Geometria Euclidiana - Resolução
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Geometria Euclidiana - Resolução


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Geometria Euclidiana Plana Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Livro: Geometria Euclidiana Plana - SBM
(Joa\u2dco Lucas Marques Barbosa)
diegoalvez@pop.com.br
Compilado dia 24/11/2015
O livro do Joa\u2dco Lucas de Geometria Euclidiana Plana a-
presenta uma Geometria que quase beira a inutilidade. Publicado
inicialmente em 1995 vem sendo usado ate´ hoje, quase 20 anos
depois, nos cursos de licenciatura em matema´tica.
O documento a seguir traz algumas respostas dessa obra,
embora ainda na\u2dco esteja completo devido a` falta de tempo. Pode
haver tambe´m uma ou outra passagem obscura, ou mesmo va´rios
erros de portugue\u2c6s e codificac¸a\u2dco. Assim se o leitor identificar
algum problema desse tipo, uma virgula errada que seja, sinta-se
a` vontade para avisar-me por e-mail. Caso, deseje ajudar ainda
mais pode enviar-me as respostas dos exerc´\u131cios que ainda faltam.
O que certamente agilizaria a finalizac¸a\u2dco desse soluciona´rio.
Para obter as atualizac¸o\u2dces desse documento e ter acesso a outros exerc´\u131cios resolvidos acesse:
http://diegoalvez2015.blogspot.com.br/
EXERCI´CIO PAGINA 7
1. Sobre uma reta marque quatro pontos A, B, C e D, em ordem, da esquerda para a direita.
Determine:
a) AB\u222aBC
b) AB\u2229BC
c) AC\u2229BD
d) AB\u2229CD
e) SAB\u2229SBC
f) SAB\u2229SAD
g) SCB\u2229SBC
e) SAB\u222aSBC
Soluc¸a\u2dco:
a) AC b) B c) BC d) \u2205 e) SBC f) SAB g) BC h) SAB
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2. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no
plano? E um conjunto de 4 retas do plano?
Soluc¸a\u2dco:
Na pior das hipo´teses teremos 3 retas r1, r2 e r3 que sera\u2dco distintas. Assim formara\u2dco pontos
Pij de intercessa\u2dco conforme indicado na tabela abaixo:
\u2022 r1 r2 r3
r1 \u2013 P12 P13
r2 P21 \u2013 P23
r3 P31 P32 \u2013
A tabela possui tre\u2c6s linhas e tre\u2c6s colunas logo o numero de ce´lulas e´ 3 · 3 = 9.
Os elementos das diagonais sa\u2dco nulos (pois as retas na\u2dco podem se interceptar com elas mes-
mas), assim o numero de pontos de intercessa\u2dco passa a ser (3 · 3\u2212 3) = 6
Como os pontos P12 e P21 sa\u2dco o mesmo ponto de intercessa\u2dco, nesse caso entre as retas r1 e
r2, e a mesma situac¸a\u2dco ocorre para os demais pontos enta\u2dco o numero de pontos de intercessa\u2dco
distintos sa\u2dco:
6
2
=
3(3\u2212 1)
2
= 3
Se tive´ssemos n retas com racioc´\u131nio ana´logo chegar´\u131amos a formula
n(n\u2212 1)
2
onde n e´ o
numero de retas.
Assim para n = 3 temos 3 pontos e para n = 4 temos 6 pontos.
3. Prove o item (b) da proposic¸a\u2dco (1.4).
Soluc¸a\u2dco:
Definido as semi-retas se tem que:
SAB = {AB e os pontos X| B esta´ entre A e X}
SBA = {BA e os pontos X\u2032| A esta´ entre B e X\u2032}
Como AB = BA enta\u2dco se torna evidente que AB \u2208 SAB \u2229 SBA. Agora imagine um ponto D tal
que D \u2208 SAB \u2229 SBA porem na\u2dco pertenc¸a a AB. Pode ocorrer enta\u2dco dois casos:
\u2022 A\u2013B\u2013D: (B esta´ entre A e D), nesse caso D \u2208 SAB mas D /\u2208 SBA o que contraria a
hipo´tese.
\u2022 D\u2013A\u2013B: nesse caso D \u2208 SBA mas D /\u2208 SAB que novamente contraria a hipo´tese.
Ou seja, na\u2dco existe um ponto D /\u2208 AB e que tambe´m pertenc¸a a SAB\u2229SBA. Conclui-se assim que
SAB\u2229SBA = AB.
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4. Prove a afirmac¸a\u2dco feita, no texto, de que existem infinitos pontos em um segmento.
Soluc¸a\u2dco:
Dada uma reta r com os pontos A e B distintos, suponha por absurdo que entre A e B exista
um conjunto finito de pontos. Por definic¸a\u2dco um conjunto e´ finito quando pode ser colocado em
corresponde\u2c6ncia biun´\u131voca com N. Assim teremos que AB = {P1, P2, ..., Pn}, que significa
que AB e´ um conjunto com n elementos.
Tomando agora um ponto Pk (k \u2264 n) e o ponto Pk\u22121 pelo axioma II2 existe um ponto Pr,
(k\u2212 1 < r < k) tal que Pk\u22121 \u2013 Pr \u2013 Pk o que seria um absurdo pois nesse caso AB teria n + 1
elementos.
5. Sejam P = {a, b, c}, m1 = {a, b}, m2 = {a, c}, m3 = {b, c}. Chame P de plano e m1, m2 e
m3 de retas. Verifique que nesta \u201cgeometria\u201d vale o axioma I2.
Soluc¸a\u2dco:
Basta observar que todas as combinac¸o\u2dces poss´\u131veis entre os 3 pontos do plano P, tomados dois
a dois pertence a uma das tre\u2c6s retas dessa geometria. Por exemplo, as combinac¸o\u2dces poss´\u131veis sa\u2dco:
ab, ac, ba, bc, ca e cb. Note que por ab passa somente uma reta, a reta m1. Do mesmo modo
pelos demais pares de pontos passam apenas uma das retas citadas (m1, m2, m3). O que mostra
que nessa geometria vale o axioma I2.
6. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos sa\u2dco o pro´prio plano e qualquer semi-plano.
Mostre que a intersec¸a\u2dco de dois semi planos e´ um convexo.
Soluc¸a\u2dco:
Imagine os semi planos S1, S2 e S3 tal que S3 = S1 \u2229 S2, tomando dois pontos P1 e P2 ambos
pertencentes a S3 enta\u2dco:
P1,P2 \u2208 S1,S2
Seja S1 e S2 convexos enta\u2dco P1P2 \u2208 S1, S2 e portanto pertence a intersec¸a\u2dco, assim S3 tambe´m
e´ convexo.
7. mostre que a intercessa\u2dco de n semi-planos e´ ainda um convexo.
Soluc¸a\u2dco:
Considere os semi planos \u3b11, \u3b12, ..., \u3b1n todos convexos. Seja B = {\u3b11\u2229\u3b12\u2229, ...,\u2229\u3b1n} considere
os pontos X e Y pertencentes a B. Isso implicara´ no fato de que X e Y pertence a \u3b11, \u3b12, ..., \u3b1n
como todos esses semi-planos sa\u2dco convexos enta\u2dco o segmento XY pertence a \u3b11, \u3b12, ..., \u3b1n logo
tambe´m pertence a intercessa\u2dco e portanto tambe´m pertencem a B, o que mostra que B ainda e´
convexo.
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8. Mostre, exibindo um contra exemplo, que a unia\u2dco de convexos pode na\u2dco ser um convexo.
Soluc¸a\u2dco:
Os quatro reta\u2c6ngulos (em cinza) abaixo sa\u2dco figuras convexas e a unia\u2dco deles formam uma
figura com uma cavidade (parte em branco) e portanto co\u2c6ncava.
A B
C D
9. Tre\u2c6s pontos na\u2dco colineares determinam tre\u2c6s retas. Quantas retas sa\u2dco determinadas por
quatro pontos sendo que quaisquer tre\u2c6s deles sa\u2dco na\u2dco colineares?
Soluc¸a\u2dco:
Analogamente ao exerc´\u131cio tre\u2c6s construiremos a seguinte tabela, onde rij e´ a reta determinada
pelos pontos Pi e Pj.
\u2022 P1 P2 P3
P1 \u2013 r12 r13
P2 r21 \u2013 r23
P3 r31 r32 \u2013
o numero de retas sera´
3(3\u2212 1)
2
= 3 e para n pontos
n(n\u2212 1)
2
.
10. Repita o exerc´\u131cio anterior para o caso de 6 pontos.
Soluc¸a\u2dco:
Para 6 pontos (n = 6),
6(6\u2212 1)
2
= 15, ter´\u131amos 15 retas.
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EXERCI´CIO PAGINA 9
1. Discuta a seguinte questa\u2dco utilizando apenas os conhecimentos geome´tricos estabelecidos,
ate´ agora, nestas notas: \u201cExistem retas que na\u2dco se iterceptam\u201d?
Soluc¸a\u2dco:
Sim, retas que sa\u2dco paralelas como indica a proposic¸a\u2dco 1.1.
2. Prove que, se uma reta intercepta um lado de um tria\u2c6ngulo e na\u2dco passa por nenhum de
seus ve´rtices, enta\u2dco ela intercepta tambe´m um dos outros dois lados.
Soluc¸a\u2dco:
Dado um tria\u2c6ngulo ABC e uma reta r, se r intercepta o segmento AB enta\u2dco A esta´ do lado
oposto a B em relac¸a\u2dco a reta r. Como por hipo´tese r na\u2dco passa por C enta\u2dco C esta´ do lado de A
ou enta\u2dco de B.
Se C esta´ do lado de A enta\u2dco C esta contra´rio a B e r intercepta BC.
Se C esta´ do lado de B enta\u2dco e´ contrario a A e r e intercepta AC
logo sempre intercepta um dos lados.
3. Repita o exerc´\u131cio 2 para o caso de 5 e 6 retas. Fac¸a uma conjectura de qual sera´ a resposta
no caso de n retas.
Soluc¸a\u2dco:
Aproveitando o resultado para n retas ja´ obtido teremos:
Para n = 5:
5(5\u2212 1)
2
= 10
Para n = 6:
6(6\u2212 1)
2
= 15
4. Mostre que na\u2dco existe um exemplo de uma \u201cgeometria\u201d com 6 pontos, em que sejam
validos os axiomas I1 e I2 e em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos.
Axioma I1. Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem a reta e pontos que na\u2dco
pertencem a` reta.
Axioma I2. Dado dois pontos distintos existe uma u´nica reta que contem esses pontos.
Soluc¸a\u2dco:
Tomando uma reta r = {P1, P2} por hipo´tese existe um Q1\u2208P (P e´ o conjunto de pontos da
geometria), diferente de P1 e P2.
Seja Q2 \u2208 P e diferente de P1, P2 e Q1, tambe´m
DANYELE
DANYELE fez um comentário
Boa tarde, voce teria esse aquivo em PDF? Precisando muito, queria ele em PDF por favor, voce poderia me encaminhar? Por favor.
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Jean
Jean fez um comentário
Teria esse arquivo em PDF que pudesse encaminhar?
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Jean
Jean fez um comentário
Boa Tarde
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