MATEMÁTICA C

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Introdução
Linguagem das máquinas
Vivemos hoje a era digital, que trouxe – e continua a 
proporcionar – mudanças radicais na comunicação. 
Muito antes de serem desenvolvidos os compu-
tadores, o homem já havia desenvolvido a teoria das 
matrizes, sem a qual o mundo digital não existiria. 
Nenhum programa gráfico, nem o Word nem o Excel, 
por exemplo, poderiam ser criados se não existissem 
as matrizes. Então, não há exagero em dizer que Ma-
triz é a linguagem das máquinas. 
Tudo começou com o desenvolvimento do hábito, 
simples e milenar, de registrar números agrupando-os 
em tabelas.
Para se ter uma ideia de quão antiga essa prática é, o 
capítulo VII de uma das principais obras da matemática 
chinesa – “Os nove capítulos sobre a arte da matemática”, 
escrita por Chiu-Chang Suan-Shu, que data do século II 
a.C. e contém uma coleção de 246 problemas – trata, 
entre outras coisas, da resolução de equações e sistemas 
lineares com os números alinhados em forma matricial, 
ou seja, organizados em linhas e colunas. 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/r
a2
st
ud
io
O célebre matemático 
francês Augustin Louis Cau-
chy chamava as matrizes de 
“tableau ” (tabelas), isso em 
1826. Porém, o termo matriz, 
como conhecemos hoje, foi 
usado pela primeira vez pelo 
matemático inglês James 
Joseph Sylvester, num artigo 
publicado em 1850, onde 
usou a palavra matriz como 
sinônimo de ventre, por ser o 
“local onde se gera ou se cria 
algo ”, fazendo referência ao 
significado original do latim, 
matrix. Em 1858, Arthur 
Cayley, grande amigo de 
Sylvester, escreveu o artigo 
“Memoir on the Theory of 
Matrices ”, consagrando assim 
o termo matriz. 
Para iniciar o estudo desse importante assunto, e 
familiarizar-se com as notações, considere, como exem-
plo, a situação descrita a seguir.
João e Maria conseguiram obter as seguintes notas 
em Matemática, Física e Química:
Matemática Física Química
João 7,0 5,0 6,0
Maria 9,0 4,0 5,0
Com as notas de João e Maria, podemos formar a 
tabela:
A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
7 5 6
9 4 5
W
el
lc
om
e 
Li
br
ar
y, 
Lo
nd
on
.
 Arthur Cayley 
1821 – 1895
W
el
lc
om
e 
Lib
ra
ry
, L
on
do
n.
 James Sylvester 
1814 – 1897
1
01
Aula 
1C
Matemática
Matrizes
Essa tabela de números, dispostos em linhas e colu-
nas, é uma matriz do tipo 2 × 3, onde 2 é o número de 
linhas e 3, o de colunas. 
Podemos também representá-la das seguintes 
formas:
A =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
7 5 6
9 4 5
7 5 6
9 4 5
 A = 
 Definição
Chama-se matriz real do tipo m × x (lemos m por n) 
toda tabela formada por números reais dispostos em m 
linhas e n colunas. 
Os números que formam a tabela são chamados de 
elementos da matriz.
Vale destacar ainda que uma matriz do tipo m n× 
tem exatamente m n. elementos.
Exemplos:
A =
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 5
1 0
1 3
 é uma matriz 3 × 2;
B =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1 2 5
3 0 5 6,
 é uma matriz 2 × 3;
C =
− −2 3 1
11 0 2
10 4 5
 é uma matriz 3 × 3.
 Notação 
Dada uma matriz A, denotaremos por aij cada um 
dos elementos dessa matriz, onde i indicará a linha e j, a 
coluna desse elemento. Assim, 
 • se A é uma matriz 3 × 2, então A
a a
a a
a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
×
11 12
21 22
31 32 3 2 
De forma resumida, podemos escrever A aij= ×[ ]3 2 . 
Ou seja,
A a A
a a
a a
a a
ij= ⇒ =×
×
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
[ ]3 2
11 12
21 22
31 32 3 2
 
 
Exemplo:
Escreva a matriz A aij= ×[ ]2 2 tal que a i jij = +3 .
Solução:
(I) A a A
a a
a aij
= ⇒ =×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
[ ]2 2
11 12
21 22
 
(II) a i j
a a
a aij
= + ⇒
= ⋅ + = = ⋅ + =
= ⋅ + = = ⋅ + =
3
3 1 1 4 3 1 2 5
3 2 1 7 3 2 2 8
11 12
21 22
Assim, a matriz é: A =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4 5
7 8
 
 Classificação de matrizes 
De acordo com o número de linhas e colunas, alguns 
tipos de matrizes podem receber nomes especiais.
Matriz quadrada
Matriz quadrada é toda e qualquer matriz que possui 
quantidades iguais de linhas e colunas. 
Exemplo:
M =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 3
0 4
é uma matriz quadrada, pois tem duas 
linhas e duas colunas. Ou seja, é uma matriz quadrada 
do tipo 2 × 2, ou simplesmente, uma matriz de ordem 2.
Exemplo:
Na matriz quadrada de ordem 3, a seguir, estão 
destacadas as diagonais principal e secundária.
A
a a
a a
a a
a
a
a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
11 12
21 22
31 32
13
23
33
diagonal secundária diagonal principal
É importante saber
Ordem de uma matriz quadrada nada mais é do 
que o número de linhas (ou de colunas) dessa ma-
triz. Portanto, uma matriz de ordem 3, por exemplo, 
é uma matriz quadrada do tipo 3 × 3.
É importante destacar também:
– chama-se diagonal principal de uma matriz qua-
drada A o conjunto dos elementos aij dessa matriz 
tal que i = j;
– chama-se diagonal secundária de uma matriz 
quadrada A o conjunto dos elementos aij dessa 
matriz tal que i + j = n + 1.
2 Semiextensivo
Traço (tr) de uma matriz quadrada 
Chamamos de traço de uma matriz quadrada a soma 
dos elementos de sua diagonal principal.
Considerando uma matriz quadrada A, de ordem n, 
temos que: 
tr(A) a a a a11 22 33 nn= + + + +
Toda matriz é, de fato, um arranjo retangular de 
números reais. Porém, é comum que se chame de matriz 
retangular as matrizes em que o número de linhas é 
diferente do número de colunas.
Matriz linha e matriz coluna
Chamamos de matriz linha as matrizes do tipo 1 × n 
e de matriz coluna as matrizes do tipo m × 1, ou seja, as 
matrizes que têm uma única linha ou uma única coluna, 
respectivamente.
Exemplos:
 • B =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
7
13
é uma matriz coluna, pois é formada por 
uma única coluna.
 • C = [ ]32 7 1 é um exemplo de matriz linha, pois 
possui uma única linha.
 Igualdade de matrizes
Dadas duas matrizes A e B, do mesmo tipo, dizemos 
que A e B serão iguais se, e somente se, todos os ele-
mentos correspondentes forem iguais. Ou seja:
Se A aij m n= ×[ ] e B b ij m n= ×[ ] , então A = B se, e 
somente se, a bij ij= para todos os valores possíveis de 
i e j note que i m e j n∈ ∈{ } { }( )1 2 1 2, , , , , , .
Exemplo:
Sejam as matrizes P
x
y
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
8
1
 e Q
z
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
1 3
. 
Se P Q= , então x = 2 , y = 3 e z = 8 . 
 Tipos de matrizes
Apresentaremos, a seguir, alguns tipos de matrizes. 
Outros tipos serão apresentados nas próximas aulas.
Matriz nula
Chama-se matriz nula toda e qualquer matriz cujos 
elementos são todos iguais a zero.
Exemplo:
O = →
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
0 0
0 0
0 0
matriz nula do tipo 3 × 2
Matriz oposta
Para toda matriz A existe, em correspondência, uma 
única matriz – A que é obtida trocando-se o sinal de cada 
elemento de A. Dizemos que – A é a matriz oposta de A.
Exemplo:
Se A = −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 0
4 3
 
, então − =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥A
1 0
4 3
Matriz transposta
Dada uma matriz A do tipo m × n, chama-se matriz 
transposta de A a matriz At , n × m, tal que a primeira 
coluna de At é igual à primeira linha de A, a segunda 
coluna de At é igual à segunda linha de A, e assim 
sucessivamente. Ou seja, as colunas da matriz At são, 
ordenadamente, iguais às linhas de A. 
Exemplo:
Se A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
5 3 4
1 0 2
, então sua transposta é
A t =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
5 1
3 0
4 2
. 
Atenção
Observe que A é uma matriz do tipo 2 × 3, en-
quanto que At é do tipo 3 × 2. Note também que 
todo elemento aij de A é igual ao elemento aji de A
t. 
Matriz simétrica
Uma matriz quadrada A, de ordem n, é simétrica 
quando A = At, onde At denota a transposta de A.
Exemplo:
A matriz A =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
7 3 1
3 2 4
1 4 5
 é simétrica, pois:
A At =
−
− =
⎛
⎝
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
7 3 1
3 2 4
1 4 5
Observação:
Se A = –At, dizemos que a matriz A é antissi-
métrica.
Aula 01
3Matemática 1C
Matriz triangular
Uma matriz quadrada é denominada matriz triangular quando todos os elementos situados abaixo ou acima da 
diagonal principal são nulos.
Quando, na matriz quadrada, são nulos os elementos acima da diagonal principal, essa é chamada de matriz 
triangular inferior. Quando são nulos os elementos abaixo da diagonalprincipal, ela é denominada matriz triangular 
superior.
Exemplos:
A = − →
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 0 0
6 3 0
1 5 9
 Matriz triangular inferior B = − →
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
4 12 7
0 5 1
0 0 0
Matriz triangular superior
Matriz diagonal
Matriz diagonal é toda matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal principal são iguais a zero.
Exemplos:
A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ →
3 0
0 2
Matriz diagonal de ordem 2 B =
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ →
1 0 0
0 5 0
0 0 7
Matriz diagonal de ordem 3
Matriz identidade
Matriz identidade é o nome dado a toda e qualquer matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal 
são iguais a um, e os demais são todos iguais a zero.
Notação: 
In = matriz identidade de ordem n
Portanto, 
I an ij n n= ×( ) tal que a
se i j
se i jij
=
=
≠
⎧
⎨
⎩
1
0
,
,
Exemplos:
I2
1 0
0 1
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ I3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 I 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
Note que uma matriz identidade é, na verdade, uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são 
todos iguais a 1.
4 Semiextensivo
01. (FCMSC – SP) – Se a matriz 
2 1 1
0 1
3 1
2
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
x y
x y
é simé- 
 
 
trica, então o valor de x + y é: 
a) 3
d) –2
b) 1
e) –3
c) 0
02. (UFRJ) – Uma confecção vai fabricar três tipos de 
roupa utilizando materiais diferentes. Considere a 
matriz A = (aij), em que aij representa quantas uni-
dades do material j serão empregadas para fabricar 
uma roupa do tipo i.
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
5 0 2
0 1 3
4 2 1
a) Quantas unidades do material 3 serão emprega-
das na confecção de uma roupa do tipo 2? 
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será 
empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, 
quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
03. (UDESC) – A soma dos elementos da diago-
nal principal com os elementos da diago-
nal secundária da matriz transposta da matriz 
 
A
a i se i j
a i j se i j
ij
ij
2 2
2 1
2 ×
=
= + =
= + ≠
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 é
a) 17 
d) 12 
b) 15 
e) 18
c) 16 
Situações para resolver
Aula 01
5Matemática 1C
Testes
Assimilação
01.01. (UFRN) – A solução da equação matricial 
−
−
=
+ +
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 2
2
1 4
3 4 22x x
x x
x
é um número:
a) Maior que –1.
b) Menor que –1.
c) Maior que 1.
d) Entre –1 e 1.
e) Entre 0 e 3.
01.02. (FATEC – SP) – Sejam X
a a
a a
=
− −
− +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2
2
2 2
4 2
 e
Y =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 4
8 2
, em que a IR. Se X = Y, então:
a) a = 2
c) a = 1/2
e) a = 0
b) a = –2
d) a = –1/2
01.03. O valor de x + y, para que as matrizes 
C =
2 1 4 0
1 5 2
x
y y x
+
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e D = 
5 4 0
1 1 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ sejam iguais 
é:
a) –6
c) 8
e) 5
b) 0
d) –4 
01.04. (PUCMG) – Seja A a matriz A aij= ×( )2 3, cuja lei de 
formação é dada por a
i j se i j
i j se i jij
=
+ ≠
− =
⎧
⎨
⎩
3
2 3
,
,
. É correto afirmar 
que:
a) 
− −⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 5
6 7
2 9
c) 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 7 5
6 2 9
b) 
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 7
5 2
6 9
d) 
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 5 6
7 2 9
6 Semiextensivo
01.05. (UFPR) – Seja M = [aij] uma matriz de ordem 3 × 2, tal 
que: para i = j, aij = 2(i – j) e para i ≠ j, aij = 2i + j.
A matriz M é:
a) 
0 2
2 0
4 0−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 b) 
0 6
6 0
8 10
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
c) 
0 4
5 0
7 8
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 d) 
0 5 7
4 0 8
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
e) 
0 6 8
6 0 10
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Aperfeiçoamento
01.06. (MACK – SP) – O traço de uma matriz quadrada é a 
soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da 
matriz A aij= ( ) ×3 3 , tal que a iij j , é:
a) 33 
c) 52 
e) 26
b) 25 
d) 43
01.07. (UDESC) – Dada a matriz A = −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 2
2 1 2
1 2 1
, então a 
soma dos elementos da primeira linha da matriz At é:
a) –1 
c) 2 
e) 4
b) 5 
d) 3 
01.08. (UFAL) – Considere a matriz A aij= ×( )3 4 , na qual 
a
i j se i j
i se i jij
=
− ≤
>
⎧
⎨
⎩
,
,
O elemento que pertence à 3a. linha e à 2a. coluna da matriz 
At, transposta de A, é:
a) 4 
c) 1
e) – 2
b) 2 
d) – 1
01.09. (UFSM – RS) – Sabendo-se que a matriz
A
y
x x
y
=
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
36 7
0 5
4 30 3
2 é igual à sua transposta, o valor de 
2x + y é:
a) – 23 
c) –1 
e) 23
b) –11 
d) 11
Aula 01
7Matemática 1C
01.10. (UEL – PR) – Uma matriz quadrada A é simétrica se 
A A T . Assim, se a matriz A
y
x z=
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2 1 2
0 1
4 3 2
 é simétrica, 
calcule x y z .
a) – 2 
c) 1 
e) 5
b) – 1 
d) 3 
01.11. (UNIFOR – CE) – Indica-se por At a transposta de uma 
matriz A. Uma matriz quadrada A se diz ANTISSIMÉTRICA se, 
e somente se, At = – A. Nessas condições, qual das matrizes 
seguintes é antissimétrica?
a) 
1 2
2 0−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
c) 
1 0
0 1−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
b) 
1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
d) 
0 2
2 0−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
01.12. (UNESP – SP) – Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três 
tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a 
quantidade de cada produto vendido por cada loja na primei-
ra semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica 
a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i, j = 1, 2, 3.
 L L L1 2 3
P
P
P
1
2
3
30 19 20
15 10 8
12 16 11
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Analisando a matriz, podemos afirmar que
a) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja 
L2 é 11.
b) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja 
L3 é 30.
c) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos 
pelas três lojas é 40.
d) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos 
pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52.
e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 
vendidos pela loja L1 é 45.
Aprofundamento
01.13. (UFSM – RS) –
O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada 
de um determinado ecossistema. As setas indicam a espécie 
de que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de outra 
e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a seguinte tabela:
Urso Esquilo Inseto Planta
Urso 0 1 1 1
Esquilo 0 0 1 1
Inseto 0 0 0 1
Planta 0 0 0 0
A matriz A aij= ×( )4 4 , associada à tabela, possui a seguinte 
lei de formação:
a) a
se i j
se i jij
=
≤
>
⎧
⎨
⎩
0
1
,
,
 b) a
se i j
se i jij
=
=
≠
⎧
⎨
⎩
0
1
,
,
c) a
se i j
se i jij
=
≥
<
⎧
⎨
⎩
0
1
,
,
 d) a
se i j
se i jij
=
≠
=
⎧
⎨
⎩
0
1
,
,
e) a
se i j
se i jij
=
<
>
⎧
⎨
⎩
0
1
,
,
8 Semiextensivo
01.14. (UNIRIO – RJ) – Um laboratório farmacêutico fabrica 
3 tipos de remédios utilizando diferentes compostos. Con-
sidere a matriz A aij( ) dada a seguir, onde aij representa 
quantas unidades do composto j serão utilizadas para fabricar 
uma unidade do remédio do tipo i.
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 4
2 5 3
0 1 4
Quantas unidades do composto 2 serão necessárias para 
fabricar 3 remédios do tipo 1; 2 remédios do tipo 2 e 5 
remédios do tipo 3?
a) 18
d) 27
b) 21
e) 30
c) 24
01.15. (PUCSP) – Sejam A e B duas matrizes. Se aij e bij são 
termos correspondentes nas matrizes A e B, respectivamen-
te, e se considerarmos todas as diferenças a bij ij , chama-se 
distância entre A e B o maior valor de a bij ij .
Dadas as matrizes P=
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 1
3 1
 e Q =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 1
1 3
, a distância 
entre P e Q é:
a) 1 
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
01.16. (AFA – SP) – Uma montadora de automóveis prepara 
três modelos de carros, a saber: 
MODELO 1 2 3
CILINDRADA (em litro) 1.0 1.4 1.8
Essa montadora divulgou a matriz abaixo em que cada termo 
aij representa a distância percorrida, em km, pelo modelo i, 
com um litro de combustível, à velocidade 10j km h/ . 
6 7 6 7 2 8 9 8 2 11 10 12 11 8
5 7 5 7 8 5 8 10 5 9 5 11 5 11
3 2 7 5 9 5 5 8 1
, , , , ,
, , , , ,
, , , , 77 4 9 8 9 4 13 1, , , ,
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Com base nisso, é correto dizer que 
a) para motoristas que somente trafegam a 30 km/h o carro 
1.4 é o mais econômico. 
b) se durante um mesmo período de tempo um carro 1.4 e 
um1.8 trafegam a 50 km/h, o 1.4 será o mais econômico. 
c) Para motoristas que somente trafegam a velocidade de 
70 km/h, o carro 1.8 é o de maior consumo. 
d) Para motoristas que somente trafegam a 80 km/h, o carro 
1.0 é o mais econômico. 
01.17. (UESC – BA) – O fluxo de veículos que circulam pelas 
ruas de mão dupla 1, 2 e 3 é controlado por um semáforo, de 
tal modo que, cada vez que sinaliza a passagem de veículos, 
é possível que passem até 12 carros, por minuto, de uma 
rua para outra. 
Na matriz S=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
0 90 36
90 0 75
36 75 0
cada termo indica o tempo, 
em segundos, que o semáforo fica aberto, num período de 
2 minutos, para que haja o fluxo da rua i para a rua j.
Então, o número máximo de automóveis que podem passar 
da rua 2 para a rua 3, das 8h às 10h de um mesmo dia, é
a) 432
c) 900
e) 1100
b) 576
d) 1080
Aula 01
9Matemática 1C
01.18. (UFPE) – Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 
solicita transferência para outro curso, escolhido entre os 
mesmos 1, 2 e 3. A matriz abaixo representa o resultado 
obtido após as transferências: para i ≠ j, na interseção da 
linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes 
do curso i que se transferiram para o curso j; para i = j, na 
interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número 
de estudantes do curso i que permaneceram no curso i. 
132 7 8
12 115 13
14 15 119
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas 
um curso, analise as afirmações seguintes, de acordo com 
as informações acima:
( ) Antes das transferências, existiam 147 alunos no curso 1.
( ) Após as transferências, existem 137 alunos no curso 2.
( ) Foram transferidos 26 alunos para o curso 3.
( ) O total de alunos transferidos é 69.
( ) O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 é de 363 alunos.
Marque a alternativa correta:
a) F, V, V, F, V
c) V, V, V, F, V
e) V, F, F, V, F
b) V, V, F, F, V
d) V, V, F, V, F
01.19. (UFRN) – A matriz abaixo é 7 × 7 e foi formada com o 
número 1 em cada posição da primeira linha, um 0 e um 2, 
alternadamente, nas posições da segunda linha, dois 0 e um 
3, também alternadamente, nas posições da terceira linha, e 
assim sucessivamente.
1 1 1 1 1 1 1
0 2 0 2 0 2 0
0 0 3 0 0 3 0
0 0 0 4 0 0 0
0 0 0 0 5 0 0
0 0 0 0 0 6 0
0 0 0 0 0 0 7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
Numa matriz 100 × 100, construída com o mesmo critério, 
a quantidade de números diferentes de zero na centésima 
coluna é:
a) 8
c) 10
b) 9
d) 11
10 Semiextensivo
01.01. b
01.02. b
01.03. c
01.04. d
01.05. c
01.06. b
01.07. e
01.08. d
01.09. c
01.10. e
01.11. d
01.12. e
01.13. c
01.14. b
01.15. e
01.16. d
01.17. c
01.18. d
01.19. b
01.20. a = 1; b = 3; c = 2
01.21. n = 4715; i = 3; j = 1
Gabarito
Discursivos
01.20. (FUVEST – SP) – Diz-se que a matriz quadrada A tem posto 1 se uma de suas linhas é não nula e as outras são múltiplas 
dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz 3 × 3 
A a b c
b c a c a b
= − +
+ − − +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
2
1
2
3
3 2 1 6
3
1
2
2
 tem posto 1.
01.21. (UERJ) – Considere a sequência de matrizes ( , , , )A A A1 2 3 , todas quadradas de ordem 4, respectivamente iguais a: 
0 1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11
12 13 14 15
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
, 
16 17 18 19
20 21 22 23
24 25 26 27
28 29 30 31
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
, 
32 33 34 35
36 37 38 39
40 41 42 43
44 45 46 47
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
,...
Sabendo que o elemento aij 75432 é da matriz A n , determine os valores de n, i e j.
Aula 01
11Matemática 1C
 Introdução
Operações com matrizes
As operações com matrizes têm ampla aplicação em 
problemas práticos e são indispensáveis em inúmeras 
áreas.
Nas engenharias, simuladores usados para modela-
gem – estudo de tensões e resistência, por exemplo – não 
raramente geram matrizes com milhares (ou milhões) de 
variáveis que possibilitam resolver, computacionalmente, 
os sistemas lineares resultantes das análises.
Na criptografia, que foi largamente usada em épocas 
de guerra, possibilita maior segurança nas transações 
via internet.
Na Biologia, modelos matriciais possibilitam deter-
minar os prováveis genótipos de descendentes e acom-
panhar a distribuição genotípica através das gerações. 
Imagens processadas digitalmente – fotos tiradas 
por celulares, imagens visualizadas em páginas da in-
ternet e animações cinematográficas, por exemplo – são 
convertidas em matrizes.
Imagens binárias usam apenas duas cores e cada ele-
mento da matriz correspondente é igual a zero ou um: 1 
indica que o pixel assume a cor branca e 0, a cor preta 
(pixel é o menor elemento gráfico de uma imagem). Nas 
imagens coloridas, um dos sistemas adotado é o RGB 
(Red, Green e Blue), que usa três matrizes para especi-
ficar a intensidade de vermelho, verde e azul em cada 
pixel que compõe a imagem. O sistema RGB possibilita 
que sejam representadas 2563 cores diferentes (quase 
17 milhões de cores).
Operando com matrizes damos movimentos às ima-
gens, aceleramos análises diversas e obtemos resultados 
cada vez mais precisos e confiáveis.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Im
 st
oc
ke
r
©
Sh
ut
te
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to
ck
/d
av
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Sh
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ck
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ur
ije
ta
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/c
ai
m
ac
an
ul
 Adição e subtração de 
matrizes
Sendo A e B matrizes, será possível determinar a 
soma A + B e a diferença A – B se, e somente se, A e B 
forem matrizes do mesmo tipo, ou seja, se o número de 
linhas e de colunas de A for igual ao número de linhas e 
colunas de B, respectivamente. 
Definição: Considerando as matrizes A aij m n= ×( ) e 
B b ij m n= ×( ) ,
 • se A B C+ = , então C c ij m n= ×( ) tal que c a bij ij ij= + , 
para todo i e todo j; 
 • se A B C− = , então C c ij m n= ×( ) tal que c a bij ij ij= − , 
para todo i e todo j.
Para somar, ou subtrair, as matrizes Am × n e Bm × n 
basta somar, ou subtrair, os elementos correspon-
dentes dessas matrizes
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/d
8n
n
12 Semiextensivo
Aula 02
Matemática
1C
Operações com matrizes
Exemplos:
 •
a b
c d
x y
z w
a x b y
c z d w
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥+ =
+ +
+ +
 •
2 5 1
3 0 2
1 6 0
1 3 2
3 11 1
2 3 4−
+
− −
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 •
2 5 1
3 0 2
1 6 0
1 3 2
1 1 1
4 3 0−
−
− −
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Propriedades da adição de matrizes
Sendo A, B, C e O matrizes do tipo m n × , onde O 
denota a matriz nula, valem as seguintes propriedades:
 • A + B = B + A (comutatividade da adição)
 • (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade da adição)
 • A + O = O + A = A (elemento neutro da adição) 
 • A + (– A) = (–A) + A = O (existência do oposto)
 • A + C = B + C A = B (cancelamento) 
Atenção
A – B = B – A se, e somente se, A = B. 
Multiplicação de uma matriz por 
um número
Multiplicando-se uma matriz A aij m n= ×( ) por um 
número k obtém-se o produto k A. , que é a matriz 
m n× formada pelos elementos de A todos multipli-
cados por k.
Ou seja,
 • se A aij m n= ×( ) é uma matriz, k é um número e 
B k A= . , então B b ij m n= ×( ) tal que b k aij ij= . , para 
todo i e todo j.
Exemplo:
 • 10
1
1
2
2 3
1 5 0 1 25 10
10 5 20 30
15 0 12 5 100
. −
−
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
, , ,
 Multiplicação de matrizes
Definição
Dadas as matrizes A, do tipo m n× , e B, do tipo 
n p× , chama-se produto da matriz A pela matriz B a 
matriz A ∙ B, do tipo m p× , tal que: 
se A ∙ B = C, então C = (Cij)m × p tem elementos 
c a b a b a b a bi j i1 1j i2 2 j i3 3 j i n n j= + + + +. . . . ,
para todos os naturais i e j, desde que 1≤ ≤i m e 
1≤ ≤j p
Observações:
1. Sendo A e B matrizes, o produto A B. existe se, 
e somente se, o número de colunas da matriz A 
for igual ao número de linhas de matriz B.
2. Se as matrizes A e B são do tipo m n× e n p× , 
respectivamente, então o produto A B. existe e 
é uma matriz do tipo m p× .
Am × n ∙ Bn× p = Cm × p
iguais
resultado
Exemplo:
Determine a matriz A B. , sabendo que 
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 3
1 0
4 5
 e B =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 1
2 4
.
Devemos multiplicar, ordenadamente, os elementos 
das linhas de A pelos elementos das colunas de B, e 
somar os produtos obtidos, conforme indicado a seguir:
A B. .=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
1
4
3 1
3
0
5
2 4
 → ( )" "( ) ( )linhas colunasde A de B.
A B.
. . . .
. . . .
. . . .
=
+ +
+ +
+ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 3 2 1
1 3 1 1
4 3 4 1
3 2 3 4
0 2 0 4
5 2 5 4
A B. =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
12 14
3 1
22 24
Aula 02
13Matemática 1C
Observe o passo a passo da multiplicação:
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 3
1 0
4 5
 e B =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 1
2 4
 • Linha 1 x Coluna 1:
2 3
3
2
2 3 3 2 12⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
.
. .
 • Linha 1 x Coluna 2:
2 3
1
4
2 1 3 4 14⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
.
. .
 • Linha 2 x Coluna 1:
1 0
3
2
1 3 0 2 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 . . .
 • Linha 2 x Coluna 2
1 0
1
4
1 1 0 4 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 . . .
 • Linha 3 x Coluna 1
4 5
3
2
4 3 5 2 22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
.
. .
 • Linha 3 x Coluna 2
4 5
1
4
4 1 5 4 24
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
 
.
. .
 Propriedades do produto 
matricial
Considere as matrizes A, B, C e a matriz identidade 
de ordem n (In). Se forem atendidas as condições de 
existência da multiplicação e adição de matrizes, então 
valem as seguintes propriedades:
 • Associativa: 
(A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C) 
 • Distributiva: 
A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C ou (B + C) ∙ A = B ∙ A + C ∙ A
 • Elemento neutro da multiplicação:
A ∙ In = In ∙ A = A 
A matriz identidade é o elemento neutro da multipli-
cação de matrizes.
É importante saber
Considerando que O denota uma matriz nula, e su-
pondo que existem os produtos A ∙ B, B ∙ A e A ∙ C, é 
importante destacar que
• o produto de matrizes não é comutativo. Ou seja:
Em geral, A ∙ B B ∙ A
• o produto entre matrizes pode ser nulo, sem que 
uma das matrizes seja nula, isto é, A ∙ B = O não sig-
nifica, necessariamente, que pelo menos uma das 
matriz (A ou B) é nula. Portanto:
Podemos ter A ∙ B = O, com A O e B O
• não vale a lei do cancelamento, ou seja, A ∙ B = A ∙ C 
não implica, necessariamente, que B = C. Ou seja:
Podemos ter A ∙ B = A ∙ C, com B C e A O
14 Semiextensivo
Situações para resolver
01. (PUCSP) – Dadas as matrizes A =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 0
1 4
 e
 
B =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 1
1 0
, então AB – BA é igual a:
a) 
0 0
0 0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ b) 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 1
2 7 c) 
2 3
5 0
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
 
d) 
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 7
9 1
 e) 1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
02. (UFPR) – Considerando as matrizes reais A ai j= ×( )3 3 
e B bi j= ×( )3 3, cujos elementos estão definidos por 
a i ji j = + e b i ji j = − , calcule o elemento C21 da ma-
triz C c A Bi j= = ⋅×( )3 3 .
03. (UEL – PR) – Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido para fazer três modelos de sapatos. A matriz Q fornece a 
quantidade de cada componente na fabricação dos modelos de sapatos, enquanto a matriz C fornece o custo unitário, 
em reais, destes componentes.
 Dados:
borracha couro tecido
 
Q =
 
 
 
2 1 1
1 2 0
2 
m 
 
 
 
0 2
1
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
od
mod
mod
elo
elo
elo
 
 
C
borracha
couro
tecido
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
10
50
30
A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três modelos de sapatos é dada por
a) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
110
120
80
b) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
90
110
60
c) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
80
110
80
d) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
120
110
100
e) V =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
100
110
80
Aula 02
15Matemática 1C
Testes
Assimilação
02.01. (UEL – PR) – Analise as sentenças a seguir.
I. O produto de matrizes A3 × 2 ∙ B2 × 1 é uma matriz 3 × 1.
II. O produto de matrizes A5 × 4 ∙ B5 × 2 é uma matriz 4 × 2.
III. O produto de matrizes A2 × 3 ∙ B3 × 2 é uma matriz qua-
drada 2 × 2.
É verdade que:
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente I e III são falsas.
e) I, II e III são falsas.
02.02. (FATEC – SP) – Dadas as matrizes
A =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 1 2
0 3 4
 e B=
−
− −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4 0 3
1 2 3
,
a matriz 3A – 4B é igual a:
a) 
13 3 18
4 17 0
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 b) 
− − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
13 3 18
4 17 0
c) 
− −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
13 3 18
4 17 0
 d) 
− −
− −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
13 3 18
4 17 0
e) Operação não definida 
02.03. (UEPB – PB) – Sejam as matrizes 
A =
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 5
2 1
0 1
, B=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
3
 e C= ( )2 1 3 .
Sendo D = At + B ∙ C, a soma dos elementos d12 e d22 da 
matriz D é igual a:
a) 22
d) 34
b) 10
e) 17
c) 20
02.04. (UNESP – SP) – Considere as matrizes
A
x
y z
B e C= = =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 1 2
1 1
4 5
36 45
, com x, y, z núme- 
 
ros reais.
Se A ∙ B = C, a soma dos elementos da matriz A é:
a) 9
d) 50
b) 40
e) 81
c) 41
02.05. (FGV – SP) – Dadas as matrizes 
A
x y
z w
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ , B
x
w
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
6
1 2
 e C
x y
z w
=
+
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4
3
 e 
sendo 3A = B + C, então:
a) x + y + z + w = 11
b) x + y + z + w = 10
c) x + y – z – w = 0
d) x + y – y – w = –1
e) x + y + z + w > 11
16 Semiextensivo
Aperfeiçoamento
02.06. (UFPR) – Dada a equação matricial 
x
y z
2
1 3
0 1
2 3
4 8⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟= , o valor do produto xyz é igual a:
a) 80
d) 60
b) 150
e) 32
c) 120
02.07. (PUCSP) – Se A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
25
12
13
, B= −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
5
8
3
 e C=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1
10
1
, então 
a matriz X, tal que A + B – C – X = 0, é:
a) 
31
6
17
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 b) 
17
6
31
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 c) 
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
31
6
17
d) 
21
6
17
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 e) 
31
0
17
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
02.08. (UFPR) – Um criador de cães observou que as rações 
das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades de três 
nutrientes, medidos em miligramas por quilograma, como 
indicado na primeira matriz abaixo. O criador decidiu misturar 
os quatro tipos de ração para proporcionar um alimento 
adequado para seus cães. A segunda matriz abaixo dá os 
percentuais de cada tipo de ração nessa mistura.
 A B C D
nutriente
nutriente
nutriente
1
2
3
210 370 450 290
3400 520 305 485
145 225 190 260
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
percentuais de
mistura
A
B
C
D
35%
25%
30%
10%
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um 
quilograma da mistura de rações? 
a) 190 mg.
c) 280 mg. 
e) 389 mg. 
b) 330 mg. 
d) 210 mg. 
02.09. (UEL – PR) – Uma reserva florestal foi dividida em 
quadrantes de 1 m2 de área cada um. Com o objetivo de 
saber quantas samambaias havia na reserva, o número delas 
foi contado por quadrante da seguinte forma:
Número de samambaias
por quadrante
0
1
2
A 37 1
4
5
6
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
=×
 
Número de quadrantes
8
12
7
B 167 1
14
6
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
=×
O elemento aij da matriz A corresponde ao elemento bij da 
matriz B, por exemplo, 8 quadrantes contêm 0 (zero) samam-
baia, 12 quadrantes contêm 1 samambaia.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a opera-
ção efetuada entre as matrizes A e B, que resulta no número 
total de samambaias existentes na reserva florestal.a) At × B
c) A × B
e) A + B
b) Bt × At
d) At + Bt
Aula 02
17Matemática 1C
02.10. (UNIOESTE – PR) – Um comerciante vendeu três 
produtos distintos, P1, P2 e P3, durante os meses de janeiro, 
fevereiro e março, período no qual os preços de venda destes 
produtos sofreram variações. Na matriz A dada, um elemento 
ai,j representa o total de unidades do produto i vendidas no 
mês j, i = P1, P2 e P3 e j = jan., fev. e mar. Na matriz B, um ele-
mento bj,i representa o preço de venda do produto i no mês j.
jan fev mar
A
P
P
P
. . .
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1
2
3
3 1 2
1 0 2
3 1 4 
P P P
B
Jan
Fev
Mar
1 2 3
30 20 35
28 20 40
27 25 38
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Seja C a matriz dada pelo produto de A por B (C = AB) e 
cm k, um elemento arbitrário de C. A respeito deste produto 
pode-se afirmar que
a) c1,1 representa o total arrecadado com as vendas do 
produto P1 no mês de janeiro.
b) c2,2 = 0 uma vez que a2,2 = 0.
c) c3,3 representa o total arrecadado com as vendas do 
produto P3 durante os três meses.
d) C é uma matriz de ordem 1 por 3.
e) C é uma matriz de ordem 3 por 1.
02.11. (UFRGS) – A matriz C fornece, em reais, o custo das 
porções de arroz, carne e salada usadas em um restaurante: 
C
arroz
carne
salada
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
3
2
. A matriz P fornece o número de porções de 
 
 
arroz, carne e salada usadas na composição dos pratos tipo P1, 
P2, P3 desse restaurante: P
prato P
prato P
prato P
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2 1 1
1 2 1
2 2 0
1
2
3
. A matriz 
 
que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, 
P2, P3 é:
a) 
2
2
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ b) 
4
4
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
 c) 
9
11
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
d) 
2
6
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
 e) 
7
9
8
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
02.12. (ACAFE – SC) – Uma ONG faz o plantio de três tipos 
de mudas de árvores (imbuia, cerejeira e canela) para neu-
tralizar a culpa de quem polui o meio ambiente. O plantio 
é realizado em áreas urbana e rural a pedido das empresas 
Classic, Luxor e Request. A tabela 1, mostra o plantio de 
árvores em áreas urbana e rural durante o mês de setembro 
de 2006 e a tabela 2, a quantidade de cada tipo de árvore 
plantada no mesmo mês.
Empresa
Áreas
Urbana Rural
Classic 6 4
Luxor 5 6
Request 4 5
Áreas
Árvores
Imbuia Cerejeira Canela
Urbana 15 18 16
Rural 12 20 16
A quantidade de mudas de árvores plantadas pela ONG a 
pedido da empresa LUXOR, no mês de setembro, foi de:
a) 566
c) 533
e) 582
b) 505
d) 485
Aprofundamento
02.13. (FGV – SP) – A, B e C são matrizes quadradas de or-
dem 3, e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale 
a alternativa correta:
a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
b) B ∙ C = C ∙ B
c) (A + B) ∙ (A − B) = A2 − B2
d) C ∙ I = C
e) I ∙ A = I
18 Semiextensivo
02.14. (UFF – RJ) – A transmissão de mensagens codificadas 
em tempos de conflitos militares é crucial. Um dos métodos 
de criptografia mais antigos consiste em permutar os sím-
bolos das mensagens. Se os símbolos são números, uma 
permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações 
por matrizes de permutação, que são matrizes quadradas 
que satisfazem as seguintes condições:
 cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e 
todos os demais elementos são iguais a zero;
 cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e 
todos os demais elementos são iguais a zero.
Por exemplo, a matriz M=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
0 1 0
0 0 1
1 0 0
 permuta os elemen- 
 
tos da matriz coluna Q
a
b
c
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 transformando-a na matriz 
P
b
c
a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, pois P = MQ.
Pode-se afirmar que a matriz que permuta 
a
b
c
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, transfor- 
 
 
mando-a em 
c
a
b
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
, é 
a) 
0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
. b) 
1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
.
c) 
0 1 0
1 0 0
0 0 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
. d) 
0 0 1
0 1 0
1 0 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
.
e) 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
.
02.15. (UFSM – RS) – Ao comprar os produtos necessários 
para fazer uma feijoada, uma dona de casa resolveu pesquisar 
preços em três supermercados. A matriz P dos preços está 
representada a seguir; a primeira linha mostra os preços por 
kg do supermercado A; a segunda, do supermercado B; a 
terceira, do supermercado C. Esses preços são relativos, res-
pectivamente, aos produtos feijão, linguiça, tomate e cebola.
P=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤2 05 9 89 2 48 178
193 11 02 2 00 1 60
170 10 80 2 40 1 20
, , , ,
, , , ,
, , , , ⎦⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
=Q
5
3
2
3
Sabendo que a matriz Q representa as quantidades neces-
sárias, respectivamente, de feijão, linguiça, tomate e cebola, 
a dona de casa economizará mais se efetuar as compras no 
supermercado: 
a) A
b) B
c) C
d) A ou B indiferentemente
e) A ou C indiferentemente
02.16. (FGV – SP) – Seja a matriz A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 1
0 1
.
Podemos afirmar que a soma dos elementos de A2013 é
a) 3
d) 2015
b) 2013
e) 2016
c) 2014
Aula 02
19Matemática 1C
02.17. (UFSC) – Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) Se A e B são matrizes tais que A ∙ B é a matriz nula, então 
A é a matriz nula ou B é a matriz nula.
02) Sejam as matrizes M e P, respectivamente, de ordens 5 × 7 
e 7 × 5. Se R = M ∙ P, então a matriz R2 tem 625 elementos.
04) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a soma dos ele-
mentos da diagonal principal de uma matriz quadrada 
L; então tr(L) = tr(LT).
08) A matriz A = (aij)1×3, tal que aij = i –3j é A = − − −[ ].2 5 8 
16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a 
seguir, para que PQ – R seja uma matriz nula, o valor de 
x deve ser 2.
 3
1
2
3
6 1 1
0 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
[ ] −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 5 x x
119
6
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
02.18. (UNIOESTE – PR) – Sendo A uma matriz quadrada 
e n um inteiro maior ou igual a 1, define-se An como a 
multiplicação de A por A , n vezes. No caso de A ser a matriz 
 0 1
1 0
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ é correto afirmar que a soma 
A + A2 + A3 + ...+ A39 + A40 é igual à matriz
a) 
 
20 20
20 20
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
c) 
 
0 40
40 0
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
e) 
 2
 2
0 0
0 0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
b) 
 4
40 20
20 0
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
d) 4
 4
0 40
40 0
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
02.19. (ITA – SP) – Considere as matrizes:
A X
x
y
B=
−
−
= = =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 0 1
0 1 2
1 0
0 1
1
2
, , , I
Se x e y são soluções do sistema (AAt – 3I)X = B, então x+y 
é igual a:
a) 2
d) – 1
b) 1
e) – 2
c) 0
20 Semiextensivo
Discursivos
02.20. (UFMG) – Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.
Figura 1 A
P
Q
=
←
←
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
50 20 20
40 10 30
m
ilh
o
so
ja
fe
ijã
o
 Figura 2 
 X Y Z
10 20 15 milho
A 15 20 20 soja
30 20 30 feijão
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
←
= ←
←
a) Calcule a matriz C = A ∙ B.
b) Explique o significado de c23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.
02.21. (ITA – SP) – Seja a matriz de ordem 3 × 2, dada por A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 0
0 1
1 1
a) Determine todas as matrizes B tais que BA = I2.
b) Existe uma matriz B com BA = I2 que satisfaça BB
T = I2? Se sim, dê um exemplo de uma dessas matrizes.
Aula 02
21Matemática 1C
Gabarito
02.01. b
02.02. c
02.03. b
02.04. b
02.05. b
02.06. c
02.07. a
02.08. e
02.09. a
02.10. c
02.11. e
02.12. c
02.13. d
02.14. a
02.15. c
02.16. d
02.17. 28 (04, 08, 16)
02.18. a
02.19. d
02.20. a) A B. =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1400 1800 1750
1450 1600 1700
b) C23 = 1700 significa que serão neces-
sários 1700 kg do fertilizante Z para 
as culturas de milho, soja e feijão na 
região Q. 
02.21. a) B
p p p
q q q
=
− −
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
1
, para p e q 
quaisquer. 
b) Sim!
Exemplo:B =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 0 0
0 1 0
*(neste exemplo: p = q = 0)
02.22. a) C =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0 8
1 5
b) D =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
6 10
2 14
c) E =
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3 7
2 4
d) F =
−
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5 15
3 5
e) G =
14 10
10 6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
02.22. (UDESC) – Dadas as matrizes A =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 5
1 3
 e B=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 0
3 2
, calcule as matrizes (C, D, E, F e G) resultantes das seguintes 
operações:
a) C = A + Bt
d) F = 3A – 2B
b) D = A2
e) G = A ∙ B
c) E = 2A – Bt
Obs.: Bt é a matriz transposta da matriz B. 
22 Semiextensivo