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Versão Condensada
ESTATÍSTICA
Medidas de posição
   2
A L F A C O N
Sumário
Medidas de posição �������������������������������������������������������������������������������������������������������3
1� Mediana ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 3
2� Mediana para dados agrupados em classes ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� 4
3� Moda ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 5
4� Moda para dados agrupados em classes ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5
4.1 Moda bruta ...........................................................................................................................................................................6
4.2 Fórmula de czuber ..............................................................................................................................................................6
Medidas de posição  3
A L F A C O N
Medidas de posição
1. Mediana
Colocados os valores em ordem crescente, mediana é o elemento que ocupa a posição central. Indicando a mediana 
por Md e o número de observações por n, dois casos devem ser considerados:
1º) Se n for ímpar, a mediana será o elemento de ordem .
2º) Se n for par, a mediana será a média aritmética entre os elementos centrais, de ordem .
Exemplos:
1) Calcular a mediana para os valores.
a) 5, 7, 8, 10, 14.
b) 10, 14, 15, 5, 7, 8.
2) Calcular a mediana para as seguintes distribuições.
a) 
n = 11, n é ímpar, logo a mediana será o elemento de ordem 
Md = 3
Medidas de posição  4
A L F A C O N
b) 
n = 42, n é par, logo a mediana será a média entre os elementos de ordem 21º e 22º
Md = 87. 
2. Mediana para dados agrupados em classes
O procedimento usado para o cálculo da mediana para dados agrupados é dado a seguir.
1º passo: calcula-se a ordem n/2;
2º passo: pela frequência acumulada identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md);
3º passo: utiliza-se a fórmula:
 é o limite inferior da classe Md;
 é a soma das frequências anteriores a classe Md;
 é a frequência absoluta da classe Md;
 é a amplitude da classe Md.
Exemplo:
Medidas de posição  5
A L F A C O N
Determinar a mediana para a variável renda familiar. 
Preenchendo a frequência acumulada na tabela:
1º Passo: 
2º Passo: classe Md 6 ├ 8
3º Passo:
 = 6 + 0,7 = 6,7
3. Moda
Moda (Mo) é o valor que aparece mais vezes, isto é, o valor ao qual esteja associada à frequência absoluta mais alta.
Exemplos:
a) 2, 6, 8, 8, 8, 8, 10, 10, 12, 12, 18 → Mo = 8.
b) 4, 4, 5, 5, 6, 6 → Conjunto amodal.
c) 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6 → Mo1 = 2 e Mo2 = 5 → Conjunto bimodal.
d) 1, 2, 3, 4, 5 → Conjunto amodal.
4. Moda para dados agrupados em classes
A classe que apresenta maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, 
neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. Existem diversas fórmulas 
para o cálculo da moda. Veremos duas delas.
Medidas de posição  6
A L F A C O N
4.1 Moda bruta
Uma ideia aproximada da moda e muito útil em problemas práticos é a moda bruta, definida como o ponto médio 
da classe modal.
4.2 Fórmula de czuber
Procedimento:
 1º) Identifica-se a classe modal.
 2º) Aplica-se a fórmula:
Onde:
 é o limite inferior da classe modal;
 é a diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente anterior;
 é a diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente posterior;
 é a amplitude da classe modal.
Exemplo:
Determinar a moda para a variável renda familiar:
1º) Classe modal: 6 ├ 8;
2º) Aplica-se a fórmula: 
 = 6 + 0,8 = 6,8
Observa-se, então, que para o conjunto de dados utilizado, obteve-se:
Média = 6,7.
Mediana = 6,7.
Moda = 6,8.
Medidas de posição  7
A L F A C O N
Relação entre média, mediana e moda.
Em uma distribuição simétrica, observa-se que a média = mediana = moda.
Em uma distribuição assimétrica positiva, observa-se que a média ≥ mediana ≥ moda.
Em uma distribuição assimétrica negativa, observa-se que a média ≤ mediana ≤ moda. 
Utilização das medidas de tendência central
De maneira geral, uma primeira ideia sobre qual delas escolher pode ser dada pelos seguintes itens:
a) Escolha da média
I� Quando é necessário o tratamento matemático;
II� Quando os dados têm distribuição aproximadamente simétrica;
Medidas de posição  8
A L F A C O N
III� Quando for necessário obter posteriormente outros parâmetros que podem depender da média, como o 
desvio padrão, a variância, etc.
b) Escolha da mediana
I� Quando há valores discrepantes que podem “distorcer” a média;
II� Quando desejamos conhecer o ponto central exato da distribuição;
III� Quando a distribuição dos dados é muito assimétrica.
c) Escolha da moda
I� Quando a medida de interesse é o ponto mais típico ou popular dos dados;
II� Quando precisamos apenas de uma rápida ideia sobre a tendência central dos dados.
	Medidas de posição
	1. Mediana
	2. Mediana para dados agrupados em classes
	3. Moda
	4. Moda para dados agrupados em classes
	4.1 Moda bruta
	4.2 Fórmula de czuber

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