00 APOSTILA LAB 2016

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CÁLCULO NUMÉRICO
PROFª YARA JULIANA
APOSTILA 
DE LABORATÓRIO
AUTORES:
Prof. Dimas Felipe de Miranda
Prof. Célio Humberto de Vasconcelos
Prof. Pedro Américo de Almeida Magalhães
Prof. Luiz Carlos Picoreli Araújo
CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 1
Objetivos:
Colocar o aluno em contato com o ambiente computacional que será usado durante o semestre, informar sobre a ferramenta VCN
Apresentar uma introdução sobre erros de arredondamento e truncamento
 
1a Parte : 
informações gerais
	MATEMÁTICA
	VCN 
	
	exp(x)
	ln x
	ln(x) 
	
	ln(a)/ln(b)
	sen x
	sin(x)
	cos x
	cos(x)
	tg x
	tan(x)
	arctg x
	arctan(x)
	
	y^x
	
	sqr(x) ou x^2
	
	x^(1/n)
	
	abs(x)
	x!
	x!
Nota: 
Expressões com operações no numerador e / ou denominador devem ser escritas com auxílio de
parênteses: 
 deve ser codificada (a+b)/(a*b).
2a Parte: Erros de Arredondamento e truncamento.
Erro de Arredondamento: 
	Ocorre sempre que se despreza parte decimal de um número e isso sempre se dá ao operar com números irracionais ou dizimas periódica.
Exemplo 1: Ao escrever o número 
 como sendo 3,1 ou 3,14 ou 3,1415, cometem-se erros de arredondamento de ordem 
 respectivamente, ou menor.
Erro de Truncamento: 
Ocorre quando se desprezam termos de uma série numérica e isso se dá com freqüência na obtenção dos métodos numéricos.
Exemplo 2: A série de MacLaurin para a função 
 é: 
Para calcular o valor do número 
 com a série interrompida no 7o termo, mesmo usando um erro de arredondamento da ordem de 
 em todas as operações, obtém-se 
O resultado obtido só está correto até a 3a casa decimal, devido ao erro de truncamento na série.
Atividades:
1) Com o auxílio da CALCULADORA CIENTÍFICA, observar o número de casas decimais e efetuar os cálculos abaixo, dando a resposta com o erro de arredondamento indicado.
a) 
 		Resposta: 14, 7870
b) 
 		Resposta: 31,559885
c) 
 			Resposta: 1,46
d) 
 Resposta: 1,25874
e) 
 	 Resposta: 1,16
2) Calcule 
 das seguintes formas:
Calcule, inicialmente, na sua calculadora científica e anote com 4 casas decimais.	
Use agora o programa VCN e verifique o resultado.
Compare os resultados obtidos. 
	 Resposta: 757,7993
3 – Para visualizar o erro de truncamento podem-se calcular valores de uma função por meio da série de MacLaurin. Tomando-se alguns termos da série é obtida uma fórmula aproximada.
 Como exemplo, será usada a função 
Veja como obter a fórmula:
1o) Calculam-se as derivadas sucessivas de sen(x) para x = 0 , ou seja:
f(x) = senx ............................f(0) = 0
f ´(x) = cosx ............................f ´(0) = 1
f ´´(x) = -senx ............................f ´´(0) = 0
f ´´´(x) = -cosx ............................f ´´´(0) = -1
f(4)(x) = sen(x) ………………….f(4) (0) = 0
f(5)(x) = sen(x) ………………….f(5) (0) = 1
e já está repetindo
2o) Substituem-se os valores na fórmula de MacLaurin
 e efetuam-se as simplificações.
Fórmula: 
b) Calcule 
 usando os 6 primeiros termos da fórmula obtida e deixando o resultado com todas as casas decimais. Resposta:.........................................
d) Compare os resultados obtidos. (o 2o resultado estará certo até a última casa decimal e a casa decimal diferente indica a ordem decimal do erro de truncamento).
Resposta: ordem do 
 é ..........................................
Respostas)a)0,909296135963	b)0,909297426826		c)ordem do 
 é 10-3
4 - Use o programa VCN
A função 
 pode ser aproximada pela fórmula: 
.
A fórmula foi obtida do polinômio de Taylor cuja forma geral é:
Para obter a fórmula foi considerado a = 1 , calculadas as derivadas sucessivas no ponto 1 , substituídas no polinômio de Taylor e foram feitas algumas simplificações.
Para verificar a presença do erro de truncamento preencha a tabela, anotando os valores com 
.
	x
	
	
	
	
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
	
	
	
Parece uma boa aproximação.
5 - Repita novamente o exercício 5 , agora com novo intervalo para x .
	x
	
	
	y-f(x)
	
10,3
10,8
11,3
	
	
	
4)y(0,8) - f(0,8) = 0,000002 (erro pequeño); 6)y(11,3) – f(11,3) = 3093,2766...										 (erro enorme)
�
CÁLCULO NUMÉRICO – TAREFA 01
1 – Use o VCN para efetuar as operações indicadas e dê a resposta com erro de arredondamento indicado.
a) 
			Resposta:_______________
b) 
			Resposta:_______________
c) 
			Resposta:_______________
d) 
 		Resposta:_______________
2 – a) Escreva os 4 primeiros termos , não nulos, da série de MacLaurin para a função y = cos x
b) Use o VCN para fazer a tabela da função y = cos x , no intervalo indicado, copiando os valores com 8 casas decimais.
 X 0,5		 1,0		 1,5		 2,0
	Y ......................... .......................... .......................... 	..........................
c) Faça a tabela da função obtida no item a) , com 8 casas decimais.
 x 0,5		 1,0		 1,5		 2,0
	 f(x) .......................... .......................... .......................... ..........................
Respostas Tarefa 01:
1-a) –136,6695		b) -73,722613		c) 10,46	d) 0,22658
2-a) 
 b) x	 0,5		1,0		1,5		2,0
	 y	 0,87758256	0,54030231	0,07073720	-0,41614684
 c) x	 0,5		1,0		1,5		2,0
	 f(x)	0,87758247	054027778	0,07011719	-0,42222222
 
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CÁLCULO NUMÉRICO LABORATÓRIO - ATIVIDADE 2
Objetivos: Tabelar uma função num intervalo dado. Calcular somas e produtos.
Atividade
Problema 1: Dada a função 
 , tabele a função 
 com espaçamentos iguais e 
.
 
a) Usando o VCN (cálculo numérico)
 ( entre no VCN e vá para o menu utilitários – item ''tabelar função'' 
 ( entre com: valor inicial, valor final, passo h ou número de pontos
 ( entre com a função e mande ''calcular'' - - - aparecerá a tabela da função e a soma e o produto das imagens. 
 ( confira o valor y(1,4) = 0,4480 
b) Usando a HP 50G
 ( pressione a tecla MODES , verifique se a calculadora se encontra no modo RPN, coloque a calculadora para trabalhar em radianos e fixe a saída em 4 casas decimais, digite OK.
 ( pressione a tecla laranja para acionar a função EQW ( que fica na quarta fileira, terceira tecla), e digite os passos a seguir:
Função		'(sin(x)^2 + 1) / (x+3)' ENTER
Variável		'x'		 ENTER
Valor inicial	 	1		 ENTER
Valor final		2		 ENTER
Passo			0.1		 ENTER
PRG LIST PROC(next) SEQ aparecerá a lista das imagens
 ( confira o valor y(1,4) = 0,4480
�
Problema 2: 
Tabele 150 pontos da função y = (xcosx + lnx). /(x -1) no intervalo 
.
Nota: neste caso não foi fornecido o 
, mas poderá ser calculado pela fórmula:
Xfinal = X​inicial + (n - 1)h , onde n é o número de pontos e h é o 
constante.
 Valor de 
 encontrado: h = ( 11,75 – 1,32 ) / 149 = 0,07
 Usando o VCN(cálculo numérico) Basta proceder como no problema 1 
Veja como é fácil ler a imagem y (4,68) = 0,3781 
Problema 3: 
Calcular o seguinte somatório no VCN:
Calcule 
Nota: O passo é igual à 1 
Você deverá ir em :
 ( Utilitários
 ( 1.4 - Tabelar uma função
 ( Entre com: valor inicial 1 , valor final 10 , passo 1 .
 ( Entre com a função 
 ( Mande calcular e aparecerá a tabela e ao lado a soma e o produto das imagens
	 
 338,2429
CÁLCULO NUMÉRICO – TAREFA 03
1 - Calcule 8 pontos da função 
, no intervalo [1 , 2] , 
.Resposta: O terceiro y da tabela é: 1,1431
2 - Calcule: a) 
b)
, com h = 1 
 Respostas: a) –2,06735 b) 
= 0,00000 
3) a) Tabele 200 valores de cada função abaixo 
 
 ; 
 Resposta: y( 3,7) = 0,0174
4) - Faça as tabelas
a)
 ; x(inicial) = 1 ; h = 0,1 ; 10 pontos, 
 
Resposta: y(1,6) = 0,22
b) 
 ; t(final) = 2,09 ; h = 0,01 ; 10 pontos e 
Resposta: w(2,09) = 17,5543
c) 
 Resposta: o sexto valor de z é igual a –0,002
d) 
 ; 
 
Resposta: y(3,7)= 0,08291	
e) (
 ; 
 
Resposta: ((1.95)= 0,4328159
f) 
 com 
 3,0 ; h = 0,2 , 10 pontos , 
Resposta: o valor da última imagem é 
g) 
 e h = 0,2 ; 
, 7 pontos. Resposta: y(1,7)= 2,45
CÁLCULO NUMÉRICO LABORATÓRIO - ATIVIDADE 4
Problema 1: (Função tabelada)
Faça a tabela das potências de ( para a função:
	x
	0,2
	0,4
	0,6
	0,8
	1,0
	1,2
	y
	1,234
	2,597
	3,016
	5,214
	7,956
	10,842
 No programa VCN (Cálculo Numérico)
 (aqui são encontradas opções para todas as tabelas)
 ( Operadores
( entre com os limites, número de pontos, passo e as imagens
( marque a opção ( (delta) e pressione "calcular"
 ( confira (3y2 = -1,235
Problema 2: (Função dada por uma equação) 
Faça a tabela das potências de ( para a função y = cos3x+2e; 
 1,3 ( x ( 5,5 ; h = 0,2 ; 
.
VCN (Cálculo Numérico)
 Aqui tem-se também a facilidade de obter todas as tabelas:
 ( Operadores
 ( entre com os limites, o passo e a função.
 ( escolha a opção e leia a tabela.
 ( anote (4y3 =	0,1220	
 
Problema 3: 
 
�
Notas:	
a)A notação w(y) informa que y é a variável independente (domínio) e que w é a variável dependente (imagem).
b)Verifica-se que o passo (y é constante e igual a 0,31. (confira).
Usando o VCN	
( entre em Interpolação 
( selecione Gregory-Newton, pois o passo é constante
( entre com os dados e o valor a ser interpolado.
( leia o valor interpolado w(1,37) = 0,3721
Problema 4: 
 Complete a tabela
	A
	1,3276
	1,4958
	?
	2,1744
	B
	0,83
	2,75
	5,45
	7,18
Nota: a) o que se quer achar é a imagem em 5,45 logo os valores de B são do domínio 
 x e os de A são as imagens (y).
 b) (x é variável, deve-se usar o polinômio de Lagrange. O número de pontos é 3.
( entre com os pares (0,83 ; 1,3276) , (2,75 ; 1,4958) , (7,18 ; 2,1744)
( entre com a abscissa 5.45 e leia a imagem
 ( o valor procurado é A(5,45) = 1,8612	
Nota: Os três pontos da tabela geram um polinômio interpolador de grau máximo 2. No rodapé da página de utilização do polinômio de Lagrange aparece a equação completa do polinômio. 
Copie o polinômio aqui: ................................................................................................. - 
�
Problema 5: A temperatura de uma chapa metálica varia conforme a tabela:
	Temperatura (oC)
	3,8
	4,1
	5,2
	6,1
	7,2
	Tempo(s)
	1,2
	1,4
	1,6
	1,8
	2,0
 Calcule a temperatura no tempo 1,52
use o VCN
dê a resposta com o mesmo número de casas decimais das imagens tabeladas.
Resposta: ______________________
�
CÁLCULO NUMÉRICO – TAREFA 04
1 - Calcule a potência 3 do operador diferença finita ascendente em x = 0,8 sendo dada a função tabelada
 x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
 y 0,345 1,279 2,516 4,671 7,154 8,054 10,172 
 Resposta: 
2 - Dado 
 
calcule 
 -0,0025
3 - Sendo
; (3y(2,6)= 0,0158
4 – Calcule 
 1,413
	x
	2,3
	3,4
	4,5
	5,6
	6,7
	7,8
	8,9
	f(x)
	0,345
	0,578
	0,912
	1,547
	1,988
	2,458
	3,851
5) Dada a função x(w) calcule as imagens em a) 1,28 b) 1,96 c) 2,15
	x
	-1,47
	0,36
	1,28
	1,96
	2,45
	4,07
	w
	1,24
	1,46
	1,68
	1,90
	2,12
	2,34
Respostas: a) –0,97		b) 2,10			c) 2,55
6 - Usando apenas os pontos fornecidos, complete a tabela:
	A
	1,23
	1,47
	2,75
	3,28
	?
	 B
	3,16
	5,41
	?
	6,38
	6,07
 Resposta: 2,59 e 9,02
7 - Obtenha o polinômio interpolador de maior grau para a tabela.
 (1,2; 2,161), (1,3; 3,912), (1,4; 4,871) Resposta: 
8- Sendo a temperatura T de uma partícula dada em função do tempo t , determine a temperatura para a) t = 0,60		b) t = 0,18		c) t = 1,55
	T
	250
	380
	472
	689
	927
	1038
	1326
	t
	0,10
	0,23
	0,57
	0,68
	0,97
	1,31
	1,72
 Respostas: a) 530		 b) 398		 c) 1922
9 – A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em função da idade e do peso para homens e mulheres que possuem atividade física moderada e vivem a uma temperatura ambiente média de 20 oC.
Determinar a cota aproximada de calorias para:
Um homem de 30 anos que pesa 70 quilos
Um homem de 45 anos que pesa 65 quilos
Um homem de 50 anos que pesa 78 quilos
Uma mulher de 25 anos e 46 quilos
Uma mulher de 30 anos e 50 quilos
Uma mulher de 52 anos e 62 quilos
 
	Peso
(kg)
	Cota de calorias ( em kcal )
	
	Idade (em anos) Homens
	Idade (em anos) Mulheres
	
	25
	45
	65
	25
	45
	65
	40
	-
	-
	-
	1750
	1650
	1400
	50
	2500
	2350
	1950
	2050
	1950
	1600
	60
	2850
	2700
	2250
	2350
	2200
	1850
	70
	3200
	3000
	2550
	2600
	2450
	2050
	80
	3550
	3350
	2800
	-
	-
	-
Respostas:
1 - 
2 – 4,609x10-5
3 – 0,0158
4 –
6 – 2,59 e 9,02
7 - -39,6x2 + 116,51x – 80,62
8 – a)			b)			c)
9 – a) 3173,4		b) 2760,8		c) 3171,19		d) 1927,20		e) 2048,44		f) 2147,55
�
CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 6
Objetivo: Utilizar a calculadora científica e o VCN para processar os métodos de integração:
Regra dos Trapézios, 1a e 2a Regras de Simpson.
Formulário básico: 
 onde y está tabelado com h constante.
Regra dos Trapézios
1a Regra de Simpson
2a Regra de Simpson
Problema 1 : 		
 Calcule 
sendo
	x
	0,2
	0,3
	0,4
	0,5
	0,6
	y
	1,27
	3,21
	4,59
	6,18
	8,86
a) – No VCN
( entrar em INTEGRAL SIMPLES , FUNÇÃO TABELADA
( entrar com valor inicial de x , valor final, número de pontos, espaçamento
( entrar com os valores de y e clicar em Calcular
( o programa escolhe o método, dá a resposta e o nome do método usado:
Resposta: Regra usada:1a. R.Simpson - ordem do 
 é 
 Valor da integral.: 1,90 Nota: max
�
Problema 2 : 
Calcule 
, com h = 0,1.
1 – No VCN 
 ( menu INTEGRAL, integral simples dada a função.
( entre com valor inicial de x, valor final, número de pontos e espaçamento
( digite a função no local indicado e clicar em Calcular
O programa escolhe o método. Nota : como h = 0,1 e o no de subdivisões é 10 , será usada a 1a Regra de Simpson e 
.
Resposta: 0,6593 (com 4 casas decimais)
Problema 3 : 
 Calcule a integral da função tabelada
 (1,2; 3,743) , (1,5; 7,418), (1,1; 1,089), (1,3; 4,621), ((1,7; 9,333)
Nota: Inicialmente, a tabela deve ser organizada de modo que os valores de x fiquem em ordem crescente.
 x 1,1 1,2 1,3 1,5 1,7
 y 1,089 3,743 4,621 7,418 9,333
Nota-se agora que a tabela tem espaçamento variável, portanto, deve ser quebrada a integral, pois as fórmulas apresentadas só podem ser usadas em tabelas com espaçamento constante. Assim: 
( no VCN – Integração – integral simples dada a tabela
( repita, para cada integral, o procedimento explicado no exemplo 1
( anote os resultados e as regras usadas
( someos resultados e arredonde o resultado final para 3 casas decimais:
Resposta: ......0,6894 + 2,9084 = 3,5978 
�
Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 6
1 – Calcule a integral da função no intervalo tabelado
a)
	x
	1,2
	1,4
	1,6
	1,8
	2,0
	2,2
	2,4
	2,6
	y
	0,37845
	0,99741
	2,03781
	3,89722
	5,16169
	7,53910
	9,19045
	10,67432
 Resposta: 6,8700
b) (1,4 ; -5,759) , (1,2 ; 0,371) , (1,6 ; -0,419) , (1,3 ; -0,894) , (1,5 ; -2,162)
 
 Resposta:-0,793
d) x 3,16 3,28 3,40 3,52 3,63 3,74
 y 8,71 6,29 5,41 2,34 1,97 0,33
 Resposta: 2,46
2 – Calcule 
tabelando apenas 8 pontos da função, com h constante.
 Resposta: 2,8040
3 – Calcule 
 Resposta: 0,5582
4 – Calcule 
 com h = 1,0
 Resposta: -0,0646 + 1,7552 + 1,2572 = 2,9478
5 – Calcule a integral 
sendo dada a função tabelada:
a) 
	x
	0,37
	0,53
	0,69
	0,85
	1,06
	1,27
	1,48
	y
	0,370
	0,555
	0,740
	0,920
	1,110
	1,295
	1,480
b) (0,370 ; 1,46) ; (1,110 ; 5,05) ; (0,740 ; 2,69) ; (0,555 ; 1,53) ; (1,480 ; 8,73) ; (0,925 ; 3,85) ; (1,295 ; 7,05) 
Resposta: 4,65
6 – Calcule a integral da função
, com 10 pontos
Resposta: 2,1695
7 – Calcule as integrais:
a) 
dx com 11 pontos da função.
Resposta: 0,7121
b) 
 com h = 0,16.
Respostas: 0,2591
c) 
dx, com 15 pontos.
Resposta: 2,2965 
d)
, com h = 0,1
Resposta: 0,0000
Respostas:
1) a) 6,87		b) 6,807		c) –0,793		d) 2,46
2) 2,80		
	
3) 0,558	
	
4) 2,94141854
5) a) 1,068		b) 4,65			6) 2,16953
7) a) 0,712	
	
b) 0,17147+0,08712 = 0,258		
c) 2,296 . . .	
d) 0,0000
�
CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 7
Objetivo: Usar o VCN nas aplicações da integral definida 
Problema 1:
Calcule a área limitada pelas curvas 
 
 Nota: Área = 
Escreve-se a integral correspondente à área, conforme nota acima
Modelagem: . 
 
( no VCN – entre em Integração – Integral simples dada a função
( digite a função { Nota: | x | é representado por abs(x) }
 Resposta: 3,7987
Problema 2: 
Considere a função y = xe2x definida no intervalo [ 0, 1]. Calcule o comprimento do arco no intervalo com h = 0,01
Nota: 
 
Modelagem 
Resposta: 7,5204
Problema 3:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por 
 y = ln(x) e o eixo x, no intervalo [ 1, 5 ], em torno do eixo x, com h = 0,1. 
 Nota: 
Modelagem : 
Resposta: 15,2590
Problema 4 :
						B
A curva da figura gira em torno da reta AB . Calcule o volume do sólido gerado.
						 x = 0,12				
 A							b = 1,57
							c = 1,81
						 d = 1,48
a) Modelagem:
 Colocando-se um sistema de eixos adequado, obtem-se a tabela
 
	x
	0
	0,12
	0,24
	0,36
	0,48
	f(x)
	0,80
	1,57
	1,81
	1,48
	0
Calcula-se o quadrado de f(x)
	x
	0
	0,12
	0,24
	0,36
	0,48
	
	(0,80)2
	(1,57)2
	(1,81)2
	(1,48)2
	(0)2
 
 
 ( usar INTEGRAÇÃO DADA A TABELA e multiplicar o resultado por 
b) Resposta:
CÁLCULO NUMÉRICO – TAREFA 07
Calcule a área limitada pelas curvas. Nota: Área = 
 
a) Modelagem: .................................................................b) Resposta: .......................
Calcule o comprimento do arco da curva 
 Nota: 
a) Modelagem: ...............................................................b) Resposta: ..........................
Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva y = senx/x , em torno do eixo-x , no intervalo [1,3] , com h= 0,2
Nota: Volume = 
a) Modelagem: .............................................................b) Resposta: ......................
De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade instantânea:
 
	T(min)
	V(km/h)
	0
	23
	5
	25
	10
	28
	15
	35
	20
	40
	25
	45
	30
	47
	35
	52
	40
	60
	45
	61
	50
	60
	55
	54
	60
	60
 
Calcule a distância em quilômetros percorrida pelo automóvel.
 Resposta:
Calcule a área limitada pelas curvas 
para x no intervalo [2,3] , com h = 0,1
Resposta:
 
Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B . Para medir a área do trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação à AB com um intervalo de 0,05 km. Qual é esta área?
 
	Perpendiculares
	Comprimento (km)
	A
	3,28
	B
	4,02
	C
	4,64
	D
	5,26
	E
	4,98
	F
	3,62
	G
	3,82
	H
	4,68
	I
	5,26
	J
	3,82
	K
	3,24
A figura a seguir representa a fotografia aérea de um lago, com as medidas em km.
Calcule a área do lago.
																																																																																																																																																																												
Respostas:
a) 
		b) 6,031130
2 – a) 
	 b) 720,0907
3 – a) 
		b) 1,636
4 – 46 km
5 – 3,1990
6 – 
7 - 
CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 8
Objetivo: Usar a calculadora científica e o VCN no cálculo de integral dupla e aplicações.
Problema 1:
 Calcule 
 com hx = 0,2 e hy = 0,1
No VCN : integral
( integral dupla dada a função
( entre com limites de x e hx
( entre com limites de y e hy
( entre com a função.
( pressione Calcular.
Nota: o programa informa que foi usada regra dos Trapézios em x e 1a Regra de Simpson em y. O maior erro de truncamento é da ordem de (hx)2 = (0,2)2 = 0,04 , 
Por isso a resposta deve ser dada com apenas duas casas decimais
Resposta: 0,28.
Problema 2: 
 Calcule a integral dupla da função z = f(x , y) na região tabelada.
	 y
x
	1,2
	1,3
	1,4
	1,5
	1,6
	1,7
	1,8
	0,1
	0,352
	0,489
	0,750
	0,981
	1,234
	0,887
	0,451
	0,2
	0,465
	0,888
	0,978
	1,223
	2,451
	1,789
	0,805
	0,3
	0,897
	1,238
	2,899
	3,005
	2,876
	1,555
	0,989
	0,4
	0,468
	0,667
	1,290
	0,997
	0,651
	0,321
	0,219
 
 
( verifica-se, inicialmente, que a tabela tem espaçamentos iguais no x e no y
( No VCN, entre em Integral – dupla – dada a tabela
( entre com os valores iniciais , finais e espaçamento do x e do y
( entre com as imagens da tabela e pressionar Calcula
O programa informa que foi usada 2a. Regra de Simpson em y e 2a. Regra de Simpson em x
Resposta : 
( copiar o valor da integral com 3 casas decimais – número de casas decimais da tabela)
Problema 3:
		Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies:
		
		
( Faça a modelagem
 
 Obtendo:
 
 ( Proceda como no problema 1
 Resposta:
Escreve-se a integral correspondente à área, conforme nota acima
Modelagem: . 
 
( no VCN – entre em Integração – Integral simples dada a função
( digite a função { Nota: | x | é representado por abs(x) }
 Resposta: 3,7987
Exemplo 4
Considere a função y = xe2x definida no intervalo [ 0, 1] com h = 0,01 . Calcule:
o comprimento do arco no intervalo
 o volume do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo x 
Nota: 
 e V = 
Modelagem 
 …. Use integral simples dada função
Resposta: 
Modelagem 
… Use integral simples dada função
 Resposta: ..................�
CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 9
Objetivo: Usar a calculadora científica e o VCN para resolver equações diferenciais do tipo 
 , pelos métodos de Taylor e de Runge-Kutta.
Problema 1:
 		 Resolva o PVI (problema de valor inicial) 
 
,
, com h = 0,1 .
a)No VCN
( Menu : equação diferencial, Runge-Kutta
( entre com : x(inicial) = 1,4 ; y(inicial) = 0.371 ; no de pontos = 2 ; passo = 0,1
( entre com f(x,y):(explicite
 e escreva o lado direito da equação) sen(x*y)–y + x + 3.
( calcule: (só aparecem as imagens em 1,5 e 1,6 ). Anote-as : y(1,5) = y(1,6) = (anote com apenas 3 casas decimais que corresponde ao erro do y(inicial).
Nota: 1) para calcular a imagem em 1,3 , anterior à condição inicial, deve-se repetir o processo mas com h negativo , h = -0,1 ...
2) A resposta é uma tabela com os valores anotados, arredondados para o mesmo número de casas decimais da imagem na condição inicial
Resposta: 
	 	x 1,3 1,4 1,5 1,6
	 y -0,070 0,371 0,830 1,277 
�
Problema 2:
Resolva o PVI, usando o método da fórmula de Taylor de grau 5:
y ' – x3 + y – senx + 2,4 = 0 ; y(1,7) = 1,305 ; 
 ; h = 0,2
a) explicita-se y ‘ na equação: y ‘ = x3 - y + senx - 2,4
b) calculam-se as derivadas até à quinta ordem e substitui-se o ponto inicial P(1,7 ; 1,305)
 y ‘ = x3 - y + senx - 2,4 ( y’(P) = 1,73 – 1,305 + sen(1,7) – 2,4 = 
 y’’ = 3x2 – y’ + cosx ( y’’(P) = 3(1,7)2 – (..................) + cos(1,7) =
 y’’’ = 6x – y’’ – senx ( y’’’(P) = 6.1,7 - ( .................) – sen(1,7) =
 y(4) = 6 – y’’’ – cosx ( y(4)(P) = 6 – ( .............) – cos(1,7) =
 y(5) = - y(4) +senx ( y(5)(P) = - ( ..............) + sen(1,7) =
c) Escreve-se o polinômio de Taylor usando os valores obtidos
 P(x) =
Substituindo x1 por 1,7 ; y1 por 1,305 e os demais valores das derivadas já calculadas, tem-se y = 1,305 + ( x – 1,7). + 
d) Usa-se o VCN – Utilitários – Tabelar função, para obter a tabela desejada:
Resposta:
 x 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 
 y 1,305
CÁLCULO NUMÉRICO – TAREFA 09
Resolva o PVI, usando o método de Runge-Kutta de 4a. ordem 
 
Resposta: x 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6
 y 1,125 1,356 1,667 2,176 2,919
Resolva o PVI usando o polinômio de Taylor de grau 5 
 
Escreva o polinômio obtido:
 b) Use o VCN(tabelar uma função) para calcular os valores procurados. 
 x 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
 y -0,223 -0,105 0,000 0,095 0,182 0,262 0,337
3 – Uma quantidade de 10 kg de material é lançada em um recipiente contendo 60 kg de água. A concentração da solução, c, em percentagem, a qualquer instante t é expressa como: 
 sendo k o coeficiente de transferência de massa, igual a 0,0589 e com a condição inicial t = 0 e c = 0, h=0,1. Calcule:
 a) t (1,2) = 5,704 
 b) t (1,4) = 6,351
 c) t (1,6) = 6,937
4 – A corrente i num circuito LR num instante t qualquer depois que a chave é ligada em 
t = 0 pode ser expressa pela equação: 
onde E = 50 volts, L = 1 henry , w = 300 , R = 50 ohms e a condição inicial é i = 0 para t = 0 com h = 0,2. 
 Complete a tabela e dê as respostas em números inteiros!
	i
	0
	-56
	 -16.283
	-4.738.501
	t
	0
	0,2
	0,4
	 0,6
5 – Seja y o número de bactérias de uma colônia. Sabendo-se que a taxa de crescimento da população é proporcional ao número de bactérias e no instante t = 0 há 2000 bactérias na colônia, calcular o número de bactérias quando t = 2. Dados: 
 
 Resposta : 14.778 bactérias
6 – Resolver as equações abaixo com h = 0,1 a partir das condições iniciais:
Resposta: y(0,8) = 1,265
Resposta:y(1,6) = 1,938
7 – Resolva a seguinte equação diferencial 
sendo y(1,0) = 2,0 e h=0,2
Resposta com 04 casas decimais: 
y(1,2) = 2,9471
8 - Utilizando o método de Adam´s Taylor encontrar o valor de y(0,6) sendo h = 0,1 e y(0) = 2
y’’ = _____________________________________________________________________
y’’’ = _____________________________________________________________________
y’’’’ = _____________________________________________________________________
y’’’’’ = _____________________________________________________________________
Resposta com 04 casas decimais: 
y(0,6) = 0,7609
8 - 
 Dada função w(y) tabelada, calcule a imagem em 1,37
w�
-0,36�
0,86�
1,37�
3,16�
4,81�
�
y�
1,27�
1,58�
1,89�
2,20�
2,51�
�
(
a
b
c
d
x
x
x
x
2km
4km
0,6
1,2
4km
7km
10km
9km
8km
6km
(km)
1,8
2,4
3,0
3,6
4,2
0,8
1,6
2,4
3,2
4,0
4,8
5km
9km
8km
7km
0
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