Combinação Linear de Vetores

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Vimos até agora: Que é um vetor Vetores no R2 Vetores no R3
Soma de vetores
Multiplicação de 
vetores por 
escalar
Propriedades da 
soma e 
multiplicação por 
escalar
Vetores coluna
Exercícios de 
adição e 
multiplicação de 
vetores
Hoje: Combinação 
linear de vetores
Resolução de 
sistemas por 
escalonamento
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Combinação linear
Sejam os vetores v1, v2, ..., vn do espaço vetorial V e os escalares a1, a2, ..., an.
Qualquer vetor v ϵ V da forma:
V = a1 v1+ a2 v2 + ...+ an vn
É uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn.
Combinação linear = expressão na qual um conjunto de vetores é multiplicado por escalares e somado.
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Exemplo 1:
Se temos os vetores v1 =(1,2) e v2 =(3,4) em R2, e os escalares a1 =2 e a2 = 3 
podemos formar a combinação linear:
V = a1 v1+ a2 v2 (expressão da combinação linear caso não seja informada)
V = 2.(1,2)+3.(3,4)
V = (2,4)+(9,12)
V = (11,16)
Portanto, V = (11,16) é uma combinação linear de v1 e v2 .
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Exemplo 2:
No espaço vetorial R
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, o vetor v = (-7, -15, 22) é uma 
combinação linear dos vetores v1 = (2, -3, 4) e v2 = (5, 1, -2) 
porque:
v = 4v1 - 3v2
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EXERCÍCIOS
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1) Sejam os vetores U = (1,1,1), V = (1,2,3) e W = (2,-1,1). 
Expressar o vetor Z = (1,-2,5) como uma combinação linear 
dos vetores U, V e W.
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1) Sejam os vetores U = (1,1,1), V = (1,2,3) e W = (2,-1,1). Expressar o vetor Z = (1,-2,5) 
como uma combinação linear dos vetores U, V e W.
Resulta no sistema: 
https://youtu.be/40LjiTXFuyY 12’09”
https://youtu.be/40LjiTXFuyY
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Resolvendo por escalonamento:
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Resolvendo as equações:
Então: 
Sejam os vetores U = 
(1,1,1), V = (1,2,3) e W = 
(2,-1,1). Expressar o vetor Z 
= (1,-2,5) como uma 
combinação linear dos 
vetores U, V e W.
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3) Sejam os vetores U = (2,-3,2) e V = (-1,2,4) em R3. 
Para que valor de K o vetor (-8,14,K) é combinação 
linear de U e V?
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3) Sejam os vetores U = (2,-3,2) e V = (-1,2,4) em R3. Para que valor de K o vetor 
(-8,14,K) é combinação linear de U e V?
Resulta no sistema: 
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Então: 
Sejam os vetores U = (2,-
3,2) e V = (-1,2,4) em R3. 
Para que valor de K o vetor 
(-8,14,K) é combinação 
linear de U e V?
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