Capítulo 7 - Fluxo Bidimensional

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FLUXO BIDIMENSIONAL DA ÁGUA EM SOLOS
Profa: Anna Karina C. Delgado
1 – Introdução
 Capítulo anterior  A aplicação direta da Lei de Darcy  cálculo da percolação
da água através do solo para Fluxo como Unidirecional. No entanto, em muitos
casos, a água não percola através do solo em apenas uma direção, nem é uniforme
ao longo de toda a área perpendicular ao fluxo.
 Nessas situações, a percolação da água do lençol freático geralmente é calculada
por meio da utilização de gráficos denominados Redes de Fluxo, cujo conceito tem
como base a equação da continuidade de Laplace (condição de percolação:
Regime Permanente).
Fluxo Bidimensional
 Regime Permanente (ou Estacionário): a veloc.
e pressão em 1 pto, ñ variam com o tempo;
assim, Q = cte em qq tempo. Ex: Operação
normal de uma barragem de terra.
Fluxo da água nos Solos
Em uma barragem, quando o reservatório está cheio, devido à diferença de carga à
montante e à jusante, haverá um gradiente hidráulico que estabelecerá a percolação de
água em duas direções; como indicado na figura.
Esse fenômeno faz do estudo de fluxo bidimensional um dos mais importantes
assuntos abordados pela geotecnia. O controle de água que percola pela fundação e
pelos taludes de uma barragem de terra são fundamentais para sua estabilidade.
Fluxo da água nos Solos
1 – Introdução
Fluxo Bidimensional
Um exemplo de fluxo tridimensional é quando a água escoa em direção a um poço
durante um rebaixamento.
1 – Introdução
Fluxo Tridimensional
Fluxo da água nos Solos
 Equação diferencial de fluxo  base p/ estudo de percolação bi ou tridimensional.
 Tomando um pto de coordenadas cartesianas (x,y,z), considerando o fluxo através de um
paralelepípedo elementar em torno deste pto e, assumindo a validade da lei de Darcy (solo
homogêneo e, solo e água incompressíveis) é possível deduzir a equação tridimensional do fluxo
em meios não-saturados:
Onde: kj – permeabilidade na direção j 
h – carga hidráulica total 
S – grau de saturação 
e – índice de vazios 
t – tempo 
2 – Lei de Fluxo Generalizada
Fluxo Bidimensional
x
y
z
Fluxo da água nos Solos
 Em muitas aplicações em geotecnia 
Equação simplificada p/ a situação
Bidimensional, em meio saturado e com
fluxo estacionário, obtendo-se:
Observando-se os termos e (índice de vazios)
e S (grau de saturação), verifica-se que
podem ocorrer :
Adensamento 
Drenagem 
Problemas de compressão e expansão 
2 – Lei de Fluxo Generalizada
Fluxo Bidimensional
Fluxo da água nos Solos
a) “e” e “S” = ctes ⇒ Fluxo Estacionário ou Permanente (cte c/tempo), S = 100%. 
Considerando isotropia na permeabilidade : kx = ky
b) e = variável e S = cte: 
i. “e” decrescente – Adensamento 
ii. “e” crescente – Expansão
c) e = cte e S = variável: 
i. “S” decrescente – Drenagem 
ii. “S” crescente – Saturação
d) “e” e “S” = variáveis ⇒ problemas de Compressão e Expansão,
além de Drenagem e Saturação.
Fluxo transiente (quantidade
de água que percola varia com
tempo).
2 – Lei de Fluxo Generalizada
Fluxo Bidimensional
Fluxo da água nos Solos
Equação de Laplace 
Normalmente o problema de fluxo é tratado no plano. Portanto, considerando:
• Fluxo é Estacionário; 
• Solo Saturado; 
• Solo Homogêneo; 
• k igual nas duas direções kx = ky;
• Validade da Lei de Darcy;
• Não ocorre nem Compressão, nem Expansão durante o fluxo.
Temos:
Equação de Laplace 
2 – Lei de Fluxo Generalizada
Fluxo de Água nos Solos
Observações:
 Comum a consideração de isotropia, mas material na verdade é anisotrópico.
A permeabilidade do solo não interfere na Equação de Laplace (“Teoricamente incorreto”)
Fluxo da água nos Solos
Equação de Laplace 
2.1 – Equação de Laplace
Fluxo de Água nos Solos
Os métodos para a determinação das Redes de Fluxo são:
a) Métodos Analíticos: resultantes da integração da equação diferencial do fluxo.
Aplicável em alguns casos simples, devido a complexidade do tratamento matemático.
b) Solução Numérica: aplicação de métodos numéricos para a solução da Equação de
Laplace através de programas de computador. Ex.: Método dos Elementos Finitos (criada
uma rede de elementos finitos, calcula-se c/ razoável precisão a carga total em cada ponto).
c) Modelos Reduzidos: consiste em construir num tanque com paredes transparentes um
modelo reduzido do meio que vai sofrer percolação.
d) Solução Gráfica: é o mais comum dos métodos (Rede de Fluxo).
Fluxo da água nos Solos
Base para 
determinação
Porque a água da piscina está parada?
A diferença de carga total entre os pontos A e B é nula, pois: htA = htB
Isto quer dizer que o gradiente hidraúlico (i) entre os pontos A e B é nulo.
Como o gradiente (i) é nulo, a água permanecerá em repouso.
Para Traçar Redes de Fluxo► IMPORTANTE: Condições de Contorno
Caso exista parede divisória na piscina e, os níveis de água sejam diferentes em cada lado, as cargas totais
são diferentes, logo haverá um gradiente hidraúlico (i) se a comporta entre os 2 lados for aberta. Assim,
ocorre fluxo de água entre os 2 reservatórios no sentido do de maior carga total para o de menor carga total.
Existem condições de fronteira a serem consideradas► Paredes
Fluxo da água nos Solos
Exemplo
 Redes de Fluxo► construídas para cálculo da percolação da água subterrânea e avaliação da carga
nesse meio.
 A equação da continuidade em um meio isotrópico representa duas famílias de curvas ortogonais
entre si. Essas curvas são as linhas de fluxo e as linhas eqüipotenciais.
3 – Redes de Fluxo
Fluxo de Água nos Solos
Linha de Fluxo é uma linha ao longo
da qual uma partícula de água se
desloca de montante para jusante no
meio de solo permeável.
Linha Eqüipotencial é uma linha ao
longo da qual a carga potencial é igual
em todos os pontos. Desse modo, caso
piezômetros sejam posicionados em
vários pontos ao longo de uma linha
eqüipotencial, o nível da água subirá
até o mesmo nível em todos os pontos.
Fluxo da água nos Solos
A combinação de várias Linhas de Fluxo e Eqüipotenciais é denominada Rede de Fluxo.
 Para concluir o traçado de uma rede de fluxo em um gráfico, as linhas de fluxo e eqüipotenciais
devem ser traçadas de acordo com as seguintes condições:
1. As Linhas Eqüipotenciais devem cruzar as Linhas de Fluxo em ângulos retos.
2. A forma aproximada dos elementos de fluxo deve ser a de um quadrado.
3 – Redes de Fluxo
Fluxo de Água nos Solos
Fluxo da água nos Solos
 Traçar uma rede de fluxo requer várias tentativas, e as condições de contorno sempre devem ser
consideradas.
3 – Redes de Fluxo
Fluxo de Água nos Solos
Nf = número de canais de fluxo.
Nd = número de quedas de potencial
Condição 1: As superfícies a montante e a jusante da camada permeável (linhas ab e de) devem ser linhas
eqüipotenciais.
Condição 2: Por serem as linhas ab eqüipotenciais, todas as linhas de fluxo devem cruzá-las em ângulos retos.
Fluxo da água nos Solos
Condição 3: O contorno da camada
impermeável - isto é, a linha fg -
deve ser uma linha de fluxo, assim
como a superfície da estaca-prancha
impermeável, a linha acd.
Condição 4: As linhas
eqüipotenciais devem cruzar acd e fg
em ângulos retos.
Fluxo de Água nos Solos
Fluxo da água nos Solos
3 – Redes de Fluxo