P2 Susana

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Disciplina - MAT01354 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total UFRGS Cálculo II-A 2 2 2 2 2 10 Turma A3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Prova 2 17/02/2023 Nome: Laura Isaia Casara Número do cartão: 341488 1. Todas as respostas devem ser justificadas. 2. Não serão tiradas dúvidas durante a prova. Questões: 1. (2pt) Considere a integral dupla iterada I = a. Esboce a região R do plano definida pela integral I. Destaque pontos de interseção das curvas e retas que delimitam esta região. b. Escreva I como integral dupla iterada na ordem dxdy e calcule valor de I. 2. (2pt) Considere o sólido delimitado inferiormente pelo plano = 0, superiormente pela esfera x² y² + 25 e lateralmente pelo cilindro x² + y² 16. a. Escreva (sem calcular) o volume do sólido S como integral tripla em coordenadas retangu- lares. b. Escreva volume do sólido S como integral tripla em coordenadas cilíndricas e calcule seu valor. 3. (2pt) Considere a integral tripla iterada + dzdydx. Escreva (sem calcular) a integral I como integral tripla em coordenadas esféricas. Lembre que em coordenadas esféricas temos dV = p² sen 4. (2pts) Considere campo vetorial F(x,y) = + a. Mostre que campo vetorial conservativo e encontre um potencial, ou seja, uma função tal que = F. b. Calcule a integral de linha dr onde segmento de reta orientado de (0,0) até (1,2). 5. (2pt) Considere campo vetorial F(x,y) sen a. Calcule trabalho que campo de forças F realiza em uma partícula que se desloca ao longo do segmento de reta que vai desde (0,0) até (1,0). b. Usando Teorema de Green, calcule F. dr onde triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (1,2) percorrido no sentido anti-horário. 1LAURA ISAIA CASARA- 341488 1. a) y ≤ (1,1) R y= VX (0,0) x (1,0) b) 1 y2 1 1 3 1-ys dxdy 11 1-y3 dy = Ju du 11 2 11 (1-0) 2 3 3 0 3 0 u= 3x du= y=1 2. a) b) roz r dz. dr do 5 w/ 5 - \ 5 >y 4 4 \ 4 r dz dr do = r 25-r2 dr do 0 0 \ 4 25 9 25 3 25 2 1 du do = 1 2 25 2 2 3 = 3 (125 - 27 do 03 0 98 3 98 3 = 3 3 4 dz dy dx -4 02 3. Z 2 x 8 V8 cone esfera raio (2,0,2) 2 y to 18 cilindro = 2 = x cilindro e esfera + = 8 Z=2 = 58 0506 ≤ senp de do 000 = 4. a) = 2x D 0 = 2 + x conservativo = 2x b) y 2y ) (1,2) C como F conservative, 1 = (1,2) ax = 2xy +1 2xy +1 dx 20 = = +x + = 2 +1 dy = x2 + 0 SFdr= 3 Lopor5. a) dg = 2x y 2x e conservativo = x (0,0) (1,0) 1 * W= dt W = t 0 1 0 = dt a r(t)= = 2 = W= = 1 b) (1,2) campo conservative curva anti T. de GREEN N (0,0) (1,0) R reta y=2x dy dx = S 1 4x2 dx = 4x3/1 3 3 1 1 4. 3 00