geometria analítica e álgebra linear

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NOTE BOOK Geometria Analitica e Algebra linear pref: Danúbia23/03/26 GAAL Matrizes Inversas Uma matriz = é invertinele não singular existe uma matriz nxin tal que: Teorema: Se possui matriz inversa, essa matriz inversa e unica. Dem: Suponha nxn que possui inversa sejam BeC inversa de A (Quero B=C) inversa da inversa é a propria matriz b) Se A=(aij) é B= (Bij nxn AB é e B c) Se A=(aij)nxn é então tambem é Dem: a) Quero mostrar que A⁻¹ tem inversa. Como A é existe uma B tal que -1 = A inversa da inversa é a própria= = In outro lado é inversa deA Se eu inversas significam que elas são guais B=A Iremos encontrar a inversa por escalonamento. teorema: Uma matriz A dem inversa se ela é equivalente por linhas a matriz Inxn. Ex: Encontre a inversa de A= 11 214 5 1 1 1 : 1 2 1 4 1 2 3 5 0 1 = = 1 1 1 : 1 -1 -2 1 = L2 (-1) 1 3 -2 0 1 1 1 1 1 L3= = L2 1 -2 2 -1 013 ( 1 1 1 1 1 1 -2 2 -1 5 0 5 -4 1 11 1 1 1 0 = 22 1 2 2 0 0 1 -4 1 1 5 5 5 1 0 3 1 S 5 1 -2 2-10 0 h 5 1 -4 1 1 0 5 5 5 Quando um sistema vai unica Ax = B Somente se A é E a do sistema é = BPROPRIEDADES DETERMINANTE. TEOREMA: Sejam matrizes nxn então b) Se B resulta de A pela troca de posicão relativa de duas linhas então detA. Bé obtida de A substituindo a por ela então: a am multiplo escalar de uma linhaj, det = d) detA = det (A+) e) det (A.B) = det B. Ex: Calcule a determinante de det 1 5 Olha a linha que tem mous zeros. 3-6 9 J+3 2 6 s det 3 9 5(-1) det 3 -6 cofator: 2 2 6 det A= = all A11 + A12+ 213A 13 = 11 = -(3-18)+5(18+12) =3 -6 1 -2 3 A= 3-69 - Lj 0 1 5 0 3 2 6 2 6 1 6 -2 3 3) 1 -2 3 1 B 00-55 Teorema: Seja A uma matriz 1) A é invertivel se e somente se 2) sistema homogênio possui ama trivial se somente det A=O. Ex: Se Anxn. ge A é então det 1 det A DEM: Aé invertivel det det(I) det (A. 1 det = 1 A2 = então det A=1 a gente quer mostrar isso, = é det (A.A) = det (det 3 =1 det (A). det A 1 1 detA=1 = 1de corientador e mo plano The 2 A eB B dado como 'A" "B" final A ponto é Propriedades que com vetor; 1) + Comeca em V e em W Obs: ozoma é V+W = W+V 2) Um mule V + = mada cno 3) de V lal que V + V - V4) V W interessante é colocar coordenadar. -w 7 Plano cartesiano X,Y Y W 5) per V2 A) = V = B)se e > Vai esticar vetor > T Comeca e termina mo ponto Sejam V =Produto misto Teorema Sejam = U,e + U2J + U3 k V= = + = + + W3K então u. x = det V2 W, W2 W3 U2 U3 ( det Vz V3 W2 det V1 V3 - det W, W2 V1 Det (u, U2 U3) W, W3 - (u, U2 U3) W2 W3- V3) V1 W2- W1 V2) = W2 V3) U2 W3 V3) + V1 W2- W, V2) = U, W3 - V3 - U2 V1 V3t U3 V1 W2- U3 W1 V2Sejam = U2 U3 ESSES VETORES SAO COPLANARES = V1 V2 V3 V = W 1 W W3 Ex: e Verifique vetores: PR e PS sao coplanares. PQ= (1,0,2) = PR= R- = W faz determinante. A vetorial xu + + = tem não trivial Um dos vetores u V V ou W é a combinação linear dos outros deis. Ex: = Vamos escreuer um dos vetores como linear dos = (1,-3,-1) outros deis. W W = (-2,1,-3) + X + (-2z) 1 1 -2 ~ X 3y+ Z -1 -3 1 X-Y- 3z 1 -1 -3LZ L1 t 1 d3-d2 1 1 -2 -2 = -1 0-2-1 X t 0 Z= 2y y=pode ser qualquer valor X - 2 (2y )=0 XRetar equação de plane que por um pento é a N=(a,b,c) é by + Dem: N=(a,b,c) que tamlem esta em Considere reter Po p abc. + by + = d Encontre a do plano passando por -1 P2 P2-P1 . = i j K 3î + P3 1 1 2 - + 61 - 3J _2 -3 3 + - 1 ,-5) = N a b do plano: ax + by + d= +Equacoes Parametricas Considere 0 plano Yo, E C1) e mão corineares e a R wm ponto Temos P- Po Então pode ozer excrito come linear de e ( Yo = can parametricon de plane Ex: parametricas do plano passando P1= (1,2,-1) paralelos com e arbcz = + Y-Yo = + Z-Zo = tc,Carametrica da uma reta or um ponto e a cum v=(a,b,c). PoP Er e PoP é paralelo a e nesse case = = ta X= ta Y-Yo = tb Y= Yo + tb Z-Zo = tc + tc Ex: Encontre as equações parametricas da reta interseção dos planos: : 3x - + = The X 2y - Z=1 cum paralelo a or or entá contida em e r e N2 n/ n2 n1 i j K + + 3 -1 1 1 3j 1 + + 7K = (-1,4,7) Materia de ProvaLista 2 GAAL