Espaços Vetoriais e Propriedades

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ESPAÇOS 
VETORIAIS
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ESPAÇOS VETORIAIS
Seja um conjunto V, não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e 
multiplicação por escalar, isto é:
 ∀ u,v ϵ V, u + v ϵ V 
(leia-se: para todo u e v pertencente a V, u mais v pertence a V)
 
∀ ∝ ϵ R, ∀ u ϵ V, ∝u ϵ V 
(leia-se: para todo alfa – escalar - pertencente aos números reais, 
para todo u pertencente a V, alfa vezes u (escalar vezes u) pertence a V)
Importante
Importante
3
∀ u,v ϵ V, u + v ϵ V
Relembrando:
x
y
z
(b1, b2, b3)
(a1, a2, a3)
(a1+b1, a2+b2, a3+b3)
v
u
u+v
U = (a1 , a2 , a3)
V= (b1 , b2 , b3)
U+V = (a1b1 , a2b2 , a3b3)
4
∀ u,v ϵ V, u + v ϵ V
Relembrando:
5
Sendo: u = (2, 4, -5) e v = (1, -6, 9) 
Fazer: u + v 
6
Sendo: u = (2, 4, -5) e v = (1, -6, 9) 
Fazer: u + v 
7
∀ ∝ ϵ R, ∀ u ϵ V, ∝u ϵ V 
Relembrando:
x
y
z
(a1, a2, a3)u
(∝a1, ∝a2, ∝a3)
∝u
u = (a1 , a2 , a3)
∝
∝.u = (∝ a1 , ∝ a2 , ∝ a3)
8
∀ ∝ ϵ R, ∀ u ϵ V, ∝u ϵ V 
Relembrando:
9
Sendo: u = (2, 4, -5) e ∝ = 7
Fazer: ∝u
10
Sendo: u = (2, 4, -5) e ∝ = 7
Fazer: ∝u
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O conjunto V com estas duas operações é chamado de espaço vetorial 
real se forem verificados os seguintes axiomas para ∀u,v,w ∈V, ∃ 0 ∈V, 
∃(-u)∈V, ∀α,β ∈R :
Em relação à adição:
a) (u + v) + w = u + (v + w) 
b) u + v = v + u
c) u + 0 = u
d) u + (-u) = 0
Em relação à multiplicação por escalar:
e) (α . β) .u = α.(β . u)
f) (α + β) .u = α.u + β.u
g) α (u + v) = α.u + α.v
h)1.u = u 
∈ = pertence 
∃ = existe 
∀ = para todo 
PROPRIEDADES 
ENVIADAS VIA 
TEAMS EM 
23/03/2025
Axioma: afirmação 
ou princípio básico 
que é aceito como 
verdadeiro sem 
necessidade de 
demonstração.
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Em relação à adição:
a) (u + v) + w = u + (v + w)
 
13
Em relação à adição:
d) u + (-u) = 0
14
Em relação à multiplicação por escalar:
e) (α . β) .u = α.(β . u)
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Observações:
1) Os elementos u, v, w, ..., de um espaço vetorial V são chamados 
vetores.
2) A definição de espaço vetorial serve para conjuntos diversos, 
tais como R2, R3, os polinômios e as matrizes. A justificativa está no 
fato de que as operações de adição e multiplicação por escalar 
realizada com estes elementos se comportam de forma idêntica.
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Exemplo:
O conjunto V = R2 = {(x, y) / x, y, ϵ ℝ} é um espaço vetorial pois: 
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2) ➔ operação de adição
∝.(x, y) = (∝x, ∝y) ➔ multiplicação por escalar
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(x1,y1)
(x2,y2)
(x1+x2, y1+y2)
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)
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∝.(x, y) = (∝x, ∝y)
(x1,y1)
(∝x1, ∝y1)
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Propriedades do espaço vetorial
a) Existe um único vetor nulo em V. 
b) Cada vetor 𝑢 ∈ V admite apenas um simétrico (−𝑢) ∈ V.
c) ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ V, se 𝑢 + 𝑤 = 𝑣 + 𝑤, então 𝑢 = 𝑣.
d) ∀ 𝑢 ∈ V, tem-se – −𝑢 = 𝑢, isto é, o oposto de – 𝑢 é 𝑢.
e) ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ V existe um e somente um x, tal que 𝑢 + 𝑥 = 𝑣
f) ∀ 𝑢 ∈ V, 0. 𝑢 = 0. (o primeiro 0 é o número real zero e o segundo é o vetor zero).
g) ∀ 𝛼 ∈ ℝ, 𝛼. 0 = 0.
h) 𝛼. 𝑢 = 0 implica em 𝛼 = 0 ou 𝑢 = 0.
i) ∀ 𝑢 ∈ V, −1. 𝑢 = −𝑢
j) ∀ 𝑢 ∈ V, ∀𝛼 ∈ ℝ, −𝛼 . 𝑢 = 𝛼. −𝑢 = −(𝛼. 𝑢)
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Propriedades do espaço vetorial
a) Existe um único vetor nulo em V. 
• Seja V=R2, e considerar os vetores:
u=(3,5),
01=(0,0),
02=(0,0).
• Verificando a propriedade do vetor nulo:
u + 01 = (3,5) + (0,0) = (3,5) = u.
u + 02 = (3,5) + (0,0) = (3,5) = u.
• Conclusão:
Como 01 e 02 têm o mesmo efeito sobre qualquer vetor u, eles são 
iguais. Portanto, o vetor nulo é único.
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Propriedades do espaço vetorial
b) Cada vetor 𝑢 ∈ V admite apenas um simétrico (−𝑢) ∈ V.
• Seja V=R2, e considerando o vetor u=(4,−1).
• O simétrico de u é −u=(−4,1), pois:
 u+(−u) = (4,−1) + (−4,1) = (4−4,−1+1) = (0,0) =0.
• Supondo que v=(a,b) também seja um simétrico de u. Então:
 u+v=(4,−1)+(a,b)=(4+a,−1+b)=(0,0). Isso implica:
 4+a=0⇒a=−4,
 −1+b=0⇒b=1. 
• Portanto, v=(−4,1) que é exatamente −u.
• Conclusão: O simétrico de u é único.
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Propriedades do espaço vetorial
c) ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ V, se 𝑢 + 𝑤 = 𝑣 + 𝑤, então 𝑢 = 𝑣.
• Partimos da igualdade: 
u+w=v+w
• Subtraímos w de ambos os lados: 
(u+w)+(−w)=(v+w)+(−w)
• Simplificamos usando a associatividade da adição:
u+(w+(−w))=v+(w+(−w))
• Como w+(−w)=0, temos: 
u+0=v+0
• então: u=v
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Propriedades do espaço vetorial
d) ∀ 𝑢 ∈ V, tem-se – −𝑢 = 𝑢, isto é, o oposto de – 𝑢 é 𝑢.
Exemplo:
Se u=(1,2) é um vetor em R2, então:
•O inverso de u é −u=(−1,−2).
•O inverso de −u é -(-u) = −(-1,-2) = (1, 2), que é o próprio u.
Portanto, −(−u)=u.
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Propriedades do espaço vetorial
e) ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ V existe um e somente um x, tal que 𝑢 + 𝑥 = 𝑣
• Seja V=R2, e considere os vetores: u=(1,2) e v=(4,6).
• Queremos encontrar x=(x1,x2) tal que: u+x=v
• Substituindo os valores, temos: (1,2)+(x1,x2)=(4,6)
 (x1,x2)=(4,6)-(1,2)
 (x1,x2)=(4-1,6-2)
 (x1,x2)=(3,4)
• Portanto, a solução única é: x=(3,4).
• Isso ilustra a existência e a unicidade de x.
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Propriedades do espaço vetorial
f) ∀ 𝑢 ∈ V, 0. 𝑢 = 0. (o primeiro 0 é o número real zero e o segundo 
é o vetor zero).
• Seja V=R2 e u=(3,5). 
• Então:
 0 ⋅ u = 0 ⋅ (3,5) = (0⋅3, 0⋅5) = ( 0, 0), que é o vetor 
nulo de R2. 
• Portanto, 0⋅u = 0
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Propriedades do espaço vetorial
g) ∀ 𝛼 ∈ ℝ, 𝛼. 0 = 0.
Seja V=R3 e α=5. 
Então:
5 ⋅0 = 5⋅(0,0,0) =(5⋅0, 5⋅0, 5⋅0) = (0,0,0), que é o vetor nulo 
de R3. 
Portanto, α⋅0 = 0.
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Propriedades do espaço vetorial
h) 𝛼. 𝑢 = 0 implica em 𝛼 = 0 ou 𝑢 = 0.
• Exemplo 1 (α=0):
Seja α=0 e u=(1,2). Então: 
 α⋅u = 0⋅(1,2) = (0,0).
 Aqui, α=0, e a igualdade α⋅u=0 é satisfeita.
• Exemplo 2 (u=0):
Seja α=5 e u=(0,0). Então:
 α⋅u = 5⋅(0,0) = (0,0).
 Aqui, u=0, e a igualdade α⋅u=0 é satisfeita.
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Propriedades do espaço vetorial
i) ∀ 𝑢 ∈ V, −1. 𝑢 = −𝑢
• Seja V=R2 e u=(3,5). 
• Então:
 (−1)⋅u = (−1)⋅(3,5)=(−3,−5)
• Portanto, (−1)⋅u = −u
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Propriedades do espaço vetorial
j) ∀ 𝑢 ∈ V, ∀𝛼 ∈ ℝ, −𝛼 . 𝑢 = 𝛼. −𝑢 = −(𝛼. 𝑢)
• Seja V=R2, u=(2,3), e α=4. Vamos verificar a propriedade:
• Calcular (−α)⋅u:
 (−α)⋅u=(−4)⋅(2,3)=(−8,−12)
• Calcular α⋅(−u):
 α⋅(−u)=4⋅(−2,−3)=(−8,−12).
• Calcular −(α⋅u):
 −(α⋅u)=-(4.(2,3))=-(8,12)=(−8,−12).
• Portanto, (−α)⋅u=α⋅(−u)=−(α⋅u)=(−8,−12).
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