Prova3 - pROFESSOR IVAN - CÁLCULO3

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DO PARANA´
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - 3ra PROVA
Prof. Dr. Ivan Gonzales
4 de dezembro de 2015
ALUNO :
PERGUNTAS:
OBS: Fazem uma u´nica pergunta entre (5) e (6).
A pergunta (8) e´ opcional.
1.) [ 2ptos] Calcule :
a. 5i(1−i)(2−i)(3−i) .
b. Ra´ızes cu´bicas de
√
3− 1.
2.) [2 ptos] Um nu´mero complexo z e´ definido por
z2 = (2− 3i)2 − |3 + 4i|+ 2− 6i.
Encontre Re(z), Im(z), z¯ e |z|.
3.) [1,5 ptos] Use a se´rie Binomial para encontrar
a se´rie de Maclaurin de f(x) =
√
1 + x2 e use
isto para calcular f (10)(0).
4.) [1 pto] Calcule a soma
51∑
n=1
in.
5.)* [1,5 ptos] [Esponja de Menger] Considere o
cubo inicial de aresta 1 (fig 1), divida o cubo
em 9 cubos e retire os cubos centrais de cada
face junto com o cubo central tal como na fi-
gura 2. Repita o processo em cada cubo que
ficou na figura 2, obtendo assim a figura 3 e
seguidamente a figura 4. Fazendo o procedi-
mento repetidamente (infinito) o resultado e´ a
chamada Esponja de Menger.
a. Calcule a a´rea da Esponja de Menger. (Rpta:
∞)
b. Calcule o volume da Esponja de Menger.
(Rpta: 0).
6.)* [1,5 ptos] [Julia´s set] Considere a aplicac¸a˜o
f(z) = z2. Dado um ponto z0 tente cal-
cular o limite limn→∞ fn(z), onde fn(z) =
f(fn−1(z)). Colorea de preto os pontos sobre o
plano complexo tais que o limite acima existe e
colorea de vermelho os pontos tais que o limite
acima e´ ∞. O conjunto coloreado de preto e´
chamado o conjunto de Julia da func¸a˜o z2. De-
senhe no plano complexo teus resultados.! Que
figura formam os pontos coloridos de preto?.
7.) [2 ptos] Calcule o raio de convergeˆncia de
f(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
e mostre que e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o dife-
rencial
f ′′(x) + f(x) = 0.
8.) [1 pto] Calcule
(1− i)20.
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