
decrescente de dimensão como reino, filo, classe, ordem, família, gênero e espécie. 
 
Fonte: http://www.zoo.feis.unesp.br/material-didatico/Nat%E1lia%20Michelan%20-%20Bio/AULA%201%20-
%20CLASSIFICA%C7%C3O%20DOS%20SERES%20VIVOS.pdf, acessado em 23/01/2013. 
 Nesse modelo, são considerados cinco grandes conjuntos de seres vivos, 
chamados reinos: Plantae (plantas), Animalia (animais), Fungi (fungos), Protista (algas 
e protozoários) e Monera (bactérias e cianobactérias). Mais recentemente, um novo 
reino, denominado Chromista, foi proposto por Cavalier-Smith, em 1998, englobando 
os seres informalmente denominados como algas e alguns outros originalmente 
classificados como fungos. 
http://www.zoo.feis.unesp.br/material-didatico/Nat%E1lia%20Michelan%20-%20Bio/AULA%201%20-%20CLASSIFICA%C7%C3O%20DOS%20SERES%20VIVOS.pdf
http://www.zoo.feis.unesp.br/material-didatico/Nat%E1lia%20Michelan%20-%20Bio/AULA%201%20-%20CLASSIFICA%C7%C3O%20DOS%20SERES%20VIVOS.pdf
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http://www.zoo.feis.unesp.br/material-didatico/Nat%E1lia%20Michelan%20-%20Bio/AULA%201%20-
%20CLASSIFICA%C7%C3O%20DOS%20SERES%20VIVOS.pdf, acessado em 23/01/2013. 
Quer saber mais sobre isso? Consulte http://educar.sc.usp.br/ciencias/ ou 
http://www.zoo.feis.unesp.br/. 
 Nestes nossos exemplos, um polígono é elemento do conjunto dos polígonos, 
assim como um losango é elemento do conjunto dos quadriláteros e um triângulo 
retângulo é elemento do conjunto dos triângulos. Da mesma forma, um urso e um gato 
são elementos do conjunto do reino Animalia e um arbusto, ou uma samambaia são 
elementos do conjunto do reino Plantae, sendo ainda todos (o urso, o gato, o arbusto e a 
samambaia) elementos do conjunto dos seres vivos. Um elemento qualquer sempre 
pertence (∈) ou não-pertence (∉) à algum conjunto. E, conjuntos também podem 
pertencer a conjuntos? 
 Há situações em que todos os elementos de um conjunto também são elementos 
de outro conjunto. Todos os insetos, por exemplo, são elementos do conjunto dos seres 
vivos, mas também são elementos do conjunto dos animais do reino Animalia, do filo 
Artrópode e assim sucessivamente. Da mesma maneira, todos os quadrados são 
elementos do conjunto dos quadriláteros e ainda todos os quadriláteros são elementos 
do conjunto dos polígonos. Isso equivale a dizer que o conjunto dos insetos é 
subconjunto do conjunto dos seres vivos, ou que o conjunto dos quadrados é 
subconjunto do conjunto dos quadriláteros e do conjunto dos polígonos, sendo também 
o conjunto dos quadriláteros um subconjunto do conjunto dos polígonos. Quando um 
conjunto é subconjunto de outro conjunto, dizemos que o primeiro está contido (⊂) no 
http://www.zoo.feis.unesp.br/material-didatico/Nat%E1lia%20Michelan%20-%20Bio/AULA%201%20-%20CLASSIFICA%C7%C3O%20DOS%20SERES%20VIVOS.pdf
http://www.zoo.feis.unesp.br/material-didatico/Nat%E1lia%20Michelan%20-%20Bio/AULA%201%20-%20CLASSIFICA%C7%C3O%20DOS%20SERES%20VIVOS.pdf
http://educar.sc.usp.br/ciencias/
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segundo ou ainda que o segundo conjunto contém (⊃) o primeiro. Entretanto, quando 
um conjunto tem quase todos os seus elementos pertencentes a um outro conjunto, 
excetuando-se algum, não podemos dizer que o primeiro é subconjunto do segundo (). 
Fique atento aos conjuntos indicadosabaixo e responda às atividades propostas a seguir. 
A – conjunto dos seres vivos do reino Animalia. 
B – conjunto dos números ímpares. 
C – conjunto dos quadriláteros. 
D – conjunto dos Estados da região Sudeste. 
E – conjunto das estruturas (orgânulos) das células encontradas no citoplasma. 
F – conjunto dos seres vivos da classe dos vertebrados. 
G – conjunto dos números naturais. 
H – conjunto dos Estados do Brasil. 
 
Atividade 1 – Escreva utilizando os símbolos vistos acima. 
a) Rio de Janeiro pertence ao conjunto dos Estados da região Sudeste. 
b) Bahia não pertence ao conjunto dos Estados da região Sudeste. 
c) Mitocôndria pertence ao conjunto das estruturas celulares encontradas no 
citoplasma. 
d) Intestino não pertence ao conjunto das estruturas celulares encontradas no 
citoplasma. 
e) Retângulo pertence ao conjunto dos quadriláteros. 
f) Cachorro pertence ao conjunto dos seres vivos do reino Animalia. 
g) Borboleta não pertence ao conjunto dos vertebrados. 
Atividade 2 – Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso): 
a) São Paulo  D 
b) Brasil  H 
c) 21  B 
d) 21  G 
e) Sabiá  F 
f) Peixe  A 
g) G  B 
h) H  D 
i) F  A 
j) B  G 
k) A  C 
l) H  B 
 
 
 
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Conjuntos: Operações (união, interseção e diferença) 
Usamos o símbolo de  (união) para juntar os elementos de dois conjuntos. 
Assim, se temos dois conjuntos A e B, o conjunto A  B é o conjunto formado pelos 
elementos que estão em A ou estão em B. 
O símbolo  (interseção) é usado para destacar os elementos que estão ao 
mesmo tempo em dois conjuntos. Isso quer dizer que, se temos dois conjuntos A e B, o 
conjunto A  B é o conjunto formado pelos elementos que estão em A e também estão 
em B. 
Vamos fazer uma atividade em que utilizamos  e ? 
 
D. Sônia acaba de chegar do supermercado e está arrumando as compras na 
despensa. Ela é muito organizada e gosta que tudo fique arrumado bem direitinho! 
Lógico, assim ela facilita o seu trabalho, fica muito mais fácil encontrar as coisas, 
quando elas estão bem organizadas... 
Pois é, nessa organização, ela agrupa os itens que trouxe do supermercado, 
conforme características que eles têm, seja quanto ao tipo de embalagem, seja quanto ao 
tipo de produto, contido nestas embalagens. Por exemplo, quanto ao tipo de embalagem, 
D. Sônia estabeleceu algumas categorias, como latas ou caixas; em relação aos tipos de 
produtos comprados, D. Sônia organizou em alimentos ou limpeza. 
Veja alguns itens que D. Sônia trouxe nas suas últimas compras: 
 
 
Refrigerante 2L 
 
 
Detergente 
 
 
Sabão em pó 
 
 
Atum sólido 
Leite em caixa Inseticida Spray Óleo de Soja Creolina 
Leite em pó Leite de soja com fruta Sabão líquido Iogurte 1L 
 
Atividade 3 – A imagem abaixo apresenta uma visão superior de uma das prateleiras da 
despensa de D. Sônia. Na região de cor vermelha (A), ela vai colocar os alimentos que 
ela trouxe do supermercado e na região de cor verde, ela vai arrumar os produtos 
embalados em lata que ela trouxe nestas mesmas compras (T). Vamos ajuda-la? 
Organize na figura os produtos que D. Sônia comprou! A seguir, responda às perguntas 
propostas abaixo: 
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a) Você conseguiu arrumar todas as compras de D. Sônia nestas prateleiras? 
b) Que produtos ficaram na prateleira A dos alimentos? 
c) Que produtos ficaram na prateleira T das latas? 
d) Que produtos ficaram nas duas prateleiras ao mesmo tempo? 
e) Que produtos ficaram de fora dessas prateleiras? 
 
 
Atividade 4 
Vamos organizar as compras de D. Sônia nos conjuntos A dos alimentos, L de 
limpeza, C dos produtos embalados em caixas e T dos produtos embalados em latas. 
Escreva no seu caderno os conjuntos A, L, C e T, representando seus elementos entre 
chaves. 
Depois de ter feito isso, responda também em seu caderno às perguntas propostas 
abaixo. 
 
a) Se juntarmos os produtos dos conjuntos A e C, quais produtos teremos? 
A 
 
T 
 
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b) Há produtos que estejam ao mesmo tempo em A e C? Quais são eles? 
c) Juntando L e C, que produtos encontramos? 
d) Há produtos que estejam ao mesmo tempo em L e T? 
e) Juntando A e L, que produtos obtemos? 
f) Há produtos que estejam em C e T simultaneamente? 
 
 
Atividade 5 
Você se lembra da copa do mundo de 2006? Que países participaram dessa copa? 
Nossa, não tem muito tempo, mas já ficou tão distante! 
A seguir, colocamos uma tabela identificando esses países. 
 
Figura 5 - países participantes da Copa da Fifa 2006 
Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_sele%C3%A7%C3%B5es_participantes_da_Copa_do
_Mundo_FIFA_de_2006. 
 
E em 2010? Está mais recente! Vamos ver quais foram os países? 
 
Figura 6 - países participantes da Copa da FIFA 2010 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Copa_do_Mundo_FIFA_de_2010 
Pense em dois conjuntos: o conjunto S (de seis), com as seleções centro ou sul-
americanas que participaram da copa de 2006 e o conjunto D (de dez) com as seleções 
centro ou sul-americanas, participantes da copa de 2010. 
a) Quantas seleções existem no conjunto S? Quais são elas? 
b) Escreva o conjunto o D? Quantas seleções pertencem à este conjunto? 
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c) Que seleções centro ou sul-americanas participaram das duas edições da copa do 
mundo de 2006 e de 2010? Represente esse conjunto (vamos chamá-lo de E) 
como uma operação entre os conjuntos S e D. Quantos elementos existem em E? 
d) Quando listarmos as seleções centro ou sul-americanas que participaram de pelo 
menos uma das duas últimas copas do mundo, que seleções seriam estas? 
Escreva-as no conjunto T. 
e) Represente T como uma operação entre os conjuntos S e D. Quantos elementos 
há em T? 
f) Represente essas seleções no diagrama que se segue. 
 
 
 
Muito bom! Vamos conhecer mais uma operação com conjuntos! É a Diferença entre 
conjuntos. Veja! 
A diferença entre dois conjuntos é a operação que resulta nos elementos que 
pertencem ao primeiro conjunto e não pertencem ao segundo conjunto. Representamos 
a diferença entre dois conjuntos por um sinal de menos ( − ) ou ainda por uma barra 
invertida ( \ ). Para não gerarmos confusão, vamos usar nesse material apenas o sinal de 
menos ( − ), combinado? 
Bem, ficamos assim então: se temos dois conjuntos A e B, então o conjunto A − 
B é o conjunto dos elementos que estão no conjunto A e não estão no conjunto B. 
 
 
 
S 
D 
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Atividade 6 
Vamos retomar então a atividade 5 e responder a alguns itens adicionais. 
a) Quais seriam as seleções que integrariam o conjunto S − D? 
b) Que seleções estão no conjunto D − S? 
c) As respostas aos itens (a) e (b) foram iguais? Por quê? 
 
Atividade 7 
Vamos usar novamente os conjuntos A dos alimentos, L de limpeza, C dos produtos 
embalados em caixas e T dos produtos embalados em latas que vimos na atividade 4? 
Com base no que você fez naquela atividade, responda em seu caderno aos itens 
propostos abaixo! 
a) Que elementos estão no conjunto resultante de A − T? 
b) Que elementos estão no conjunto resultante de T − A? 
c) Que elementos estão no conjunto resultante de C − A? 
d) Usandoa operação diferença entre conjuntos, represente o conjunto que contém 
os produtos de limpeza que não estão acondicionados em latas. 
e) Novamente, usando a operação diferença entre conjuntos, represente o conjunto 
que contém os produtos acondicionados em caixas que não podem ser ingeridos 
como alimentos. 
Vamos praticar mais um pouco? 
 
Atividade 8 
O curso de biologia de uma grande Universidade promoveu um estudo sobre as áreas 
em que seus alunos pretendiam se especializar. Dentre os 80 estudantes de Biologia 
investigados, percebeu-se que 50 pretendem especializar-se em botânica, 40 em 
zoologia e 30 em genética. 
Dentre os futuros botânicos, 15 não pensam em mais nenhuma outra área, 6 gostam de 
zoologia, botânica e genética, 22 simpatizam também com zoologia e não pensam em se 
aperfeiçoar em genética. Sabe-se que apenas um destes estudantes gosta de zoologia e 
genética e não gosta de botânica. 
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O diagrama que está abaixo sugere uma organização para estes dados sob a forma de 
conjuntos. Utilize-o em conjunto com as informações acima para determinar quantos 
estudantes não gostam nem de botânica, nem de zoologia e nem de genética. 
 
 
Quer experimentar mais sobre esse assunto? Em 
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/amem/encomendas/opera_conjuntos/inde
x.html encontramos alguns jogos bem interessantes envolvendo operações com 
conjuntos! Não deixe de visitar! 
Você viu nesta seção como os conjuntos podem ser encontrados em diversas 
partes e como eles são úteis para organizar elementos que tenham entre si algum tipo de 
propriedade em comum. Viu que é possível representar um conjunto simbolicamente e 
também as relações entre elementos e conjuntos e entre conjuntos. Conheceu as 
operações entre conjuntos – a união, para juntar os elementos de dois conjuntos, a 
interseção, para identificar os elementos que dois conjuntos têm em comum, e a 
diferença, que retira de um conjunto os elementos que estão em outro conjunto. 
Também usamos os conjuntos, em Matemática, para organizar os números. As 
estruturas criadas para isso são os chamados conjuntos numéricos. Vamos conhecê-los 
melhor? 
 
Conjuntos Numéricos 
Números naturais e o processo de contagem 
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/amem/encomendas/opera_conjuntos/index.html
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/amem/encomendas/opera_conjuntos/index.html
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 A noção matemática que representa o processo de contagem é dada pelo 
conjunto dos números naturais. Bem a grosso modo, o conjunto dos números naturais é 
caracterizado por ser formado por um elemento, o sucessor deste elemento, o sucessor 
do sucessor, e assim por diante, sendo que o primeiro elemento mencionado não é 
sucessor de nenhum outro elemento. O primeiro número natural, aquele que não é 
sucessor de outro, costuma ser representado pelo algarismo 1. O próximo número 
natural, isto é, o sucessor de 1, é, então, representado pelo algarismo 2. Na sequência de 
sucessores, os números naturais seguintes são representados pelos algarismos 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9, respectivamente. 
 Como o processo de considerar o sucessor do sucessor não termina nunca, o 
problema de representar qualquer número natural por símbolos variados parece ser um 
tanto complicado. Felizmente, existe uma forma bem esperta de representar todo 
número natural somente através dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, além do 
algarismo 0. 
 O sucessor do 9 é representado por 10, o sucessor do 10 é representado por 11, o 
do 11 é representado por 12, e assim por diante, até 19. Trabalhando sempre com 
agrupamentos de elementos de 10 em 10 quantidades, podemos representar qualquer 
número natural só com os algarismos 0, 1, 2, ..., 9. A representação dos números 
naturais de acordo com este método é chamada representação decimal (ou 
representação na base 10). Segundo a representação decimal, o conjunto dos números 
naturais pode ser representado parcialmente por 
 
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 19, 20, 21, ..., 100, 101, ..., 140, 141, ...}. 
 
Observação: Neste momento, o algarismo 0 tem apenas a função de marcar posição. Por 
exemplo, sem o zero, o significado de 1 2 poderia ficar confuso. Significa 12 ou 102? O 
algarismo 0 marcando a posição das dezenas, no caso, ajuda a definir este tipo de 
questão. 
 A propósito, o homem realiza contagens, com certeza, desde que se organizou 
em sociedades, a milhares de anos atrás. Contudo, só um pouco antes do séc. XII o 
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conhecimento do sistema decimal de representação numérica foi universalizado. Você 
já parou para pensar sobre como a ideia de representação decimal é engenhosa, leitor? 
Atividade 9 
a) A figura abaixo apresenta uma população de bactérias que um biólogo precisa contar. 
Vamos ajuda-lo? (Dica: faça grupos de 10 bactérias). 
 
b) Esta atividade ajudou você a perceber por que a representação simbólica dos 
números naturais é eficiente? Por exemplo, veja o espaço ocupado pelas bactérias e o 
espaço ocupado pela sua resposta. Ou, então, imagine este grupo de bactérias sendo 
comparado com outro grupo de bactérias. É muito diferente de comparar as quantidades 
representadas por números? Para entender esta última questão, considere a figura abaixo 
e diga qual grupo de bactérias tem a maior quantidade. Você consegue responder sem 
fazer contagem, só pelo aspecto visual? 
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Atividade 10 
Em ônibus de viagem, temos o assento de número 1 atrás do motorista e perto da janela. 
O assento de número 2 fica ainda atrás do motorista, mas voltado para o corredor. O 
assento de número 3 é do lado oposto do corredor e voltado para a janela, enquanto que 
o assento de número 4 fica perto do corredor. A distribuição dos assentos segue este 
padrão, só mudando a fila, tendo os assentos numerados até 45, digamos. Por exemplo, 
o assento de número 5 fica atrás do motorista e perto da janela. Determine o conjunto 
dos números que representam assentos que estão perto da janela e atrás do motorista. 
(Faça um esquema gráfico que represente um ônibus e seus assentos.) 
 O próximo exemplo descreve o processo de quantificação de segmentos de reta 
conhecido como medição de comprimento. 
Exemplo: Usamos números também para medir o comprimento de segmentos. Para 
fazer isso, consideramos o seguinte: dada uma reta r, fixamos dois pontos, O e U, 
pertencentes a esta. O segmento OU é, então, associado ao número 1 e é chamado de 
segmento unitário ou de unidade de medida de comprimento. 
 O U r 
 
 1 
 Quando temos um segmento na reta r no qual o segmento OU caiba uma n 
quantidade inteira de vezes, então podemos associar o extremo deste segmento ao 
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número natural n. Por exemplo, a posição do número natural 3 é identificada na reta r 
pela extremidade A do segmento OA demarcado na reta r a partir de três justaposições 
do segmento OU. 
 O U A r 
 
O segmento OA coincide com a justaposição de 
3 segmentos congruentes a OU, donde 
o comprimento de OA é 3. 
A partir destas convenções, temos uma reta graduada.Na reta graduada, o número que 
é representado por 1 também pode ser representado pelo segmento unidade, OU. Na reta 
graduada, o número que é representado por 2 também pode ser representado pelo 
segmento que coincide com a justaposição do segmento OU com o segmento côngruo a 
este. Assim, no desenho a seguir, que representa uma reta graduada, o segmento OA é 
uma representação alternativa para 2. 
 
 Considerando justaposições sucessivas do segmento unidade, obtemos os 
números naturais representados por segmentos de uma reta graduada. Veja alguns 
números com as duas representações correspondentes. 
 
 
 É sempre interessante fazer a correspondência entre a representação decimal de 
um número e sua representação na reta graduada, conforme o desenho acima. Contudo, 
a fim de não sobrecarregar a figura, é mais conveniente marcar a representação decimal 
sobre a extremidade do segmento correspondente. Fazendo isto, leitor, tente obter a 
seguinte representação dos números naturais sobre a sua reta graduada. 
1 
2 
3 
4 
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 Observe como este processo de construção dos números naturais sobre a reta 
reproduz a ideia que temos sobre os números naturais. Determinamos o primeiro 
segmento, determinamos o sucessor do primeiro segmento, depois o sucessor do 
sucessor e assim por diante. Deste modo, acabamos de descrever uma outra maneira de 
representar os números naturais, a representação geométrica dos números naturais. No 
desenho anterior, temos as duas representações ao mesmo tempo, a geométrica e a de 
base 10. 
 
 
 
Atividade 11 
a) No desenho a seguir, a letra a simboliza a representação geométrica de um número. 
Dê a representação decimal deste mesmo número. 
 
b) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir? 
 
c) No desenho abaixo, a indica a representação geométrica de um número. Note que o 
desenho não tem as marcas que representam os segmentos múltiplos da unidade. Você é 
capaz de deduzir quantas vezes o segmento representado por a é maior do que a 
unidade? Em caso afirmativo, dê a representação decimal de a. 
 
d) No desenho deste item, temos uma situação semelhante à do item anterior. Será que 
agora você consegue deduzir qual é a representação decimal de a? Agora a situação não 
é tão simples. O nosso conselho é que você faça uso de um compasso ou de um pedaço 
de papel ou madeira do tamanho da unidade de medida e conte o número de múltiplos. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
O U 
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e) Seguindo o próximo desenho, dê a representação decimal de a. 
 
f) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir? 
 
 
 Até agora vimos alguns exemplos onde os números naturais foram úteis na 
comparação de grandezas. Podemos aplicar o conhecimento dos números naturais em 
outro tipo de problema bem interessante, a saber, o problema de previsão. 
 
Exemplo: Um forno é desligado quando a temperatura estava a 200ºC. Passado um 
minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha mudado para 188ºC, ou seja 
tinha diminuído 12ºC. Passado mais um minuto, o cozinheiro verificou que a 
temperatura tinha diminuído mais 12ºC, passando para 176ºC. Admitindo que este 
comportamento se mantenha, quanto tempo o forno levará para atingir a temperatura 
ambiente de 20ºC? 
 
Solução: A resposta para este problema pode ser obtida por um simples processo de 
contagem. Na verdade, é uma contagem especial, pois é preciso contar de 12 em 12, a 
partir do 200 e diminuindo, mas não deixa de ser uma contagem. 
 A sequência de valores contados pode ser acompanhada na seguinte tabela. 
x min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
yoC 188 176 164 152 140 128 116 104 92 80 68 56 44 32 20 
 Assim, contando o tempo decorrido, em minutos, e a mudança sucessiva de 
temperatura, podemos antecipar que o forno vai alcançar a temperatura ambiente depois 
de 15 minutos. 
 Veja como a contagem realizada nesta questão é interessante, não precisamos 
esperar passar os 15 minutos para ficar sabendo que o forno alcançou a temperatura 
Matemática Básica para Biologia Unidade 1 
 
 
 
Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 18 
 
 
 
ambiente. Contudo, é bom ficar claro que isto é uma previsão. Estamos supondo que é 
isto que vai acontecer (sem precisar esperar os 15 minutos passarem). É evidente que 
podem aparecer outros fatores capazes de alterar esta previsão. Mas, a princípio, 
baseado nos dados fornecidos, o tempo de espera de 15 minutos parece ser uma boa 
estimativa. 
 Por exemplo, se você utilizou um forno em condições semelhantes e possui uma 
criança pequena em casa, já pode prever que a criança só poderá entrar na cozinha em 
segurança depois de 15 minutos do forno ter sido desligado. 
 
Exemplo: Imagine que você comece a organizar áreas para o plantio experimental e 
comparado de mudas de uma planta. Estas áreas são organizadas com palitos, formando 
quadrados, como na figura a seguir, de forma que em cada quadrado fique uma muda e 
que se possa comparar a altura atingida por cada muda a cada dia, conforme a nutrição e 
o tratamento dado à terra ali presente. Quantos palitos são necessários para que se 
possam plantar 17 mudas? 
 
Solução: Como temos visto nesta unidade, para resolver este problema, o caminho é 
fazer uma contagem. Para montar um quadrado, precisamos de quatro palitos. Para 
montar dois quadrados, precisamos de 7 palitos. Para montar três quadrados, precisamos 
de 10 palitos. Bom, o processo segue assim, sempre juntando mais 3 palitos para obter 
um outro quadrado. Ficou com dúvida sobre o processo descrito? Monte os quadrados e 
verifique os números citados. 
 Percebendo que a sequência de palitos necessários cresce de 3 em 3, a partir do 
4, basta montar a seguinte tabela, com a primeira linha representando o número de 
quadrados e a segunda linha representando o número de palitos usados. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 
Matemática Básica para Biologia Unidade 1 
 
 
 
Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 19 
 
 
 
Assim, são necessários 52 palitos para que possam ser plantadas as 17 mudas, uma em 
cada quadrado. 
Observação: Veja, neste último exemplo, mais um aspecto sobre a previsão matemática. 
Primeiro, lembre como a contagem já ajudou a antecipar um evento, como no caso de 
prever quando o forno atingiria a temperatura ambiente, sem precisar esperar o tempo 
decorrer. Agora, você viu como prever a quantidade de palitos necessários para a 
construção da sequência de quadrados sem precisar lançar mão de uma grande 
quantidade de palitos para o experimento, sem precisar arrumar espaço para montar a 
sequência de quadrados e sem perder tempo montando os quadrados. Com um simples 
esquema gráfico e a contagem numérica, o problema foi rapidamente resolvido, com 
grande economia de material, de espaço e de tempo. 
 Atividade 12: Um tanque de criação de peixes foi esvaziado para que pudesse 
ser limpo. Ele tem capacidade para 1000 litros de água. Para enchê-lo novamente, há 
uma fonte de água de vazão constante. Como podemos estimar quando a piscina ficará 
cheia? 
a) Imagine que você tenha um balde de 6 litros e que marcou o tempo que levava para 
encher o balde, 2 minutos. Baseado nestas informações, faça a previsão de quando o 
tanque ficará cheio, caso utilize apenas o balde para enchê-lo. (Utilize os recursos de 
contagemque você aprendeu aqui.) 
b) Suponha que o tanque, de novo vazio, esteja agora com um pequeno vazamento e 
que esteja perdendo um litro de água a cada 10 minutos. Refaça a previsão de quando 
ele ficará cheio. 
 
 O processo de contagem vai muito além disto. O processo matemático de 
contagem pode significar também a possibilidade de trabalhar com objetos, mesmo sem 
tê-los à frente, ou de trabalhar com quantidades inimagináveis. Assim, podemos fazer 
referências a manadas de elefantes, sem precisar juntá-los em um mesmo lugar. 
Podemos contar planetas, mesmo que não possamos vê-los. Podemos até falar sobre 
toda a massa do universo, algo em torno do 1 seguido de 54 zeros, sem precisar 
percorrer nossa vista sobre cada átomo existente no nosso universo. Vimos, por 
Matemática Básica para Biologia Unidade 1 
 
 
 
Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 20 
 
 
 
exemplo, que, com a contagem, podemos inclusive adiantar o tempo e estimar prováveis 
resultados. 
 
As operações básicas dos números naturais 
 
 Para os números naturais, definem-se as operações fundamentais adição e 
multiplicação. É a partir destas operações que a noção de número se mostra realmente 
importante. Em particular, muitas vezes temos o processo de contagem bastante 
simplificado através do uso das operações fundamentais. 
 
Exemplo: Voltemos ao problema do forno que é desligado quando a temperatura estava 
a 200ºC e cuja temperatura diminui 12ºC a cada minuto. Utilizando operações 
matemáticas, podemos representar o fenômeno da variação de temperatura do forno em 
função do tempo pela equação 
y = −12x + 200, 
onde x representa o tempo em minutos e y representa a temperatura em grau Celsius. 
 Foi pedido para determinar em quanto tempo o forno atinge a temperatura 20oC, 
ou seja, quanto vale x quando y = 20. Assim, queremos resolver a equação 
20 = −12x + 200. 
Com alguma habilidade matemática, é fácil encontrar a solução: 
 12x = 200 − 20 = 180  x = 180/12 = 15. 
Assim, o forno chegará à temperatura ambiente após 15 minutos. 
 
 
Exemplo: Voltemos ao problema de determinar o número de palitos para o plantio das 
mudas. Pelos dados do problema, precisamos de 4 palitos para a primeira mud e, daí por 
diante, mais 3 palitos para cada nova muda. Assim, a quantidade total de palitos 
necessária, y, para as x mudas plantadas pode ser expressa matematicamente pela 
fórmula 
y = 1 + 3x. 
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Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 21 
 
 
 
No problema, foi pedido para determinar o número de palitos necessários para que fosse 
possível plantar 17 mudas. De posse da fórmula, precisamos calcular o valor de y 
quando x = 17. Portanto, 
 y = 1 + 3x = 1 + 3.17 = 52. 
 
Observação: Não foi explicado, mas no futuro (aqui, em nossas aulas, e em outras 
disciplinas também) vocês verão como obter fórmulas para problemas como os 
ilustrados aqui. 
 
Exemplo: (Área de um retângulo) Uma técnica de estimativa da área ocupada por uma 
determinada alga é usar uma fotografia superior e quadricular a região, com quadrados, 
para aí poder-se estimar a área ocupada pela alga. 
A região representada a seguir tem, no tamanho real, 8cm de altura e 16cm de 
largura. Ela foi registrada por um estudante deste tipo de alga, que está fazendo uma 
comparação entre a região ocupada por esta alga há uma semana e a região ocupada por 
ela hoje. 
 
Há uma semana Hoje 
Para resolver este problema, a imagem foi quadriculada com quadradinhos com 
1cm de lado, conforme o esquema a seguir sugere. 
 
 
Matemática Básica para Biologia Unidade 1 
 
 
 
Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 22 
 
 
 
Há uma semana Hoje 
 Quando fizemos este quadriculado, como cada quadradinho tem 1cm de lado, 
então ele representa uma área de 1cm², facilitando a estimativa da área ocupada pela 
alga em uma e na outra observações. 
Quantos quadradinhos foram obtidos ao todo quando quadriculou-se a região toda? 
Como podemos determinar o número de quadrados unitários que compõem este 
retângulo? Ou seja, como podemos determinar a área deste retângulo? Pelo que vimos 
até agora, a resposta é muito simples, é só contar a quantidade de quadrados unitários. 
Entretanto, existe uma forma mais econômica de responder a esta pergunta, sem 
precisar contar um a um todos os quadrados unitários existentes no retângulo. 
 Se a altura do retângulo mede 8 centímetros é porque ela é formada por uma 
coluna de 8 quadrados. Se a base do retângulo mede 16 centímetros é porque ela é 
formada por uma linha de 16 quadrados. Ou seja, o retângulo é formado por 16 colunas, 
cada uma com 8 quadrados. Assim, contando ao longo da linha da base, temos uma 
coluna com 8 quadrados, mais outra coluna com 8 quadrados, mais outra coluna com 8 
quadrados, e assim por diante, até 16 colunas serem contadas. Logo, o número de 
quadrados que compõem o retângulo é dado pela a soma 8+8+8+8+...+8, sendo 16 
parcelas ao todo. 
 Tente acompanhar a explicação pelo próximo desenho. 
 
 Assim, a quantidade de quadradinhos existentes nesse retângulo é igual ao 
resultado de 16 parcelas com 8 quadrados em cada uma, o que equivale à operação 16 x 
8, ou seja, 128 quadradinhos. 
 Vamos pensar em uma forma mais abrangente: se o retângulo tem a colunas com 
b quadradinhos em cada coluna, vamos ter ao todo b+b+b+b+...+b+b quadradinhos ao 
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Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 23 
 
 
 
todo no retângulo, num total de a parcelas, o que equivale a escrever que são a x b 
quadradinhos no retângulo. 
Assim, a área de um retângulo de base a e altura b, com a, b ∈ ℕ, é dada pela 
fórmula, A = ab, onde A denota a área. De outro modo, o número de quadrados unitários 
que compõem o retângulo dado é ab. 
 
Aplicação: Veja como a operação multiplicação aparece como um simplificador do 
processo de contagem. Suponha que você tenha uma grande quantidade de objetos a 
serem contados. Então, a princípio, você terá que fazer corresponder cada objeto com 
um número natural, um por um. Pelo último exemplo, uma boa estratégia é formar um 
retângulo com os objetos. Aí, em vez de contar um por um, basta contar os objetos da 
base e da altura do retângulo. Para encontrar o total de objetos, só é preciso fazer o 
produto dos dois valores encontrados. 
 Veja a figura a seguir, que sugere uma população de bactérias a serem contadas. 
 
 
 
Olhando-as da forma desordenada que estão, a única maneira de contá-las é passando 
por cada uma delas, de um em um. Agora, olhe a figura a seguir, formada com as 
mesmas bactérias, mas organizadas numa forma retangular. 
 
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Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 24 
 
 
 
 
 
 Ainda podemos contar bactéria por bactéria. Mas podemos também contar 
apenas as bactérias da base e da altura. Na base, temos 12 bactérias. Na altura, temos 
11. Assim, o total de bactérias pode ser calculado por: total de objetos = 12×11 = 132. 
 
Observação: (Sobre a inclusão do número 0) Com a utilização das operações, o símbolo 
0 passou a ter maior importância. Por exemplo, é interessante ter um símbolo para 
representar a operação a − a, quando temos uma quantidade e depois a retiramos. 
Ficamos com o que? Com a evolução nas manipulações matemáticas dos números 
naturais, sentiu-se a necessidade de acrescentar um símbolo que representasse a 
ausência de quantidade. Assim, o 0 passou a ter esta função. Deste modo, os números 
naturais passaram a ter a seguinte representação:ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ..., 20, 21, ...}. 
 
Neste caso, quando for necessário fazer referência aos naturais diferentes de zero, usa-se 
a notação ℕ*. Ou seja, temos ℕ* = {1, 2, 3, 4, ...}. 
 
 Já vimos como a representação geométrica dos números naturais pode ser útil no 
processo de contagem. Será que esta interpretação geométrica dos números também 
pode ser utilizada na realização das operações? Veja, leitor, o que acha das calculadoras 
dadas a seguir. 
 
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Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 25 
 
 
 
 (Calculadora analógica de somas) Trabalhando com duas réguas, como na figura 
abaixo, você obtém uma calculadora de soma bastante interessante. Por exemplo, para 
efetuar a soma, 4 + 7, posicione a origem da segunda superior sobre o número 4 da reta 
da base. Verifique que o número 7 da reta superior coincide com o valor da soma, 11. 
Se você trabalhar com réguas maiores, poderá efetuar somas maiores. Esta calculadora 
pode ser útil para perceber certas propriedades operacionais, como: a + b = b + a; a + 0 
= a; a − a = 0; a + x = b  x = b − a (desde que b > a). Experimente brincar com esta 
calculadora! 
 
 Quer ver algo além disso? Visite http://escolovar.org/mat_numero_recta.gradua.htm 
e experimente! 
 
 
Comentários finais 
 
 A resolução abreviada de problemas através de expressões matemáticas ilustra 
bem como as operações podem ser importantes na manipulação dos números. Em 
particular, mostra como o domínio de técnicas matemáticas pode ajudar a resolver os 
problemas mais variados, tanto os da própria Matemática, quanto os de fora desta. 
 Caro leitor, ao longo deste curso, você deve rever algumas das técnicas 
matemáticas estudadas no ensino básico, principalmente no ensino médio. O domínio 
destas técnicas pode ajudar na resolução de problemas, como ilustrado aqui, mas 
também pode ajudar você a adquirir novos conhecimentos matemáticos, aqueles que 
serão motivo de estudo nas disciplinas do seu curso. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 
http://escolovar.org/mat_numero_recta.gradua.htm
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 Você está convidado a entrar nesta viagem de conhecimentos que pode te levar a 
horizontes infinitos. O conjunto dos números naturais é apenas o primeiro passo desta 
jornada. 
 
 A seguir você encontra uma pequena lista de exercícios a fim de ajudar a 
complementar o seu estudo. Na sequência, você encontrará as respostas das atividades, 
assim como dos exercícios complementares. 
 
Exercícios complementares 
1) Por uma goteira em uma caverna, jorram 4 litros de água por minuto. 
a) Quantos litros de água jorrarão em 11 minutos? 
b) Quantos litros jorraram em 2 horas e 21 minutos? 
c) Quanto tempo leva para a goteira despejar 98 litros de água? 
2) Faça as divisões de a por b a seguir, indicando o quociente e o resto. Evite usar 
inicialmente a calculadora, deixe-a para conferir os seus resultados. 
a) a = 25 e b = 3; 
b) a = 25 e b = 7; 
c) a = 51 e b = 6; 
d) a = 94 e b = 3. 
3) João vai ter que tomar um remédio por 130 dias. Ele começou a tomar o remédio no 
dia 20 de junho. Em que dia do ano ele tomará o último comprimido? E se João 
começar a tomar o remédio no dia 20 de novembro? Quantas semanas ele levará 
tomando o remédio? (Você pode utilizar qualquer recurso de contagem.) 
 
 
 
Respostas das atividades 
 
Atividade 1 
a) {Rio de Janeiro}  D 
b) {Bahia}  D 
c) {mitocôndria}  E 
d) {intestino} E 
e) {retângulo}  C 
f) {cachorro}  A 
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Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 27 
 
 
 
g) {borboleta}  F 
Atividade 2 
a) V 
b) F 
c) V 
d) V 
e) F 
f) V 
g) F 
h) V 
i) F 
j) F 
k) F 
l) F 
 
Atividade 3 
Refrigerante 2L Detergente Sabão em pó Atum sólido 
Leite em caixa Inseticida Spray Óleo de Soja Creolina 
Leite em pó Leite de soja com fruta Sabão líquido Iogurte 1L 
 
 
 
 
 
 
 
a) Não, há produtos que ficaram fora da prateleira. 
b) Veja à figura acima, na prateleira A ficaram os seguintes produtos: refrigerante 
2L, leite em caixa, leite em pó, leite de soja com fruta, óleo de soja, atum sólido 
e iogurte 1L. 
c) Veja à figura acima, na prateleira T ficaram os seguintes produtos: leite em pó, 
óleo de soja, atum sólido, inseticida spray e creolina. 
d) Veja na figura acima – leite em pó, óleo de soja, atum sólido. 
e) Sabão líquido, sabão em pó e o detergente. 
A 
 
T 
 
Refrigerante 2L 
Leite em caixa 
Leite de soja com fruta 
Iogurte 1L 
Leite em pó 
Óleo de Soja 
Atum sólido 
Inseticida Spray 
Creolina 
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Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 28 
 
 
 
 
 
Atividade 4 
A={refrigerante 2L, leite em caixa, leite em pó, leite de soja com fruta, óleo de soja, 
atum sólido, iogurte 1L} 
C={leite em caixa, leite de soja com fruta, sabão em pó} 
T={leite em pó, inseticida spray, óleo de soja, atum sólido, creolina} 
L={detergente, inseticida spray, sabão em pó, sabão líquido, creolina} 
a) Os produtos alimentícios ou produtos que são embalados em caixas. Podemos 
representar como AC= {refrigerante 2L, leite em caixa, leite em pó, leite de 
soja com fruta, óleo de soja, atum sólido, iogurte 1L, sabão em pó}. 
b) Sim. Pertencerão à este conjunto os alimentos que são embalados em caixas. 
Podemos representar como AC={leite em caixa, leite de soja com fruta}. 
c) Produtos de limpeza ou produtos que são acondicionados em caixas. Podemos 
representar como LC={detergente, inseticida spray, sabão em pó, sabão 
líquido, creolina, leite em caixa, leite de soja com fruta} . 
d) Sim, pois existem produtos de limpeza em lata. Podemos representar como 
LT={inseticida spray}. 
e) Produtos alimentícios ou produtos de limpeza, ou seja, a lista toda de D. Sônia. 
Podemos representar como AL={ refrigerante 2L, leite em caixa, leite em pó, 
leite de soja com fruta, óleo de soja, atum sólido, iogurte 1L, detergente, 
inseticida spray, sabão em pó, sabão líquido, creolina}. 
f) Não, pois não há produtos acondicionados em lata e caixa, ao mesmo tempo. 
Podemos representar como CT=. 
 
Atividade 5 
 
 
a) S = {Argentina, Brasil, Equador, Paraguai, Trinidad e Tobago}. O conjunto S 
tem 5 elementos. 
b) O conjunto D tem 6 elementos: Brasil, Argentina, Honduras, Chile, Paraguai, 
Uruguai  D. 
c) E = S  D = {Brasil, Argentina, Paraguai}. O conjunto E tem 3 elementos. 
d) T = S  D = {Argentina, Brasil, Equador, Paraguai, Trinidad e Tobago, 
Honduras, Uruguai,Chile}. 
e) A operação é de união entre S e D. O conjunto T tem 8 elementos. 
f) Veja no diagrama abaixo: 
Matemática Básica para Biologia Unidade 1 
 
 
 
Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 29 
 
 
 
 
 
Atividade 6 
a) S – D = {Equador, Trinidad e Tobago} 
b) D – S = {Honduras, Chile, Uruguai} 
c) Não, porque quando invertemos a ordem, as respostas se alteram. Observe que 
em (a), os elementos listados estão em S e não estão em D e em (b) ocorre 
exatamente o contrário. É por essa razão que as respostas são diferentes. 
 
Atividade 7 
a) A – T = { refrigerante 2L, leite em caixa, leite de soja com fruta, iogurte 1L }. 
b) T – A = { inseticida spray, creolina}. 
c) C – A ={ sabão em pó}. 
d) C – A ={ sabão em pó}. 
e) L – T. 
f) C – A . 
 
Atividade 8 
 O diagrama éS 
D 
Equador 
Trinidad e Tobago 
Brasil 
Argentina 
Paraguai 
Honduras 
Chile 
Uruguai 
Matemática Básica para Biologia Unidade 1 
 
 
 
Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 30 
 
 
 
 
 
11 + 22 + 15 + 1 + 6 + 7 + 16 = 78 
80 – 78 = 2 
Há apenas dois alunos que não têm interesse nem em Zoologia, nem em Botânica e nem 
em Genética. 
 
Atividade 9 
a) Basta contar cada bactéria pela técnica sugerida. 
b) O primeiro grupo (esquerda) tem mais bactérias que o segundo. Visualmente, ele 
dá a impressão de ser mais “denso”. 
 
Atividade 10 
O conjunto pedido é {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45}. 
 
Atividade 11 
a) 11 
b)
 
c) 3 
d) 10 
e) 20 
f) 
 
 
Atividade 12 
Esta atividade é interessante. Vejamos o item (a). Você sabe que o volume de água do 
tanque aumenta em 6 litros a cada 2 minutos. Você tem noção de quanto tempo ele 
levará para ficar cheio? Bom, em vez de esperar o tanque encher, pode-se prever este 
tempo fazendo a contagem. Experimente fazer esta contagem diretamente, ou através da 
representação geométrica. Você verá que isto dá trabalho. 
 Uma boa forma de realizar a contagem no item (a) é usar uma planilha 
eletrônica. Construa uma linha para o volume de água e use o recurso de arrastar até 
passar do valor 1000. Construa uma segunda linha para representar o tempo. A planilha 
começará assim: 
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 
Matemática Básica para Biologia Unidade 1 
 
 
 
Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 31 
 
 
 
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 
e terminará assim: 
924 930 936 942 948 954 960 966 972 978 984 990 996 1002 
308 310 312 314 316 318 320 322 324 326 328 330 332 334 
Assim, o volume do tanque atingirá 1000 litros antes de 334 minutos. Ou seja, antes de 
5 horas e 34 minutos (334 = 5.60min + 34min = 5h + 34min). 
 
 
 Para o item (b), a questão é que o tanque passa a encher 29 litros a cada 10 
minutos (se enche 6 litros em 2 minutos, enche 30 litros em 10 minutos, mas perde 1 
litro). Se você montar uma planilha de contagem para estas informações obterá que a 
piscina ficará cheia antes de 350 minutos. A sua tabela começará assim. 
29 58 87 116 145 174 203 232 261 290 319 348 377 406 435 
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 
 
 
 
Respostas dos Exercícios Complementares 
 
1) 
a) Montando a tabela, com a primeira linha representando o tempo em minutos e a 
segunda linha representando a quantidade de água em litros, temos 
min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
litros 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 
 
Logo, jorrarão 44𝑙 de água em 11minutos. Veja que a quantidade Q de água que jorra 
em t minutos é dada por Q=4t. 
 
b) Primeiro, o tempo será convertido para minutos, então 2h 21min equivale a 2 × 60 +
21 = 141 𝑚𝑖𝑛. Assim, a quantidade de água que jorra em 141min é dada por 𝑄 =
4 × 141 = 564 𝑙. 
c) Para determinar o tempo necessário para a torneira despejar 98 𝑙 de água devemos 
determinar 𝑡, tal que 4𝑡 = 98, então dividindo 98 por 4, obtemos 98 = 4 × 24 + 2, 
portanto levaremos 24min adicionado ao tempo necessário para jorrar 2𝑙 de água , que é 
meio minuto (ou 30segundos). Portanto, serão necessários 24min30s. 
 
 
2) 
a) a = 25 e b = 3  q = 8 e r = 1. A figura a seguir mostra múltiplos 3. Com 8 múltiplos 
de 3, chegamos a 24 e 1 é o resto para chegar a 25. 
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Autores: 
Gisela Pinto, Luciana Pena, Ion Moutinho e Cristiane Argento Página: 32 
 
 
 
 
b) a = 25 e b = 7  q = 3 e r = 4. 
c) a = 51 e b = 6  q = 8 e r = 3. 
d) a = 94 e b = 3  q = 31 e r = 1. 
Obs: Estas são as respostas, mas vc pode realizar o procedimento geométrico para obter 
estes valores, conforme sugerido no item a. 
 
3) O objetivo da maioria destas questões é mostrar que quando não sabemos nenhuma 
estratégia matemática para resolver uma questão, podemos apelar para a simples 
contagem. Esta questão é um bom exemplo. Para resolvê-la, basta pegar um calendário 
e contar os dias.