Algebra Linear - Exercicios sobre Matrizes

Prévia do material em texto

A´lgebra Linear
1a Lista de exerc´ıcios: Matrizes
1) Construa a matriz segundo a regra estabelecida:
a) A = (eij)3x3, onde eij = i
2 se i = j e eij = j − i se i 6= j
b) B = (bij)5x2, onde bij =
i
j
C) C = (cij)2x3, onde cij = ij
d) D = (dij)4x3, onde dij = i + ij
2) Determine os elementos de A, sabendo que a matriz A e´ sime´trica.
A =
 1 2 −5x x− y −y
y 5
√
x

3) Determine todos os coeficientes de A, sabendo que e´ anti-sime´trica.
A =
 0 2 3a b + 3 6
b c 2c + 12

4) Dadas as matrizes:
A =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 −4
 ; B =
 −1 3 51 −3 −5
−1 3 5
 e C =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3
 .
a) Mostre que AB=BA=0
b) Mostre que AC = A e CA=C.
5) Resolva a seguinte equac¸a˜o matricial:(
3 2
4 0
)
.X =
( −1 4
0 3
)
6) Determine x e y para que as matrizes abaixo comutem.( −1 x
y −1
)
e
(
0 2
1 1
)
7) Explique por que, em geral, (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2 e (A + B)(A−B) 6= A2 −B2.
8) (Boldrini) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraˆneo
e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa e´ dada pela tabela:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterraˆneo 7 18 12 8 21
Colonial 6 25 8 5 13
a) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material sera˜o empregadas?
b) Suponha agora que os prec¸os por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respec-
tivamente, 15,8,5,1 e 10 reais. Qual e´ o prec¸o unita´rio de cada tupo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
GABARITO
1) a) A =
 1 1 2−1 4 1
−2 −1 9

b) B =

1 1/2
2 1
3 3/2
4 2
5 5/2

c) C =
(
1 2 3
2 4 6
)
d) D =

2 3 4
4 6 8
6 9 12
8 12 16

2) X = 2 e y = −5.
3) a = −2, b = −3 e c = −6
4)
5) X =
(
0 3/4
−1/2 7/8
)
6) x = y = 0.
7)
8) a)
(
146 536 260 158 388
)
b)
 492528
465

c) R$11.736, 00