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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Determine a integral da função g(x) = 4tg(x),
limitada pelo eixo x e pela reta .x =
π
4
2 ln 2
2 ln 3
ln 2
ln 3
ln 5
Resposta correta
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Questão 1 de 10
Corretas (10)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Integrais:… Sair
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A
B
C
D
E
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A questão pede para determinar a integral
da função g(x) = 4tg(x), limitada pelo eixo x
e pela reta . A integral de uma função
tangente é o logaritmo natural da função
cosseno. Portanto, a integral da função g(x)
= 4tg(x) é 4 ln |cos(x)|. Ao avaliar essa
integral entre 0 e , obtemos 2 ln 2, que é a
alternativa A.
x =
π
4
π
4
2 Marcar para revisão
Determine a área da superfície de revolução
gerada ao girar a função  , para
, ao redor do eixo x.
h(x) = sen 2x′1
2
0 ≤ x ≤
π
2
2π(√2 + ln(√2 + 1))
π(√2 + ln(√2 − 1))
π(√2 + ln(√2 + 1))
π(√2 − ln(√2 + 1))
2π(√2 − ln(√2 − 1))
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A
B
C
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, precisamos
calcular a área da superfície de revolução
gerada pela função dada. A fórmula geral
para a área de uma superfície de revolução
é dada por ,
onde é a função dada e é a sua
derivada. Aplicando essa fórmula à função
dada e realizando os cálculos necessários,
chegamos à resposta correta, que é
.
A = 2π ∫
b
a f(x)√1 + [f ′(x)]2dx
f(x) f
′
(x)
π(√2 + ln(√2 + 1))
3 Marcar para revisão
Calcule a área da região limitada superiormente
pela função , e inferiormente
pela função .
g(x) = 8√x,x ≥ 0
f(x) = x
2
36
3
45
3
56
3
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D
E
A
B
64
3
75
3
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Analisemos onde as curvas e
 se intersectam:
Note, então os gráficos de e :
Logo a área desejada é dada por:
y = f(x)
y = g(x)
x
2 = 8√x → x = 0 ou x = 4
f g
A = ∫
4
0
(8√x − x
2
) dx
A = −
∣
∣∣
∣
4
0
=8x
3
2
3/2
x
3
3
64
3
4 Marcar para revisão
Determine o volume do sólido gerado pela
rotação, em torno do eixo y, do conjunto de
pontos formados pela função g(x) = 2x e o
eixo x, para  .
6 
0 ≤ x ≤ 2
16π
32π
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C
D
E
64π
76π
128π
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O volume do sólido gerado pela rotação do
conjunto de pontos formados pela função
g(x) = 2x e o eixo x, para , em
torno do eixo y, é calculado pela integral de
 a de . Substituindo por
, temos a integral de a de ,
que resulta em . Portanto, a alternativa
correta é a letra E: .
6 0 ≤ x ≤ 2
0 2 π[g(x)]2dx g(x)
2x6 0 2 π[2x6]2dx
128π
128π
5 Marcar para revisão
O cálculo de volume entre funções utilizando
integral é uma técnica usada na matemática
para determinar o volume de uma região que é
limitada por duas ou mais curvas. Assim, calcule
o volume do sólido, em unidades de volume
(u.v.), gerado pela rotação limitada pelo gráfico
de  e   no intervalo 
.
f(x) = x
2
g(x) = 2 − x
2
x ∈ [−1, 1]$.A)$
16π
3
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A
B
C
D
E
.
16π
3
.
17π
3
.
19π
3
.
22π
3
.
23π
3
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Desenhando as restrições das curvas,
temos:
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A
B
C
D
E
Sabemos que:
6 Marcar para revisão
Na engenharia, o cálculo de áreas entre funções
é usado para determinar o volume de materiais
em estruturas complexas, como reservatórios,
tanques de armazenamento e outras formas
irregulares. Sabendo disso determine o volume
do solido de rotação, em unidade de volume
(u.v.), da região  em torno do eixo , para os
seguintes critérios:
A x
A :
⎧⎪
⎨⎪⎩
y = + 1  se  − 4 ≤ x, precisamos
deixar em função de :
Agora integramos no formato para seções
transversais, onde a função raio será a
própria função  , já que o eixo de rotação
dista  do eixo :
y
y
y = x
3 → x =
3
√y
+1
1 y
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A
B
C
D
E
Mas ainda não acabou.
Entre o eixo  e o de rotação fica um vácuo
que precisa ser levado em conta. Ele vai
gerar um cilindro de raio  e altura o, ou
seja:
O volume total da figura é:
y
1
Vcil = πr
2
h = 8π
VT = V − Vcil = − 8π =
VT = u. v.
256π
5
216π
5
216π
5
9 Marcar para revisão
Determine a área da superfície de revolução
gerada ao girar a função , para 
, ao redor do eixo x .
h(x) = x 0 ≤ x ≤ 1
π
π/2
√2π
√2π
2
2π
Resposta correta
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B
C
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Gabarito Comentado
Para determinar a área da superfície obtida
pela rotação de uma curva entre
 e devemos calcular a integral
Daí temos:
Logo
y = h(x)
x = a x = b
I = 2π ∫
b
a h(x)√1 + h′2(x)dx
h
′
(x) = 1
I = 2π ∫
1
0
x√1 + 1dx
I = 2√2π ∫
1
0
xdx
I = 2√2π ⋅
∣
∣
∣
1
0
= √2πx
2
2
10 Marcar para revisão
Determine a área entre a função , o
eixo e as retas e .
g(x) = 2 tgx
x x = −
π
4
x =
π
4
2 ln(2)
2 ln(3)
ln(2)
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D
E
ln(3)
ln(5)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Como tangente é uma função ímpar (seu
gráfico é simétrico com relação à origem),
temos:
 Área  = 2 ∫0 g(x)dx
π
4
 Área  = 2 ∫
π/4
0 2 tgxdx
I = 4[ln | secx|]
π/4
0
I = 2 ln 2
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