AP2-MetDet1-2024-1-Gabarito (1)

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Métodos Determińısticos I – 1/2024
Código da disciplina EAD06075
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Questão 1 [0,5 pt] Represente o conjunto esboçado abaixo por meio de uma inequação de uma das formas a seguir:
|x − a| b, |x − a| ≤ b ou |x − a| ≥ b. Isto é, escolha a forma mais adequada e determine a e b.
Justifique cuidadosamente sua resposta.
Solução: Lembre-se de que |x− a| representa a distância entre x e a na reta dos reais.
O conjunto esboçado é formado pelos pontos x cuja distância a 1 é menor ou igual a 3.
Métodos Determińısticos I AP2 2
Assim, temos a desigualdade
|x− 1| ≤ 3.
Outra solução: Lembre-se de que
|x− a| ≤ b⇔ −b ≤ x− a ≤ b⇔ a− b ≤ x ≤ a + b.
O conjunto esboçado representa −2 ≤ x ≤ 4. Portanto, a desigualdade será da forma |x − a| ≤ b. Observando a
equivalência acima, temos a− b = −2 e a + b = 4. Somando, temos 2a = 2, logo a = 1 e, como a + b = 4, temos
b = 3. Com isso, a desigualdade é |x− 1| ≤ 3.
Questão 2 [0,5 pt] Represente o conjunto esboçado abaixo por meio de uma inequação de uma das formas a seguir,
como na questão anterior: |x − a| b, |x − a| ≤ b ou |x − a| ≥ b. Justifique cuidadosamente sua
resposta.
Solução: O conjunto esboçado é formado pelos pontos x cuja distância a 0,5 é maior que 1,5.
Assim, temos a desigualdade
|x− 0,5| > 1,5.
Outra solução: Lembre-se de que
|x− a| > b⇔ x− a b⇔ x a + b.
O conjunto esboçado representa x 2. Portanto, a desigualdade é da forma |x− a| > b. Pelo que vimos
acima, temos a − b = −1 e a + b = 2, o que nos dá, somando as duas igualdades, 2a = 1, logo a = 0,5. Como
a + b = 2, temos b = 1,5. Assim, a desigualdade é |x− 0,5| > 1,5.
Questão 3 [1,0 pt] Represente o conjunto esboçado abaixo por meio de duas inequações das formas |x − a| b, |x − a| ≤ b ou |x − a| ≥ b, obtidas como nas questões anteriores, sendo satisfeitas simultaneamente.
Justifique cuidadosamente sua resposta.
Solução: O conjunto esboçado, abaixo representado em vermelho, é a interseção dos dois conjuntos esboçados em
azul:
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Métodos Determińısticos I AP2 3
O primeiro conjunto é quase o da questão 1, e corresponde à desigualdade |x − 1| .
Assim, o conjunto esboçado é o dos valores de x que satisfazem simultaneamente às desigualdades
|x− 1| 40, o preço é dado por P1(x) = 5x,
logo o gráfico é uma reta com coeficiente angular 5 para x > 40.
Já o preço P2(x) da segunda empresa em função de x é tal que P2(0) = 100 e mais 4 reais por metro de fio,
correspondendo então à função afim P2(x) = 4x + 100.
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Métodos Determińısticos I AP2 4
Vamos tentar obter a interseção entre os gráficos. Para 0 ≤ x ≤ 40, temos P1(x) = P2(x) se, e só se,
P1(x) = P2(x)⇔ 200 = 4x + 100⇔ 4x + 100 = 200⇔ 4x = 100⇔ x = 25.
Note que, para x = 25, temos P1(x) = P2(x) = 200.
Para x > 40, temos P1(x) = P2(x) se, e só se,
P1(x) = P2(x)⇔ 5x = 4x + 100⇔ 5x− 4x = 100⇔ x = 100.
Note que, para x = 100, temos P1(x) = P2(x) = 5 · 100 = 500.
Esboçando os dois gráficos em um mesmo sistema de coordenadas e marcando os pontos de interseção, temos:
Questão 5 [0,5 pt] Determine para que valores de x a segunda empresa tem preço menor que a primeira. Justifique
cuidadosamente sua resposta.
Solução: Observando o gráfico acima e as interseções calculadas entre os gráficos, temos que P2(x) 100.
Questão 6 [1,5 pt] Escreva um sistema com três inequações cuja solução seja a região do plano formada pelos
pontos (x, y) do plano que satisfaçam as três condições abaixo simultaneamente. Justifique cuidadosamente sua
resposta.
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Métodos Determińısticos I AP2 5
• estejam fora do ćırculo de centro (1, 3) e raio 5, mas não na circunferência que delimita este ćırculo;
• estejam à esquerda da reta vertical x = 5 ou na própria reta; e
• estejam acima da reta horizontal y = 3.
Solução: O conjunto dos pontos que estão fora do ćırculo de centro (1, 3) e raio 5, mas não na circunferência que
delimita este ćırculo, é dado por
(x− 1)2 + (y − 3)2 > 52.
Os pontos à esquerda da reta vertical x = 5 ou na própria reta são aqueles com coordenada x menor ou igual a 5, ou
seja, o conjunto x ≤ 5.
Os pontos acima da reta horizontal y = 3 são aqueles com coordenada y maior que 5, ou seja, o conjunto y > 3.
O sistema será então dado por 
(x− 1)2 + (y − 3)2 > 25
x ≤ 5
y > 3
Questão 7 [1,0 pt] Esboce a região da questão 6 acima detalhadamente, especificando as coordenadas dos
pontos dados pelas interseções entre a circunferência e cada uma das retas, ou entre as duas retas. Justifique
cuidadosamente sua resposta.
Solução: Cada uma das regiões está esboçada abaixo:
(x− 1)2 + (y − 3)2 > 25
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Métodos Determińısticos I AP2 6
x ≤ 5
y > 3
A interseção das três regiões é, portanto,
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Métodos Determińısticos I AP2 7
Vamos obter os pontos de interseçãodo ćırculo (x− 1)2 + (y − 3)2 = 25 e da reta y = 3. Temos o sistema{
(x− 1)2 + (y − 3)2 = 25
y = 3
Substituindo y = 3 na equação do ćırculo, temos
(x−1)2 + (3−3)2 = 25⇔ (x−1)2 + 02 = 25⇔ (x−1)2 = 25⇔ x−1 = 5 ou x−1 = −5⇔ x = 6 ou x = −4.
Temos então os pontos (−4, 3) e (6, 3).
Vamos obter os pontos de interseção do ćırculo (x− 1)2 + (y − 3)2 = 25 e da reta x = 5. Temos o sistema{
(x− 1)2 + (y − 3)2 = 25
x = 5
Substituindo x = 5 na equação do ćırculo, temos
(5−1)2 +(y−3)2 = 25⇔ 42 +(y−3)2 = 25⇔ (y−3)2 = 25−16⇔ (y−3)2 = 9⇔ y−3 = 3 ou y−3 = −3⇔
⇔ y = 6 ou y = 0.
Temos então os pontos (5, 6) e (5, 0). Marcando estes pontos, temos:
Note que apenas os pontos (−4, 3) e (5, 6) estão na fronteira da região descrita pelas desigualdades. Note ainda que
(−4, 3) não está na solução (ponto representado como “bola aberta”) pois a reta y = 3 não está na solução, e o
ponto (5, 6) também não está na solução porque está sobre a circunferência (x− 1)2 + (y − 3)2 = 25.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 8 a 11.
A demanda de um certo produto é dada, em milhões de unidades, por
D(P ) = −2 P 2 + 8 P + 10,
onde P é o preço em reais.
A oferta deste produto é uma função afim (isto é, dada por uma expressão de primeiro grau, na forma Q(P ) = aP +b,
com a e b números reais). Sabe-se que o preço ḿınimo do produto é R$ 2,00, isto é, para P = 2 não há oferta para
o produto. Com o preço de 3 reais, a oferta do produto é de 5 milhões de unidades.
Questão 8 [1,0 pt] Determine a expressão da função oferta Q do produto. Justifique cuidadosamente sua res-
posta.
Solução: A expressão da função oferta Q é da forma
Q(P ) = aP + b.
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Métodos Determińısticos I AP2 8
O enunciando comum às questões diz que o preço ḿınimo do produto é de 2 reais, ou seja, Q(2) = 0. Com isso,
Q(2) = 0 ∴ a · 2 + b = 0 ∴ 2a + b = 0.
É dito ainda que, com o preço de 3 reais, a oferta do produto é de 5 milhões de unidades. Logo
Q(3) = 5 ∴ a · 3 + b = 5 ∴ 3a + b = 5
Temos então {
2a + b = 0
3a + b = 5
A primeira equação nos dá b = −2a e, substituindo na segunda, temos
3a + (−2b) = 5 ∴ 3a− 2a = 5 ∴ a = 5.
Com isso, b = −2a = −2 · 5 = −10. Assim,
Q(P ) = 5 P − 10.
Questão 9 [1,0 pt] Determine o preço máximo do produto (preço para o qual a demanda é zero) e o preço de
equiĺıbrio deste produto. Justifique cuidadosamente sua resposta.
Solução: O preço máximo P do produto é aquele em que D(P ) = 0. Mas
D(P ) = 0⇔ −2 P 2 + 8 P + 10 = 0⇔ P =
−8±
√
82 − 4 · (−2) · 10
2 · (−2) ⇔ P = −8±
√
144
−4 ⇔
⇔ P = −8± 12
−4 ⇔ P = −20
−4 = 5 ou P = 4
−4 = −1.
Como o preço deve ser positivo, temos como preço máximo 5 reais.
O preço de equiĺıbrio do produto ocorre quando demanda e oferta se igualam, ou seja,
D(P ) = Q(P )⇔ −2 P 2 + 8 P + 10 = 5 P − 10⇔ −2 P 2 + 8 P − 5 P + 10 + 10 = 0⇔
⇔ −2 P 2 + 3 P + 20 = 0⇔ P =
−3±
√
32 − 4 · (−2) · 20
2 · (−2) ⇔ P = −3±
√
169
−4 ⇔ P = −3± 13
−4 ⇔
⇔ P = −16
−4 = 4 ou P = 10
−4 = −5
2 .
Como o preço deve ser positivo, o preço de equiĺıbrio é 4 reais.
Questão 10 [1,0 pt] Esboce os gráficos das funções oferta e demanda em um mesmo sistema de coordenadas,
destacando os pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, o ponto de equiĺıbrio e o ponto de demanda
máxima. Justifique cuidadosamente sua resposta.
Solução: O gráfico da demanda é uma parábola com vértice para baixo, já que a expressão de D(P ) é uma função
quadrática com coeficiente do termo de segundo grau −2. O vértice desta parábola nos dá o ponto onde a demanda
é máxima, e tem coordenadas
xV = − b
2a
= − 8
2 · (−2) = 8
4 = 2,
yV = −∆
4a
= −b2 − 4ac
4a
= 82 − 4 · (−2) · 10
4 · (−2) = −144
−8 = 18.
Assim, o vértice é o ponto (2, 18). Temos ainda P = 5 como uma das ráızes da demanda (o preço máximo).
Já o gráfico da oferta é uma reta que passa pelos pontos (2, 0) (preço ḿınimo) e (3, 5) (ponto dado).
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Métodos Determińısticos I AP2 9
Além disso, sabemos que o preço de equiĺıbrio é 4 reais, no qual a demanda e a oferta são dados por Q(4) = 5·4−10 =
10. Com isso, o ponto (4, 10) pertence a ambos os gráficos.
Podemos então esboçar os gráficos:
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