Materiais Terrestres - aula 02 - simetria externa

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Princípios de Cristalografia:
Simetria Externa
Simetria
• A simetria trata da 
repetição de objetos, 
por meio de rotação, 
reflexão, inversão e 
translação.
• Mas, como podemos 
observar a simetria?
Simetria
• Uma parte, quando 
repetida em um 
desenho simétrico, e 
representa o desenho 
inteiro.
Motivo
• Menor parte de uma 
estrutura que pode ser 
repetida infinitamente 
para gerar a estrutura 
inteira.
Cela unitária
Simetria
• Ato de repetir o 
motivo
Operação de simetria
• Menor parte de uma 
estrutura que pode ser 
repetida infinitamente 
para gerar a estrutura 
inteira.
Cela unitária
Elementos de Simetria
• Uma operação 
localizada no 
espaço (do 
cristal e.g. eixo 
rotacional)
Elemento de simetria
Elementos de Simetria
• A simetria externa pode ser observada:
• com relação a um plano;
• com relação a uma linha;
• com relação a um ponto.
Elementos de Simetria
Simetria com relação a uma linha
EIXO DE ROTAÇÃO
• Uma linha imaginária, através de 
um cristal, em torno da qual se 
pode girar o cristal, que repete a si 
mesmo na aparência 2, 3 ou mais 
vezes durante uma rotação
completa.
• A2 - binários 
• A3 - ternários ou trigonais
• A4 - quaternários ou tetragonais
• A6 - senários ou hexagonais 
Eixos simples de rotação e as figuras resultantes
Detalhe
• Eixos de rotação quinários, 
de grau sete e de graus 
superiores não são possíveis
em materiais cristalinos 
(dedução geométrica). 
Partes desemparelhadas ou 
lacunas tendem a não
ocorrer nas estruturas 
cristalinas dos minerais 
(poderiam representar 
ligações químicas 
insatisfeitas ou 
supertensionadas).
Simetria com relação a uma linha
Elementos de Simetria
Simetria com relação a um plano
PLANO DE REFLEXÃO
• Quando um plano imaginário pode 
ser passado através do centro do 
objeto, dividindo-o em duas 
metades idênticas. Como 
conseqüência, se uma dessas 
metades é removida, pode ser 
substituída por um espelho. 
Internacionalmente, o símbolo que 
representa o plano de simetria é a 
letra m (abreviação de espelho –
mirror).
m
Elementos de Simetria
Simetria com relação a um ponto
CENTRO DE SIMETRIA
• Somente existe quando: uma linha 
imaginária pode ser passada de 1 
vértice da superfície de um cristal, 
através de seu centro, achando-se 
sobre essa linha e a uma distância 
igual além do centro, 1 vértice 
semelhante, mas invertido.
• A operação é uma inversão (i).
i
Operações de Simetria
• A operação geométrica necessária para trazer um determinado 
ponto a1 ao seu equivalente simétrico a2 é chamada operação de 
simetria.
Combinações de 
Simetria
• As combinações das 
operações geradas a 
partir desses três 
elementos de simetria 
geram 32 classes de 
simetria, conhecidos 
como os 32 grupos 
pontuais
Combinações de Simetria
• Os 32 grupos pontuais se dividem em 6 categorias:
• Os 6 sistemas cristalinos (geometricamente possíveis)
Sistemas cristalinos
• São definidos em função do tipo de simetria presente no arranjo 
cristalino. O grau de simetria existente no arranjo cristalino de um 
dado mineral é sempre igual, embora as faces externas do cristal 
não necessitem ser sempre as mesmas.
• Sistemas cristalinos:
• isométrico (ou cúbico)
• hexagonal / romboédrico (trigonal)
• tetragonal
• ortorrômbico
• monoclínico
• triclínico
Sistema Isométrico
Sistemas cristalinos
Sistemas Hexagonal e Trigonal
Sistemas cristalinos
Sistemas Ortorrômbico e Tetragonal
Sistemas cristalinos
Sistemas Triclínico e Monoclínico
Sistemas cristalinos
a unidade mínima que, por translação, gera a figura inteira
Cela unitária: constitui a menor subdivisão de uma rede cristalina que 
conserve as características gerais de todo o retículo, de modo que por simples 
multiplicação da mesma, se possa reconstruir o sólido cristalino completo. 
NaCl
unit cell ball and stick model space filling model 
Cela Unitária
Cristal – Arranjo tridimensional de átomos e íons. 
Retículos de Bravais – Retículos espaciais
Retículos espaciais:
- Resumem o esquema de repetição de átomos, grupos 
de átomos ou moléculas na formação da estrutura interna de um 
cristal.
- São obtidos através do isolamento de qualquer conjunto 
único de identipontos no arranjo.
Existem apenas 14 tipos diferentes de arranjos tridimensionais onde 
átomos, íons ou moléculas podem ser empacotados juntos durante a 
formação de um cristal
a
b
c
Simples
Monoclínico
a = g = 90o  
a  b  c
a
b
c
corpo
a
b
Simples
Triclínico
a    g
a  b  c
c
c
a simples
Ortorrômbico
a =  = g = 90o a  b  c
base faces corpo
b
a1
c
simples
Tetragonal
a =  = g = 90o a1 = a2  c
corpo
a2
a1
a3
P
Isométrico - cúbico
a =  = g = 90o a1 = a2 = a3
a2
F I
base simples
simples faces corpo
a1
c
a2
Hexagonal Romboédrico
a =  = 90o g = 120o
a1 = a2  c
a =  = g  90o
a1 = a2 = a3
Retículo Espacial ou retículo de Bravais
Retículos de Bravais – Retículos espaciais
Consiste de um empilhamento de redes equidistantes paralelas, 
ou alternativamente, uma rede que é sucessivamente distribuída 
ao longo de um vetor – vetor de empilhamento.
Notação de Faces Cristalinas
• Os índices de Miller de uma face consistem em um série de 
números inteiros que foram derivados das interseções por meio de 
inversão.
Formas Cristalinas
• conjunto de faces do cristal, todas tendo a mesma relação para com os 
elementos de simetria
• as faces da forma podem ter contornos e tamanhos diferentes por 
causa da má formação do cristal, mas suas propriedades físicas e 
químicas não são modificadas
• Formas abertas - são grupos de faces que se relacionam por simetria e 
que não encerram um volume de espaço
• Formas fechadas - são grupos de faces que se relacionam por simetria e 
que encerram um volume de espaço
Formas Cristalinas
Formas Abertas
Pédio Pinacóide
uma única face compreendendo uma 
forma
forma constituída por duas faces 
paralelas
Formas Cristalinas
Formas Abertas
Domo
Esfenóide
duas faces não paralelas, 
mas simétricas em relação 
a um plano de simetria
duas faces não paralelas, mas 
simétricas em relação a um eixo 
de simetria binária ou 
quarternária
Formas Cristalinas
Formas Abertas
Prisma
forma aberta composta por 3, 4, 6, 8 ou 12 faces, todas paralelas ao mesmo eixo
Formas Cristalinas
Formas Abertas
Pirâmide
forma aberta composta por 3, 
4, 6, 8 ou 12 faces não 
paralelas que se encontram 
em um único ponto
Formas Cristalinas
Formas Fechadas
Bipirâmide
Forma fechada apresentando 
6, 8, 12, 16 ou 24 faces. Na 
verdade, são formas obtidas 
através da reflexão de 
pirâmides sobre um plano de 
simetria horizontal
Formas Cristalinas
Formas Fechadas
Tetraedro
Forma fechada 
apresentando 4 faces
Formas Cristalinas
Formas Fechadas
Escalenoedro
Forma fechada, 8 faces 
(tetragonal) ou 12 
faces(hexagonal)
Nos cristais perfeitamente 
desenvolvidos, cada face é 
um triângulo escaleno
Formas Cristalinas
Formas Fechadas
Trapezoedro
possui 6, 8 ou 12 faces, onde, 3, 4 ou 6 faces superiores estão giradas em relação a 3, 4 
ou 6 faces inferiores. Além destas, existe um trapezoedro isométrico, uma forma de 24 
faces. 
Nos trapezoedros bem desenvolvidos, cada face é um trapézio
Formas Cristalinas
Formas Fechadas
Romboedro
Forma fechada, composta por 6 
faces, cujas arestas de interseção 
não formam ângulos retos entre si. 
São formas exclusivas da divisão 
romboédrica do sistema hexagonal
Formas CristalinasFormas Fechadas
FORMAS CÚBICAS
111
111
_
111
__
111
_ 
110
101
011
011
_
110
_ 
101
_
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
48 tipos diferentes de formas de cristais são distinguidos:
• 32 correspondem às formas gerais das 32 classes de cristais
• 10 são formas especiais fechadas do sistema isométrico
(cúbico)
• 06 são formas abertas especiais (prismas) dos sistemas 
hexagonal e tetragonal
Formas Cristalinas
Formas triclínicas, monoclínicas e 
ortorrômbicas abertas e 
fechadas
Prismas abertos de
3, 4, 6 e 12 faces
As 48 Formas Cristalinas
Pédio
Prisma rômbico
Domo Esfenóide
Pinacóide
Pirâmide
rômbica
Bipirâmide
rômbica fechada
Biesfenóide 
rômbico
Trigonal
Ditrigonal Tetragonal
Dihexagonal
Ditetragonal
Hexagonal
Formas piramidais abertas com 
3, 4, 6 e 12 faces
Formas bipiramidais fechadas com 6, 
8, 12 e 24 faces
Trigonal
Ditrigonal Tetragonal Ditetragonal
Hexagonal Dihexagonal
Trigonal Ditrigonal Ditetragonal
Hexagonal Dihexagonal
Tetragonal
Formas fechadas escalenoedrais 
e trapezoedrais
Formas fechadas
isométricas
Biesfenoide
tetragonal
Biesfenoide
tetragonal
Trapezoedro
tetragonal
Romboedro
Trapezoedro
trigonal
Escalenoedro
ditrigonal
Trapezoedro
hexagonal
Piritoedro(dodeca-
edro pentagonal)
Diploedro
Tetartoedra Giroedro
Formas hexatetraedrais
fechadas
Formas hexaoctaedrais
fechadas
Tetraedro Ditetraedro
trapezoedral
Ditetraedro
trigonal
Hexatetraedro
Cubo Octaedro Dodecaedro
rômbico
Trioctaedro
trapezoedral
Trioctaedro
trigonal
Tetrahexaedro Hexaoctaedro
Quartzo (SiO2) 
2 formas:
prisma hexagonal
bipirâmide hexagonal
Formas Cristalinas
Combinação de 2 formas
Formas Cristalinas
Combinação de 2 formas
Quartzo
Formas Cristalinas
Combinação de 3 formas
Quartzo (SiO2) 
2 formas:
prisma hexagonal
bipirâmide hexagonal
Referências:
• Capítulos 6 e 7 do livro “Manual de Ciência dos Minerais”:
KLEIN, C.; DUTROW, B. Manual de ciência dos minerais. Tradução e revisão 
técnica: Rualdo Menegat. 23. ed. -. Bookman, Porto Alegre, 2012. 716 p.
• Vejam mais sobre simetria externa no site webgeology:
http://ansatte.uit.no/kku000/webgeology/webgeology_files/portuguese/cr
yst_sym_1_pt.html
Cristaloquímica
Estuda a composição química dos minerais em relação ao seu 
arranjo cristalográfico e suas propriedades físicas.
Propriedades do mineral são uma função de:
Quais elementos químicos compõem o mineral
Como os elementos estão ligados entre si
Como os elementos estão dispostos na estrutura cristalina
Cristaloquímica
Estuda a composição química dos minerais em relação ao seu 
arranjo cristalográfico e suas propriedades físicas.
Propriedades do mineral são uma função de:
Quais elementos químicos compõem o mineral
Como os elementos estão ligados entre si
Como os elementos estão dispostos na estrutura cristalina
Átomo de Carbono
Nuvem
eletrônica
Núcleo
Elétron (-)
Próton (+)
Nêutron
Iônica
Covalente
Metálica
Van der Waals
Pontes de Hidrogênio
Átomos em um cristal são unidos por forças elétricas, de intensidade variável.
Quanto maior a força de ligação, mais difícil romper a estrutura cristalina.
Conseqüências diretas para propriedades como dureza, solubilidade, ponto de 
fusão.
Cristaloquímica
Tipos de ligações químicas
Ligação que ocorre entre cátions e ânions, como o Na+ e o Cl-
na halita (NaCl)
Grande diferença de eletronegatividade
Tipicamente não direcional (íons se comportam como 
esferas)
Força depende diretamente do produto das cargas iônicas e 
inversamente do quadrado da distância interatômica
Cristaloquímica
Ligação Iônica
Cristaloquímica
Ligação Iônica
Átomo de Sódio
(1 elétron na camada 
externa)
Átomo de Cloro
(7 elétrons na camada 
externa)
Atração 
Elétrica
Cátion (+) Ânion (-)
Cristaloquímica
Ligação Iônica
Íon 
Sódio Íon 
Cloreto
Halita
Íons como esferas
Propriedades 
semelhantes em todas as 
direções
Alto grau de simetria 
cristalina (sistema 
isométrico comum)
Cristaloquímica
Ligação Iônica
Na
Na
Na
Na
Cl
Cl Cl
Cl
Cl
Halita
Cristaloquímica
Ligação Iônica
Na
Na
Na
Na
Cl
Cl Cl
Cl
Cl
Número de coordenação = número 
de íons vizinhos de carga oposta
Para o Sódio: número de 
coordenação = 6
Para o Cloro: número de 
coordenação = 6
Cristaloquímica
Ligação Iônica
Na
Na
Na
Na
Cl
Cl Cl
Cl
Cl
Força da ligação
= valência eletrostática
v.e. = 
carga
número de coordenação
v.e. = 
1
6
1
6
de carga em cada ligação
Cristaloquímica
Ligação Iônica
v.e. = 
4
3
(CO3)
2- = 
1
3
1 
v.e. = 
6
4
(SO4)
2- = 
1
2
1 
v.e. = 
5
4
(PO4)
3- = 
1
4
1 
v.e. = 
4
4
(SiO4)
4- = 1 
POLIMERIZAÇÃO!
Cristaloquímica
Valência Eletrostática
• Facilidade de dissolução em solventes polares
• Sólidos relativamente frágeis ao impacto
• Dureza e densidade moderadas
• Ponto de fusão e de ebulição altos
• Má condução de eletricidade (baixa mobilidade de elétrons)
• Simetria elevada (caráter não direcional).
Cristaloquímica
Ligação Iônica
• Considere dois átomos de Cl (1s2 2s2 2p6 3s2 3p5)
eletronegatividade alta: tendência de ‘roubar’ elétrons
ligação iônica impossível (# de eletroneg. = 0)
interpenetração de um orbital externo
2 e- preenchem o restante da camada 3p (50% do 
tempo para cada átomo)
Resultado: Molécula de Cl2.
Cristaloquímica
Ligação Covalente
Carbono:  |  |     |    
1s 2s 2p 1s 2(sp3)
Ângulo C-C-C = 109o 28’
Fonte: Bloss, Crystallography and Crystal Chemistry. MSA
orbitais híbridos
Estrutura 
cristalina do 
diamante
Cristaloquímica
Ligação Covalente
Fonte: Bloss, Crystallography and Crystal Chemistry. MSA
Mais forte das ligações químicas em minerais –
Força depende do grau de interpenetração dos 
orbitais.
Estrutura cristalina 
do diamante –
mineral de máxima 
dureza conhecido 
(d=10)
Cristaloquímica
Ligação Covalente
• Fortemente direcional = simetria geralmente baixa
• Dureza alta 
• Densidade baixa a moderada
• Ponto de fusão e de ebulição altos
• Má condução de eletricidade (muito baixa mobilidade de 
elétrons)
• Solubilidade baixa.
Cristaloquímica
Ligação Covalente
Fonte: Bloss, Crystallography and Crystal Chemistry. MSA
Outra alternativa de hibridização
Carbono:  |  |     |    | 
1s 2s 2p 1s 2(sp2) 2p
Cristaloquímica
Ligação Covalente
Fonte: Bloss, Crystallography and Crystal Chemistry. MSA
Outra alternativa de hibridização
Carbono:  |  |     |    | 
1s 2s 2p 1s 2(sp2) 2p
Dureza = 1-2 (muito 
mais baixa que o 
diamante)
Estrutura cristalina 
do grafite.
Por quê?
Cristaloquímica
Ligação Covalente
Fonte: Bloss, Crystallography and Crystal Chemistry. MSA
Ligações por forças 
eletrostáticas residuais
Ligações covalentes 
(fortes)
Ligações de Van der 
Waals
Cristaloquímica
Ligação de Van der Waals
Mais fraca das ligações químicas em minerais
Tipicamente em cristais moleculares, unindo moléculas 
eletricamente neutras
Resulta em dureza baixa e clivagem excelente dos minerais
Cristaloquímica
Ligação de Van der Waals
• Considere átomos de um mesmo elemento com eletroneg. baixa 
(p. ex. um metal)
ligação iônica impossível (# de eletroneg. = 0) 
eletrons da camada de valência relativamente ´soltos´
tendência de ‘doar’ elétrons
sólidos cristalinos equivalem a um densoempacotamento de núcleos, mantidos unidos por uma 
nuvem de elétrons compartihados
Cristaloquímica
Ligação Metálica
• confere aos cristais as seguintes propriedades:
altas plasticidade, tenacidade, ductilidade
alta condutividade elétrica e térmica 
baixa dureza
baixos pontos de fusão e ebulição
alta simetria (geralmente sistema isométrico)
alto número de coordenação (até 12)
Cristaloquímica
Ligação Metálica
ocorrem quando hidrogênio se liga a um elemento de alta 
eletronegatividade (O, N, F, Cl)
o único orbital do átomo de hidrogênio é em grande parte 
confinado na zona de sobreposição
Resultado: o outro lado do átomo de hidrogênio se comporta como 
um próton exposto, atraindo íons negativos
Rara em minerais (micas, hidróxidos)
Ligação fraca, porém mais forte que Van der Waals
Cristaloquímica
Pontes de Hidrogênio
Covalente
Iônica
Metálica
Pontes de hidrogênio
Van der Waals
M
ai
s 
fo
rt
e 
Cristaloquímica
Ligações Químicas
Não pode ser determinado 
absolutamente
Distância interatômica = 
Soma dos raios iônicos
Em elementos puros, 
raio = distância/2 -
Ex: Cu-Cu
Por comparação 
obtém-se os demais 
Ex: O-cátions
Cristaloquímica
Raio Iônico
Depende:
do elemento
do tipo de ligação 
(% de ligação 
iônica)
do número de 
coordenação
Cristaloquímica
Raio Iônico
Cristaloquímica
Raio Iônico
A relação entre o raio do cátion e 
o raio do ânion (Rc/Ra) pode ser 
usada para prever o número de 
coordenação
Rc/Ra < 0,155
Rc/Ra = 0,225 a 
0,414
Rc/Ra = 0,414 a 
0,732
Rc/Ra = 0,732 a < 1
Rc/Ra = 0,155 –
0,225
Rc/Ra = 1
Coordenação 
Dodecaédrica
NC=12
NC = 2
NC = 3
NC = 4
NC = 6
NC = 8
Coord. 
octaédrica
Coord. 
tetraédrica
Coord. 
triangular
Coord. linear
Coord. 
cúbica
Cristaloquímica
Raio Iônico