2ª Lista de Exercícios – Revisão de EDO – Definições e Terminologia

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Modelagem Matemática e Sistemas Dinâmicos
2ª Lista de Exercícios – Revisão de EDO – Definições e Terminologia
Estabeleça se a equação é linear ou não-linear.
1) (1 – x) y’’ – 4xy’ + 5y = cosx 2) 
3) (y2 -1) dx + x dy = 0 4) udv + (v + uv – euu) du = 0
5) t5y(4) – t3y’’ + 6y = 0 6) 
7) 
 8) 
9) (sen() y’’’- (cos() y’ = 2 10) 
Verifique que a função indicada é uma solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição apropriado I.
11) 2y’ + y = 0; y = e-x/2 12) 
13) y’’ - 6y’ + 13y = 0; y = e3x cos2x 14) y’’ + y = tg x; y= - (cosx) ln(secx + tgx)
Verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada. Encontre pelo menos uma solução explícita em cada caso. Use um programa de criação de gráficos das soluções explícitas. Encontre o intervalo de I de cada solução (.
15) 
�� EMBED Equation.3 16) 2xy dx + (x – y) dy = 0; -2x2 y + y2 = 1 
Verifique que a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição I apropriado de cada solução.
17) P’ = P(1 – P); P =
 
18) y’ +2xy = 1; 
19) 
 
20) 
 
21) (a) Verifique se y = (1(x) = x2 e y = (2(x) = -x2 são soluções da equação diferencial xy’– 2y = 0 no intervalo (-(, ().
 (b) Verifique que a função definida por partes 
, também é uma solução de xy’ - 2y = 0 no intervalo (-(, ().
22) Em nossa aula teórica, vimos que y = (1(x) =
 e y = (2(x) = -
são soluções da equação diferencial dy/dx = -x/y no intervalo de (-5, 5). Explique porque a função definida por partes 
, não é uma equação diferencial no intervalo (-5, 5).
23) (a) Dê o domínio da função y = x + 2
.
 (b) Verifique que a função do item (a) é uma solução da equação diferencial (y – x)y’ = y – x + 2 em algum intervalo I. Dê o maior intervalo de definição I dessa solução.
24) A função indicada é uma solução é uma solução da equação diferencial dada. Ache pelo menos um intervalo de definição I de cada solução.
(a) y’ = 25 + y2; y = tg 5x (b) 2y’ = y3 cos x; y = (1 – sen x)-1/2
25) Ache os valores de m de tal forma que y = emx seja uma solução da equação diferencial dada. Explique o raciocínio.
(a) y’ + 2y = 0 (b) y’’- 5y + 6y = 0	
26) Ache os valores de m de tal forma que y = xm seja uma solução da equação diferencial dada. Explique o raciocínio.
(a) xy’’ + 2y’ = 0 (b) x2y’’+ 7xy’ + 15y = 0	
Nos problemas 27 e 28, observe que o par de funções dado é uma solução dos sistemas de equações diferenciais dado no intervalo (-(, ().
27) x = e-2t + 3e6, y = -e-2t + 5e6t;
 
28) x = cos 2t + sen 2t + et/5, y = -cos 2t –sen 2t - et/5;
 
Exercícios destinados a laboratório de computação
Nos problemas 29 e 30, use um SAC (Sistema Algébrico Computacional) para computar todas as derivadas e fazer as simplificações necessárias à constatação de que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada.
29) y(4) - 20y’’’ + 158y’’ – 580y’ + 841y = 0; y = xe5x cos 2x 
30) x3y’’’ + 2x2y’’ + 20xy’ – 78y = 0; 
Equações Diferenciais (ED)
Resumo
Equação Diferencial é uma equação que envolve derivada (diferencial). Por exemplo:
1) 
 (y: variável dependente, x: variável independente)
2) 
 (y: variável dependente, x: variável independente)
3) 
 (y: variável dependente, x: variável independente)
4) 
 (y: variável dependente, x: variável independente)
5) 
 (y: variável dependente, x: variável independente)
6) 
 (u e v: variáveis dependentes, x : variável independente)
7) 
 ( z: variável dependente, x e y: variáveis independentes)
8) 
 ( z: variável dependente, x e y: variáveis independentes)
Equação Diferencial Ordinária: quando contém uma só variável independente como em 1) a 6).
Equação Diferencial Parcial: quando existe duas ou mais variáveis independentes como em 7) e 8)
A ordem da ED é a maior ordem da derivada que ocorre na equação. 
Ex: 1), 3) e 7) são EQ de primeira ordem; 
2), 5), 6) e 8) são ED de segunda ordem; e 
4) é EQ de terceira ordem. 
A Linearidade da ED, depende dos termos que envolvem as variáveis dependentes, se todos são lineares, a ED é linear , se pelo menos um termo for não-linear a ED é não-linear. 
Ex: 1), 3), 4), 6), 7) e 8) são EDs lineares, pois todos os termos envolvendo variáveis dependentes são lineares. 
2) e 5) são não-lineares, pois contém termos não-lineares dos tipos: 
�� EMBED Equation.3 ,
 e 
.
Soluções Para uma Equação Diferencial
Definição: 
Qualquer função f definida em algum intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial, reduz a equação a uma identidade, é chamada de Solução para a equação no intervalo. 
Em outras palavras, uma solução para uma equação diferencial ordinária
é uma função f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação; 
Para todo x no intervalo I, I pode representar um intervalo aberto (a, b), um intervalo fechado [a, b], um intervalo infinito (0, ∞), ( -∞, 0) ou (-∞, ∞) e assim por diante.
O estudo de equação diferencial é semelhante ao cálculo integral. Quando calculamos uma antiderivada ou integral indefinida, utilizamos uma única constante de integração.
, G’(x) = g(x) 
De maneira análoga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F(x, y, y’) = 0, normalmente obtemos uma família de curvas ou funções G(x, y, y’c), contendo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da ED. Quando resolvemos uma equação de n-ésima ordem 
, em que 
 y(n) significa 
,
 esperamos uma família a n-parâmetro de soluções 
Dizemos que a família a n-parâmetros é uma Solução Geral ou Completa, para qualquer ED. 
Uma solução para a equação diferencial que não depende de parâmetros arbitrários é chamada de Solução Particular. Uma maneira de obter uma solução particular é escolher valores específicos para o(s) parâmetro(s) na família de soluções. 
Por exemplo: 
 é uma família a um parâmetro de soluções para a equação de primeira ordem muito simples y’ = y. Para c = 0, -2, 5, obtemos soluções particulares y = 0, 
 e 
, respectivamente. 
Às vezes, uma ED possui uma solução que não pode ser obtida especificando-se parâmetros em uma família de soluções. Tal solução é chamada de Solução Singular. 
Uma solução para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que pode ser escrita na forma y = f(x) é chamada solução explícita. 
Ex: 
 é uma solução explícita de y’ = y.
Uma relação G(x,y) = 0 é uma solução implícita de uma EDO em um intervalo I, se ela define uma ou mais soluções explícitas em I. 
Para x no intervalo (-2 , 2) a relação 
 é uma solução implícita para a EDO 
.
Algumas Respostas:
1) linear de segunda ordem
3) primeira ordem, linear em x, mas não-linear em y
5) linear de quarta ordem
7) não-linear de segunda ordem
9) linear de terceira ordem
15) 
 definida em (-(, ln2) ou em (ln2, ()
23) (a) -3 ( x < ( (b) -3 < x < (
25) (a) m = -2 (b) m = 2, m = 3
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