2a_Aula_-_Slides_-_Mdulo_I

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1
Erros e Tratamento de 
Dados Analíticos
1
QUALIDADE
das medidas analíticas
Equipamentos calibrados
Padrões Utilizados
Analistas treinados
Detecção de erros
Expressar corretamente os resultados
2
Algarismos Significativos (AS)
➔ É o número mínimo de algarismos necessários
para expressar o valor em notação cientifica sem
perda de exatidão.
8,5 6
Algarismos certos
Algarismo duvidoso
3
Definição
Vamos considerar um mesmo corpo, de 11,1213 g, é
pesado com uma balança cuja a incerteza é de ± 0,1 g e,
com outra, cuja incerteza é de ± 0,0001 g (balança
analítica)
A B± 0,1 g ± 0,0001 g
11,1 g 11,1213 g3 AS 6 AS
11 g
11,12 g
Escrever...
11 g 11,1 g
11,12 g 11,121 g
ERRADO ! !
4
5
Por exemplo: A massa de um corpo (dois gramas)
pesados em uma balança com precisão de 0,1 g.
Como expressar?? 2,0 g (2 A.S)
Transformar para “mg”
2000 mg
2,0 x 103 mg.
(2 A.S)
Você sabe medir?
Indique a medida mais adequada para o objeto acima:
7,7 cm 7,8 cm 7,70 cm 7,75 cm 7,72 cm 7,78 cm
6
2
7,7
7,8
7,72
Algarismos Certos Algarismo Duvidoso
Algarismos Significativos
7
Observação
Não confundir algarismos significativos (AS) com casas
decimais. O número de AS não depende do número de
casa decimais.
0,00234 g
Exemplos:
5 CD
3 AS
15,1321 g
4 CD
6 AS
15132,1 mg
1 CD
6 AS
8
(1) Os zeros são significativos quando fazem
parte do número e não são significativos quando
são usados para indicar a ordem da grandeza
a) Zeros situados à esquerda de outros dígitos não são significativos
Indicam apenas o número de casas decimais.
b) Zeros terminais só são significativos se forem resultado de uma medida. 
Não são significativos se apenas indicam a ordem da grandeza de um número.
c) Zeros cercados de outros dígitos
É Algarismo Significativo
Regras Sobre Algarismos Significativos
EX: 0,15016; 0,015016; 0,0015016; 0,00015016 
Quantos AS?
EX: 4,00 ± 0,01g . Quantos AS ?
Ex: 90,7 AS ?
0,0305 AS ?
9
R. 5
R. 3
R. 3
a) Se o dígito que segue o último algarismo significativo for 
menor que 5, 
O dígito a ser arredondado permanece inalterado.
EX: Apresentar 0,5742 com 3 A.S. → ??
Regras de Arredondamento
b) Se o dígito que segue o último algarismo significativo 
for maior que 5,
O dígito a ser arredondado é aumentado em uma unidade.
EX: Apresentar 0,5746 com 3 A.S. → ??
10
0,574
0,575
c) Se o último algarismo significativo for igual a 5,
arredonda para o número par mais próximo.
Expressar os seguintes resultados com 2 AS
EX1: 8,65
EX2: 8,75
EX3: 8,55
Regras de Arredondamento
11
8,6
8,8
8,6
a) Somas e diferenças: o resultado retém o número de
casas decimais da parcela com o menor no de casas
decimais.
EX: 3,4 + 0,020 + 7,31 = 10,73 →
b) Multiplicação e divisão: O resultado apresenta o mesmo
número de significativos do número com o menor número
de algarismo significativos.
EX: 25,11 x 0,104 = 2,61144 →
Cálculo com Algarismos Significativos
12
10,7
2,61 3 AS
3
c) Logs: o log de um número deve ter tantos dígitos à direita
do ponto decimal quantos forem os A.S do número original.
Ex: log (4,000 x 10-5) =
(4 AS)
d) Antilogs no antilog de um número deve-se reter tantos
dígitos quantos dígitos existirem à direita do ponto decimal
do número original.
13= 3 x 1012 ( 1 dígito )
- 4,3979
(4 casas decimais)
Ex: antilog 12,5 = 3,16227766 x 1012
EXERCÍCIOS
1) Um corpo pesou 2,2 g numa balança cuja sensibilidade é 0,1 g
e outro 0,1145 g ao ser pesado em uma balança analítica.
Calcular a massa total dos dois corpos, nestas condições.
2) Um pedaço de polietileno pesou 6,8 g numa balança cuja
incerteza é 0,1 g. Um pedaço deste corpo foi retirado e pesado
em uma balança analítica cuja massa medida foi de 2,6367 g.
Calcular a massa do pedaço de polietileno restante.
3) Calcular a quantidade de substância existente nos seguintes
volumes de solução de HCl 0,1000 mol L-1.
4) Na titulação de 24,98 mL de uma solução de HCl, foram
gastos 25,11 mL de solução de NaOH 0,1041 mol L.-1.
Calcule a concentração molar de HCl
a) 25,00 mL; (b) 25,0 mL; (c) 25 mL.
14
15
1ª Questão. Um corpo pesou 2,2 g numa balança cuja
sensibilidade é 0,1 g e outro 0,1145 g ao ser pesado em uma
balança analítica. Calcular a massa total dos dois corpos, nestas
condições.
0,1 g
0,0001 g
2,2 g 0,1145 g
2,2 g + 0,1145 g = 2,3145 g
1 CD 4 CD
=2,3 g
16
2ª Questão. Um pedaço de polietileno pesou 6,8 g numa balança
cuja incerteza é  0,1 g. Um pedaço deste corpo foi retirado e
pesado em uma balança analítica cuja massa medida foi de 2,6367
g. Calcular a massa do pedaço de polietileno restante.
6,8 g 2,6367 g
6,8 g - 2,6367 g = 4,1633 g
1 CD 4 CD
=4,2 g
17
3ª Questão. Calcular a quantidade de substância existente nos
seguintes volumes de solução de HCl 0,1000 mol L-1.
Número de mols (n)
a) 25,00 mL; (b) 25,0 mL; (c) 25 mL.
[ ] x V(L) mol/L x L = mol
(a) 25,00 mL➔ 0,1000 mol.L-1 x 25,00 x 10-3 L
nHCl = [HCl] x V(L)HCl
➔ n = 2,500 x 10-3 mol
(b) 25,0 mL➔ 0,1000 mol.L-1 x 25,0 x 10-3 L
(c) 25 mL➔ 0,1000 mol.L-1 x 25 x 10-3 L
➔ n = 2,50 x 10-3 mol
➔ n = 2,5 x 10-3 mol
18
4ª Questão. Na titulação de 24,98 mL de uma solução de
HCl, foram gastos 25,11 mL de solução de NaOH 0,1041 mol
L.-1. Calcule a concentração molar de HCl
[HCl] = ?
[NaOH] = 0,1041 mol/L
VNaOH = 25,11 mL
24,98 mL
nNaOH = nHCl
[HCl].VHCl = [NaOH].VNaOH
24,98 mL x [HCl] = 0,1041 mol.L-1x 25,11 mL
[HCl] =
0,1041 mol.L-1x 25,11 mL
24,98 mL
= 0,1046417...
[HCl] = 0,1046 mol.L-1
4
Limitação dos Métodos Analíticos
19
Uso de Métodos 
Analíticos
Contudo, é necessário conhecer:
Função do 
Analista
Obter resultados os mais próximos
possíveis dos valores verdadeiros
Através 
A exatidão e precisão do método que usaram;
As fontes de erros que podem afetar os resultados
Exatidão e Precisão
Exatidão : É a concordância entre uma medida e o valor
verdadeiro ou mais provável da grandeza.
Precisão: Está relacionada com a concordância das medidas
entre si, ou seja, quanto maior a dispersão dos valores, menor
a precisão.
20
Exatidão e precisão são conceitos 
distintos
21
A exatidão expressa a proximidade dos
valores real e medido, e a precisão a
reprodutibilidade.
2222
23
Sabe-se que uma substância contém 49,10% ±0,02% do
constituinte A. Os resultados obtidos por três analistas para
esta substância com o mesmo método analítico foram:
Analista 1 – %A: 49,01; 49,25; 49,08; 49,14
Analista 2 – %A: 49,40; 49,44; 49,42; 49,42
Analista 3 – %A: 49,04; 49.08; 49,08; 49,12
A média aritmética para cada analista é:
Analista 1 – %A 49,12
Analista 2 – %A 49,42
Analista 3 – %A 49,08
Exemplo
24
1. Os valores obtidos pelo
Analista 1 são exatos
(muito próximos do valor
correto), mas não são
precisos
2. Os valores obtidos pelo
Analista 2 são precisos,
mas não são exatos
3. Os valores obtidos pelo
Analista 3 são exatos e
precisos
Conclusões
5
Classificação dos Erros
Erros Determinados ou Sistemáticos
Erros Indeterminados
Origem Determinada;
Podem ser Evitados.
Não possuem origem identificada;
Não possuem um valor definido;
Não são mensuráveis e flutuam de um modo aleatório;
Minimizados com o uso da estatística
25
Tipos de Erros Determinados
Erros Operacionais
26
Causados pelo analista. Ex: secagem incompleta da amostra
antes da pesagem, perda de material durante a análise, etc.
Erros Instrumentais e Reagentes
Relacionados com as imperfeições dos instrumentos, e
reagentes. Ex: Balança e vidrarias sem calibração ou mal
calibradas, reagentes vencidos.
Erros do Método
São inerentes ao próprio método. São os mais sérios
porque são normalmente difíceis de detectar. Ex: solubilização
de precipitados, decomposição de um precipitado durante a
calcinação, etc.
Erro de Uma Medida
O erro absoluto de uma medida é definido como a diferença entre
o valor medido e o valor verdadeiro de uma dada grandeza:
E = Xi – Xv
E : Erro absoluto
Xi: Valor de uma medida
Xv: Valor verdadeiro.
Geralmente, o erro de uma análise é expresso em termosrelativos, sendo calculado através da relação:
E
Xv
Er =
O erro relativo é adimensional e comumente expresso em partes
por cem ou partes por mil.
E
Xv
Er = x 100
E
Xv
Er = x 1000 27
O teor verdadeiro de cloro num dado material é 33,30 % m/v, mas
o resultado encontrado por um analista foi de 32,90 % m/v.
Calcular o erro absoluto e o erro relativo do resultado.
Exemplo
Resp. E (absoluto) = Xi – Xv = 32,90 – 33,30 = -0,40% m/v (abs).
E r = (Eabs/Xv) x 100= (-0,40/33,30) x 100 = -1,2 % (rel).
O valor verdadeiro da concentração de uma solução é 0,1005
mol.L-1 e o valor encontrado é 0,1010 mol.L-1. Calcular o erro
absoluto e o erro relativo do resultado.
Resp. Eabs = Xi – Xv = 0,1010 – 0,1005 = +0,0005 mol.L-1
Er = (Eabs/Xv ) x 100 = 0,5 %
28
Desvio de uma medida
O desvio (também chamado de erro aparente) de uma medida, di,
é definido pela diferença entre o seu valor (medido), Xi, e a
média, Xm.
di = Xi – Xm
29
Formas de Expressar a Precisão de Medidas
Desvio médio é a média aritmética do valor absoluto dos desvios
Desvio padrão, s, é a raiz quadrada da média dos quadrados das
diferenças entre os valores das observações e a média
aritmética desses valores.
Variância: É o valor do desvio-padrão elevado ao quadrado, s2.
30
6
Na prática, em Química Analítica, o número de determinações é
geralmente pequeno e o que se calcula são as estimativas do
desvio médio e do desvio-padrão, representados pelos símbolos
dm e s, respectivamente.
31
𝑑𝑚 =
σȁ ȁ𝑋𝑖 − ሜ𝑋
𝑁
32
x
s
RSD =
Outras formas de expressar a precisão das medidas
Desvio padrão 
relativo
Ou, em termos 
percentuais:
x
s
CV
100
=Coeficiente de 
Variação
Exemplo (1)
Na determinação de ferro em uma amostra, realizada
segundo um dado método, um analista obteve as seguintes
porcentagens do elemento: 31,44; 31,42; 31,36 e 31,38 %
m/v. Calcular o desvio médio e o desvio-padrão.
33 34
Resposta
Xi (% m/v) = 31,44% 31,42% ; 31,36%, 31,38%
𝑋𝑚 =
σ1
4𝑋𝑖
𝑁
X1 X2 X3 X4
𝑋𝑚 =
31,44 + 31,42 + 31,36 + 31,38
4
𝑋𝑚 =31,40 % m/v
Xi ȁ ȁ𝑿𝒊 − 𝑿𝒎 𝑿𝒊 − 𝑿𝒎 𝟐
31,44
31,42
31,36
31,38
Xm = 31,40
35
Resposta
Xi ȁ ȁ𝑿𝒊 − 𝑿𝒎 𝑿𝒊 − 𝑿𝒎 𝟐
31,44 0,04 0,0016
31,42 0,02 0,0004
31,36 0,04 0,0016
31,38 0,02 0,0004
Xm = 31,40 ⅀ȁ ȁ𝑿𝒊 − 𝑿𝒎 =0,12 ⅀ 𝑿𝒊 − 𝑿𝒎 𝟐=0,0040
𝑑𝑚 =
σȁ ȁ𝑋𝑖 − 𝑋𝑚
𝑁
𝑑𝑚 =
0,12
4
= 0,030% m/v (absoluto)
𝑠 =
0,0040
3
= 𝟎, 𝟎𝟑𝟕% 𝒎/𝒗
✓Aparecem como pequenas variações na medida;
✓Tanto erros positivos quanto negativos podem ocorrer;
✓Tratados por Métodos Estatísticos de Análise.
Erros cuja origem não se pode determinar
Erros Indeterminados ou Aleatórios
36
7
• Admite-se que os erros indeterminados seguem a lei de
distribuição normal (distribuição de Gauss) – fórmula para a
curva;
2
2
( )1 1
exp
22
 −
= − 
 
ix
y

ss 
Onde:
y – probabilidade de ocorrência (relação entre o número de
casos em que o resultado ocorre e o número total de resultados
observados) de um valor Xi da variável X;
µ é a média da população e s é o desvio padrão;
(Xi - ) é o desvio de Xi em relação à média.
Erros Indeterminados ou Aleatórios
37
Distribuição Normal ou Gaussiana
Y

,
−iX
Desvio

s
-3 3-2 2-1 10
Grandeza variável, X
, −iDesvio X
0
Probabilidade de ocorrência é tomada em função dos
valores de X, dos desvios Xi -  e dos desvios em unidades
de z.

s
−
= iX
z
38
Figura:
(a) O valor mais provável é a média aritmética de
todos os valores;
(b) Desvios positivos e negativos são igualmente
prováveis;
(c) Desvios pequenos são mais prováveis que
desvios grandes.
OBSERVAÇÃO:
Na ausência de erro determinado e para um
número infinito de medidas, a média da
população, , coincide com o valor
verdadeiro Xv.
.
Y

,
−iX
Desvio

s
-3 3-2 2-1 10
Grandeza variável, X
, −iDesvio X
0
39
A integração da curva de distribuição
normal de - a -, que é interpretada
graficamente como o cálculo da área total
abaixo da curva de distribuição normal, dá
a probabilidade total, que corresponde ao
valor 1 (100%);
É conveniente o uso dos desvios da 
grandeza em unidades de z.
A probabilidade de se ter um desvio maior que 1s (z = 1) é
aproximadamente igual a 32%  a integração da curva entre
os limites -1s e +1s corresponde a uma probabilidade de
cerca de 68% (a área sob a curva entre os limites -1s e +1s é
 68% da área total)

s
−
= iX
z
40
41

s
−
= iX
z
Qual a probabilidade de se ter um desvio maior
que 2s (z = 2)?
Qual a probabilidade de se ter um desvio maior
que 3s (z = 3)?
42
8
43
Se um resultado de uma análise é X, então a média verdadeira
está no intervalo  = X  1s,  = X  2s ou  = X  3s, com 68%,
95% ou 99,7%, respectivamente.
Exemplo
• Sabe-se que o teor de cálcio num composto
varia de 50 a 60% m/v. Após ter realizado um
número grande de análise e considerando a
ausência de erros sistemáticos na medida, um
analista determinou que o desvio padrão
absoluto é 0,17% m/v. Pergunta: Se o valor de
uma resultado de uma análise isolada é de
55,30% m/v em Ca2+, qual o intervalo em que
deve estar o valor verdadeiro do teor de cálcio
nessa amostra, com uma probabilidade de
99,7%?
44
Resposta
45
 = X  3s, com 99,7% de confiança
• Dados:
s= 0,17% m/v.
X= 55,30% m/v em Ca2+
Probabilidade = 99,7%. z = 3
Sabe-se que, um resultado de uma análise é X, então a
média da população estará no intervalo  = X  zs
 = 55,30  3 x 0,17
 = (55,30  0,51) %m/v
Conclusão: O valor verdadeiro deve estar entre 54,79 a
55,81 % m/v com 99,7% de probabilidade . Para fins práticos,
pode-se dizer que, com certeza o valor verdadeiro está neste
intervalo.
Torna-se importante saber qual intervalo que deve estar a
média da população, , conhecendo-se a média das
determinações
Quando s é conhecido, esse intervalo é dado pela equação:
N
zx
s
 =
N: Nº de determinações;
X : média das medidas;
z: valor tabelado.
46
Limite de Confiança da Média
Então, para 68% de probabilidade, tem-se: Z = 1 e:
N
x
s
 =
Para 95% de probabilidade, tem-se: Z = 2 e:
N
x
s
 2=
Para 99,7% de probabilidade, tem-se: Z = 3 e:
N
x
s
 3=
47
Em Química Analítica ➔ Tem-se, geralmente, um Nº
Pequeno de Determinações
Então,
Devemos interpretar de maneira lógica
Como ??
Nesses casos, os valores conhecidos são:
X S
Que são estimativas de:
 s
48
9
Conhece-se apenas sua estimativa, s. (por geralmente não
dispor do desvio-padrão, s).
Logo:
Não é correto utilizar os valores de z .
O problema é resolvido
Utilizando os valores de t de student
49
Valores para o parâmetro t de Student em função do número de graus
de liberdade (N-1) para diferentes níveis de confiança
50
Então, conhecendo-se , s e N, determina-se o intervalo
de confiança:
X
N
ts
X = Intervalo de confiança 
da média
N
ts
X −=
N
ts
X +=
Limites de Confiança da Média
51
Um engenheiro fez quatro determinações de cobre em uma
amostra e encontrou um valor médio de 20,50 % m/v e um
estimativa do desvio-padrão, s, de 0,10% m/v. Qual intervalo
em que deve estar a média da população, com um grau de
confiança de 95 %
N
ts
X =
Exemplo
52
53
Resposta
N
ts
X =
N = 4; GL = N - 1 GL = 4 – 1 = 3
𝑋 = 20,50%𝑚/𝑣 𝑠 = 0,10%𝑚/𝑣 𝑁 = 4
GL = 3 (95%) Consultar tabela de distribuição de t
t = 3,18
𝜇 = 20,50 ±
3,18𝑥0,10
4
𝜇 = 20,50 ± 0,16 %𝑚/𝑣
54
𝜇 = 20,50 ± 0,16 %𝑚/𝑣
Resposta
A média da população, , deve estar entre
os valores : 20,34 % m/v e 20,66 % m/v,
com um grau de confiança de 95 %.
10
Testes de Significância
• Teste t (3 casos)
• Teste F
• Teste Q
55
Testes de Significância
(Comparação da Média com o Teste t de Student)Teste t
Usado para comparar um grupo de medidas com outro, a fim 
de decidir se são ou não “diferentes”
56
Três casos específicos para o cálculo do Teste t
Medimos uma quantidade várias vezes, obtendo um valor
médio e um desvio-padrão. Precisamos agora comparar o
nosso resultado com um determinado valor que é
conhecido e que esta diferençaé aceitável levando-se
em conta o “erro experimental”.
Caso 01: Comparação de um resultado medido com um valor
conhecido.
57
Testes de Significância
Caso 01: Comparação de um resultado medido com um valor
conhecido.
s
NX
tcal
−
=
Se tcal > tteórico (tabelado) → Existe uma diferença entre a
média experimental, , e o valor de (Erro determinado)X
Se tcal ttab, os dois resultados não concordam a um
intervalo de 95%, ou seja, o método testado dá resultados
diferentes do valor de referência.
RESPOSTA
11
Caso 02: Comparação de medidas repetidas
Medimos uma quantidade várias vezes utilizando dois
métodos distintos, que fornecem duas respostas
diferentes, cada uma com seu desvio-padrão. Levando
em conta o “erro experimental”, existe uma concordância
ou discordância entre os dois resultados?.
Testes de Significância
61
Caso 02: Comparação de medidas repetidas
Para dois grupos de dados consistindo em n1 e n2
medidas ( com médias e ), calcula-se um valor de
t utilizando:
1X 2X
21
2121
nn
nn
s
XX
t
agrupado
cal
+
−
=
2
)1()1(
2
)()(
21
2
2
21
2
1
21
2
2
2
1
2
1
−+
−+−
=
−+
−+−
=

nn
nsns
s
nn
xxxx
s agrupado
grupo
i
grupo
i
agrupado
21 XX −Onde é o valor absoluto da diferença entre as médias e
Onde sagrupado é um desvio-padrão agrupado fazendo uso de
ambos os grupos de dados. n1+n2 - 2 = graus de liberdade 62
2
)1()1(
2
)()(
21
2
2
21
2
1
21
2
2
2
1
2
1
−+
−+−
=
−+
−+−
=

nn
nsns
s
nn
xxxx
s agrupado
grupo
i
grupo
i
agrupado
Onde sagrupado é um desvio-padrão agrupado fazendo uso de
ambos os grupos de dados. n1+n2 - 2 = graus de liberdade
63
Caso 02: Comparação de medidas repetidas
Se tcal > ttabelado → Existe diferença estatisticamente
significativa entre os dois métodos.
Cálculo do desvio-padrão agrupado:
Caso 02: Exemplo
A Tabela abaixo mostra os valores de massa de um gás, obtido
do ar (método 1) e por fontes químicas (método 2). O gás
obtido pelo ar é mais denso que aquele obtido por fontes
químicas ?
Obtido do ar (g) Obtido a partir de fontes químicas(g)
2,31017 2,30143
2,30986 2,29890
2,31010 2,29816
2,31001 2,30182
2,31024 2,29869
2,31010 2,29940
2,31028 2,29849
- 2,29849
Média: 2,31011 Média:2,29947
Desvio padrão: 0,000143 Desvio padrão:0,00138 64
65
RESPOSTA
𝑠𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜 =
𝑠1
2(𝑛1 − 1) + 𝑠2
2(𝑛2 − 1)
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑠𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜 =
0,0001432(7 − 1) + 0,001382(8 − 1)
7 + 8 − 2
𝑠𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑑𝑜 = 0,00102 𝑔
21
2121
nn
nn
s
XX
t
agrupado
cal
+
−
= 𝑡𝑐𝑎𝑙 =
2,31011 − 2,29942
0,00102
7𝑥8
7 + 8
tcal = 20,2
66
RESPOSTA
tcal = 20,2
Verificação do valor de t tabelado :
GL =(N1-1)+(N2-1) ➔ GL = N1+N2 - 2
GL = 7+8 - 2 = 13
ttab = 2,16.
Como tcal>ttab, a diferença é significativa!
12
Caso 03: Comparação de diferenças individuais
A Amostra 1 é medida uma vez pelo Método 1 e uma vez
pelo Método 2, que não fornecem exatamente o mesmo
resultado. A seguir, uma amostra diferente, denominada 2, é
também medida uma vez pelo Método 1 e uma vez pelo
Método 2. Os resultados não são iguais entre si. O
procedimento é repetido para n amostras diferentes. Os dois
métodos concordam entre si ou um é sistematicamente
diferente do outro? 67 Desvio-padrão das diferenças
Caso 03: Comparação de diferenças individuais
n
s
d
t
d
cal =
1
)( 2
−
−
=

n
dd
s
i
d
d Valor absoluto da diferença média
n Núm. de amostras
68
A Tabela abaixo mostra medidas da quantidade de Al em 11
amostras de água potável obtida por dois métodos distintos.
Decida se existe diferenças significativas entre os métodos
Caso 03: Exemplo
Amostra Método 1 Método 2
número (g/L) (g/L)
1 17,2 14,2
2 23,1 27,9
3 28,5 21,2
4 15,3 15,9
5 23,1 32,1
6 32,5 22,0
7 39,5 37,0
8 38,7 41,5
9 52,5 42,6
10 42,6 42,8
11 52,7 41,1
69
n
s
d
t
d
cal =
1
)( 2
−
−
=

n
dd
s
i
d
11211 XXd −=

=
=
N
i
id
N
d
1
1
11=N
70
ttab = 2,228
Para 95% de confiança e 
GL = 10
tcal Ftabelado  Há diferenças significativas
Se Fcal Qtab  O valor deve ser rejeitado
78
14
A aplicação do Teste Q é feita da seguinte maneira:
➔Colocar os valores obtidos em ordem crescente;
➔Determinar a diferença existente entre o maior e o menor
valor da série (faixa);
➔Determinar a diferença entre o menor valor da série e o
resultado mais próximo (em módulo);
➔Dividir esta diferença (em módulo) pela faixa, obtendo um
valor de Q (Qcal);
➔Se Qcal > Qtab, o menor valor é rejeitado; 79
➔Se o menor valor é rejeitado, determinar a faixa para os
valores restantes e testar o maior valor da série;
➔Repetir o processo até que o menor e o maior valores
sejam aceitos;
80
Se Qcalc > Qtabelado
valormenorvalormaior
próximomaisvalorsuspeitovalor
Qcalc
−
−
=
|
O valor 3,2 está correto ou deve ser rejeitado?
4,3 4,1 4,0 3,2 (mg/g-1)
Determinação de cádmio numa amostra de poeira
Rejeição de Resultados – Teste Q
O valor suspeito é rejeitado
81
Valor suspeito = 3,2
No Observações = 4 Qtabelado (90%) = 0,76
Qcalc = | 3,2 – 4,0| / (4,3 – 3,2) = 0,8/1,1 = 0,727
Qcalc15,56;
15,53; 15,54; 15,56.
Decida quais resultados requerem rejeição.
83 84
15,42; 15,51; 15,52; 15,52; 15,53; 15,53; 15,54; 15,56; 15,56; 15,68
𝑄𝑐𝑎𝑙𝑐 =
ȁ15,42 − 15,51ȁ
15,68 − 15,42
= 0,35
Valor avaliado:15,42
N = 10; Qtab = 0,412
QcalQtab➔ valor 15,68 será rejeitado
N = 10; Qtab = 0,412
RESPOSTA
15
85
15,42; 15,51; 15,52; 15,52; 15,53; 15,53; 15,54; 15,56; 15,56; 15,68
𝑄𝑐𝑎𝑙𝑐 =
ȁ15,42 − 15,51ȁ
15,56 − 15,42
= 0,64
Valor avaliado:15,42
N = 9; Qtab = 0,437
Qcal>Qtab➔ valor 15,42 será REJEITADO
Valor avaliado:15,51
𝑄𝑐𝑎𝑙𝑐 =
ȁ15,51 − 15,52ȁ
15,56 − 15,51
= 0,2
Qcal