Flexão

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<p>Capítulo 7</p><p>Flexão</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 1</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 2</p><p>• Elementos longos e retos que suportam cargas perpendiculares a seu eixo</p><p>longitudinal são denominados vigas.</p><p>• Vigas são classificadas de acordo com o modo como são apoiadas.</p><p>Diagramas de força cortante e momento fletor</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 3</p><p>• As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em</p><p>gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor.</p><p>• Direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e</p><p>a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário.</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 4</p><p>Represente graficamente os diagramas de força cortante</p><p>e momento fletor para a viga dada.</p><p>Exemplo 6.1</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 5</p><p>Solução:</p><p>Um diagrama de corpo livre do segmento esquerdo é mostrado abaixo. A aplicação</p><p>das equações de equilíbrio produz</p><p>  (4)</p><p>222</p><p>;0</p><p>(3)</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>;0</p><p>xL</p><p>P</p><p>Mx</p><p>PL</p><p>xPMM</p><p>P</p><p>VVP</p><p>P</p><p>Fy</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(2)</p><p>2</p><p>;0</p><p>(1)</p><p>2</p><p>;0</p><p>x</p><p>P</p><p>MM</p><p>P</p><p>VFy</p><p>Segmento esquerdo da viga se estende até a distância</p><p>x na região BC.</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 6</p><p>O diagrama de força representa as equações 1 e 3 </p><p>O diagrama de momento representa as equações 2 e 4 </p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 7</p><p>Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a</p><p>viga mostrada na figura.</p><p>Exemplo 6.2</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 8</p><p>Solução:</p><p>A carga distribuída é substituída por sua força resultante.</p><p>L</p><p>xw</p><p>w</p><p>L</p><p>w</p><p>x</p><p>w 00 ou </p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(2) 0</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>23</p><p>;0</p><p>(1)</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>;0</p><p>00</p><p>2</p><p>0</p><p>22000</p><p>Mxx</p><p>L</p><p>xw</p><p>x</p><p>LwLw</p><p>M</p><p>xL</p><p>L</p><p>w</p><p>VVx</p><p>L</p><p>xwLw</p><p>Fy</p><p>A intensidade da cargar triangular na seção é determinada por cálculo proporcional:</p><p>A resultante do carregamento distribuído é determinada pela área sob o diagrama:</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 9</p><p>O diagrama de força cortante representa a equação 1 </p><p>Momento fletor representa a equação 2 </p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 10</p><p>Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a</p><p>viga mostrada ao lado.</p><p>Exemplo 6.3</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 11</p><p>Solução:</p><p>Duas regiões de x devem ser consideradas para se descreverem as funções de</p><p>cisalhamento e momento da viga inteira.</p><p>  (2) kNm 8075,5075,580 ;0</p><p>(1) kN 75,5075,5 ;0</p><p>m, 50</p><p>11</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xMMxM</p><p>VVF</p><p>x</p><p>y</p><p>   </p><p>   </p><p>  (4) kNm 5,9275,155,2</p><p>0</p><p>2</p><p>5</p><p>5551575,580 ;0</p><p>(3) kN 575,150551575,5 ;0</p><p>m, 10m 5</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>222</p><p>22</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>xxM</p><p>M</p><p>x</p><p>xxxM</p><p>xVVxF</p><p>x</p><p>y</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 12</p><p>O diagrama de força cortante</p><p>representa as equações 1 e 3 </p><p>O momento fletor das equações 2 e 4 </p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 13</p><p>Regiões de carga distribuida</p><p>• Essas duas equações proporcionam um meio</p><p>conveniente para se obter rapidamente os</p><p>diagramas de força cortante e momento fletor</p><p>para uma viga:</p><p> xw</p><p>dx</p><p>dV</p><p></p><p>inclinação do</p><p>diagrama de</p><p>força cortante em</p><p>cada ponto</p><p>–intensidade da</p><p>carga distríbuida</p><p>em cada ponto</p><p>V</p><p>dx</p><p>dM</p><p></p><p>inclinação do</p><p>diagrama de</p><p>momento em</p><p>cada ponto</p><p>cisalhamento(força</p><p>cortante) em cada</p><p>ponto</p><p>Método gráfico para construir diagramas de força</p><p>cortante e momento fletor</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 14</p><p>• Podemos integrar essas áreas entre quaisquer dois pontos para mudar a</p><p>carga distribuída e a força cortante.</p><p> dxxwV mudança na</p><p>força cortante</p><p>–área sob a</p><p>carga distribuída</p><p> dxxVM </p><p>mudança no</p><p>momento</p><p>área sob o</p><p>diagrama de força</p><p>cortante</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 15</p><p>Regiões de força e</p><p>momento concentrados</p><p>• Alguns dos casos</p><p>comuns de</p><p>carregamento:</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 16</p><p>Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a</p><p>viga.</p><p>Exemplo 6.4</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 17</p><p>Solução:</p><p>As reações são mostradas no diagrama de corpo livre ao lado:</p><p>De acordo com a convenção de sinal, em x = 0,</p><p>V = +P e em x = L, V = –P.</p><p>Visto que w = 0, a inclinação do diagrama de força cortante será zero, portanto:</p><p>pontos os todosem 0 wdxdV</p><p>Para o diagrama de força cortante de acordo com a</p><p>convenção de sinal, em x = 0, M = –PL e em x = L, M = 0.</p><p>pontos os todosem PVdxdM </p><p>O diagrama de força cortante indica que o</p><p>cisalhamento é positivo constante. Portanto,</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 18</p><p>Represente graficamente os diagramas de força cortante</p><p>e momento fletor para a viga.</p><p>Exemplo 6.5</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 19</p><p>Solução:</p><p>A reação no apoio fixo é mostrada no diagrama de corpo livre:</p><p>Visto que não existe nenhuma carga distribuída na viga,</p><p>o diagrama de força cortante terá inclinação nula em</p><p>todos os pontos.</p><p>Pelo diagrama de força cortante, a inclinação do diagrama de</p><p>momento será nula. V = 0.</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 20</p><p>Represente graficamente os diagramas de força cortante</p><p>e momento fletor para a viga.</p><p>Exemplo 6.6</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 21</p><p>Solução:</p><p>A reação nos apoios foram calculadas e são mostradas no diagrama de corpo livre:</p><p>A carga distribuída na viga é positiva, porém decrescente.</p><p>Portanto, a inclinação é negativa decrescente.</p><p>A curva do diagrama de momento que apresenta esse</p><p>comportamento de inclinação é uma função cúbica</p><p>de x.</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 24</p><p>• A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se</p><p>deforma por flexão.</p><p>• Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de</p><p>compressão do outro lado.</p><p>Deformação por flexão de um elemento reto</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 25</p><p>• A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo neutro.</p><p>• A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo.</p><p>• O eixo neutro passa pelo centroide da área da seção transversal.</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 26</p><p>• O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido</p><p>pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro.</p><p>• Pela regra da mão direita, o sinal negativo é compressivo já que age na</p><p>direção negativa de x.</p><p>I</p><p>My</p><p></p><p>σ = tensão normal no membro</p><p>M = momento interno</p><p>I = momento de inércia</p><p>y = distância perpendicular do eixo neutro</p><p>A fórmula da flexão</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 27</p><p>A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura</p><p>abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a</p><p>distribuição de tensão na seção transversal nessa localização.</p><p>Exemplo 6.8</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 28</p><p>Solução:</p><p>O momento máximo interno na viga é . kNm 5,22M</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 29</p><p>Por razões de simetria, o centroide C e, portanto, o eixo neutro, passa a meia</p><p>altura da viga, e o momento de inercia é</p><p> </p><p>        </p><p></p><p>  46</p><p>323</p><p>2</p><p>m 103,301</p><p>3,002,0</p><p>12</p><p>1</p><p>16,0002,025,002,025,0</p><p>12</p><p>1</p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> AdII</p><p>Aplicando a fórmula da flexão, para c = 170 mm,</p><p> </p><p> </p><p>(Resposta) MPa 7,12</p><p>103,301</p><p>17,05,22</p><p>;</p><p>6máxmáx </p><p></p><p></p><p>I</p><p>Mc</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 30</p><p>A viga mostrada na figura tem área de seção transversal em forma de um canal.</p><p>Determine a tensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção a–a.</p><p>Exemplo 6.9</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 31</p><p>Solução:</p><p>O momento interno resultante deve ser calculado em torno do eixo neutro da</p><p>viga na seção a–a. Visto que o eixo passa pelo centroide,</p><p>       </p><p>     </p><p>mm 09,59m 05909,0</p><p>25,002,0015,02,02</p><p>25,002,001,0015,02,01,02</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>Ay</p><p>y</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 32</p><p>Aplicando a equação do equilíbrio de momento sobre o eixo neutro, temos</p><p>    kNm 859,4005909,00,124,2 ;0  MMM NA</p><p>O momento de inércia sobre o eixo neutro é</p><p>      </p><p>      </p><p>  46</p><p>23</p><p>23</p><p>m 1026,42</p><p>05909,01,02,0015,02,0015,0</p><p>12</p><p>1</p><p>2</p><p>01,005909,002,025,002,025,0</p><p>12</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>I</p><p>A tensão de flexão máxima ocorre nos pontos mais afastados do eixo neutro.</p><p> </p><p> </p><p>(Resposta) MPa 2,16</p><p>1026,42</p><p>05909,02,0859,4</p><p>6máx </p><p></p><p></p><p>I</p><p>Mc</p><p></p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 33</p><p>Momento aplicado ao longo do eixo principal</p><p>• Podemos expressar a tensão normal resultante em qualquer ponto na seção</p><p>transversal, em termos gerais, como</p><p>y</p><p>y</p><p>z</p><p>z</p><p>I</p><p>zM</p><p>I</p><p>yM</p><p></p><p>σ = tensão normal no ponto</p><p>y, z = coordenadas do ponto medidas em relação a x, y, z</p><p>My, Mz = componentes do momento interno resultante</p><p>direcionados ao longo dos eixos y e z</p><p>Iy, Iz = momentos principais de inércia calculados</p><p>em torno dos eixos y e z</p><p>Flexão assimétrica</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 34</p><p>Orientação do eixo neutro</p><p>• O ângulo α do eixo neutro pode ser determinado aplicando σ = 0. Temos</p><p> tgtg</p><p>y</p><p>z</p><p>I</p><p>I</p><p></p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 35</p><p>Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm. Determine a tensão</p><p>normal máxima na viga e a orientação do eixo neutro.</p><p>Exemplo 6.10</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 36</p><p>Solução:</p><p>Ambas as componentes do momento são positivas. Temos</p><p> </p><p>  kNm 50,730sen15</p><p>kNm 99,1230cos15</p><p></p><p></p><p>z</p><p>y</p><p>M</p><p>M</p><p>Para propriedades da seção, temos</p><p>       </p><p>     </p><p>m 0890,0</p><p>2,003,004,01,0</p><p>2,003,0115,004,01,005,0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>Az</p><p>z</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 37</p><p>Pelo teorema dos eixos paralelos, , os principais momentos da inércia</p><p>são:</p><p>       </p><p>      </p><p>         4623</p><p>23</p><p>4633</p><p>m 1092,13089,0115,003,02,003,02,0</p><p>12</p><p>1</p><p>05,0089,004,01,01,004,0</p><p>12</p><p>1</p><p>m 1053,202,003,0</p><p>12</p><p>1</p><p>04,01,0</p><p>12</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>y</p><p>z</p><p>I</p><p>I</p><p>2AdII </p><p>A maior tensão de tração ocorre em B e a maior tensão de compressão ocorre em C.</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(Resposta) MPa 3,90</p><p>1092,13</p><p>089,099,12</p><p>1053,20</p><p>02,05,7</p><p>MPa 8,74</p><p>1092,13</p><p>041,099,12</p><p>1053,20</p><p>1,05,7</p><p>66</p><p>66</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>C</p><p>B</p><p>y</p><p>y</p><p>z</p><p>z</p><p>I</p><p>zM</p><p>I</p><p>yM</p><p></p><p></p><p></p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 38</p><p>y deve representar o eixo para o momento principal de inércia mínimo, e z deve</p><p>representar o eixo para o momento principal de inércia máximo.</p><p> </p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>6,68</p><p>60tg</p><p>1092,13</p><p>1053,20</p><p>tg</p><p>6</p><p>6</p><p></p><p></p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 39</p><p>• Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas</p><p>vigas compostas.</p><p>• O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes</p><p>materiais que compõem a viga.</p><p>Vigas compostas</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 40</p><p>Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada</p><p>em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura</p><p>abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine a tensão</p><p>normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.</p><p>Exemplo 6.11</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 41</p><p>Solução:</p><p>Transformaremos a seção em outra feita inteiramente de aço.</p><p>  mm 9150</p><p>200</p><p>12</p><p>madaço  nbb</p><p>A localização do centroide (eixo neutro) é</p><p>       </p><p>     </p><p>m 03638,0</p><p>15,0009,015,002,0</p><p>15,0009,0095,0150,002,001,0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>A</p><p>Ay</p><p>y</p><p>A seção transformada é mostrada na figura ao lado.</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 42</p><p>Portanto, o momento de inércia em torno do eixo neutro é</p><p>      </p><p>      </p><p>  46</p><p>23</p><p>23</p><p>m 10358,9</p><p>03638,0095,015,0009,015,0009,0</p><p>12</p><p>1</p><p>01,003638,002,015,002,015,0</p><p>12</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>NAI</p><p>Aplicando a fórmula da flexão, a tensão normal em B’ e C é</p><p> </p><p> </p><p> </p><p> </p><p>(Resposta) MPa 87,27</p><p>10358,9</p><p>03638,02</p><p>MPa 6,28</p><p>10358,9</p><p>03638,017,02</p><p>6</p><p>6'</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>C</p><p>B</p><p></p><p></p><p>A tensão normal na madeira em B é .  (Resposta) MPa 71,156,28</p><p>200</p><p>12</p><p>'  BB n</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 43</p><p>• A tensão normal máxima em cada uma das descontinuidades ocorre na</p><p>seção que passa pela menor área de seção transversal.</p><p>• Uma vez que K for obtido, a tensão de flexão máxima é determinada por</p><p>I</p><p>Mc</p><p>Kmáx</p><p>Concentrações de tensão</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 44</p><p>A transição na área da seção transversal da barra de aço é obtida por filetes de</p><p>redução. Se a barra for submetida a um momento fletor 5 kN∙m, determine a tensão</p><p>normal máxima desenvolvida no aço. A tensão de escoamento é σe = 500 MPa.</p><p>Exemplo 6.14</p><p>© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 45</p><p>Solução:</p><p>Pela geometria da barra,</p><p>5,1</p><p>80</p><p>120</p><p>2,0</p><p>80</p><p>16</p><p></p><p>h</p><p>w</p><p>h</p><p>r</p><p>K é 1,45 e temos</p><p> </p><p>  </p><p>  </p><p>MPa 340</p><p>08,002,0</p><p>12</p><p>1</p><p>04,05</p><p>45,1</p><p>3</p><p>máx </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>I</p><p>Mc</p><p>K</p><p>Este resultado indica que o aço permanece elástico, visto que a tensão está</p><p>abaixo da tensão de escoamento (500 MPa).</p>