Lista de Exercícios - Matrizes

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A´LGEBRA LINEAR - AL22G - 01/2016
Professor: Geovani Raulino
Lista de exerc´ıcios 1 - Matrizes
1. Calcule A + B, A−B, 2.A− 3.B e (−4).A + 3.B, onde A =
−1 83 −2
7 0
 e B =
3 01 0
0 −2
.
2. Seja C = (Cij)2×3 a soma das matrizes A =
[
0 1 2
3 4 5
]
e B =
[
6 7 8
9 10 11
]
. Calcule a soma
c21 + c22 + c23.
3. Dadas A =
[
1 2
2 3
]
, B =
[
0 5
7 6
]
e C =
[
−1 7
5 −2
]
, determine a matriz X tal que
X + A = B − C.
4. Determine os valores de x e y, para que4 y
2 1
3 2x 5
6 x −1
 =
4 4 13 −3y x− y
6 y + 5 −1

5. Sejam A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[
−2 0 1
3 0 1
]
, C =
−12
4
 e D = [2 −1]. Calcule:
(a) A + B
(b) (A + B).C
(c) D.A + D.B
(d) C.D
(e) (4.A− 3.B).C
(f) D.(2.A + 4.B)
6. Dadas as matrizes:
A =

1 −2
3 1
7 −4
5 9
, B =
[
1 3 −5 −7
6 2 −8 3
]
, C =
[
2 4
−3 5
]
e D =

1 7 3 −8
−3 −1 −1 −3
4 1 9 0
5 3 2 −3
 ,
calcule:
(a) A.B;
(b) A.C;
(c) A.(B.D);
(d) At e Bt;
(e) C.C;
(f) (B.A)t.
1
7. Sejam A =
[
2 5 −1
3 1 4
]
e B =
[
1 4
6 3
]
.
(a) Determine At e Bt.
(b) Efetue, se poss´ıvel, os produtos: A.Bt e Bt.A.
8. Determine o valor de x, de tal forma que a matriz
 0 x
2 − 1 −3
x + 1 2 x2 + 4
−3 4x −1
 seja sime´trica.
9. Se for verdadeiro deˆ uma breve justificativa, se for falso deˆ um contra-exemplo.
(a) (A + B)t = Bt + At.
(b) Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas enta˜o AB = BA.
(c) Se A.B = 0m×n, enta˜o B.A = 0m×n.
(d) Se podemos efetuar o produto A.A, enta˜o A e´ uma matriz quadrada.
10. Dadas as matrizes A =
 1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
, B =
 1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2
 e C =
 2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0
,
mostre que A.B = A.C.
11. Dadas as matrizes A =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 −4
, B =
 −1 3 51 −3 −5
−1 3 5
 e C =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3

(a) Mostre que A.B = B.A = Om×n, A.C = A e C.A = C;
(b) Use os resultados de (a) para mostrar que A.C.B = C.B.A, A2−B2 = (A−B).(A+B)
(onde A2 = A.A e B2 = B.B).
2