Dimensionamento ao Cisalhamento

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Dimensionamento de concreto
armadoao cisalhamento
Estado de tensão cisalhante. Treliça de Mörsch. Modelos I e II para cálculo no Estado Limite Último.
Dimensionamento das armaduras transversais das peças estruturais.
Profa. Larissa Camporez Araújo
1. Itens iniciais
Propósito
É essencial para a formação de um engenheiro civil conhecer as tensões cisalhantes e os modelos de cálculo
utilizados para o dimensionamento das armaduras transversais dos elementos estruturais em concreto
armado, em construções de pequeno, médio ou grande porte.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de
seu smartphone/computador.
Objetivos
Identificar as tensões e a analogia envolvidas na treliça de Mörsch.
 
Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio
do modelo I no Estado Limite Último.
 
Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio
do modelo II no Estado Limite Último.
 
Calcular o dimensionamento da armadura transversal dos elementos estruturais em concreto armado.
Introdução
Assista ao vídeo de boas-vindas aos estudos de dimensionamento de estruturas de concreto armado ao
cisalhamento.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Aviso: orientações sobre unidades de medida.
Orientações sobre unidades de medida
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de
tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a
unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o
padrão internacional de separação dos números e das unidades.
• 
• 
• 
• 
1. Tensões e analogia envolvidas na treliça de Mörsch
Estudo das tensões e a treliça de Mörsch
Assista ao vídeo e saiba mais sobre as tensões e a analogia envolvidas na treliça de Mörsch.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Para um bom e correto dimensionamento dos elementos estruturais, é necessário que o engenheiro calculista
tenha domínio sobre as tensões que atuam nos elementos e a teoria envolvida em seu dimensionamento. Em
vigas, as principais tensões atuantes são:
A Imagem 1(a) apresenta uma viga biapoiada clássica com carregamento uniformemente distribuído (q) e
comprimento (L).
Imagem 1 – (a) Viga biapoiada com carregamento uniforme, seus diagramas de (b)
esforço cortante e (c) momento fletor.
Normal de flexão (σ) 
Provocada pelo momento fletor (M).
Cisalhante (τ) 
Provocada pelo esforço cortante (V).
Os esforços internos dessa viga são o esforço cortante e o momento fletor, cujos diagramas estão
representados nas imagens 1 (b) e (c), respectivamente. Observa-se que o momento fletor é máximo 
 
( 
 
 
 q
 ⋅
 
 L
 2
 
 
 8
 )
 
 
 no meio do vão, onde o cortante é nulo. Isso ocorre porque a função do esforço cortante é a
derivada da função do momento fletor. Para a viga em questão, o esforço cortante máximo ocorre em seus
apoios, e o valor é 
 
 
 q
 ⋅
 L
 
 2
 
.
Atenção
Nos tópicos seguintes, veremos como se relacionam as tensões normais e cisalhantes em uma viga, a
fim de obter as tensões principais no elemento. O foco de nosso estudo será o dimensionamento de
elementos submetidos ao cisalhamento. 
Estudos das tensões
No estudo das tensões, vamos desprezar a presença de armadura e considerar o elemento estrutural como
um material em concreto, homogêneo, elástico linear e que apresenta a razão da altura pelo comprimento
pequena. Desse modo, poderemos utilizar a expressão do cálculo de tensões normais com erros muito
pequenos, ou seja, admitindo a hipótese de seções planas que permanecem planas após as deformações.
 
Utilizaremos os conceitos da resistência dos materiais para o cálculo das tensões e adotaremos as seguintes
equações para tensão normal (σ) e tensão cisalhante transversal (τ), respectivamente:
Sendo:
σ = M I ⋅ y τ = V ⋅ Q t ⋅ I 
 
M o momento fletor atuante na seção.
 
I o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo do centro de gravidade.
 
y a distância entre o centro de gravidade da seção transversal e o ponto onde será calculada a tensão.
 
V o esforço cortante atuante na seção.
 
Q o momento de primeira ordem (ou momento estático) da área da seção transversal situada acima de
onde se deseja calcular a tensão (área A', representada na Imagem 2).
 
t a largura da seção transversal no ponto em que se deseja calcular a tensão de cisalhamento (na
Imagem 2, esse ponto pode estar localizado em qualquer posição sobre a linha vermelha).
Imagem 2 – Esquema que representa uma seção transversal genérica para o cálculo
da tensão cisalhante.
Na imagem anterior, NA representa o eixo que passa pelo centro de gravidade da seção transversal,
ou seja, a linha neutra; 
 
 
 
 
 y
 
 
 
 
 
 ′
• 
• 
• 
• 
• 
• 
 
 
 é a distância do ponto onde se deseja calcular a tensão cisalhante até a linha neutra;
 
 
 
 
 y
 
 ¯
 
 
 
 ′
 
 
 é a distância entre o centroide da área 
 
 A
 
 ′
 
 
 até a linha neutra, e 
 d
 x
 é um comprimento infinitesimal do elemento estudado.
Com a finalidade de simplificar o assunto das tensões atuantes em elementos estruturais, iremos restringir
nosso estudo das tensões para vigas de seção retangular nos tópicos seguintes.
Estudo das tensões em uma viga
No estudo de tensões, vamos considerar uma viga biapoada com seção retangular de altura (h) e base (b) ,
com carregamento distribuído uniformemente. Conforme mostra a Imagem 1, a viga vai estar submetida à
ação do momento fletor e do esforço cortante. Consequentemente, teremos tensão normal de flexão (σ) e
tensão de cisalhamento transversal (τ). Nessa situação, para uma seção qualquer da viga, a distribuição de
tensões ocorre como ilustra a Imagem 3.
Imagem 3 – Distribuição de tensões em viga de seção retangular com carregamento
uniformemente distribuído.
Na imagem anterior, podemos observar que a tensão normal de flexão tem distribuição linear com valor
máximo nas extremidades e nulo no eixo que passa pelo centroide (linha neutra). Para um momento positivo,
temos tensões de compressão acima da linha neutra e tensões de tração abaixo da linha neutra.
A tensão máxima de compressão ocorre na fibra superior com distância do centroide igual a 
ymáx,C, enquanto a tensão máxima de tração ocorre na fibra inferior, com distância do centroide
igual a ymáx,T. Esse conceito irá determinar a posição da armadura longitudinal no elemento
estrutural.
A tensão cisalhante tem o comportamento em formato de parábola. Se o esforço cortantebase b = 14cm, que será concretada com concreto de resistência à compressão fcw = 25 MPa e o aço utilizado para armação será o CA-50, marque a opção que apresenta a Asw que o engenheiro obteve em seus cálculos. (Utilizar o modelo de cálculo I e considerar:  d = 0 , 9 ⋅ h).
	Um engenheiro estrutural foi solicitado para fazer o cálculo da área de aço da armadura transversal (Asw) de uma viga a ser construída em uma área de ampliação de uma residência. Após realizar os cálculos dos esforços, o engenheiro encontrou uma força cortante solicitante de 120kN para uma viga que terá seção transversal com altura h = 40cm e base b = 14cm. A obra será concretada com concreto de resistência à compressão fck  = 30 MPa, e o aço utilizado para armação será o CA-50. O engenheiro obteve Asw uma igual a:
	(Utilizar o modelo de cálculo I e considerar  d = 0 , 9 ⋅ h).
	3. Dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio do modelo II no Estado Limite Último
	Estado Limite Último (NBR 6118) – modelo II
	Conteúdo interativo
	Saiba mais
	Formulação para o modelo II
	Tensões no modelo II
	Aplicação para o modelo II – Exemplo 1
	Conteúdo interativo
	Exemplo A
	Solução
	Exemplo B
	Solução
	Aplicação para o modelo II – Exemplo 2
	Solução
	Verificando o aprendizado
	4. Dimensionamento da armadura transversal dos elementos estruturais em concreto armado
	Cálculo da armadura transversal
	Conteúdo interativo
	Área e taxa de armadura transversal mínima
	Atenção
	Estribos
	Atenção
	A norma permite a utilização de barras transversais soldadas, devidamente ancoradas, combinadas com estribos fechados, mantida na proporção resistente de 60 % para as barras. Caso não sejam utilizados estribos, a totalidade da armadura transversal deve ser de barras soldadas.
	Cargas próximas aos apoios
	Saiba mais
	Exemplos de aplicação
	Conteúdo interativo
	a) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo I para os vãos 1 e 3
	b) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo I para o vão 2
	c) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo II para os vãos 1 e 3
	d) Dimensionar a armadura transversal utilizando o Modelo II para o vão 2
	Verificando o aprendizado
	Um engenheiro estrutural foi contratado para elaborar o projeto de expansão de uma residência e concluiu que, utilizando o modelo I de cálculo para a armadura transversal, para uma viga com altura útil da seção d = 50 cm, largura b = 14cm, seria necessária uma Asw de 5,51cm²/m para resistir a um esforço de cálculo de 160kN. Sabe-se que a obra será construída utilizando-se concreto com fck = 25MPa e aço CA 50. Desse modo, o dimensionamento da armadura transversal obtido pelo engenheiro foi:Dado: VRd2 = 303,75kN.
	Confira os cálculos:
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referênciasfor positivo – o que
ocorre até a metade do comprimento da viga, conforme se vê na Imagem 1b –, têm-se apenas tensões
cisalhantes positivas.
 
Ao contrário da tensão normal, a tensão cisalhante apresenta valores nulos nas extremidades e máximo na
linha neutra (Imagem 1b). Para uma seção com esforço cortante negativo, têm-se apenas tensões cisalhantes
negativas.
 
Para vigas com outras situações de carregamento, podem ocorrer seções com momentos negativos. Nesse
caso, acima da linha neutra, teremos tensões normais de flexão de tração e, abaixo da linha neutra, tensões
de compressão.
Imagem 3) 
Atenção
Vale lembrar que as tensões de compressão são consideradas negativas, e as tensões de tração,
positivas. 
O momento de inércia (I) e o momento estático (Q), para uma viga retangular com área (A) igual a 
 b
 ⋅
 h
, são dados, respectivamente, por:
Substituindo os valores na equação de tensão de cisalhamento, teremos, para a tensão cisalhante máxima em
uma seção retangular, a expressão dada por:
Tensões principais
Conhecidas as tensões atuantes em um ponto de uma seção, podemos obter o estado de tensões, as tensões
e as direções em qualquer plano desse ponto. O estado plano de tensões de determinado ponto do elemento
estrutural pode ser representado em uma visão bidimensional, como ilustra a Imagem 4.
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abaixo.
Imagem 4 – Estado plano de tensões.
A partir da visão bidimensional, podemos fazer um corte no elemento a partir de um ângulo (θ) e, desse modo,
determinar as tensões atuantes no plano dado por esse ângulo, por meio do equilíbrio estático, realizando o
somatório de forças obtidos pelo esquema obtido na Imagem 5.
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abaixo.
τ max x = 1 , 5 ⋅ V A 
Imagem 5 – Esquema para determinar as tensões em um plano qualquer do
elemento.
Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões normais principais – ou seja, seus valores máximo e
mínimo – ocorrem quando a tensão cisalhante é nula. Com isso, podemos determinar as tensões principais
para o estado plano de tensões (σ1 e σ2) de maneira analítica, utilizando a seguinte equação:
Sendo σ1 a tensão principal maior e σ2 a tensão principal menor. A direção dessas tensões é dada por:
A fim de compreendermos melhor a diferença entre as tensões atuantes em determinado ponto do elemento e
as tensões principais desse ponto, vamos observar as Imagens 6 e 7.
 
Na Imagem 6, temos uma viga engastada com carga pontual aplicada em sua extremidade livre. A Imagem 6
(b) mostra o corte a-a dessa viga, com os pontos de 1 a 5, cujos planos de tensões e as tensões principais de
cada ponto são apresentados na Imagem 7. Na Imagem 6 (c), tem-se representado a distribuição de tensões
atuantes na seção do corte a-a.
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abaixo.
Imagem 6 – (a) Viga engastata com carga pontual (b) corte da seção a-a (c)
distribuição de tensões.
Na Imagem 7, podemos observar que, nos pontos extremos 1 e 5, só atua a tensão normal, sendo, no ponto 1,
a tensão normal de tração e, no ponto 5, a tensão normal de compressão. Como a tensão cisalhante não atua
nesses pontos, a tensão normal de flexão já é a tensão principal.
 
Os pontos 2 e 4 são pontos intermediários, sendo o ponto 2 na região de tração e o 4 na região de
compressão. Como a tensão cisalhante atua nesses pontos, as tensões principais não atuam nesse plano e
precisam ser calculadas.
 
O ponto 3 da Imagem 6 (b) está posicionado sobre a linha neutra, de modo que, nesse ponto, não atua tensão
normal, apenas tensões cisalhantes, como ilustra a Imagem 7. Em situações como a do ponto 3, as tensões
principais ocorrem no plano (θ) = 45º.
Imagem 6 (b)
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abaixo.
Imagem 7 – Componentes de tensão e tensões principais da seção a-a da Imagem
6(a).
A importância de o engenheiro calculista conhecer as tensões principais de um elemento se justifica porque,
no concreto, as fissuras são perpendiculares à direção da tensão principal de tração. Desse modo, conhecida
a trajetória das tensões principais, é possível determinar as trajetórias das fissuras/trincas e, com isso,
determinar o posicionamento das armações do elemento estrutural.
 
A Imagem 8 ilustra a ocorrência de fissuras em um ponto posicionado sobre a linha neutra, onde têm-se
apenas tensões cisalhantes atuando.
Imagem 8 – Ocorrência de fissura em um ponto sobre a linha neutra de uma seção.
Treliça de Mörsch
Como vimos, em geral, as vigas são solicitadas ao momento fletor e ao esforço cortante. A armadura
longitudinal tem a função de resistir às tensões de flexão, e a armadura transversal, de resistir ao
cisalhamento. A ruptura ocorre por formação de fissuras inclinadas causadas pelos efeitos combinados de
momento fletor e esforço cortante.
O modelo de cálculo de um elemento em concreto armado resistente à tensão cisalhante é
complexo, uma vez que a resistência ao cisalhamento depende de diversos fatores. Entre tais
fatores, podemos citar: geometria do elemento, classe do concreto, armadura longitudinal de
flexão, carregamento, vão, tipo de aço etc.
Com a finalidade de simplificar os cálculos, W. Ritter e Mörsch apresentaram uma teoria para o
dimensionamento da armadura de cisalhamento que considerava o mecanismo resistente da viga no estado II
(fissurada) associado ao de uma treliça, em que as armaduras e o concreto equilibram o esforço cortante de
forma conjunta.
 
Ritter e Mörsch propuseram uma analogia entre a viga fissurada e a treliça. Nessa analogia, o banzo superior
representa o cordão de concreto comprimido, o banzo inferior representa a armadura longitudinal de flexão 
(A8), as diagonais comprimidas representam as bielas de concreto entre as fissuras, e as diagonais
tracionadas representam a armadura transversal (de cisalhamento (Asw), Essa analogia é ilustrada na Imagem
9.
Imagem 9 – Analogia de Ritter e Mörsch.
As hipóteses básicas consideradas para a analogia foram: fissuras (bielas de compressão) com inclinação de
45°, banzos paralelos, treliça isostática (sem engastamento nos nós) e armadura de cisalhamento (estribos)
com inclinação entre 45° e 90°.
 
A tensão principal de tração (σ1) será resistida pela armadura de cisalhamento (Asw) que deverá atravessar as
fissuras. Já a tensão principal de compressão (σ2) será resistida pelo concreto comprimido localizado entre as
fissuras (bielas de concreto).
Saiba mais
A ABNT NBR 6118:2014 admite dois métodos de cálculo para verificação do cisalhamento: Modelo de
cálculo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch. Modelo de cálculo II: treliça generalizada de Mörsch. 
Para resistir aos esforços de cisalhamento, podemos utilizar armaduras no formato de estribos (que serão
vistos no módulo 4) e barras dobradas. Nos módulos seguintes, serão apresentados os modelos de cálculo
admitidos pela norma, considerando os estribos como armadura cisalhante.
Verificando o aprendizado
Questão 1
O estudo das tensões em um elemento estrutural é de extrema importância para a
determinação do seu dimensionamento. Portanto, o engenheiro estrutural precisa conhecer a
trajetória de tensões atuantes nos elementos. Para a seção de uma viga, submetida às
tensões normal e cisalhante, pode-se afirmar que:
A A tensão cisalhante é máxima nas extremidades da seção transversal.
B A tensão normal tem comportamento em forma de parábola na seção transversal.
C Na linha neutra da seção transversal, a tensão normal é nula e a tensão cisalhante é máxima.
D Na linha neutra da seção transversal, a tensão normal é máxima e a tensão cisalhante é nula.
E Na linha neutra da seção transversal, tanto a tensão normal quanto a tensão cisalhante são nulas.
A alternativa C está correta.
A tensão cisalhante é máxima na linha neutra; a tensãonormal tem comportamento linear e, sobre a linha
neutra da seção transversal, a tensão normal é nula, enquanto a tensão cisalhante é máxima.
Questão 2
Na analogia da treliça proposta por Ritter e Mösch, a armadura transversal (Asw) é
representada pelo:
A Banzo superior.
B Banzo inferior.
C Diagonais comprimidas.
D Diagonais tracionadas.
E Bielas.
A alternativa D está correta.
Na analogia da treliça, o banzo superior representa o cordão de concreto comprimido, o banzo inferior
representa a armadura longitudinal de flexão, as diagonais comprimidas representam as bielas de concreto,
e as diagonais tracionadas representam a armadura transversal.
2. Dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio do
modelo I no Estado Limite Último
Estado Limite Último (NBR6118) – modelo I
Assista ao vídeo e saiba mais sobre a formulação de cálculo I e exemplo de aplicação.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, o Modelo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch admite bielas com inclinação θ
= 45º e esforço cortante resistido por outros mecanismos (Vc) na seção, independentemente do esforço
cortante de cálculo. Deve-se fazer as seguintes verificações do dimensionamento no Estado Limite Último à
força cortante (ELU-V):
 
Compressão da diagonal do concreto (biela) – consiste em verificar a ruptura por compressão das
diagonais de concreto.
 
Cálculo da armadura transversal – consiste em determinar a bitola do aço e o espaçamento entre
ramos.
 
Força cortante resistida para determinada quantidade de aço – consiste em verificar se a armadura
utilizada será capaz de resistir ao esforço cortante aplicado na seção.
 
Desse modo, a condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são verificadas e
atendidas, simultaneamente, as duas condições a seguir:
a) Não esmagamento das bielas de concreto
Sendo VSd o esforço cortante de cálculo obtido por:
Onde VG é o esforço cortante solicitante devido às forças permanentes, VQ é o esforço cortante solicitante
devido às forças variáveis e VRd2 é a força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das
bielas de concreto.
• 
• 
• 
b) Dimensionamento da armadura transversal
Sendo VRd3 a força cortante de cálculo máxima resistida pela diagonal tracionada, VC a força cortante
resistida por outros mecanismos e Vsw a força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal.
 
A seguir, serão apresentadas as formulações para o modelo I e exemplos de aplicação.
Formulação para o modelo I
Para obter as formulações que levam às verificações solicitadas pela norma, iremos considerar a Treliça de
Mörsch da Imagem 10, na qual o banzo superior e as diagonais comprimidas estão em azul; e o banzo inferior
e as diagonais tracionadas, em vermelho. As setas indicam as forças internas referentes aos cortes a-a e b-b.
 
Na formulação utilizada em nosso estudo, iremos considerar os estribos na posição vertical, ou seja, com
ângulo de 90°.
Imagem 10 – Treliça de Mörsch com representação dos cortes e forças internas.
Os estribos verticais apresentam execução mais fácil. São elementos independentes, de modo que podem ser
melhor distribuídos e ter um diâmetro menor do que as barras longitudinais, o que favorece a aderência e a
fissuração. Além disso, auxiliam na montagem da armadura longitudinal e podem resistir sozinhos a todo o
esforço cortante. Também auxiliam na distribuição de tensões de tração produzidas pela transmissão de
esforços entre concreto e aço.
 
A Imagem 11 apresenta, de forma esquemática, as forças e as distâncias referentes ao corte a-a. Sendo a
força Fc de compressão no concreto, F8 a força de tração da armadura longitudinal e C a força de compressão
das bielas de concreto, que é dada por:
Nesse caso, o coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante (v) é dado por:
Imagem 11 – Corte a-a da treliça de Mörsch.
Do esquema da Imagem 11, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
Para o modelo I, em que θ  = 45º, temos que:
Para a formulação de cálculo da armadura transversal, iremos utilizar o corte b-b da Imagem 10, que está
representado na Imagem 12.
Imagem 12 – Corte b-b da treliça de Mörsch.
Do esquema da Imagem 12, podemos realizar o somatório das forças verticais. Com isso, temos:
Onde Vc,  para o modelo I de cálculo, é dado por:
Para elementos tracionados, quando a linha neutra se situa fora da seção:
Para elementos submetidos à flexão simples e flexo-tração, com a linha neutra cortando a seção:
Sendo fctd a resistência de cálculo do concreto à tração, que é igual a:
Em que fctk é a resistência característica do concreto à tração e é dada por:
Onde fctm é a resistência média do concreto à compressão e é calculada pela equação:
Sendo assim,
Onde fywd é a resistência de cálculo de escoamento do aço da armadura transversal, dada por:
• 
• 
Sendo fywk a resistência característica de escoamento do aço da armadura transversal. Para aço CA-50, fywk =
500 MPa, e para aço CA-60, fywk = 600 MPa.
 
Teremos:
 
Como o modelo I considera θ = 45º, a área de aço da armadura transversal será dada por:
Onde s é o espaçamento longitudinal entre estribos, sendo utilizado igual a 100cm para obter Asw em cm²/m.
É importante observar que 
 
 
 A
 
 s
 w
 
 
 s
 
 é a armadura transversal por unidade de comprimento da viga, e Asw é a área de todos os ramos
verticais do estribo.
 
Como é mais conveniente trabalharmos com valores adimensionais, iremos determinar 
 
 ρ
 
 s
 w
 ,
 α,
 
 
 que é a taxa geométrica da armadura transversal. Ela é determinada em função do ângulo do estribo,
α, e, como estamos adotando o estribo vertical, ou seja, α = 90º, a equação será dada por:
Ao comparar as taxas de aço do estribo com α = 90º  e uma barra de aço dobrada com α = 45º , verifica-se
que as taxas são iguais, de modo que o custo é o mesmo. No entanto, a barra dobrada apresenta uma série
de desvantagens, como:
 
Execução mais difícil, utilizada junto aos estribos, podendo resistir a, no máximo, 60% do Esforço
Cortante.
 
Tem bitola maior do que os estribos, prejudicando o controle de fissuração.
 
Apresenta deficiência na ancoragem das bielas comprimidas junto à região tracionada.
 
Caso só haja barras dobradas, aparece um efeito de fendilhamento junto à ancoragem da biela.
 
Pelos motivos citados, não serão desenvolvidas as formulações que consideram 
 
 45
 
 ∘
 
 
 ≤
 α
 
 
 90
 
 ∘
 
 
.
Com o avanço das pesquisas experimentais utilizando o modelo I, verificou-se que os cálculos realizados com
esse modelo conduziam a uma armadura transversal exagerada. Isso significa que a tensão real atuante na
armadura é menor do que a obtida nos cálculos. Os pesquisadores atribuíram essa diferença a alguns fatores,
como:
 
A treliça é hiperestática, e não isostática, como considerada no modelo. Desse modo, os nós
não podem ser considerados como articulações perfeitas.
Nas regiões com maior força cortante, a inclinação das fissuras é menor do que 45°. No
modelo I, admite-se que a inclinação das fissuras seja de 45°.
Uma parte do esforço cortante é absorvido na região do concreto comprimido, por conta dos
esforços de flexão.
• 
• 
• 
• 
Os banzos não são paralelos conforme considerado. O banzo superior, comprimido, é
inclinado.
As bielas de concreto comprimidasestão parcialmente engastadas na ligação com o banzo
comprimido, portanto, são submetidas a esforços de flexocompressão, o que alivia os
montantes ou diagonais tracionadas.
As bielas são mais rígidas do que os montantes ou diagonais tracionadas, e absorvem uma
parcela maior do esforço cortante do que a determinada no modelo I.
A quantidade de armadura longitudinal influencia o esforço da armadura transversal, o que
também não é considerado no modelo I.
 
O Modelo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch é um modelo mais simplificado, que garante valores mais
conservadores para área de armadura transversal (Asw). No próximo módulo, será apresentado o modelo II de
cálculo.
Tensões no modelo I
As tensões, por definição matemática, são força dividida pela área. A seguir, apresentamos as tensões
envolvidas na formulação do ELU-V para o modelo I:
 
a) Tensão resistida por outros mecanismos (τc) – é a tensão relativa à força cortante dos mecanismos, que
corresponde ao engrenamento ocorrido entre as partes de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a
resistência da armadura longitudinal, que é utilizada como apoio para as bielas de concreto (Vc). É dada pela
equação:
b) Tensão cisalhante solicitante de cálculo (τSd) – é a tensão que corresponde à força cortante solicitante de
cálculo que atua na seção (VSd). É dada pela equação:
c) Tensão combatida pela armadura transversal (τSw)  – é a tensão que corresponde à força cortante de
cálculo resistida pela armadura transversal (VSw) . É dada pela equação:
d) Tensão máxima resistida pela biela de concreto comprimida (τR2d)  – é a tensão que corresponde à força
cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto (VR2d)  . É dada pela
equação:
As formulações de dimensionamento para o ELU-V podem ser obtidas por meio das tensões. A verificação do
esmagamento das bielas de concreto pode ser realizada pela comparação:
E a área da armadura transversal pode ser obtida por meio da relação:
Aplicação para o modelo I – Exemplo 1
O carregamento de cálculo e o diagrama de esforço cortante da Viga 1 de um sistema estrutural é mostrado
na Imagem 13. Os vãos da viga apresentam comprimento de 5,0m, e os carregamentos são 48,0kN/m nos
vãos 1 e 3, e 36kN/m no vão 2. A viga apresenta seção transversal com altura h = 50cm e base b = 15cm. O
concreto a ser utilizado terá resistência característica à compressão fck = 30 MPa, e o aço será o CA-50.
Imagem 13 – Viga e seu diagrama de esforço cortante do exemplo.
Exemplo A
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço da armadura transversal
a ser utilizada nos vãos 1 e 3.
Solução
Verificação do esmagamento das bielas de concreto
 
Temos:
• 
Considerando, 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
 
• Área de aço da armadura transversal
 
Temos:
Considerando, 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
Exemplo B
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço transversal a ser
utilizada no vão 2.
Solução
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
Considerando, 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
 
• Área de aço da armadura transversal
Considerando, 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
Aplicação para o modelo I – Exemplo 2
O proprietário de uma casa resolveu acrescentar um andar para construção de um quarto de visitas sobre a
área gourmet, que fica nos fundos da casa. Para isso, contratou um engenheiro calculista que, de posse do
projeto estrutural, retirou as seguintes informações de uma viga existente:
 
Altura: h = 50cm
 
Base: b = 14cm
 
Concreto: fck = 25 MPa
 
Aço: CA-50
 
Área de aço da armadura transversal: Asw = 5,40cm²/m
 
Com essas informações, vamos determinar o esforço cortante máximo que essa viga suporta, calculado pelo
engenheiro.
Solução
Considerando, 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
• 
• 
• 
• 
• 
O maior esforço cortante solicitante (VS) que poderá ser aplicado a essa viga será:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Um engenheiro calculista, de posse de um projeto estrutural, precisou verificar se a área de
aço da armadura transversal (Asw) estava correta. Para tanto, refez os cálculos.
Sabendo que o esforço cortante de cálculo máximo do vão é de 160kN, que a viga possui
seção transversal com altura h = 55cm e base b = 14cm, que será concretada com concreto
de resistência à compressão fcw = 25 MPa e o aço utilizado para armação será o CA-50,
marque a opção que apresenta a Asw que o engenheiro obteve em seus cálculos. 
(Utilizar o modelo de cálculo I e considerar: 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
).
A 1,84 cm² / m.
B 2,53 cm² / m.
C 3,24 cm² / m.
D 4,96 cm² / m.
E 5,51 cm² / m.
A alternativa E está correta.
Confira o cálculo:
Questão 2
Um engenheiro estrutural foi solicitado para fazer o cálculo da área de aço da armadura
transversal (Asw) de uma viga a ser construída em uma área de ampliação de uma residência.
Após realizar os cálculos dos esforços, o engenheiro encontrou uma força cortante solicitante
de 120kN para uma viga que terá seção transversal com altura h = 40cm e base b = 14cm. A
obra será concretada com concreto de resistência à compressão fck  = 30 MPa, e o aço
utilizado para armação será o CA-50. O engenheiro obteve Asw uma igual a:
 
(Utilizar o modelo de cálculo I e considerar 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
).
A 3,64 cm² / m.
B 4,85 cm² / m.
C 5,76 cm² / m.
D 6,52 cm² / m.
E 8,82 cm² / m.
A alternativa E está correta.
Confira cálculo.
3. Dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio do
modelo II no Estado Limite Último
Estado Limite Último (NBR 6118) – modelo II
Assista ao vídeo e confira as alterações do modelo I para o modelo II e exemplo de aplicação do modelo II.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Por conta das simplificações da estrutura adotada para a formulação do Modelo I: treliça clássica de Ritter e
Mörsch, foram obtidos valores bem acima do necessário para a área de armadura transversal utilizada para
resistir ao cisalhamento. No entanto, é extremamente complexo introduzir todas as variáveis no cálculo da
treliça, visto que levaria a dificuldades matemáticas consideráveis.
 
A Treliça Generalizada de Mörsch (modelo II) também é um modelo simplificado, mantendo os princípios do
modelo da treliça. No entanto, para essa formulação, foram considerados resultados de ensaios.
Saiba mais
Na ABNT NBR 6118:2014, o Modelo II: treliça generalizada de Mösch admite bielas com inclinação de
 30 ∘ ≤ θ ≥ 45 ∘ . O esforço cortante resistido por outros mecanismos (Vc) na seção sofre redução com o
aumento do esforço cortante de cálculo (VSd) . 
Além disso, deve-se fazer as seguintes verificações para o dimensionamento no Estado Limite Último à Força
Cortante (ELU-V):
 
Compressão da diagonaldo concreto (biela).
 
Cálculo da armadura transversal.
 
Força cortante resistida para determinada quantidade de aço.
 
Desse modo, a condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são verificadas e
atendidas simultaneamente, pelo ELU-V, as duas condições seguintes:
 
Não esmagamento das bielas de concreto
• 
• 
• 
• 
Dimensionamento da armadura transversal
Formulação para o modelo II
Para obter as formulações que levam às verificações solicitadas pela norma, iremos considerar novamente a
Treliça de Mörsch da Imagem 10, na qual o banzo superior e as diagonais comprimidas estão em azul, e o
banzo inferior e as diagonais tracionadas em vermelho.
Imagem 10 – Treliça de Mörsch com representação dos cortes e forças internas.
As setas indicam as forças internas referentes aos cortes a-a e b-b. Na formulação utilizada neste conteúdo,
iremos considerar os estribos na posição vertical, ou seja, com ângulo de 90°.
 
A Imagem 11 apresenta, de forma esquemática, as forças e as distâncias referentes ao corte a-a.
Imagem 11 – Corte a-a da treliça de Mörsch.
Sendo Fc a força de compressão no concreto, F8 a força de tração da armadura longitudinal e C a força de
compressão das bielas de concreto, que é dada por:
• 
Onde o coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante (v) é dado por:
Do esquema da Imagem 11, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
No modelo II temos: 
 
 30
 
 ∘
 
 
 ≤
 θ
 ≥
 
 45
 
 ∘
 
 
.
 
Para a formulação de cálculo da armadura transversal, iremos utilizar o corte b-b da Imagem 10, que está
representado na Imagem 12.
Imagem 12 – Corte b-b da treliça de Mörsch.
Do esquema da Imagem 12, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
Onde Vc para o modelo II de cálculo é dado por:
 
Para elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção:
Para elementos submetidos à flexão simples e flexo tração com a linha neutra cortando a seção, iremos
considerar a seguinte formulação:
Sendo fctd a resistência de cálculo do concreto à tração, que é igual a:
Em que, fctk é a resistência característica do concreto à tração e é dada por:
Onde fctm é a resistência média do concreto à compressão, e é calculada por meio da equação:
• 
• 
Sendo assim,
Logo,
Onde s é o espaçamento longitudinal entre estribos, sendo utilizado igual a 100cm para obter Asw em cm² / m.
É importante observar que 
 
 
 A
 
 s
 w
 
 
 s
 
 é a armadura transversal por unidade de comprimento da viga e Asw é a área de todos os ramos
verticais do estribo. No modelo II, temos: 
 
 30
 
 ∘
 
 
 ≤
 θ
 ≥
 
 45
 
 ∘
 
 
.
 
Como é mais conveniente trabalharmos com valores adimensionais, iremos determinar 
 
 ρ
 
 s
 w
 ,
 α
 
 
, que é a taxa geométrica da armadura transversal. Ela é determinada em função do ângulo do
estribo, α, e, como aqui estamos adotando o estribo vertical, ou seja, α = 90º, a equação será dada por:
O modelo II é dito refinado quando utilizamos 
 θ
 =
 
 30
 
 ∘
 
 
 .
Tensões no modelo II
Já sabemos que as tensões, por definição matemática, são força dividida pela área. Neste tópico, serão
apresentadas as tensões envolvidas na formulação do ELU-V para o Modelo II.
 
a) Tensão resistida por outros mecanismos (τc) é a tensão relativa à força cortante dos mecanismos, que
corresponde ao engrenamento ocorrido entre as partes de concreto separadas pelas fissuras inclinadas e a
resistência da armadura longitudinal, que é utilizada como apoio para as bielas de concreto (Vc). É dada pela
equação:
b) Tensão cisalhante solicitante de cálculo (τSd) é a tensão que corresponde à força cortante solicitante de
cálculo que atua na seção (VSd). É dada pela equação:
c) Tensão combatida pela armadura transversal (τSw) é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo
resistida pela armadura transversal (VSw). É dada pela equação:
d) Tensão máxima resistida pela biela de concreto comprimida (τRd2) é a tensão que corresponde à força
cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto (VRd2). É dada pela
equação:
As formulações de dimensionamento para o ELU-V podem ser obtidas por meio das tensões. A verificação do
esmagamento das bielas de concreto pode ser realizada comparando:
E a área da armadura transversal pode ser obtida pela relação:
Aplicação para o modelo II – Exemplo 1
A fim de realizarmos uma comparação entre os valores de Asw obtidos para o modelo I (θ = 45º) e para o
modelo II refinado (θ = 30º), iremos realizar os mesmos exemplos que vimos no módulo 2, mas com , no
modelo II.
 
O carregamento de cálculo e o diagrama de esforço cortante da Viga 1 de um sistema estrutural é mostrado
na Imagem 13, que é repetida a seguir. Os vãos da viga apresentam comprimento de 5,0m, e os
carregamentos são 48,0kN/m nos vãos 1 e 3, e 36kN/m no vão 2. A viga apresenta seção transversal com
altura h = 50cm e base b = 15cm. O concreto a ser utilizado terá resistência característica à compressão fck =
30 MPa, e o aço será o CA-50.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para ver mais detalhes da imagem
abaixo.
Imagem 13 – Viga e seu diagrama de esforço cortante do exemplo.
Exemplo A
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço da armadura transversal
a ser utilizada nos vãos 1 e 3.
Solução
• Verificação do Esmagamento das bielas de concreto.
 
Temos:
Considerando 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
 
• Área de aço da armadura transversal.
 
Temos:
Como 
 
 V
 
 S
 d
 
 
 >
 
 V
 0
 
, pois 
 141
 k
 N
 >
 58
 ,
 64
 k
 N
 ,
 
 V
 c
 
 é dado por:
Considerando 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
No exemplo, Asw do modelo refinado foi de 3,62cm²/m, enquanto do modelo I foi 4,68cm²/m. Desse modo,
utilizando-se o modelo de cálculo I, obteve-se uma taxa de armadura de cerca de 39% maior do que
utilizando-se o modelo de cálculo II com θ = 30º. Além da redução da taxa de armadura, pela formulação do
modelo refinado, também se observou uma redução da força cortante de cálculo máxima resistida por
compressão diagonal das bielas de concreto (VRd2).
Exemplo B
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço transversal a ser
utilizada no vão 2.
Solução
• Verificação do Esmagamento das bielas de concreto.Temos:
Considerando 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
 
• Área de aço da armadura transversal.
 
Temos:
Como 
 
 V
 
 S
 d
 
 
 >
 
 V
 0
 
, pois 
 141
 k
 N
 >
 90
 k
 N
 ,
 
 V
 c
 
 é dado por:
Considerando 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
Como era esperado, Asw e (VRd2) no modelo refinado foram menores do que os valores encontrados utilizando
o Modelo I de cálculo.
Aplicação para o modelo II – Exemplo 2
O proprietário de uma casa resolveu acrescentar um andar para construção de um quarto de visitas sobre a
área gourmet, que fica nos fundos da casa. Para isso, contratou um engenheiro calculista de posso do projeto
estrutural, retirou as seguintes informações de uma viga existente:
 
Altura: h = 50cm.
 
Base: b = 14cm.
 
Concreto: fck = 25MPa.
 
Aço: CA-50.
 
Área de aço da armadura transversal: Asw =  5,40cm²/m.
 
Com essas informações, determine o esforço cortante máximo que essa viga suporta.
Solução
Calculando:
Considerando 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
, temos:
• 
• 
• 
• 
• 
Como 
 
 V
 
 S
 d
 
 
 >
 
 V
 0
 
, e calcular 
 V
 c
 
 é dado por:
O maior esforço cortante solicitante (VS) que poderá ser aplicado a essa viga será:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Um engenheiro projetista, ao analisar um projeto estrutural, verificou ser necessário recalcular área de aço da
armadura transversal (Asw). Sabendo que o esforço cortante solicitante de cálculo máximo do vão era de 
160kN, , que a viga possui seção transversal com altura h = 55cm e base b = 14cm, que será concretada com
concreto de resistência à compressão fcw = 25 MPa e o aço utilizado para armação será o CA-50, marque a
opção que apresenta a Asw que o engenheiro obteve em seus cálculos.
 
Utilizar o modelo de cálculo II com 
 θ
 =
 
 30
 
 ∘
 
 
.
 
Considere: 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
).
A 4,50 cm²/m
B 4,00 cm²/m
C 3,50 cm²/m
D 3,00 cm²/m
E 2,50 cm²/m
A alternativa B está correta.
Confira o cálculo:
Como: 
 
 V
 
 S
 d
 
 
 >
 
 V
 0
 
 ,
, pois: 
 160
 k
 N
 >
 53
 ,
 31
 k
 N
 ,
 
 V
 c
 
 é dado por:
Questão 2
Um engenheiro foi consultado para fazer o cálculo da área de aço da armadura transversal (Asw) de uma viga
a ser construída em uma área de ampliação de uma sobreloja. Após realizar os cálculos dos esforços, o
engenheiro encontrou uma força cortante solicitante de cálculo igual 120kN, para uma viga que terá seção
V c = V R d 2 − V S d V R d 2 − V 0 ⋅ V 0 = 260 , 42 − 160 260 , 42 − 53 , 31 ⋅ 53 , 31 V
c = 25 , 85 kN A s w = V S d − V c ⋅ s 0 , 9 ⋅ d ⋅ f y w d ⋅ cot θ = ( 160 − 25 , 85 ) ⋅ 100 0
, 9 ⋅ 0 , 9 ⋅ 55 ⋅ 50 1 , 15 ⋅ cot 30 A s w = 4 , 00 cm 2 / m 
transversal com altura h = 40cm e base b = 14cm. A obra será concretada com concreto de resistência à
compressão fcw = 30 MPa o aço utilizado para armação será o CA-50. O engenheiro obteve uma Asw igual a:
 
Utilizar o modelo de cálculo II com 
 θ
 =
 
 30
 
 ∘
 
 
.
 
Considere: 
 d
 =
 0
 ,
 9
 ⋅
 h
).
A 2,42 cm²/m
B 2,98 cm²/m
C 3,34 cm²/m
D 3,89 cm²/m
E 4,25 cm²/m
A alternativa D está correta.
Confira o cálculo:
Como: 
 
 V
 
 S
 d
 
 
 >
 
 V
 0
 
 ,
, pois: 
 120
 k
 N
 >
 543
 ,
 78
 k
 N
 ,
 
 V
 c
 
 é dado por:
f c t m = 0 , 3 ⋅ f c k 2 / 3 = 0 , 3 ⋅ 30 2 / 3 = 0 , 2896 M P a f c t k = 0 , 7 ⋅ f c t m = 0 , 7
⋅ 0 , 2896 = 2 , 0272 M P a f c t d = f c t k 1 , 4 = 2 , 0272 1 , 4 = 1 , 448 M P a v = 0 , 6 ⋅
1 − f c k 250 = 0 , 6 ⋅ 1 − 30 250 = 0 , 528 V R d 2 = 0 , 45 ⋅ b ⋅ d ⋅ v ⋅ f c d ⋅ sin 2 θ = 0
, 45.14 ⋅ 0 , 9 ⋅ 40 ⋅ 0 , 528 ⋅ 3 , 0 1 , 4 ⋅ sin 60 = 222 , 23 k N V 0 = 0 , 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ f c t d
= 0 , 6 ⋅ 14 ⋅ 0 , 9 ⋅ 40 ⋅ 0 , 1448 = 43 , 78 k N 
V c = V R d 2 − V S d V R d 2 − V 0 ⋅ V 0 = 222 , 23 − 120 222 , 23 − 43 , 78 ⋅ 43 , 78 V
c = 25 , 08 kN A s w = V S d − V c ⋅ s 0 , 9 ⋅ d ⋅ f y w d ⋅ cot θ = ( 120 − 25 , 08 ) ⋅ 100 0
, 9 ⋅ 0 , 9 ⋅ 40 ⋅ 50 1 , 15 ⋅ cot 30 A s w = 3 , 89 cm 2 / m 
4. Dimensionamento da armadura transversal dos elementos estruturais em concreto armado
Cálculo da armadura transversal
Assista ao vídeo e confira um exemplo completo de dimensionamento de uma viga submetida ao estado limite
último de esforço cortante para os dois modelos de cálculo.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Nos módulos anteriores, estudamos o comportamento das tensões normais e cisalhantes no elemento e vimos
as formulações para os dois modelos de cálculos admitidos pela NBR 6118:2014 para o dimensionamento de
elementos submetidos ao cisalhamento. Ambos os modelos de cálculo apresentam formulações para a
verificação do esmagamento das bielas de concreto comprimidas e para a determinação da área de aço da
armadura transversal.
 
Neste módulo, iremos acrescentar alguns requisitos da norma para o dimensionamento da armadura
transversal. Veremos os conceitos e formulações para área e taxa de armadura transversal mínima e
dimensionamento dos estribos. Em seguida, será apresentado um exemplo completo de dimensionamento de
uma viga quanto ao ELU-V.
Área e taxa de armadura transversal mínima
A área de armadura transversal mínima (Asw,mín)  é área mínima que pode ser adotada no dimensionamento da
armadura. Ou seja, nos cálculos de ASw utilizando o modelo I ou o modelo II, caso aconteça de obter um valor
de ASw  > ASw,mín, deve-se adotar para o projeto Asw,mín, que, segundo a ABNT NBR 6118:2014, pode ser
obtida pela equação:
Além da área de aço de armadura transversal mínima, também pode-se calcular a taxa mínima de armadura
transversal 
 
 
 
 ρ
 
 w,
 min
 
 
 
 
 por meio da equação:
Atenção
Lembrando que as formulações devem considerar estribos na posição vertical. 
A seguir, serão apresentados o dimensionamento e o detalhamento dos estribos.
Estribos
Os estribos, utilizados para resistir ao cisalhamento, podem ser utilizados fechados ou abertos. Segundo a
ABNT NBR 6118:2014, os estribos precisam ter um ramo horizontal que envolvam as barras da armadura
longitudinal de tração, que é a região de apoio das bielas de concreto, e precisam ser ancorados na
extremidade oposta.
Atenção
Se a extremidade estiver em região tracionada, o estribo deverá ter o ramo horizontal fechado ou
completado por barra adicional. 
A Imagem 14 mostra como os estribos vêm identificados no projeto estrutural de uma viga. Na parte superior
da viga V8, tem-se a informação: N3 c/12, 28 ϕ 5. Lê-se da seguinte forma: na posição N3, têm-se estribos
com diâmetro de 5mm, espaçados a cada 12cm; no comprimento da viga entre o pilar P11 e o pilar P4, serão
necessárias 28 peças desse estribo que está representado no corte A. Nesse corte, temos a posição do
estribo na seção transversal e as medidas de cada ramo (22cm para os ramos verticais e 9cm para os ramos
horizontais). O comprimento total de uma peça desse estribo, que é fechado, é de 77cm, já incluso as dobras.
Imagem 14 – Identificação da armadura transversal (estribos) no projeto de uma
viga.
Na Imagem 15, são apresentados os principais tipos de estribos. Os estribos simples fechado e aberto
possuem dois ramos; o estribo duplo fechado possui quatro ramos, e o estribo triplo fechado que possui 6
ramos. Os ramos são obtidos fazendo-se um corte horizontal no estribo. A quantidade de barras “cortadas” é
a quantidade de ramos do estribo.
Imagem 15 – Principais tipos de estribos.
O espaçamento (s) entre estribos é dado pela equação:
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, o diâmetro da barra do estribo 
 
 
 
 (ϕ
 t
 
) 
 
 precisa atender aos seguintes limites: 
 5
 m
 m
 
 
 ϕ
 t
 
 
 
 b
 10
 
. Para barras lisas, o diâmetro não pode ser superior a 12mm. Já em caso de estribos formados por
telas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser reduzido para 4,2mm, desde que tomados os cuidados contra a
corrosão. O ângulo de inclinação das armaduras transversais em relação ao eixo do elemento estrutural 
 (
 α
 )
 deve estar entre 45° e 90°. No entanto, devido à facilidade de montagem, na maioria dos projetos, os
estribos são posicionados na vertical com 
 α
 =
 
 90
 
 ∘
 
 
.
A norma permite a utilização de barras transversais soldadas, devidamente ancoradas,
combinadas com estribos fechados, mantida na proporção resistente de 60 % para as barras. Caso
não sejam utilizados estribos, a totalidade da armadura transversal deve ser de barras soldadas.
A ABNT NBR 6118:2014 estabelece o espaçamento máximo entre estribos á e o espaçamento (smáx)
transversal (st,máx). O espaçamento mínimo entre estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento
estrutural, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador para obter um bom adensamento do
concreto. O smáx deve atender às seguintes condições:
Já o st,máx, medido entre ramos sucessivos de estribos, não poderá exceder os seguintes valores:
A Imagem 16 ilustra, de forma esquemática, a representação de smáx e st,máx nos cortes da viga longitudinal e
transversal, respectivamente.
Imagem 16 – Representação esquemática de smáx e st,máx.
Cargas próximas aos apoios
Ensaios experimentais com medição da tensão nos estribos mostraram que o modelo de treliça desenvolvido
para as vigas é efetivamente válido após uma pequena distância dos apoios. Muito próximo aos apoios, os
estribos apresentam tensão menor do que no restante da viga.
 
Em função dessa redução da tensão, na região próxima aos apoios diretos (carga e reação de apoio aplicadas
em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o), a ABNT NBR 6118:2014 permite uma pequena
redução da força cortante para o dimensionamento da armadura transversal. Segundo a norma, é permitido:
Imagem 17 – Redução de força cortante próxima ao apoio para carregamento
distribuído. 
Considerar a força cortante oriunda de carga distribuída, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância
d/2 da face do apoio, constante e igual à desta seção (situada à distância d/2 da face do apoio).
Imagem 18 – Redução de força cortante próxima ao apoio para carregamento
pontual.
Reduzir a força cortante devido a uma carga concentrada, aplicada à distância 
 a
 ≤
 2
 ⋅
 d
 do eixo teórico do apoio, nesse trecho de comprimento a, multiplicando-a por 
 a
 
 /
 
 (
 2
 .
 d
 )
 (ver Imagem 18).
Entretanto, essas reduções não se aplicam à verificação da resistência à compressão das bielas de concreto,
ou seja, para a comparação entre VSd e VRd2, tanto do modelo I quanto do modelo II. Também não se aplica
para apoios indiretos, nem para forças cortantes provenientes de cabos inclinados de protensão.
Saiba mais
Em geral, essa redução do esforço cortante não é muito utilizada pelos projetistas, pois pode gerar uma
alteração no espaçamento dos estribos em uma região pequena, o que pode não ser viável na prática. A
economia de aço é pequena e, por vezes, não se justifica pela dificuldade na montagem. 
Exemplos de aplicação
Agora, iremos resolver um exemplo completo de cálculo da armadura transversal para uma viga.
Primeiramente, será resolvido pelo modelo I e, em seguida, pelo modelo II refinado (θ = 30º).
 
A viga e o seu diagrama de esforço cortante obtido por meio de esforços solicitantes são ilustrados na
Imagem 19. Sua seção transversal é apresentada na Imagem 20. Essa viga será concretada com concreto com
resistência característica de compressão de fck = 25 MPa e armada com aço CA-50, pede-se:
 
a) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo I para os vãos 1 e 3.
 
b) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo I para o vão 2.
 
c) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo II para os vãos 1 e 3.
 
d) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo II para o vão 2.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para ver mais detalhes da imagem
abaixo.
• 
• 
• 
• 
Imagem 19 – Viga e seu diagrama de esforço cortante solicitante.
Imagem 20 – Seção transversal da viga.
Solução
 
• Para o dimensionamento, adota-se o maior valor de esforço cortante da seção, em módulo:
 
Para os vãos 1 e 3: Vs = 132,6kN.
Para o vão 2:  Vs = 92,3kN.
 
• O esforço cortante utilizado no dimensionamento é dado por:
 
Para os vãos 1 e 3:
Para o vão 2:
a) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo I para os vãos 1 e
3
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
 
Teremos:
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
 
• Área de aço da armadura transversal
 
Teremos:
Como 
 
 A
 
 s
 w
 
 >
 
 A
 
 s
 w
 ,
 min
 
 
, adota-se: 
 
 A
 
 s
 w
 
 
 =
 
 5
 
 ,
 09
 
 
 
 cm
 
 2
 
 
 /
 
 
 m
 
.
 
• Espaçamentos dos estribos
 
Adotando estribos com 
 
 ϕ
 t
 
 =
 6
 ,
 3
 
 
 mm
 
, teremos:
Considerando estribos de dois ramos e fechado:
A quantidade de estribos (n) necessária para 100cm da viga será:
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
Calculando:
Portanto, de acordo com a norma: smáx = 30cm. Como 11cm 
 
 A
 
 s
 w
 
 
 >
 
 A
 
 s
 w
 ,
 min
 
 
, adota-se: 
 
 A
 
 s
 w
 
 
 =
 
 2
 
 ,
 47
 
 
 
 cm
 
 2
 
 
 /
 
 
 m
 
.
 
• Espaçamentos dos estribos.
 
Adotando estribos com 
 
 ϕ
 t
 
 =
 5
 ,
 0
 
 
 mm
 
, teremos:
Considerando estribos de dois ramos e fechado:
A quantidade de estribos (n) necessária para 100cm da viga será:
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
Calculando:
Portanto, de acordo com a norma: smáx = 30cm. Como 14cm 
 
 V
 
 S
 d
 
 
 >
 
 V
 0
 
, pois 
 185
 ,
 64
 k
 N
 >
 84
 ,
 61
 k
 N
 ,
 
 V
 c
 
 é dado por:
Como 
 
 A
 
 s
 w
 
 
 >
 
 A
 
 s
 w
 ,
 min
 
 
, adota-se: 
 
 A
 
 s
 w
 
 
 =
 
 3
 
 ,
 41
 
 
 
 cm
 
 2
 
 
 /
 
 
 m
 
.
 
• Espaçamentos dos estribos.
 
Adotando estribos com 
 
 ϕ
 t
 
 =
 6
 ,
 3
 
 
 mm
 
, teremos:
Considerando estribos de dois ramos e fechado:
A quantidade de estribos (n) necessária para 100cm da viga será:
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
Calculando:
Portanto, de acordo com a norma: smáx = 30cm. Como 16cm 
 
 V
 
 S
 d
 
 
 >
 
 V
 0
 
, pois 
 129
 ,
 22
 k
 N
 >
 84
 ,
 61
 k
 N
 ,
 
 V
 c
 
 é dado por:
Como 
 
 A
 
 s
 w
 
 
 >
 
 A
 
 s
 w
 ,
 min
 
 
, adota-se: 
 
 A
 
 s
 w
 
 
 =
 
 2
 
 ,
 05
 
 
 
 cm
 
 2
 
 
 /
 
 
 m
 
.
 
• Espaçamentos dos estribos.Adotando estribos com 
 
 ϕ
 t
 
 =
 5
 ,
 0
 
 
 mm
 
, teremos:
Considerando estribos de dois ramos e fechado:
A quantidade de estribos (n) necessária para 100cm da viga será:
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
Calculando:
Portanto, de acordo com a norma: st,máx = 30cm. Como 16m